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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时学案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时学案，共13页。
1．通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理)
2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．(数学运算)
3．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，能推导出三角函数的积化和差、和差化积公式．(逻辑推理)
前面我们已经学习了二倍角公式，你能用cs α表示sin2 α2，cs2 α2及tan2 α2吗？
知识点 半角公式
(1)sin α2＝±_1-csα2；
(2)cs α2＝±_1+csα2；
(3)tan α2＝±_1-csα1+csα；
(4)tan α2＝sinα1+csα＝1-csαsinα．
半角公式中的“±”号由三角函数值在α2的终边所在象限的符号决定．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)cs α2＝1+csα2．( )
(2)存在α∈R，使得cs α2＝12cs α．( )
(3)对于任意α∈R，sin α2＝12sin α都不成立．( )
(4)若α是第一象限角，则tan α2＝1-csα1+csα．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
类型1 半角公式的应用
【例1】 (源自湘教版教材)已知sin α＝35，求下列条件下sin α2，cs α2，tan α2的值：
(1)0<α<π2；
(2)角α在第一象限．
[解] (1)当0<α<π2时，0<α2<π4．
又sin α＝35，
所以cs α＝1-sin2α＝1-352＝45，
所以sin α2＝1-csα2＝1-452＝1010，
cs α2＝1+csα2＝1+452＝31010，
tan α2＝sin α2cs α2＝101031010＝13．
(2)当角α在第一象限时，2kπ<α<2kπ＋π2(k∈Z)，则kπ<α2当k为偶数时，角α2在第一象限，故由(1)可得
sin α2＝1010，cs α2＝31010，tan α2＝13．
当k为奇数时，角α2在第三象限，此时有
sin α2＝－1010，cs α2＝－31010，tan α2＝13．
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sinα1+csα＝1-csαsinα，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题．
[跟进训练]
1．求sin π8，cs π8，tan π8的值．
[解] sin π8＝1-cs π42＝1-222＝2-24＝2-22；
cs π8＝1+cs π42＝1+222＝2+22；
tan π8＝1-cs π4sin π4＝1-2222＝2－1．
类型2 化简求值问题
【例2】 设θ∈(0，π)，化简：1+sinθ+csθsin θ2-cs θ22+2csθ．
[解] 原式＝2sin θ2cs θ2+2cs2θ2sin θ2-cs θ24cs2θ2
＝cs θ2sin2θ2-cs2θ2cs θ2＝－cs θ2csθcs θ2．
因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，
所以cs θ2＞0，
所以原式＝－cs θ．
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
[跟进训练]
2．设α∈3π2，2π，化简：12+1212+12cs2α．
[解] ∵α∈3π2，2π，α2∈3π4，π，
∴cs α>0，cs α2<0，
故原式＝12+12cs2α＝12+12csα
＝cs2α2＝cs α2＝－cs α2．
类型3 三角恒等式的证明
【例3】 (源自湘教版教材)当α≠2kπ＋π(k∈Z)时，求证：sin α＝2tan α21+tan2 α2，cs α＝1-tan2 α21+tan2 α2，tan α＝2tan α21-tan2 α2．
[证明] 当a≠2kπ＋π(k∈Z)时，利用二倍角公式及sin2α2＋cs2α2＝1，
可得sin α＝2sin α2cs α2＝2sin α2cs α2sin2 α2 +cs2 α2＝2tan α21+tan2 α2．①
cs α＝cs2α2－sin2α2＝cs2 α2 -sin2 α2sin2 α2 +cs2 α2＝1-tan2 α21+tan2 α2．②
将①②两式相除，可得
tan α＝sinαcsα＝2tan α21-tan2 α2．
证明恒等式的一般步骤
(1)先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
(2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
[跟进训练]
3．已知3sin β＝sin (2α＋β)，求证：tan (α＋β)＝2tan α．
[证明] 由3sin β＝sin (2α＋β)，得3sin [(α＋β)－α]＝sin [(α＋β)＋α]，
即3sin (α＋β)cs α－3cs (α＋β)sin α
＝sin (α＋β)cs α＋cs (α＋β)sin α，
即2sin (α＋β)cs α＝4cs (α＋β)sin α．
由cs (α＋β)cs α≠0，两边同除以cs (α＋β)cs α，
可得tan (α＋β)＝2tan α．
1．已知sin α＝55，cs α＝25 5，则tan α2等于( )
A．2－5B．2＋5
C．5－2D．±(5－2)
C [∵sin α＝55，cs α＝255，
∴tan α2＝sinα1+csα＝5－2．]
2．已知sin 2α＝13，则cs2α-π4 ＝( )
A．－13 B．13 C．－23 D．23
D [cs2α-π4＝1+cs 2α-π22＝1+sin2α2，由于sin 2α＝13，所以cs2α-π4＝1+132＝23，故选D．]
3．设5π<θ<6π，cs θ2＝a，则sin θ4等于( )
A．1+a2B．1-a2
C．－1+a2D．－1-a2
D [若5π<θ<6π，则5π4<θ4<3π2，则sin θ4＝－1-cs θ22＝－1-a2．故选D．]
4．化简2sin2α1+cs2α·cs2αcs2α的结果为________．
tan 2α [原式＝2sin2α2cs2α·cs2αcs2α＝tan 2α．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．tan α2与sin α，cs α存在怎样的等量关系？
[提示] tan α2＝sinα1+csα＝1-csαsinα．
2．如何用cs α表示sin2α2，cs2α2？
[提示] sin2α2＝1-csα2，cs2α2＝1+csα2．
3．如何用tan α2表示sin α，cs α及tan α？
[提示] sin α＝2tan α21+tan2α2，cs α＝1-tan2α21+tan2α2，tan α＝2tan α21-tan2α2，其中α≠2kπ＋π(k∈Z)．
课时分层作业(五十六) 简单的三角恒等变换
一、选择题
1．已知cs α＝－15，π2<α<π，则sin α2等于( )
A．－105B．105
C．－155D．155
D [由π2<α<π可知π4<α2<π2，故sin α2＝1-csα2＝1--152＝155．]
2．若π<α<2π，则化简 1-csα-π2的结果是( )
A．sin α2B．cs α2
C．－cs α2D．－sin α2
C [∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cs α2<0，原式＝1+csα2＝cs α2＝－cs α2．故选C．]
3．sin π4+αcs π4+β化为和差的结果是( )
A．12sin (α＋β)＋12cs (α－β)
B．12cs (α＋β)＋12sin (α－β)
C．12sin (α＋β)＋12sin (α－β)
D．12cs (α＋β)＋12cs (α－β)
B [原式＝12sin π2+α+β+sinα-β
＝12cs (α＋β)＋12sin (α－β)．故选B．]
4．(2022·山东胜利一中月考)若α∈0，π2，sin 2α＝cs2α，则cs2α的值为( )
A．－35 B．－12 C．0 D．35
D [因为α∈0，π2，sin 2α＝cs2α，所以csα≠0且2sin αcs α＝cs2α，解得tanα＝12，所以cs 2α＝cs2α－sin2α＝1-tan2α1+tan2α＝1-141+14＝35．故选D．]
5．(多选)下列各式与tan α相等的是( )
A．1-cs2α1+cs2αB．sin2α1+cs2α
C．sin2α1-cs2αD．1-cs2αsin2α
BD [tan α＝sin2α1+cs2α＝1-cs2αsin2α，故选BD．]
二、填空题
6．求值：sin235°-12cs10°cs80°＝________．
－1 [sin235°-12cs10°cs80°＝1-cs70°2-12cs10°sin10°＝-12cs70°12sin20°＝－1．]
7．α为第三象限角，则1+cs2αcsα－1-cs2αsinα＝________．
0 [∵α为第三象限角，∴cs α<0，sin α<0，
∴1+cs2αcsα－1-cs2αsinα＝2cs2αcsα－2sin2αsinα＝0．]
8．若tan α＝3，则sin 2α＝________．
35 [sin 2α＝2sin αcs α＝2sinαcsαsin2α+cs2α＝2sinαcsαcs2αsin2α+cs2αcs2α＝2tanαtan2α+1＝2×332+1＝35．]
三、解答题
9．求证：tan 3x2－tan x2＝2sinxcsx+cs2x．
[证明] 法一：(由左推右)tan 3x2－tan x2
＝sin 3x2cs 3x2－sin x2cs x2
＝sin 3x2cs x2-cs 3x2sin x2cs 3x2cs x2
＝sin 3x2-x2cs 3x2cs x2
＝sinxcs 3x2cs x2
＝2sinxcs 3x2+x2+cs 3x2-x2
＝2sinxcsx+cs2x．
法二：(由右推左)2sinxcsx+cs2x
＝2sin 3x2-x2cs 3x2-x2+cs 3x2+x2
＝2sin 3x2cs x2-cs 3x2sin x22cs 3x2cs x2
＝sin 3x2cs 3x2－sin x2cs x2＝tan 3x2－tan x2．
10．在△ABC中，若sin A sin B＝cs2C2，则△ABC是( )
A．等边三角形B．等腰三角形
C．不等边三角形D．直角三角形
B [sin A sin B＝12(1＋cs C)，即2sin A sin B＝1＋cs C，∴2sin A sin B＝1－cs A cs B＋sin A sin B，故得cs (A－B)＝1，又A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，即A＝B，则△ABC是等腰三角形．]
11．(多选)已知2sin α＝1＋cs α，则tan α2的可能取值为( )
A．12 B．1 C．2 D．不存在
AD [由题意知4sin α2cs α2＝1＋2cs2α2－1，故有2sin α2cs α2－cs2α2＝0，若2sin α2－cs α2＝0，则tan α2＝12；若cs α2＝0，则tan α2不存在．]
12．(多选)下列等式中错误的是( )
A．sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcs 2θ
B．cs 3θ－cs 5θ＝－2sin 4θsin θ
C．sin 3θ－sin 5θ＝－12cs 4θcs θ
D．cs 3θ＋cs 5θ＝2cs 4θcs θ
ABC [因为sin α＋sin β＝sin α+β2+α-β2＋sin α+β2- α-β2＝2sin α+β2cs α-β2，
cs α＋cs β＝cs α+β2+α-β2＋cs α+β2-α-β2＝2cs α+β2cs α-β2，
从而有sin α－sin β＝2cs α+β2sin α-β2，
cs α－cs β＝cs α＋cs (π－β)＝－2sin α+β2·sin α-β2．
对于A，sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcs θ；
对于B，cs 3θ－cs 5θ＝－2sin 4θsin (－θ)＝2sin 4θsin θ；
对于C，sin 3θ－sin 5θ＝－2cs 4θsin θ；
对于D，cs 3θ＋cs 5θ＝2cs 4θcs θ．故选ABC．]
13．(多选)(2022·辽宁省实验中学月考)已知cs (α＋β)＝－55，cs 2α＝－513，其中α，β为锐角，下列判断正确的是( )
A．sin 2α＝1213B．cs (α－β)＝19565
C．cs αcs β＝8565D．tan αtan β＝118
AC [因为cs (α＋β)＝－55，cs 2α＝－513，其中α，β为锐角，所以sin (α＋β)＝255，sin 2α＝1-cs22α＝1213，故A正确；cs (α－β)＝cs [2α－(α＋β)]＝cs 2αcs (α＋β)＋sin 2αcs (α＋β)＝-513×-55＋1213×255＝29565，故B错误；cs αcs β＝12[cs (α＋β)＋cs (α－β)]＝12×-55+29565＝8565，故C正确；sin αsin β＝12[cs (α－β)－cs (α＋β)]＝12×29565--55＝21565，所以tan αtan β＝218，故D错误．故选AC．]
14．化简：cs 3π2-α-tan α21+csα1-csα(0<α<π)．
[解] 因为tan α2＝sinα1+csα，
所以(1＋cs α)tan α2＝sin α．
又因为cs 3π2-α＝－sin α，
且1－cs α＝2sin2α2，
所以原式＝-sinα-sinα2sin2α2＝-2sinα2sin α2＝－22sin α2cs α2sin α2．
因为0<α<π，所以0<α2<π2．
所以sin α2>0．
所以原式＝－22cs α2．
15．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cs217°－sin13°cs 17°；
②sin215°＋cs215°－sin15°cs 15°；
③sin218°＋cs212°－sin18°cs 12°；
④sin2(－18°)＋cs248°－sin(－18°)cs 48°；
⑤sin2(－25°)＋cs255°－sin (－25°)cs 55°．
(1)请根据②式求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
[解] (1)sin215°＋cs215°－sin15°cs 15°
＝1－12sin 30°＝1－14＝34．
(2)三角恒等式为sin2α＋cs2(30°－α)－sinαcs (30°－α)＝34．
证明如下：
法一：sin2α＋cs2(30°－α)－sinαcs (30°－α)
＝sin2α＋(cs30°cs α＋sin 30°sin α)2－sin α(cs 30°cs α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cs2α＋32sin αcs α＋14sin2α－32sin αcs α－12sin2α
＝34sin2α＋34cs2α＝34．
法二：sin2α＋cs2(30°－α)－sinαcs (30°－α)
＝1-cs2α2＋1+cs60°-2α2－sin α(cs 30°cs α＋sin 30°sin α)
＝12－12cs 2α＋12＋12(cs 60°cs 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcs α－12sin2α＝12－12cs 2α＋12＋14cs 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cs 2α)＝1－14cs 2α－14＋14cs 2α＝34．
1．通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理)
2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．(数学运算)
3．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，能推导出三角函数的积化和差、和差化积公式．(逻辑推理)
前面我们已经学习了二倍角公式，你能用cs α表示sin2 α2，cs2 α2及tan2 α2吗？
知识点 半角公式
(1)sin α2＝±_1-csα2；
(2)cs α2＝±_1+csα2；
(3)tan α2＝±_1-csα1+csα；
(4)tan α2＝sinα1+csα＝1-csαsinα．
半角公式中的“±”号由三角函数值在α2的终边所在象限的符号决定．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)cs α2＝1+csα2．( )
(2)存在α∈R，使得cs α2＝12cs α．( )
(3)对于任意α∈R，sin α2＝12sin α都不成立．( )
(4)若α是第一象限角，则tan α2＝1-csα1+csα．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
类型1 半角公式的应用
【例1】 (源自湘教版教材)已知sin α＝35，求下列条件下sin α2，cs α2，tan α2的值：
(1)0<α<π2；
(2)角α在第一象限．
[解] (1)当0<α<π2时，0<α2<π4．
又sin α＝35，
所以cs α＝1-sin2α＝1-352＝45，
所以sin α2＝1-csα2＝1-452＝1010，
cs α2＝1+csα2＝1+452＝31010，
tan α2＝sin α2cs α2＝101031010＝13．
(2)当角α在第一象限时，2kπ<α<2kπ＋π2(k∈Z)，则kπ<α2
sin α2＝1010，cs α2＝31010，tan α2＝13．
当k为奇数时，角α2在第三象限，此时有
sin α2＝－1010，cs α2＝－31010，tan α2＝13．
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sinα1+csα＝1-csαsinα，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题．
[跟进训练]
1．求sin π8，cs π8，tan π8的值．
[解] sin π8＝1-cs π42＝1-222＝2-24＝2-22；
cs π8＝1+cs π42＝1+222＝2+22；
tan π8＝1-cs π4sin π4＝1-2222＝2－1．
类型2 化简求值问题
【例2】 设θ∈(0，π)，化简：1+sinθ+csθsin θ2-cs θ22+2csθ．
[解] 原式＝2sin θ2cs θ2+2cs2θ2sin θ2-cs θ24cs2θ2
＝cs θ2sin2θ2-cs2θ2cs θ2＝－cs θ2csθcs θ2．
因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，
所以cs θ2＞0，
所以原式＝－cs θ．
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
[跟进训练]
2．设α∈3π2，2π，化简：12+1212+12cs2α．
[解] ∵α∈3π2，2π，α2∈3π4，π，
∴cs α>0，cs α2<0，
故原式＝12+12cs2α＝12+12csα
＝cs2α2＝cs α2＝－cs α2．
类型3 三角恒等式的证明
【例3】 (源自湘教版教材)当α≠2kπ＋π(k∈Z)时，求证：sin α＝2tan α21+tan2 α2，cs α＝1-tan2 α21+tan2 α2，tan α＝2tan α21-tan2 α2．
[证明] 当a≠2kπ＋π(k∈Z)时，利用二倍角公式及sin2α2＋cs2α2＝1，
可得sin α＝2sin α2cs α2＝2sin α2cs α2sin2 α2 +cs2 α2＝2tan α21+tan2 α2．①
cs α＝cs2α2－sin2α2＝cs2 α2 -sin2 α2sin2 α2 +cs2 α2＝1-tan2 α21+tan2 α2．②
将①②两式相除，可得
tan α＝sinαcsα＝2tan α21-tan2 α2．
证明恒等式的一般步骤
(1)先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
(2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
[跟进训练]
3．已知3sin β＝sin (2α＋β)，求证：tan (α＋β)＝2tan α．
[证明] 由3sin β＝sin (2α＋β)，得3sin [(α＋β)－α]＝sin [(α＋β)＋α]，
即3sin (α＋β)cs α－3cs (α＋β)sin α
＝sin (α＋β)cs α＋cs (α＋β)sin α，
即2sin (α＋β)cs α＝4cs (α＋β)sin α．
由cs (α＋β)cs α≠0，两边同除以cs (α＋β)cs α，
可得tan (α＋β)＝2tan α．
1．已知sin α＝55，cs α＝25 5，则tan α2等于( )
A．2－5B．2＋5
C．5－2D．±(5－2)
C [∵sin α＝55，cs α＝255，
∴tan α2＝sinα1+csα＝5－2．]
2．已知sin 2α＝13，则cs2α-π4 ＝( )
A．－13 B．13 C．－23 D．23
D [cs2α-π4＝1+cs 2α-π22＝1+sin2α2，由于sin 2α＝13，所以cs2α-π4＝1+132＝23，故选D．]
3．设5π<θ<6π，cs θ2＝a，则sin θ4等于( )
A．1+a2B．1-a2
C．－1+a2D．－1-a2
D [若5π<θ<6π，则5π4<θ4<3π2，则sin θ4＝－1-cs θ22＝－1-a2．故选D．]
4．化简2sin2α1+cs2α·cs2αcs2α的结果为________．
tan 2α [原式＝2sin2α2cs2α·cs2αcs2α＝tan 2α．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．tan α2与sin α，cs α存在怎样的等量关系？
[提示] tan α2＝sinα1+csα＝1-csαsinα．
2．如何用cs α表示sin2α2，cs2α2？
[提示] sin2α2＝1-csα2，cs2α2＝1+csα2．
3．如何用tan α2表示sin α，cs α及tan α？
[提示] sin α＝2tan α21+tan2α2，cs α＝1-tan2α21+tan2α2，tan α＝2tan α21-tan2α2，其中α≠2kπ＋π(k∈Z)．
课时分层作业(五十六) 简单的三角恒等变换
一、选择题
1．已知cs α＝－15，π2<α<π，则sin α2等于( )
A．－105B．105
C．－155D．155
D [由π2<α<π可知π4<α2<π2，故sin α2＝1-csα2＝1--152＝155．]
2．若π<α<2π，则化简 1-csα-π2的结果是( )
A．sin α2B．cs α2
C．－cs α2D．－sin α2
C [∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cs α2<0，原式＝1+csα2＝cs α2＝－cs α2．故选C．]
3．sin π4+αcs π4+β化为和差的结果是( )
A．12sin (α＋β)＋12cs (α－β)
B．12cs (α＋β)＋12sin (α－β)
C．12sin (α＋β)＋12sin (α－β)
D．12cs (α＋β)＋12cs (α－β)
B [原式＝12sin π2+α+β+sinα-β
＝12cs (α＋β)＋12sin (α－β)．故选B．]
4．(2022·山东胜利一中月考)若α∈0，π2，sin 2α＝cs2α，则cs2α的值为( )
A．－35 B．－12 C．0 D．35
D [因为α∈0，π2，sin 2α＝cs2α，所以csα≠0且2sin αcs α＝cs2α，解得tanα＝12，所以cs 2α＝cs2α－sin2α＝1-tan2α1+tan2α＝1-141+14＝35．故选D．]
5．(多选)下列各式与tan α相等的是( )
A．1-cs2α1+cs2αB．sin2α1+cs2α
C．sin2α1-cs2αD．1-cs2αsin2α
BD [tan α＝sin2α1+cs2α＝1-cs2αsin2α，故选BD．]
二、填空题
6．求值：sin235°-12cs10°cs80°＝________．
－1 [sin235°-12cs10°cs80°＝1-cs70°2-12cs10°sin10°＝-12cs70°12sin20°＝－1．]
7．α为第三象限角，则1+cs2αcsα－1-cs2αsinα＝________．
0 [∵α为第三象限角，∴cs α<0，sin α<0，
∴1+cs2αcsα－1-cs2αsinα＝2cs2αcsα－2sin2αsinα＝0．]
8．若tan α＝3，则sin 2α＝________．
35 [sin 2α＝2sin αcs α＝2sinαcsαsin2α+cs2α＝2sinαcsαcs2αsin2α+cs2αcs2α＝2tanαtan2α+1＝2×332+1＝35．]
三、解答题
9．求证：tan 3x2－tan x2＝2sinxcsx+cs2x．
[证明] 法一：(由左推右)tan 3x2－tan x2
＝sin 3x2cs 3x2－sin x2cs x2
＝sin 3x2cs x2-cs 3x2sin x2cs 3x2cs x2
＝sin 3x2-x2cs 3x2cs x2
＝sinxcs 3x2cs x2
＝2sinxcs 3x2+x2+cs 3x2-x2
＝2sinxcsx+cs2x．
法二：(由右推左)2sinxcsx+cs2x
＝2sin 3x2-x2cs 3x2-x2+cs 3x2+x2
＝2sin 3x2cs x2-cs 3x2sin x22cs 3x2cs x2
＝sin 3x2cs 3x2－sin x2cs x2＝tan 3x2－tan x2．
10．在△ABC中，若sin A sin B＝cs2C2，则△ABC是( )
A．等边三角形B．等腰三角形
C．不等边三角形D．直角三角形
B [sin A sin B＝12(1＋cs C)，即2sin A sin B＝1＋cs C，∴2sin A sin B＝1－cs A cs B＋sin A sin B，故得cs (A－B)＝1，又A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，即A＝B，则△ABC是等腰三角形．]
11．(多选)已知2sin α＝1＋cs α，则tan α2的可能取值为( )
A．12 B．1 C．2 D．不存在
AD [由题意知4sin α2cs α2＝1＋2cs2α2－1，故有2sin α2cs α2－cs2α2＝0，若2sin α2－cs α2＝0，则tan α2＝12；若cs α2＝0，则tan α2不存在．]
12．(多选)下列等式中错误的是( )
A．sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcs 2θ
B．cs 3θ－cs 5θ＝－2sin 4θsin θ
C．sin 3θ－sin 5θ＝－12cs 4θcs θ
D．cs 3θ＋cs 5θ＝2cs 4θcs θ
ABC [因为sin α＋sin β＝sin α+β2+α-β2＋sin α+β2- α-β2＝2sin α+β2cs α-β2，
cs α＋cs β＝cs α+β2+α-β2＋cs α+β2-α-β2＝2cs α+β2cs α-β2，
从而有sin α－sin β＝2cs α+β2sin α-β2，
cs α－cs β＝cs α＋cs (π－β)＝－2sin α+β2·sin α-β2．
对于A，sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcs θ；
对于B，cs 3θ－cs 5θ＝－2sin 4θsin (－θ)＝2sin 4θsin θ；
对于C，sin 3θ－sin 5θ＝－2cs 4θsin θ；
对于D，cs 3θ＋cs 5θ＝2cs 4θcs θ．故选ABC．]
13．(多选)(2022·辽宁省实验中学月考)已知cs (α＋β)＝－55，cs 2α＝－513，其中α，β为锐角，下列判断正确的是( )
A．sin 2α＝1213B．cs (α－β)＝19565
C．cs αcs β＝8565D．tan αtan β＝118
AC [因为cs (α＋β)＝－55，cs 2α＝－513，其中α，β为锐角，所以sin (α＋β)＝255，sin 2α＝1-cs22α＝1213，故A正确；cs (α－β)＝cs [2α－(α＋β)]＝cs 2αcs (α＋β)＋sin 2αcs (α＋β)＝-513×-55＋1213×255＝29565，故B错误；cs αcs β＝12[cs (α＋β)＋cs (α－β)]＝12×-55+29565＝8565，故C正确；sin αsin β＝12[cs (α－β)－cs (α＋β)]＝12×29565--55＝21565，所以tan αtan β＝218，故D错误．故选AC．]
14．化简：cs 3π2-α-tan α21+csα1-csα(0<α<π)．
[解] 因为tan α2＝sinα1+csα，
所以(1＋cs α)tan α2＝sin α．
又因为cs 3π2-α＝－sin α，
且1－cs α＝2sin2α2，
所以原式＝-sinα-sinα2sin2α2＝-2sinα2sin α2＝－22sin α2cs α2sin α2．
因为0<α<π，所以0<α2<π2．
所以sin α2>0．
所以原式＝－22cs α2．
15．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cs217°－sin13°cs 17°；
②sin215°＋cs215°－sin15°cs 15°；
③sin218°＋cs212°－sin18°cs 12°；
④sin2(－18°)＋cs248°－sin(－18°)cs 48°；
⑤sin2(－25°)＋cs255°－sin (－25°)cs 55°．
(1)请根据②式求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
[解] (1)sin215°＋cs215°－sin15°cs 15°
＝1－12sin 30°＝1－14＝34．
(2)三角恒等式为sin2α＋cs2(30°－α)－sinαcs (30°－α)＝34．
证明如下：
法一：sin2α＋cs2(30°－α)－sinαcs (30°－α)
＝sin2α＋(cs30°cs α＋sin 30°sin α)2－sin α(cs 30°cs α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cs2α＋32sin αcs α＋14sin2α－32sin αcs α－12sin2α
＝34sin2α＋34cs2α＝34．
法二：sin2α＋cs2(30°－α)－sinαcs (30°－α)
＝1-cs2α2＋1+cs60°-2α2－sin α(cs 30°cs α＋sin 30°sin α)
＝12－12cs 2α＋12＋12(cs 60°cs 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcs α－12sin2α＝12－12cs 2α＋12＋14cs 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cs 2α)＝1－14cs 2α－14＋14cs 2α＝34．
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