2022-2023学年北京市海淀区清华附中七年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2022-2023学年北京市海淀区清华附中七年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2022年12月底，某市统计局发布本年度经济运行情况.根据地区生产总值统一核算结果，今年本市实现地区生产总值约2931亿元.数据2931亿用科学记数法表示为( )
A. 2.931×1012B. 29.31×1011C. 0.2931×1011D. 2.931×1011
2.若a>b，则下列不等式正确的是( )
A. ab>1B. ba<1C. ac2>bc2D. −b>−a
3.若a+b=2，则代数式(ab−1)⋅2ba2−b2的值为( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
4.已知有理数a，b，c满足a−b+c−3=0，a2+b2+c2−3=0，则a3+b3+c3−2022=( )
A. −2019B. −2020C. −2021D. −2022
5.某同学去蛋糕店买面包，面包有A、B两种包装，每个面包品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下：若某同学正好买了40个面包，则他最少需要花元.( )
A. 50B. 49C. 52D. 51
6.已知关于x的不等式ax+b>0的解集是x<1，则关于x的不等式bx−ax−5>0的解集是( )
A. −15C. x<1或x>5D. x>5
7.已知a，b，c为实数，且b+c=8−5a+3a2，b−c=4−3a+a2，则a，b，c之间的大小关系是( )
A. a8.关于x的不等式组1−x2+x3≤1xA. 2B. 0C. −4D. 不存在符合条件的m
二、填空题（本大题共8小题，共16分）
9.使 a+5有意义的a的取值范围是______ .
10.已知m2−8m+1=0，则2m2−8m+1m2=______ .
11.设x，y满足(x−1)3+4044y=2022，(y−1)3+4044x=6066，则(x+y)3=______ .
12.已知x、y是有理数，且x、y满足2x2+3y+ 2y=14−6 2，则x+y=______ .
13.已知关于x的方程xx−5−m5−x=−1的解大于1，则实数m的取值范围是______ .
14.已知x+y+7z=0，x−y−3z=0(xyz≠0)，则2x+y+z2x−y+z=______ .
15.如果a，b为定值，关于x的一次方程kx+2a2−x−bk6=12，无论k为何值时，它的解总是1，则6a+b=______ .
16.为促进春节消费，某黄金首饰店决定在假期开展一次“力度空前”的促销活动.活动方案如下：在收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个(除颜色外大小、形状、质地等完全相同)，顾客购买的商品达到一定金额可获得一次抽奖机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金100元、60元、30元.商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为4180元，第三时段返现金额比第一时段多600元，则第二时段返现金额为______ 元.
三、计算题（本大题共1小题，共5分）
17.解不等式组：8(x−1)>5x−17x−6≤x−102.
四、解答题（本大题共11小题，共83分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.(本小题4分)
有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，化简：|a+2b|−3|a−c|−2|b+c|.
19.(本小题16分)
解下列方程或不等式(组)：
(1)ax+b=x+ab2；
(2)(m+1)x≥m3+1；
(3)(x−1)(|x|−6)≥0；
(4)2x+a>03x<9a.
20.(本小题16分)
分解因式：
(1)8a3b2+28ab3c；
(2)a4−64；
(3)x2+(2a+3)x+(a2+3a)；
(4)4x2+4xy+12x+6y+y2+8.
21.(本小题5分)
已知最简二次根式2x−102x+y−5和 x−3y+10是同类二次根式，求x2+y2的平方根.
22.(本小题5分)
列分式方程解应用题：
为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品.在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用3150元购买甲种跳绳与用3900元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？
23.(本小题5分)
当m为何值时，多项式6x2+mxy−5y2−15x+38y−21可以分解为两个关于x，y的一次三项式的乘积？
24.(本小题6分)
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中著)两种书共50本.已知购买2本《北上》和1本《牛风记》需110元；购买8本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同.若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1930元.请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
25.(本小题6分)
已知关于x的分式方程2x−3+mxx2−9=5x+3.
(1)若这个方程的解是负数，求m取值范围；
(2)若这个方程无解，则m=______ .(直接写出答案)
26.(本小题6分)
我们把形如x+abx=a+b(a,b不为零)，且两个解分别为x1=a，x2=b的方程称为“十字分式方程”.例如x+3x=4为十字分式方程，可化为x+1×3x=1+3，∴x1=1，x2=3.
再如x+8x=−6为十字分式方程，可化为x+(−2)×(−4)x=(−2)+(−4)，∴x1=−2，x2=−4.
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若x+24x=−11为十字分式方程，则x1=______ ，x2=______ ；
(2)若十字分式方程x−12x=4的两个解分别为x1=m，x2=n，求nm+mn的值.
27.(本小题7分)
为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名(x为正整数且45≤x≤75)，调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入调整为a((25+x)m6x)万元.
(1)若这(100−x)名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______ 人；
(2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件：
①研发人员的年人均投入不超过(m−2)a；
②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.
请说明理由.
28.(本小题7分)
有若干个正数的和为1275，其中每个正数都不大于50.小明将这些正数按下列要求进行分组：
①每组中所有数的和不大于150；
②从这些数中选择一些数构成第1组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其它选择相比是最小的，将r1称为第1组的余差；
③在去掉已选入第1组的数后，对余下的数按第1组的选择方式构成第2组，这时的余差为r2；
④如此继续构成第3组(余差为r3)、第4组(余差为r4)、…，第m组(余差为rm)，直到把这些数全部分完为止.
(1)除第m组外的每组至少含有______ 个正数；
(2)小明发现，按照要求进行分组后，得到的余差满足r1≤r2≤…≤rm，并且当构成第n(n”或“<”)，并证明150−rn−1<1125n−1；
(3)无论满足条件的正数有多少个，按照分组要求，它们最多可以分成______ 组(直接写出答案).
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2931亿=293100000000=2.931×1011.
故选：D.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】D
【解析】解：A、当b=0时，原变形错误，故该选项不符合题意；
B、当a=0时，原变形错误，故该选项不符合题意；
C、当c=0时，原变形错误，故该选项不符合题意；
D、由a>b，可得−a<−b，即−b>−a，原变形正确，故该选项符合题意；
故选：D.
根据不等式的性质解答即可．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】A
【解析】解：原式=a−bb⋅2b(a+b)(a−b)
=2a+b，
当a+b=2时，
原式=22=1，
故选：A.
根据分式的乘除运算进行化简，然后将a+b=2代入即可求出答案．
本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
4.【答案】C
【解析】解法一：解：根据题意，可令a=1，b=−1，c=1，明显符合条件要求，
则a3+b3+c3−2022=1−1+1−2022=−2021.
故选：C.
解法二：解：∵a−b+c−3=0，
∴a−b+c=3，
∴(a−b+c)2=a2+b2+c2+2(ac−ab−bc)=9，
∵a2+b2+c2−3=0，即a2+b2+c2=3，
∴ac−ab−bc=3，
∴a2+b2+c2−3=a2+b2+c2−ac+ab+bc=0，
∴2(a2+b2+c2−ac+ab+bc)=a2+2ab+b2+b2+2bc+c2+a2−2ac+c2=(a+b)2+(b+c)2+(a−c)2=0，
∵(a+b)2≥0，(b+c)2≥0，(a−c)2≥0，
∴a+b=0，b+c=0，a−c=0，
∴a=c=−b，
∴a−b+c=a−(−a)+a=3a=3，
∴a=c=1，b=−1，
∴原式=1−1+1−2022=−2021.
故答案为：C.
解法一：根据题意，可令a=1，b=−1，c=1，再将其代入所求式子中即可求解．
解法二：由题意可知，a−b+c=3，a2+b2+c2=3，由(a−b+c)2=a2+b2+c2+2(ac−ab−bc)=9可得ac−ab−bc=3，则a2+b2+c2−3=a2+b2+c2−ac+ab+bc=0，2(a2+b2+c2−ac+ab+bc)=(a+b)2+(b+c)2+(a−c)2=0，以此可得a=c=−b，将其代入a−b+c−3=0可得a=c=1，b=−1，最后代入所求式子中即可求解．
本题主要考查因式分解的应用，根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入是解题关键．此题也可通过特殊值法解答．
5.【答案】D
【解析】解：设购买A包装面包x盒，B包装面包y盒，
由题意得：4x+6y=40，
解得x=7y=2或x=4y=4或x=1y=6
当x=7，y=2时，费用为：5×7+8×2=51(元)；
当x=4，y=4时，费用为：5×4+8×4=52(元)；
当x=1，y=6时，费用为：5×1+8×6=53(元)；
∵51<52<53，
∴某同学正好买40个面包时，他最少需要花51元，故D正确．
故选：D.
设购买A包装面包x盒，B包装面包y盒，由题意：某同学正好买了40个面包，结合表中信息列出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题．
本题主要考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵ax+b>0的解集是x<1，
∴a<0，且−ba=1，
∴ba=−1，
∴不等式bx−ax−5>0等价于bx−a>0x−5>0或bx−a<0x−5<0，
解得：x>5或x<−1，
故选：B.
先根据第一个不等式求出a，b的关系，再解第二个不等式．
本题考查了不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：{b+c=8−5a+3a2①b−c=4−3a+a2②，
①+②得，2b=4a2−8a+12，
b=2a2−4a+6，
①-②得，2c=2a2−2a+4，
c=a2−a+2.
∴c−a
=(a2−a+2)−a
=a2−2a+2
=(a−1)2+1，
∵(a−1)2≥0，
∴(a−1)2+1>0，
即c−a>0，
∴c>a，
∵b−c
=2a2−4a+6−a2+a−2
=a2−3a+4
=(a−32)2+74≥74>0，
∴b>c，
∴b>c>a，即a故选B.
根据b+c与b−c的值求得b和c的值用含有a的式子表示，然后计算c−a，与0比较大小，从而得出a与c的大小，根据b−c的式子变形，与0比较大小，从而得出c与b的大小，进而得出a，b，c的大小．
本题考查整式加减的应用及实数大小比较，熟悉作差与0比的方法是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：解不等式组得：−3≤x由题意得：−3∴−9解分式方程得：x=3m−1，且3m−1≠1，且m≠1，
∴m的整数解为：2或−2或0，
∴−2+2+0=0，
故选：B.
先根据题意求出m的范围，再求出方程的解，根据整数解求出m的值，再求和．
本题考查了分式方程和不等式组，求不等式组的解集是解题的关键．
9.【答案】a≥−5
【解析】解：根据题意，得
a+5≥0，
解得，a≥−5；
故答案为：a≥−5.
二次根式的被开方数的非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10.【答案】61
【解析】解：∵m2−8m+1=0，m≠0，
∴m+1m=8，m2−8m=−1，
两边平方得：(m+1m)2=64，
∴m2+1m2+2=64，即m2+1m2=62，
则原式=(m2−8m)+(m2+1m2)
=−1+62
=61.
故答案为：61.
根据m不为0，已知等式两边除以m表示求出m+1m的值，平方并利用完全平方公式化简求出m2+1m2的值，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】8
【解析】解：(x−1)3+4044y=2022①，
(y−1)3+4044x=6066②，
由①+②，得
(x−1)3+4044(x+y)+(y−1)3=8088，即(x+y−2)[(y−1)2−(x−1)(y−1)+(x−1)2+4044]=0，
∵(y−1)2−(x−1)(y−1)+(x−1)2+4044≥0恒成立，
∴x+y−2=0，
∴x+y=2.
∴(x+y)3=8，
故答案为：8.
先将已知条件的两个等式相加，然后利用立方差公式a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)将其整理为两式之积为零的形式：(x+y−2)[(y−1)2−(x−1)(y−1)+(x−1)2+4044]=0，并求x+y的值，于是得到结论．
本题主要考查了整式的化简求值，立方差公式的应用．解答该题时需要熟记立方差公式a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2).
12.【答案】−2或−10
【解析】解：∵x、y是有理数，且x、y满足2x2+3y+ 2y=14−6 2，
∴ 2y=−6 2，
∴y=−6，
∴2x2+3y=14，即2x2+3×(−6)=14，
∴x=±4，
∴x+y=−2或−10，
故答案为：−2或−10.
根据题意可知，有理数的x，y必须满足 2y=−6 2，y=−6，进而求出x的值，再求x+y的值．
本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握有理数和无理数的定义．
13.【答案】m<3且m≠−5
【解析】解：方程两边同乘以x−5得：x+m=5−x，
解这个整式方程得：x=5−m2，
由题意得：5−m2>1且5−m2≠5，
解得：m<3且m≠−5，
故答案为：m<3且m≠−5.
先把分式方程化为整式方程并求解，再根据题意列不等式组求解．
本题考查了分式方程，掌握分式检验的必要性是解题的关键．
14.【答案】−4
【解析】解：x+y+7z=0①，
x−y−3z=0②，
①-②，得2y+10z=0，即y=−5z，
①+②，得2x+4z=0，即x=−2z，
∴2x+y+z2x−y+z=−4z−5z+z−4z+5z+z=−8z2z=−4.
故答案为：−4.
在x+y+7z=0，x−y−3z=0中，未知数系数相同， xy的系数互为相反数，通过两个式子相减或相加，即可用z的代数式表示出x、y，进而得出答案．
本题考查了解三元一次方程组，正确用z的代数式表示出x、y是解答本题的关键．
15.【答案】1
【解析】解：将x=1代入原方程得k+2a2−1−bk6=12，
∴3k+6a−1+bk=3，
∴3k+bk=4−6a，
∴(3+b)k=4−6a.
根据题意得：3+b=04−6a=0，
解得：a=23b=−3，
∴6a+b=6×23−3=1.
故答案为：1.
将x=1代入原方程，整理后可得出(3+b)k=4−6a，结合原方程的解与k值无关，可得出关于a，b的方程，解之即可得出a，b的值，再将其代入6a+b中，即可求出结论．
本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”是解题的关键．
16.【答案】2100
【解析】解：设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，4b，2c.由题意得：500a+420b+210c=4180(100a+240b+60c)−(100a+60b+30c)=600，
即50a+42b+21c=4186b+c=20，
∵a，b，c均是正整数，根据6b+c=20可得：
b=1c=14或b=2c=8或b=3c=2，
当b=1c=14时，a=1.64不符合题意；
当b=2c=8时，a=3.32不符合题意；
当b=3c=2时，a=5符合题意；
∴第二时段返现金额为：5×3×100+2×3×60+4×2×30=2100(元).
故答案为：2100.
设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，4b，2c.根据题意得到关于a，b，c方程组，根据a，b，c均为正整数，求解即可．
本题主要考查了求方程组的正整数解，根据题意得到方程组，求出方程组的整数解是解题关键．解题时注意题目中隐含条件a，b，c均为正整数．
17.【答案】解：{8(x−1)>5x−17①x−6⩽x−102②，
解不等式①，得x>−3，
解不等式②，得x≤2，
∴原不等式组的解为：−3【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：根据数轴可知，a∴a+2b<0，a−c<0，b+c>0，
|a+2b|=−(a+2b)，|a−c|=c−a，|b+c|=b+c，
∴|a+2b|−3|a−c|−2|b+c|
=−(a+2b)−3(c−a)−2(b+c)
=−a−2b−3c+3a−2b−2c
=2a−4b−5c.
【解析】根据图形判断a、b、c的符号，以及绝对值中三个式子的符号，再去绝对值化简．
本题考查了绝对值和数轴．注意数轴上a、b、c的位置，以及他们与原点的距离远近，关键在于判断题干绝对值符号里面各个式子的符号，进而化简得出结果．
19.【答案】解：(1)ax+b=x+ab2，
ax−x=ab2−b，
(a−1)x=b(ab−1)，
当a≠1时，
x=b(ab−1)a−1；
(2)(m+1)x≥m3+1，
(m+1)x≥(m+1)(m2−m+1)，
当m≠−1时，
x≥m2−m+1；
(3)(x−1)(|x|−6)≥0，
当x≥1时，|x|−6≥0，
∴x≥6，
当x≤1时，|x|−6≤0，
∴−6≤x≤1，
∴原不等式的解为x≥6或−6≤x≤1；
(4){2x+a>0①3x<9a②
解不等式①得2x>−a，
∴x>−a2，
解不等式②得x<3a，
∴原不等式组的解为−a2【解析】根据解一元一次方程、解不等式(组)的方法步骤解答即可．
本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式(组)，解题的关键是掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解).
20.【答案】解：(1)原式=4ab2(2a2+7bc)；
(2)原式=(a2+8)(a2−8)
=(a2+8)(a+2 2)(a−2 2)；
(3)原式=(x+a)(x+a+3)；
(4)原式=(4x2+4xy+y2)+(12x+6y)+8
=(2x+y)2+6(2x+y)+8
=(2x+y+2)(2x+y+4).
【解析】(1)直接提公因式即可进行因式分解；
(2)利用平方差公式进行因式分解即可；
(3)利用十字相乘法进行因式分解即可；
(4)利用完全平方公式和十字相乘法检测原式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法以及十字相乘法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
21.【答案】解：由题意可知，
2x+y−5=x−3y+10，2x−10=2，
解得x=6，y=94，
∴x2+y2=36+8116=65716，
∴x2+y2的平方根为±3 734.
【解析】根据最简二次根式、同类二次根式的定义求出x、y的值，再代入计算即可．
本题考查同类二次根式，最简二次根式以及平方根，理解同类二次根式，最简二次根式以及平方根的定义是正确简单的前提．
22.【答案】解：设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为(x+10)元，
由题意得：3150x=3900x+10，
解得：x=42，
经检验，x=42是原方程的解，且符合题意，
则x+10=52，
答：甲种跳绳的单价为42元，乙种跳绳的单价为52.
【解析】设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为(x+10)元，由题意：3150元购买甲种跳绳与用3900元购买乙种跳绳的数量相同，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】解：利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式，
6x2+mxy−5y2−15x+38y−21中6x2−15x−21三项应当分解为：(2x−7)(3x+3)；
现在要考虑y，只须先改写作(2x−7+ay)(3x+3+by)；
然后根据−5y2，38y这两项式，即可断定是：3a−7b=38ab=−5，
解得：a=1，b=−5，或a=353，b=−37.
又∵m=3a+2b，
∴当a=1，b=−5时，m=3−10=−7；
当a=353，b=−37时，m=35−67=2397.
故当m为−7或2397时，多项式6x2+mxy−5y2−15x+38y−21可以分解为两个关于x，y的一次三项式的乘积．
【解析】本题先研究x，将x项和常数项进行十字相乘分解，然后设出两个因式，相乘得到的结果与原多项式比较，可列出方程，从而得到结果，然后得到m的值．
本题考查运用十字相乘法与待定系数法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
24.【答案】解：设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，
由题意得：2x+y=1108x=7y，
解得x=35y=40.
∴购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
设购买《北上》的数量为n本，则购买《牵风记》的数量为(50−n)本，
根据题意得n≥12(50−n)35n+40(50−n)≤1930，
解得：n≥1623，
则n可以取17、18、19、20，
当n=17时，50−n=33，共花费17×35+33×30=1585(元)；
当n=18时，50−n=32，共花费18×35+32×30=1590(元)；
当n=19时，50−n=31，共花费19×35+31×30=1595(元)；
当n=20时，50−n=30，共花费20×35+30×30=1600(元)；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．
【解析】设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同”建立方程组求解即可；设购买《北上》的数量为n本，则购买《牵风记》的数量为(50−n)本，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．
本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．
25.【答案】3或10或−4
【解析】解：(1)方程两边同乘以(x+3)(x−3)得：2(x+3)+mx=5(x−3)，
解得：x=213−m
由题意得：213−m<0，213−m≠±3，
解得：m>3且≠10；
(2)由(1)得：2(x+3)+mx=5(x−3)，
由题意得：m−3=0或213−m=±3，
解得：m=3或m=10或m=−4，
故答案为：3或10或−4.
(1)先把方程化为整式方程，再根据题意求解；
(2)根据：“分式方程无解，则整式方程无解，或是增根”求解．
本题考查了分式方程，化分式方程为整式方程是解题的关键．
26.【答案】−3−8
【解析】解：(1)方程变形得：x+(−3)×(−8)x=(−3)+(−8)，
则x1=−3，x2=−8；
故答案为：−3，−8；
(2)方程变形得：x+6×(−2)x=6+(−2)，
∴x1=m=6，x2=n=−2，
则原式=−26+6−2=−313.
(1)根据题中“十字分式方程”的解法求出所求即可；
(2)根据题中“十字分式方程”的解法确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了解分式方程，分式方程的定义，以及分式方程的解，弄清题意是解本题的关键．
27.【答案】75
【解析】解：(1)解：由题意可得：
(100−x)(1+4x%)a>100a，(a>0)
解得：0又…45≤x≤75，
∴45≤x≤75
即调整后的技术人员最多有75人；
(2)解：由①②可得
(1+4x%)a≤(m−2)a,(100−x)(1+4x%)a≥a((25+x)m6x)，
解得x25+3≤m≤600−6x25，
又∵x为正整数且45≤x≤75，
当x=75时，x25+3最大，最大为7525+3=6；
当x=75时600−6x25最小，最小为600−45025=6，
综上，存在m=6，满足题意．
(1)根据题意，求得这100−x名研发人员的年总投入和调整前100名技术人员的年总投入，列不等式求解即可；
(2)由①可得(1+4x)%a≤(m−2)a，由②(100−x)(1+4x%)a>a((25+x)m6x)，根据题意，求解不等式组即可．
此题考查了不等式(组)的求解，解题的关键是理解题意，找到不等式关系，正确列出不等式．
28.【答案】3>11
【解析】解：(1)由题意可得r1≤r2≤…≤rm，
∵每组中所有数的和不大于150，
∴r1≥0，
∴每组至少有150÷50=3个数，
故答案为：3；
(2)∵n∴分完n组后还有数没有分，
∴余下的每一个数都大于rn，余下的数的和一定大于rn，
∵第一组数的和为150−r1，第二组数的和为150−r2，……，第n−1组数的和为150−rn−1，第n组数的和为150−rn，
∴1275−(150−r1)−(150−r2)−…−(150−rn−1)−(150−rn)>rn，
∴1275−150n+(r1+r2+…+rn)>rn，
∴r1+r2+…+rn−1>150n−1275，
∵r1≤r2≤…≤rn−1，
∴(n−1)rn−1≥r1+r2+…+rn−1，
∴(n−1)rn−1>150n(n−1)+150−1275，
∴150−rn−1<1125n−1；
(3)由(2)知，rn−1>150n−1275n−1，
设最多可以分成x组，则第x组后还有数没有分完，
∴余下的每一个数都大于rx，且rx≥rx−1，
∴余下的每个数>rx≥rx−1>150x−1275x−1，
∵每一组至少含有3个数，
∴第x组的数的和大于150x−1275x−1×3，
∴rx<150−150x−1275x−1×3，
∴150−150x−1275x−1×3≥150x−1275x−1，
∴n≤11，
∴最多可以分11组，
故答案为：11.
(1)由题意可得r1≤r2≤…≤rm，则r1≥0，当r1=0时，可知每组至少3个数；
(2)根据题意可知，余下的每一个数都大于rn，余下的数的和一定大于rn，第一组数的和为150−r1，第二组数的和为150−r2，……，第n−1组数的和为150−rn−1，第n组数的和为150−rn，则1275−(150−r1)−(150−r2)−…−(150−rn−1)−(150−rn)>rn，再由r1≤r2≤…≤rn−1，根据不等式的性质可得(n−1)rn−1≥r1+r2+…+rn−1，得到(n−1)rn−1>150n(n−1)+150−1275，即可证明；
(3)由(2)知，rn−1>150n−1275n−1，设最多可以分成x组，则第x组后还有数没有分完，根据余下的每个数>rx≥rx−1>150x−1275x−1，每一组至少含有3个数，则第x组的数的和大于150x−1275x−1×3，即可得到rx<150−150x−1275x−1×3，再由150−150x−1275x−1×3≥150x−1275x−1，求出n≤11，即可求解．
本题考查数字的变化规律，弄清条件，结合不等式的性质，适当的放缩不等式是解题的关键．A包装盒
B包装盒
每盒面包个数(个)
4
6
每盒价格(元)
5
8