人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数第1课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数第1课时学案，共12页。

1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．(逻辑推理)
2．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(数学运算)
(1)计算lg24，lg28及lg232的值，你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗？
(2)计算lg 10，lg 100，lg 1 000及lg 104的值，你能发现什么规律？
知识点 对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
(2)lgaMN＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
三条运算性质成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)lg2x2＝2lg2x．( )
(2)lga[(－2)×(－3)]＝lga(－2)＋lga(－3)．( )
(3)lgaM·lgaN＝lga(M＋N)．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
类型1 对数的运算性质
【例1】 (源自人教B版教材)用lgax，lgay，lgaz表示下列各式：
(1)lgaxyz；
(2)lga(x3y5)；
(3)lgax2y3z．
[解] (1)lgaxyz＝lga(xy)－lgaz＝lgax＋lgay－lgaz．
(2)lga(x3y5)＝lgax3＋lgay5＝3lgax＋5lgay．
(3)lgax2y3z＝lga(x2y12z-13)
＝lgax2＋lgay12+lgaz-13
＝2lgax＋12lgay－13lgaz．
求解此类问题的步骤
第一步：看对数式的真数部分的组成形式：积、商还是幂；
第二步：用对数的运算性质拆解，即把对数式分解成对数式的和、差形式；
第三步：逆用运算性质，检验算式是否正确．
[跟进训练]
1．求下列各式的值：
(1)lg3(27×92)；(2)lg 5＋lg 2；(3)ln 3＋ln 13；(4)lg35－lg315．
[解] (1)法一：lg3(27×92)＝lg327＋lg392＝lg333＋lg334＝3lg33＋4lg33＝3＋4＝7．
法二：lg3(27×92)＝lg3(33×34)＝lg337＝7lg33＝7．
(2)lg 5＋lg 2＝lg (5×2)＝lg 10＝1．
(3)ln 3＋ln 13＝ln 3×13＝ln 1＝0．
(4)lg35－lg315＝lg3515＝lg313＝lg33-1＝－1．
类型2 带有附加条件的对数式求值
【例2】 (源自苏教版教材)已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值(结果保留4位小数)：
(1)lg 12；(2)lg 2716．
[解] (1)lg 12＝lg (22×3)＝lg 22＋lg 3＝2lg 2＋lg 3≈2×0.301 0＋0.477 1＝1.079 1．
(2)lg 2716＝lg 33－lg 24＝3lg 3－4lg 2≈3×0.477 1－4×0.301 0＝0.227 3．
对数式表示的两种方式
(1)
(2)
[跟进训练]
2．已知lg32＝a，3b＝5，用a，b表示lg330．
[解] 由3b＝5，得lg35＝b．
∴lg330＝lg33012＝12lg330
＝12lg35＋12lg36＝12b＋12lg32＋12lg33
＝12b＋12a＋12．
类型3 利用对数的运算性质化简、求值
【例3】 计算下列各式的值：
(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245；
(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3)lg2+lg3-lg10lg1.8．
[解] (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋122lg7+lg5
＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5
＝12lg 2＋12lg 5
＝12(lg 2＋lg 5)
＝12lg 10
＝12．
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3．
(3)原式＝12lg2+lg9-lg10lg1.8＝lg18102lg1.8＝lg1.82lg1.8＝12．

1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：
(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；
(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
[跟进训练]
3．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)23lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25．
[解] (1)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1．
(2)23lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25
＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5
＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3．
1．(2022·江苏淮安中学期中)下列等式成立的是( )
A．lg223＝3lg22
B．lg2(8＋4)＝lg28＋lg24
C．lg2(8－4)＝lg28－lg24
D．lg28lg24＝lg284
A [对于A，lg223＝3lg22，故A正确；
对于B，lg2(8＋4)＝lg212，故B错误；
对于C，lg2(8－4)＝lg24＝lg222＝2lg22＝2，故C错误；
对于D，lg28lg24＝lg223lg222＝3lg222lg22＝32，故D错误；
故选A．]
2．已知lg 3＝a，lg 7＝b，则lg 349的值为( )
A．a－b2 B．a－2b C．b2a D．ab2
B [∵lg 3＝a，lg 7＝b，
∴lg 349＝lg 3－lg 49＝lg 3－2lg 7＝a－2b．]
3．2lg510＋lg50.25＝( )
A．0 B．1 C．2 D．4
C [2lg510＋lg50.25＝lg5100＋lg50.25＝lg525＝2．故选C．]
4．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，下列各式：
(1)(lgax)n＝nlgax；(2)(lgax)n＝lgaxn；(3)lgax＝－lga1x；
(4)nlgax＝1nlgax；(5)lgaxn＝lganx．
其中正确的有________．(填序号)
(3)(5) [根据对数的运算性质lgaM n＝nlgaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．对数有哪些运算性质？
[提示] (1)lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
(2)lga MN＝lgaM－lgaN；
3lgabm＝mlgab．(其中a>0且a≠1，M>0，N>0，b>0)
2．运用对数的运算性质应注意哪些问题？
[提示] (1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)在运算过程中避免出现以下错误：
①lgaNn＝(lgaN)n，
②lga(MN)＝lgaM·lgaN，
③lgaM±lgaN＝lga(M±N)．
课时分层作业(三十二) 对数的运算
一、选择题
1．若lg 2＝m，则lg 5等于( )
A．m B．1m C．1－m D．10m
C [lg 5＝lg 102＝lg 10－lg 2＝1－m．]
2．对数lg a与lg b互为相反数，则有( )
A．a＋b＝0B．a－b＝0
C．ab＝1D．ab＝1
C [∵lg a＝－lg b，∴lg a＋lg b＝0，∴lg (ab)＝0，∴ab＝1，故选C．]
3．已知3a＝2，则lg38－2lg36＝( )
A．a－2B．5a－2
C．3a－(1＋a)2D．3a－a2－1
A [∵3a＝2，∴a＝lg32，∴lg38－2lg36＝3lg32－2(lg32＋lg33)＝3a－2(a＋1)＝a－2．故选A．]
4．若lg x－lg y＝a，则lg x23－lg y23等于( )
A．3a B．32a C．a D．a2
A [∵lg x－lg y＝a，∴lg x23－lg y23＝3lgx2－3lg y2＝3(lg x－lg y)＝3a．故选A．]
5．(多选)已知a>0，且a≠1，下列说法不正确的是( )
A．若M＝N，则lgaM＝lgaN
B．若lgaM＝lgaN，则M＝N
C．若lgaM2＝lgaN2，则M＝N
D．若M＝N，则lgaM2＝lgaN2
ACD [若M＝N≤0，则lgaM，lgaN无意义，A错误；因为lgaM＝lgaN，所以M＝N，B正确；因为lgaM2＝lgaN2，则M2＝N2，所以M＝N或M＝－N，C错误；若M＝N＝0，则lgaM2，lgaN2无意义，D错误．故选ACD．]
二、填空题
6．lg 5＋lg 20＝________．
1 [lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1．]
7．已知a2＝1681(a>0)，则lg23aa________．
2 [由a2＝1681(a>0)得a＝49，所以lg2349＝lg23232＝2．]
8．2lg4+lg91+12lg0.36+13lg8＝________．
2 [原式＝2lg121+lg0.6+lg2＝2lg12lg12＝2．]
三、解答题
9．(2022·河南南阳模拟)(1)已知lg 3＝a，lg 7＝b，试用a，b表示lg 2749；
(2)求值：(5×32)0＋12lg 2725－43lg 27＋lg 75．
[解] (1)因为lg 2749＝lg 27－lg 49＝lg 33－lg 72＝3lg 3－2lg 7，
而lg 3＝a，lg 7＝b，所以lg 2749＝3a－2b．
(2)(5×32)0＋12lg 2725－43lg 27＋lg 75
＝1＋32lg 3－lg 5－43×32lg 3＋lg 5＋12lg 3＝1．
10．(2022·江苏南京师大附中期中)设alg29＝3，则9－a＝( )
A．181 B．19 C．18 D．16
C [alg29＝3⇒9a＝23⇒9－a＝18，故选C．]
11．(2022·浙江湖州中学月考)空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而中国象棋空间复杂度的上限N约为1048(参考数据：lg 3≈0.48)，则下列各数中与MN最接近的是( )
A．10150 B．10125 C．10105 D．10135
B [∵M≈3361，N≈1048，
∴lg M≈361lg 3，lg N≈48，
lg MN＝lg M－lg N≈361×0.48－48≈125，
∴MN≈10125．故选B．]
12．(多选)若a>1，b>1，且lg (a＋b)＝lg a＋lg b，则( )
A．lg (a－1)＋lg (b－1)＝0
B．lg 1a+1b＝0
C．lg (a－1)＋lg (b－1)＝1
D．lg 1a+1b＝1
AB [依题意a>1，b>1，
由lg (a＋b)＝lg a＋lg b＝lg (ab)，得a＋b＝ab，
所以(a－1)(b－1)＝ab－(a＋b)＋1＝1，且
a+bab＝1a＋1b＝1，
即lg (a－1)＋lg (b－1)＝lg [(a－1)(b－1)]＝lg 1＝0，lg 1a+1b＝0．故选AB．]
13．若lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则xy的值为________．
4 [因为lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，
所以x>0，y>0，x-2y>0， xy＝x-2y2．
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y．
又x>0，y>0且x－2y>0，
所以x＝4y，则xy＝4．]
14．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，求lgba2的值．
[解] 因为lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，根据根与系数的关系得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝12．
所以代入得lgba2＝(lg b－lg a)2＝(lg b)2－2lg b·lg a＋(lg a)2＝(lg a＋lg b)2－4lg b·lg a＝2．
15．(1)根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，那么lgaM n＝nlgaM(n∈R)；
(2)请你运用(1)中的对数运算性质计算lg3lg4lg8lg9+lg16lg27的值；
(3)因为210＝1 024∈(103，104)，所以210的位数为4．请判断2 0222 023的位数．
(参考数据：lg 2 022≈3.306，100.038≈1.091)
[解] (1)设x＝lgaM，则M＝ax，
所以Mn＝(ax)n＝anx，
所以lgaM n＝lgaanx＝nx＝nlgaM，得证．
(2)lg3lg4lg8lg9+lg16lg27＝lg3lg22lg23lg32+lg24lg33
＝lg32lg23lg22lg3+4lg23lg3＝lg32lg2×17lg26lg3＝1712．
(3)设2 0222 023＝N，则
lg N＝2 023 lg 2 022≈2 023×3.306＝6 688.038，
所以N＝106 688.038＝100.038×106 688，
又1<100.038<10，
所以N有6 689位数，即2 0222 023的位数为6 689．