人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用学案，共20页。

2．会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(数学建模)
日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i与时间t的关系一般可以写成i＝Imsin (ωt＋φ)的形式，其中Im，ω，φ都是常数．显然，i是t的函数．那么，这种类型的函数在生产生活中有哪些应用？
知识点 函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
函数y＝－sin 2x-π4的初相是－π4吗？
[提示] 不是．因为函数y＝－sin 2x-π4＝ sin 2x+3π4，故其初相是 3π4．
1．函数y＝3sin 12x-π6的频率为________，相位为________，初相为________．
14π 12x－π6 －π6 [频率为122π＝14π，相位为12x－π6，初相为－π6．]
2．某人的血压满足函数式f (t)＝24sin 160πt＋110，其中f (t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为________．
80 [∵f (t)＝24sin 160πt＋110，
∴T＝2πω＝2π160π＝180，f ＝1T＝80，
∴此人每分钟心跳的次数为80．]
类型1 三角函数模型在物理学中的应用
【例1】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为：h＝3sin 2t+π4．
(1)求小球开始振动的位置；
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；
(3)经过多长时间小球往返振动一次？
(4)每秒内小球能往返振动多少次？
[解] (1)令t＝0，得h＝3sin π4＝322，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置322 cm处．
(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为π8，即小球第一次上升到最高点的时间为π8 s．
当h＝－3时，t的最小值为5π8，即小球第一次下降到最低点的时间为5π8 s．
(3)T＝2π2＝π，即经过π s小球往返振动一次．
(4)f ＝1T＝1π，即每秒内小球往返振动1π次．
在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝2πω为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f ＝1T为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．
[跟进训练]
1．电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则t＝7120 s时的电流为______(A)．
0 [由函数的图象可得A＝100，且2πω×12＝3300＝1100，故ω＝100π，而I1300＝100，故100π300＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，解得φ＝π6＋2kπ，k∈Z，故I(t)＝100sin 100πt+π6，故I7120＝100sin 100π×7120+π6＝0(A)．]
类型2 三角函数模型的实际应用
【例2】 (源自苏教版教材)一半径为3 m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P到水面的距离z(单位：m，在水面下，则z为负数)表示为时间t(单位：s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
思路导引：建系模型 圆周运动 设y＝A sin (ωt＋φ)题设信息 确定A，ω，φ 解决问题．
[解] (1)如图，建立平面直角坐标系．
设角φ-π2<φ<0是以Ox为始边，OP0为终边的角．
由OP在t s内所转过的角为4×2π60t＝2π15t，可知以Ox为始边，OP为终边的角为2π15t＋φ，故P点纵坐标为3sin 2π15t+φ，则z＝3sin 2π15t+φ＋2．
当t＝0时，z＝0，可得sin φ＝－23．
因为－π2<φ<0，所以φ≈－0.73，
故所求函数关系式为z＝3sin 2π15t-0.73＋2．
(2)令z＝3sin 2π15t-0.73＋2＝5，得sin 2π15t-0.73＝1．
取2π15t－0.73＝π2，解得t≈5.5．
故点P第一次到达最高点大约需要5.5 s．
解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义注明函数的定义域．
[跟进训练]
2．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min．游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，如图以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式为( )
A．H＝55sin π15t-π2，t∈[0，30]
B．H＝55sin π15t+π2，t∈[0，30]
C．H＝55sin π15t+π2＋55，t∈[0，30]
D．H＝55sin π15t-π2＋65，t∈[0，30]
D [因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min，所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15 min，又因为摩天轮最高点距离地面高度为120 m，所以t＝15时，H＝120．对于A，t＝15时，H＝55sin π15×15-π2＝55sin π2＝55，不符合题意；对于B，t＝15时，H＝55sin π15×15+π2＝55sin 3π2＝－55，不符合题意；对于C，t＝15时，H＝55sin π15×15+π2＋55＝55sin 3π2＋55＝0，不符合题意；对于D，t＝15时，H＝55sin π15×15-π2＋65＝55sin π2＋65＝120，符合题意．故选D．]
类型3 数据拟合模型的应用
【例3】 某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(单位：米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天时刻t的浪高数据的平均值如表：
(1)作出这些数据的散点图；
(2)从y＝ax＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b和y＝A tan (ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
[解] (1)散点图如图所示．
(2)由(1)知选择y＝A sin (ωt＋φ)＋b较合适．令A>0，ω>0，|φ|<π．
由图可知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝2πT＝π6．
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin π6t+φ＋1，得φ＝0．
故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sin π6t＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sin π6t＋1≥0.8，得sin π6t≥－12．则－π6＋2kπ≤π6t≤7π6＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
三角函数是基本初等函数之一，是反映周期变化现象的重要函数模型，在数学和其他领域具有重要作用，命题的背景常以波浪、潮汐、摩天轮等具有周期性现象的模型为载体，考查学生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力．
[跟进训练]
3．一物体相对于某一固定位置的位移y(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的一组对应值如表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为__________．
y＝－4cs 5π2t，t∈[0，＋∞) [设y＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝2πT＝2π0.8＝5π2，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－π2，故y＝4sin 5π2t-π2，即y＝－4cs 5π2t，t∈[0，＋∞)．]
1．函数y＝13sin 13x+π6的周期、振幅、初相分别是( )
A．3π，13，π6B．6π，13，π6
C．3π，3，－π6D．6π，3，π6
B [y＝13sin 13x+π6的周期T＝2π13＝6π，振幅为13，初相为π6．故选B．]
2．如图，一个大风车的半径为8 m，每12 min旋转一周，最低点离地面2 m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离h(单位：m)与时间t(单位：min)之间的函数关系是( )
A．h＝8cs π6t＋10B．h＝－8cs π3t＋10
C．h＝－8sin π6t＋10D．h＝－8cs π6t＋10
D [由T＝12，排除B；当t＝0时，h＝2，排除A，C．]
3．(多选)如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零
AD [由题图可知34T＝0.6，∴T＝0.8．振幅A＝5 cm，当t＝0.1 s或0.5 s时，v＝0．故选AD．]
4．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为________．
y＝0.2sin π5t+φ＋3.8(φ为常数) [设所求函数为y＝A sin (ωt＋φ)＋b，
由题意得T＝10，即ω＝π5，A＝0.2，b＝3.8，
故y＝0.2sin π5t+φ＋3.8．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在日常生活中哪些问题可由三角函数模型求解？
[提示] 在日常生活中呈周期变化的现象，可利用三角函数模型y＝A sin (ωx＋φ)＋b描述其变化规律，并结合各参数的实际意义解决相关问题．
2．在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？
[提示] 画散点图→拟合曲线→求解曲线
正弦型函数与信号处理
两个周期相同的正弦型函数相加，利用三角恒等变换，一定可以把结果化为同一个周期的正弦型函数．而且，不难看出，这一结果可以推广到有限多个同周期的正弦型函数．
那么，不同周期的正弦型函数相加，结果会怎样呢？图1是函数f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x的图象，由此你能发现什么？
图1
可以看出，f (x)的图象呈现的还是周期性变化(事实上，f (x)仍是一个周期函数)．不过，相对于正弦曲线来说，f (x)的图象变化更加丰富．
那么，这是不是意味着所有的周期函数都可以借助正弦型函数相加来表示或者近似表示呢？答案是肯定的！例如，如图2所示是函数f (x)＝的图象，如图3所示是某种信号的波形，两者相似吗？
图2
图3
事实上，在现代社会中，信号处理是非常关键的技术．这只要想想我们几乎每天都在使用的电话或互联网就可以感受到！而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！感兴趣的同学可以查找有关资料了解更多信息．
课时分层作业(六十) 三角函数的应用
一、选择题
1．(2022·辽宁大连八中月考)单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S(单位：厘米)和时间t(单位：秒)的函数关系为S(t)＝3sin π2t+π3，那么单摆来回摆动的振幅(单位：厘米)和一次所需的时间(单位：秒)为( )
A．3，4B．－3，4
C．3，2D．－3，2
A [因为距离S和时间t的函数关系为S(t)＝3sin π2t+π3，所以单摆来回摆动的振幅为3和一次所需的时间为T＝2ππ2＝4．故选A．]
2．音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝11 000sin ωt．图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为( )
A．200 B．400 C．200π D．400π
D [由图象可得，ω>0，T＝4×1800＝1200，即2πω＝1200，则ω＝400π．]
3．已知简谐运动f (x)＝2sin π3x+φφ<π2的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3
C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3
A [由题意得1＝2sin φ，∴sin φ＝12，
又∵|φ|<π2，∴φ＝π6．又T＝2ππ3＝6，故选A．]
4．小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊的顶部遮雨棚设计成如图所示横截面为正弦曲线的形状(雨棚的厚度忽略不计)，已知入口高度AB和出口处高度CD均为H，为使参观者行走方便，要求雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的23，则雨棚横截面正弦曲线振幅的最大值为( )
A．H3 B．H4 C．H5 D．H6
C [雨棚横截面正弦曲线振幅为A，则雨棚的最低点到地面的距离为H－A，雨棚的最高点到地面的距离为H＋A，由题意有H－A≥23(H＋A)，解得A≤H5，所以横截面正弦曲线振幅的最大值为H5．故选C．]
5．(多选)(2022·浙江嘉兴期末)血压是指血液在血管内流动时作用单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明这位成人有高血压．设从未使用过抗高血压药的小王今年26岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点起，t＝0)，他的血压p(t)(单位：mmHg)与经过的时间t(单位：h)满足关系式p(t)＝116＋22sin π6t+π3，则( )
A．血压p(t)的最小正周期为6
B．当天下午3点小王的血压为105
C．当天小王有高血压
D．当天小王的收缩压与舒张压之差为44
BCD [对于A选项，血压p(t)的最小正周期为2ππ6＝12，A错误；对于B选项，下午3点时，即t＝9，可得p(9)＝116＋22sin 3π2+π3＝116－22cs π3＝105，B正确；对于C选项，因为p(t)max＝116＋22＝138<140，p(t)min＝116－22＝94≥90，所以，当天小王有高血压，C正确；对于D选项，当天小王的收缩压与舒张压之差为p(t)max－p(t)min＝138－94＝44，D正确．故选BCD．]
二、填空题
6．某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cs π6x-6(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温值为________℃．
20．5 [由题意可知A＝28-182＝5，a＝28+182＝23．从而y＝5cs π6x-6＋23．故10月份的月平均气温值为y＝5cs π6×4＋23＝20.5．]
7．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(单位：m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为____________．
y＝－6sin π6x，x∈[0，24] [设y与x的函数关系式为y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝2πω＝12，ω＝π6．
又当x＝9时，ymax＝6，
故π6×9＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z．
取k＝1得φ＝π，即y＝－6sin π6x，x∈[0，24]．]
8．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cs glt+π3，t∈[0，＋∞)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm．
g4π2 [由已知得2πgl＝1，所以gl＝2π，gl＝4π2，l＝g4π2．]
三、解答题
9．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin π8x-5π4＋20，x∈[4，16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
[解] (1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃；当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃．所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃．
(2)令10sin π8x-5π4＋20＝15，
可得sin π8x-5π4＝－12．
而x∈[4，16]，所以－3π4≤π8x－5π4≤3π4，
所以π8x－5π4＝－π6，所以x＝263．
令10sin π8x-5π4＋20＝25，
可得sin π8x-5π4＝12，而x∈[4，16]，
所以x＝343．故该细菌的存活时间为343－263＝83小时．
10．(2022·江西芦溪中学月考)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20 ℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28 ℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sin π8t-π8，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历sin 3π10≈0.8( )
A．1.4 h B．2.4 h C．3.2 h D．5.6 h
B [设t1时开始开放，t2时开始闭合，则20－10sin π8t1-π8＝20，又t1∈[5，17]，∴π2≤π8t1－π8≤2π，解得t1＝9.20－10sin π8t2-π8＝28，
∴sin π8t2-π8＝－45，由sin 3π10≈0.8得sin 13π10≈－45，∴π8t2－π8＝13π10，∴t2＝575，∴t2－t1＝125＝2.4．故选B．]
11．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
则适合这组数据的函数模型是( )
A．y＝a cs πx6
B．y＝a cs x-1π6＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－a cs x-1π6＋k(a＞0，k＞0)
D．y＝a cs πx6－3
C [当x＝1时图象处于最低点，当x＝7时图象处于最高点．又当x∈[1，7]时，函数y是单调递增的，x∈[7，12]时，函数y是单调递减的，且易知a＝-5.9+22.82＞0．故选C．]
12．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f (l)的图象大致是( )
A B
C D
C [令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin θ2＝d2，∴d＝2sin θ2＝2sin l2，
即d＝f (l)＝2sin l2(0≤l≤2π)，故选C．]
13．(多选)气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目标．某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)，如图，则( )
A．φ＝3π4
B．函数f (x)的最小正周期为16π
C．∀x∈R，f (x)＋f (x＋8)＝40
D．若g(x)＝f (x＋m)是偶函数，则m的最小值为2
ACD [依题意A>0，ω>0，0<φ<π，
根据图象可知2A=30-10b=20 ⇒A=10，b=20，
f (x)＝10sin (ωx＋φ)＋20，
根据图象可知T2＝14－6＝8，T＝16，ω＝2πT＝2π16＝π8，B选项错误；
f (x)＝10sin π8x+φ＋20，
f (6)＝10sin 3π4+φ＋20＝10，
sin 3π4+φ＝－1，
因为0<φ<π，所以3π4<3π4＋φ<7π4，
所以3π4＋φ＝3π2⇒φ＝3π4，A选项正确；
f (x)＝10sin π8x+3π4＋20．
f (x＋8)＝10sin π8x+8+3π4＋20
＝10sin π8x+3π4+π＋20
＝－10sin π8x+3π4＋20，
所以f (x)＋f (x＋8)＝40，C选项正确；
g(x)＝f (x＋m)＝10sin π8x+m+3π4＋20
＝10sin π8x+π8m+3π4＋20是偶函数，
所以π8m＋3π4＝kπ＋π2，k∈Z，m＝8k－2，k∈Z，所以当k＝0时，m的最小值为2，D选项正确．故选ACD．]
14．如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m．
[解] (1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为2π300 t＝π150 t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin π150 t＋12(t≥0)．
(2)由10sin π150t＋12≥17，得sin π150t≥12，
则25≤t≤125，
故此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m．
15．某研究小组调查了某港口水深情况，发现在一天(24小时)之内呈周期性变化，且符合函数f (t)＝A sin (ωt＋φ)＋kA>0，ω>0，-π2<φ<π2，其中f (t)为水深(单位：米)，t为时间(单位：小时)，t∈[0，24)．研究小组绘制了水深图，部分信息如图．
(1)求f (t)解析式；
(2)某艘货船满载时吃水深度为4.5米，空载时2.5米，按安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与海底距离)，问：
(ⅰ)该船满载时一天之内何时能进出港口？
(ⅱ)该船凌晨3点已经在港口卸货完毕准备空载离港；为确保安全，需在安全水深到达前半小时提前离港，问最迟在几点之前离港才能确保安全？
[解] (1)由题意得：A＝7-32＝2，k＝7+32＝5，T＝2×(8－2)＝12＝2πω，∴ω＝π6．
当x＝2时最大，∴2×π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，
又φ∈-π2，π2，
∴φ＝π6，
∴f (t)＝2sin π6t+π6＋5，t∈[0，24)．
(2)(ⅰ)由题意得2sin π6t+π6＋5>4.5＋1.5，
即 sin π6t+π6≥12，
∴2kπ＋π6≤π6t＋π6≤2kπ＋5π6，k∈Z，
解得12k≤t≤12k＋4，k∈Z．
∵t∈[0，24)，
∴k＝0或k＝1．
∴0≤t≤4或12≤t≤16，
∴该船满载时一天之内0点到4点或12点到16点能安全进出港口．
(ⅱ)空载时水深至少要4米，由2sin π6t+π6＋5≥2.5＋1.5得：sin π6t+π6≥－12，∴2kπ－π6≤π6t＋π6≤2kπ＋7π6，k∈Z．∴12k－2≤t≤12k＋6，k∈Z．
又t∈[0，24)，∴0≤t≤6或10≤t≤18或22≤t≤24．
因为6－0.5＝5.5，
所以最多滞留到五点半可确保安全离港．
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.5
1.0
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
月份
1
2
3
4
5
6
平均温度
－5.9
－3.3
2.2
9.3
15.1
20.3
月份
7
8
9
10
11
12
平均温度
22.8
22.2
18.2
11.9
4.3
－2.4