人教A版高中数学必修第一册第5章章末综合提升课时学案

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类型1　三角函数式的化简与求值 1．对于三角函数的化简与求值问题，要抓住三角函数的同角基本关系及和、差、倍、半角等公式及其变形．特别地，公式cos2α＝1+cos2α2，sin2α＝1-cos2α2常用来降幂． 2．诱导公式可概括为k·π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 3．掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，提升逻辑推理和数学运算素养． 【例1】　(1)化简： 1-cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ＝________． (2)已知sin π4+αsin π4-α＝16，α∈π2，π，则sin4α1+cos2α的值为__________． (1)tanθ2　(2)－4215　[(1)原式＝2sin2θ2+2sin θ2cos θ22cos2θ2+2sin θ2cos θ2 ＝2sin θ2sin θ2+cos θ22cos θ2cos θ2+sin θ2＝sin θ2cos θ2＝tan θ2． (2)∵π4+α＋π4-α＝π2， ∴sin π4+α＝cos π4-α． ∴sin π4+αsin π4-α＝sin π4-αcos π4-α ＝12sin π2-2α＝16，∴sin π2-2α＝13， 即cos 2α＝13． 又α∈π2，π， ∴2α∈(π，2π)，∴sin 2α＝－223． ∴cos2α＝1+cos2α2＝1+132＝23． ∴sin4α1+cos2α＝2×-223×131+23＝－4215．] 类型2　三角函数的图象与性质 1．三角函数的性质包括定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等．研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时，常视“ωx＋φ”为一个整体求解． 2．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象 ①“五点法”作图；②图象伸缩、平移变换． 3．掌握三角函数的图象和性质，培养直观想象和数学运算素养． 　三角函数的图象变换 【例2】　(1)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin 2x+2π3，则下列结论正确的是(　　) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 (2)设函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)A>0，ω>0，-π2<φ<π2，x∈R的部分图象如图所示，则A＋ω＋φ＝________． (1)D　(2)3＋π6　[(1)因为y＝sin 2x+2π3＝cos 2x+2π3-π2＝cos 2x+π6，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移π12个单位长度，得到曲线y＝cos 2x+π12＝cos 2x+π6．故选D． (2)由图可知A＝2，T4＝5π6－π3＝π2，所以T＝2π，所以ω＝1．再根据f π3＝2，得sin π3+φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，即φ＝π6＋2kπ(k∈Z)．又因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，因此A＋ω＋φ＝3＋π6．] 　三角函数的性质 【例3】　(2022·天津南开期末)已知函数f (x)＝2sin π2-xsin x－23cos2x＋3． (1)求f (x)的最小正周期和对称中心； (2)求f (x)的单调递减区间； (3)当x∈π2，π时，求函数f (x)的最大值及取得最大值时x的值． [解]　(1)f (x)＝2sin π2-xsin x－23cos2x＋3 ＝2sin x cos x－23cos2x＋3 ＝sin 2x－23·1+cos2x2＋3 ＝sin 2x－3cos 2x＝2sin 2x-π3， 所以函数y＝f (x)的最小正周期为T＝2π2＝π． 由2x－π3＝kπk∈Z，可得x＝kπ2＋π6k∈Z， 函数y＝f (x)的对称中心为kπ2+π6，0k∈Z． (2)解不等式π2＋2kπ≤2x－π3≤3π2＋2kπk∈Z， 得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12k∈Z． 因此，函数y＝f (x)的单调递减区间为kπ+5π12，kπ+11π12k∈Z． (3)当x∈π2，π时，2π3≤2x－π3≤5π3， 所以当2x－π3＝2π3，即x＝π2时， 函数y＝f (x)取得最大值，最大值为3． 类型3　三角函数模型的应用 1．在几何图形中，引入参数角，用其来表示边等量，这样就会把一些几何的最值问题转化为三角函数的最值问题． 2．通过建立三角函数模型，提升数学建模素养． 【例4】　(2022·山东济宁邹城期中)我市某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和直径MN构成．已知圆O的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形ABCD；喷泉观景区的形状为△CDP．要求端点A，B均在直径MN上，端点C，D均在圆弧MPN上．设OC与直径MN所成的角为θ． (1)试用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积； (2)若在矩形ABCD两侧线段AD，BC的位置架起两座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元(包含桥的宽度费用)，建造喷泉观景区费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为5万元．问：θ的角度为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值．(结果保留整数) [解]　(1)由题意，∠COB＝θ∈0，π2， 易得OB＝cos θ，BC＝sin θ． 所以矩形ABCD的面积为S＝2cos θsin θθ∈0，π2， △CDP的面积为S△CDP＝12×2cos θ(1－sin θ)＝cos θ－sin θcos θθ∈0，π2． (2)设建造观景区所需总费用为F(θ)， 由题意，F(θ)＝16(cos θ－sin θcos θ)＋8×2sin θ＋5，θ∈0，π2， 即F(θ)＝16(sin θ＋cos θ－sin θcos θ)＋5，θ∈0，π2， 令f (θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ，θ∈0，π2， 设sin θ＋cos θ＝t，则2sin θcos θ＝t2－1， 由t＝sin θ＋cos θ＝2sin θ+π4∈(1，2]， 从而f (t)＝－12t2＋t＋12＝－12(t－1)2＋1． 当t＝2，即θ＝π4时，有f (t)min＝2－12． 所以F(θ)的最小值为162-12＋5＝162－3≈20(万元)． 故当θ＝π4时，建造该观该景区总费用最低，且最低费用约为20万元． 章末综合测评(五)　三角函数 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各角中，与27°角终边相同的是(　　) A．63°　　　B．153°　　　C．207°　　　D．387° D　[与27°角终边相同的角的集合为{α|α＝27°＋k·360°，k∈Z}， 取k＝1，可得α＝387°． ∴与27°角终边相同的是387°．] 2．(2022·山东临沂期末)sin 70°sin 40°－sin 50°cos 110°＝(　　) A．12　　　B．－12　　　C．32　　　D．－32 C　[sin 50°＝sin (90°－40°)＝cos 40°； cos 110°＝cos (180°－70°)＝－cos 70°； ∴原式＝sin 70°sin 40°＋cos 40°cos 70° ＝cos 70°-40°＝cos 30°＝32．故选C．] 3．(2022·北京朝阳期中)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，其终边过点P(4，3)，则tan α+π4的值为(　　) A．－7　　　B．－17　　　C．1　　　D．7 D　[由终边过点P(4，3)，可得tan α＝34，所以tan α+π4＝tanα+tan π41-tanαtan π4＝34+11-34＝7．故选D．] 4．(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　) A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0 C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0 D　[由题意，知－π2＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，所以－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0．故选D．] 5．若cos π2+α＝－45，且α∈π2，π，则sin (π－2α)等于(　　) A．2425　　　B．1225　　　C．－1225　　　D．－2425 D　[∵cos π2+α＝－sin α＝－45，即sin α＝45，又α∈π2，π，∴cos α＝－1-sin2α＝－35，则sin (π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425．] 6．函数f (x)＝3cos x－3sin x的图象的一条对称轴方程是(　　) A．x＝5π6 B．x＝2π3　 C．x＝π3 D．x＝－π3 A　[∵f (x)＝3cos x－3sin x＝2332cos x-12sin x＝23cos x+π6，∴函数的对称轴方程为x＋π6＝kπ，k∈Z，即x＝kπ－π6，k∈Z，∴当k＝1时，x＝5π6是其中的一条对称轴方程．故选A．] 7．已知函数f (x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　) A．f (x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f (x)的最小正周期为π，最大值为4 C．f (x)的最小正周期为2π，最大值为3 D．f (x)的最小正周期为2π，最大值为4 B　[易知f (x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝32(2cos2x－1)＋32＋1＝32cos 2x＋52，则f (x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f (x)取得最大值，最大值为4．故选B．] 8．(2022·天津高考)已知f (x)＝12sin 2x，关于该函数有下列四个说法： ①f (x)的最小正周期为2π； ②f (x)在-π4，π4上单调递增； ③当x∈-π6，π3时，f (x)的取值范围为-34，34； ④f (x)的图象可由g(x)＝12sin 2x+π4的图象向左平移π8个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 A　[因为f (x)＝12sin 2x，所以f (x)的最小正周期为T＝2π2＝π，①错误；令t＝2x∈-π2，π2，而y＝12sin t在-π2，π2上单调递增，所以f (x)在-π4，π4上单调递增，②正确；因为t＝2x∈-π3，2π3，sin t∈-32，1，所以f (x)∈-34，12，③错误；由于g(x)＝12sin 2x+π4＝12sin 2x+π8，所以f (x)的图象可由g(x)＝12sin 2x+π4的图象向右平移π8个单位长度得到，④错误．故选A．] 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．(2022·山东潍坊期末)在下列函数中，同时满足：①在0，π2上单调递增；②以2π为最小正周期；③是奇函数的是(　　) A．y＝tan x3 B．y＝cos x C．y＝tan x2 D．y＝sin x CD　[对于A选项，当00)在区间π3，π上有且仅有一个零点，则ω的取值可以为(　　) A．14　　　B．23　　　C．1　　　D．2 BD　[令2sin ωx-π3＝0，则ωx－π3＝kπ，k∈Z，解得ω＝k+13πx，k∈Z， 又因为x∈π3，π， 故k+13πx∈k+13，3k+1，k∈Z， 故ω∈k+13，3k+1，k∈Z， 又函数y＝2sin ωx-π3(ω>0)在区间π3，π上有且仅有一个零点， 故当k＝0时，ω∈13，1，或当k＝1时，ω∈43，4； 结合选项可知：ω可以为23或2．故选BD．] 11．(2022·广东深圳中学月考)在锐角三角形ABC中，sin A＝2sin B sin C，则下列等式中正确的是(　　) A．tan B＋tan C＝2tan B tan C B．tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C C．tan (B＋C)＝2tan B tan C D．tan A tan B tan C＝1 AB　[由sin A＝2sin B sin C，得sin (B＋C)＝sin B cos C＋sin C cos B＝2sin B sin C， 等式两边同时除以cos B cos C，所以tan B＋tan C＝2tan B tan C，故选项A正确；由tan (A＋B)＝tanA+tanB1-tanAtanB＝tan (π－C)＝－tan C，得tan A＋tan B＝tan A tan B tan C－tan C，所以tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C，故选项B正确；假设tan (B＋C)＝2tan B tan C，由选项A得tan (B＋C)＝tan B＋tan C，所以－tan A＝tan B＋tan C，所以tan A＋tan B＋tan C＝0，因为△ABC是锐角三角形，所以tan A>0，tan B>0，tan C>0，所以tan A＋tan B＋tan C>0，与tan A＋tan B＋tan C＝0矛盾，所以选项C错误；假设tan A tan B tan C＝1，所以tan B tan C＝1tanA，由选项A得tan B＋tan C＝2tanA＝2-tanB+C＝21-tantanC-tanB+tanC，化简得tan2B＋tan2C＝－2，显然不成立，所以选项D错误．] 12．已知函数f (x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．函数f (x)的图象关于直线x＝π2对称 B．函数f (x)的图象关于点-π12，0对称 C．函数f (x)在区间-π3，π6上单调递增 D．函数y＝1与y＝f (x)-π12≤x≤23π12的图象的所有交点的横坐标之和为8π3 BCD　[由函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<|φ|<π)的图象可得， A＝2，T4＝2π3－5π12＝π4，因此T＝π， 所以ω＝2ππ＝2， 所以f (x)＝2sin (2x＋φ)，又f (x)过点2π3，-2， 因此4π3＋φ＝3π2＋2kπ，k∈Z，又0<|φ|<π， 所以φ＝π6， 所以f (x)＝2sin 2x+π6． 当x＝π2时，f π2＝－1，故A错误； 当x＝－π12时，f -π12＝0，故B正确； 当x∈-π3，π6时，2x＋π6∈-π2，π2，所以f (x)＝2sin 2x+π6在x∈-π3，π6上单调递增，故C正确； 由f (x)＝2sin 2x+π6＝1，得sin 2x+π6＝12，∴2x＋π6＝π6＋2kπ或2x＋π6＝5π6＋2kπ，k∈Z．取k＝0，得x＝0或π3；取k＝1，得x＝π或4π3．∴函数y＝1与y＝f (x)-π12≤x≤23π12的图象的所有交点的横坐标之和为0＋π3＋π＋4π3＝8π3，故D正确．故选BCD．] 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为10 cm，则扇形的面积是________ cm2． 50π3　[根据题意得：圆心角为60°，即π3，S扇形＝12αr2＝12×π3×102＝50π3(cm2)．] 14．已知cos (45°＋α)＝513，则cos (135°－α)＝________． －513　[cos (135°－α)＝cos [180°－(45°＋α)] ＝－cos (45°＋α)＝－513．] 15．当x∈-π2，π2时，关于x的方程3sin x－cos x－m＝0有解，则实数m的取值范围为________． [－2，3]　[由题意知，关于x的方程3sin x－cos x－m＝0，即3sin x－cos x＝m在x∈-π2，π2上有解，则函数y＝3sin x－cos x＝2sin x-π6的图象与直线y＝m在-π2，π2上有交点，如图， 由图象易得，－2≤m≤3．] 16．(2022·浙江高考)若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝________，cos 2β＝________． 31010　45　[3sin α－sin π2-α＝10， ∴3sin α－cos α＝10，又sin2α＋cos2α＝1， 则sinα=31010，cosα=-1010，cos 2β＝2cos2β－1＝2sin2α－1＝45．] 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)A，B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限，记∠AOB＝θ，且sin θ＝45． (1)求点B的坐标； (2)求sinπ+θ+2sin π2-θ2tanπ-θ的值． [解]　(1)设点B坐标为(x，y)，则y＝sin θ＝45． 因为点B在第二象限，x＝cos θ＝－35， 所以点B坐标为-35，45． (2)tan θ＝yx＝－43，∴sinπ+θ+2sin π2-θ2tanπ-θ＝-sinθ+2cosθ-2tanθ＝-45-6583＝－34． 18．(本小题满分12分)(2022·江苏南京期末)已知α，β为锐角，tan α＝2，sin (α－β)＝1010． (1)求cos 2α的值； (2)求β的值． [解]　(1)因为tan α＝2， 所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α-sin2αcos2α+sin2α＝1-tan2α1+tan2α＝－35． (2)因为α，β为锐角，则－π2<α－β<π2， 而sin (α－β)＝1010，则cos (α－β)＝1-sin2α-β＝31010， 所以tan (α－β)＝13， 所以tan β＝tan [α－(α－β)]＝tanα-tanα-β1+tanαtanα-β＝2-131+2×13＝1， ∴β＝π4． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝sin 2x+π6． (1)请用“五点法”列表并画出函数f (x)在[0，π]上的图象； (2)若函数y＝f (x)的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的单调增区间． [解]　(1)列表如下： 函数f (x)在[0，π]上的图象如下： (2)函数y＝f (x)的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin x+π6，再向右平移π3个单位长度，得到g(x)＝sin x+π6-π3＝sin x-π6， 令－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπk∈Z，解得－π3＋2kπ≤x≤2π3＋2kπk∈Z， 所以y＝g(x)的单调增区间为-π3+2kπ，2π3+2kπk∈Z． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)A>0，ω>0，φ<π2的最小正周期为4π． (1)从①f -π3＝0；②f -2π3＝－1；③∀x∈R，都有f (x)≤f 2π3这三个条件中，选择合适的两个条件，求函数f (x)的解析式； (2)求(1)中所求得的函数f (x)在区间-2π3，π3上的最大值和最小值． 注：如果选择多个条件解答，则按第一个解答计分． [解]　(1)因为函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)A>0，ω>0，φ<π2的最小正周期为4π，所以4π＝2πω，可得ω＝12． 选①②时，因为f -π3＝0，所以sin 12×-π3+φ＝0， 所以φ－π6＝kπ，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ＝π6， 而f -23π＝－1， 所以A sin 12×-23π+π6＝－1， 即A sin -π6＝－1，所以A＝2， 所以f (x)＝2sin 12x+π6． 选②③时，因为任意x∈R，都有f (x)≤f 2π3， 所以x＝2π3时取得最大值， 即12×2π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z， 而|φ|<π2，解得φ＝π6． 而f -23π＝－1， 所以A sin 12×-23π+π6＝－1，解得A＝2， 所以f (x)＝2sin 12x+π6． (2)因为f (x)＝2sin 12x+π6，x∈-2π3，π3， 则12x＋π6∈-π6，π3， 所以sin 12x+π6∈-12，32， 所以f (x)＝2sin 12x+π6∈[－1，3]， 且x＝－2π3时函数取得最小值－1，x＝π3时函数取得最大值3．所以函数在x∈-2π3，π3上的最小值为－1，最大值为3． 21．(本小题满分12分)如表所示的是某地2000～2021年的月平均气温(华氏度)． 以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系． (1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据； (2)求这个函数的周期； (3)估计这个正弦曲线的振幅A； (4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？ ①yA＝cos πx6；②y-46A＝cos πx6；③y-46-A＝cos πx6；④y-26A＝sin πx6． [解]　(1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示． (2)1月份的平均气温最低，为21.4华氏度，7月份的平均气温最高，为73.0华氏度，根据散点图知T2＝7－1＝6，∴T＝12． (3)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，∴A＝25.8． (4)∵x＝月份－1， ∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0， 代入①，得yA＝26.025.8>1≠cos π6，∴①不适合． 代入②，得y-46A＝26.0-4625.8<0≠cos π6， ∴②不适合，同理，④不适合，∴③最适合． 22．(本小题满分12分)(2022·湖南长沙长郡中学期末)如图，风景区的形状是如图所示的扇形OAB区域，其半径为4千米，圆心角为60°，点C在弧AB上．现在风景区中规划三条商业街道DE、CD、CE，要求街道DC与OA平行，交OB于点D，街道DE与OA垂直(垂足E在OA上)． (1)如果弧BC的长为弧CA长的三分之一，求三条商业街道围成的△CDE的面积； (2)试求街道CE长度的最小值． [解]　(1)如图，连接OC，过C作CR⊥OA，垂足为R．当弧BC的长为弧CA长的三分之一时，∠COR＝45°，在△COR中，OC＝4，CR⊥OA，故CR＝22，OR＝22．在△ODE中，DE＝CR＝22，∠DOR＝60°，所以DEOE＝tan 60°＝3，则OE＝263，所以CD＝RE＝22－263＝62-263，可得△CDE的面积S＝12·CD·DE＝12·62-263·22＝12-433(平方千米)． (2)设∠COA＝θ(0<θ<π3)，则CR＝4sin θ，OR＝4cos θ，DE＝CR＝4sin θ， 又DEOE＝tan 60°＝3，则OE＝433sin θ， 所以CD＝ER＝4cos θ－433sin θ． 在Rt△CDE中，CE2＝CD2＋DE2＝(4cos θ－433sinθ2＋(4sin θ)2 ＝563－83(23sin 2θ＋cos 2θ)＝563－8133sin (2θ＋φ)， 其中tan φ＝360<φ<π2． 因为0<θ<π3，所以φ<2θ＋φ<2π3＋φ，又0<φ<π2，所以当2θ＋φ＝π2时，CE2有最小值为56-8133， 即CEmin＝56-8133＝239-233． 综上，街道CE长度的最小值为239-233千米． x0π65π122π311π12π2x＋π6π6π2π3π22π13π6f (x)1210－1012月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7