人教A版高中数学必修第一册第1章1-1第2课时集合的表示课时学案
展开第2课时 集合的表示 1.初步掌握集合的两种表示方法--列举法、描述法.(数学抽象) 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合.(数学运算) 四大名著是指中国古典文学名著《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》.四大名著是中国古典文学的精品,受到很多读者的喜爱.中国古典四大名著能组成集合吗?如何表示该集合? 知识点1 列举法 把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 用列举法表示集合时应注意以下两点: (1)元素间用“,”隔开; (2)花括号“{ }”含有“所有”“全体”的含义,因此实数集R不能表示成{R}. 知识点2 描述法 一般地,设A是一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法. 用描述法表示集合时应注意以下三点: (1)代表元素x可以是数,也可以是点,…. (2)所有描述的内容都要写在花括号内.如偶数集可以表示为{x|x=2k,k∈Z},其中k∈Z不能省略. (3)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如{x|x<-1,或x>1}. {(x,y)|y=x2+2}能否写为{x|y=x2+2}或{y|y=x2+2}呢? [提示] 不能.前面集合表示的是点集;而后两个集合表示的是数集. 1.方程x2=4的解集用列举法表示为( ) A.{(-2,2)} B.{-2,2} C.{-2} D.{2} B [由x2=4得x=±2,故用列举法可表示为{-2,2}.] 2.用描述法表示不等式4x-5<7的解集为________. {x|x<3} [用描述法可表示为{x|x<3}.] 类型1 用列举法表示集合 【例1】 用列举法表示下列给定的集合: (1)不大于10的非负偶数组成的集合A; (2)小于8的质数组成的集合B; (3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合C; (4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D. [解] (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,所以A={0,2,4,6,8,10}. (2)小于8的质数有2,3,5,7, 所以B={2,3,5,7}. (3)方程2x2-x-3=0的实数根为-1,32, 所以C=-1,32. (4)由y=x+3, y=-2x+6,得x=1,y=4. 所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点为(1,4), 所以D={(1,4)}. 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素. (2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次. (3)用花括号括起来. [跟进训练] 1.用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有正整数组成的集合; (2)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合. [解] (1)设小于10的所有正整数组成的集合为A,那么A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}. 类型2 用描述法表示集合 【例2】 (源自北师大版教材)用描述法表示下列集合: (1)小于10的所有有理数组成的集合A; (2)所有奇数组成的集合B; (3)平面α内,到定点O的距离等于定长r的所有点组成的集合C. [解] (1)设x∈A,则x∈Q,且使x<10成立.因此,用描述法可以表示为A={x∈Q|x<10}. (2)设x∈B,则x是一个奇数.因此,用描述法可以表示为B={x|x=2n-1,n∈Z}. (3)设M∈C,则M∈α,M到α内的定点O的距离等于定长r.因此,用描述法可以表示为C={M∈α|O为α内的定点,r为定值,且M到O的距离等于r}. 用描述法表示集合的2个步骤 提醒:用描述法表示集合时,不能出现未被说明的字母. [跟进训练] 2.用描述法表示下列集合: (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合; (2)抛物线y=x2-4上的点组成的集合; (3)使函数y=2x-1有意义的实数x组成的集合. [解] (1){(x,y)|x∈R,y=0}. (2){(x,y)|y=x2-4}. (3){x|x≠1}. 类型3 集合表示方法的综合应用 【例3】 集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中只有一个元素,求实数k的值组成的集合. 思路导引:A中只有一个元素 转化 方程kx2-8x+16=0有唯一解. [解] (1)当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,满足题意; (2)当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0有两个相等的实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意. 综上所述,k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为{0,1}. [母题探究] 本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”,其他条件不变,求实数k的取值集合. [解] 由题意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根. ①当k=0时,由-8x+16=0得x=2,符合题意; ②当k≠0时,要使方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根,则Δ=64-64k≥0,即k≤1. 综合①②可知,实数k的取值集合为{k|k≤1}. 解集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用. [跟进训练] 3.若集合A={x|ax2+x+1=0}中至多有一个元素,则实数a的取值范围是________.(用集合表示) aa=0或a≥14 [当a=0时,方程有实数解x=-1,符合题意; 当a≠0时,由Δ=1-4a≤0,解得a≥14. 故实数a的取值范围为aa=0或a≥14.] 1.(2022·黑龙江鸡西市第四中学月考)用列举法表示集合{x|x2-2x-3=0}为( ) A.{1,3} B.{1,-3} C.{(-1,3)} D.{-1,3} D [解x2-2x-3=0可得x1=-1,x2=3,故列举法表示集合{x|x2-2x-3=0}为{-1,3},故选D.] 2.一次函数y=x-3与y=-2x的图象的交点组成的集合是( ) A.{1,-2} B.{x=1,y=-2} C.{(-2,1)} D.{(1,-2)} D [由y=x-3,y=-2x,得x=1, y=-2,∴两函数图象的交点组成的集合是{(1,-2)}.] 3.(多选)由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是( ) A.{-2,0,2,4,6,8,10} B.{0,2,4,6,8,10} C.{x|-3