2022-2023学年北京市大兴区亦庄实验中学七年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2022-2023学年北京市大兴区亦庄实验中学七年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知A在B的南偏西30∘方向上，C在B的北偏西40∘方向上，则∠ABC为( )
A. 110∘B. 70∘C. 10∘D. 170∘
2.已知a是任意有理数，在下面各题中结论正确的个数是( )
①方程ax=0的解是x=1；②方程ax=a的解是x=1；③方程ax=1的解是x=1a；④方程|a|x=a的解是x=±1.
A. 0B. 1C. 2D. 3
3.如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角。在下列选项中，不能画出的角度是( )
A. 18∘B. 55∘C. 63∘D. 117∘
4.当x=1时，代数式px3+qx+1的值为2022，则当x=−1时，代数式px3+qx+1的值为( )
A. −2019B. −2020C. −2021D. −2022
5.在某电视台的少儿益智类节目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于个正方体的重量．( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
6.相同规格(长为14，宽为8)的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，有如图所示的甲、乙两种方案，所得长方体体积分别记为：V甲和V乙.下列说法正确的是( )
A. V甲>V乙B. V甲=V乙C. V甲7.中百超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元，不享受优惠；(2)一次性购物超过100元，但不超过350元一律9折；(3)一次性购物超过350元一律8折．王波两次购物分别付款80元、288元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款( )
A. 320元B. 332元C. 320元或352元D. 332元或363元
8.如图，∠BOC在∠AOD的内部，且∠BOC=20∘，若∠AOD的度数是一个正整数，则图中所有角的度数之和可能是( )
A. 330∘
B. 340∘
C. 350∘
D. 360∘
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9.20∘21′+10∘55′=______.
10.已知(a−3)x|a|−2+12=0是关于x的一元一次方程，则方程的解为______.
11.如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原五边形的周长小，理由为______.
12.已知线段AB=16cm，直线AB上有一点C，并且BC=4cm，点D是线段AC的中点，则线段DB=______.
13.甲、乙两人从相距40千米的两地，同时出发，相向而行．甲的速度为4千米/时，甲、乙两人的速度之比为2：3，当两人相距10千米时，则所需要的时间是______小时．
14.如图，∠AOB=90∘，∠MON=60∘，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，则∠AOC=______ .
15.如图，将一副三角板的直角顶点O叠放在一起，∠BOC=18∠AOD，则∠BOD=______∘.
16.长为2，宽为a的矩形纸片(1三、解答题（本大题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题18分)
解方程
(1)2(2x−1)−2(4x+3)=7；
(2)ax=b+2；
(3)0.4x++0.30.3+1；
(4)|2x+1|+|x−1|=4；
(5)|2x+1|=3x−4；
(6)x=b+bax.
18.(本小题5分)
按下列要求画图(不要求写出画法)
(1)如图①，已知A，B，C三点，画出直线AC，线段AB和射线BC；
(2)如图②，已知线段a，b，c，用圆规和直尺画一条线段，使它等于a+2b−2c.
19.(本小题5分)
如图，点E是线段AB的中点，C是线段EB上一点，AC=6.
(1)若F为BC的中点，且BC=4，求EF的长；
(2)若EC：CB=1：4，求AB的长．
20.(本小题6分)
列方程解应用题：
某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校．现有甲、乙两木工组，甲每天修理桌椅16套，乙每天修桌椅比甲多8套，甲单独修完这些桌椅比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费．
(1)该中学库存多少套桌椅？
(2)在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天20元生活补助费，现有三种修理方案：a、由甲单独修理；b、由乙单独修理；c：甲、乙合作同时修理，你认为哪种方案省时又省钱为什么？
21.(本小题5分)
如图，点O是直线AB上的一点，∠AOE=∠FOD=90∘，OB平分∠COD.
(1)试说明∠AOF=∠EOD；
(2)求∠EOC+∠AOF的度数．
22.(本小题6分)
点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=65∘，将一直角板的直角顶点放在点O处．
(1)如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC=______∘；
(2)如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；
(3)将三角板MON绕点O逆时针旋转过程中，当∠NOC=16∠AOM时，直接写出∠NOC的度数．
23.(本小题7分)
对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为d(d≥0)，则称d为点P到点Q的追击值，记作d[PQ].例如，在数轴上点P表示的数是5，点Q表示的数是2，则点P到点Q的追击值为d[PQ]=3.
(1)点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的追击值d[MN]=a(a≥0)，则点N表示的数是______(用含a的代数式表示).
(2)如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒3个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为t(t≥0).
①当b=5时，问t为何值时，点A到点B的追击值d[AB]=2；
②当时间t不超过3秒时，要想使点A到点B的追击值d[AB]都满足不大于7个单位长度，请直接写出b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得：如图，
∴∠ABC=180∘−30∘−40∘=110∘，
故选：A.
根据题目的已知条件画出图形，即可解答．
本题考查了方向角，根据题目的已知画出图形去分析是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：①当a≠0时，x=0，错误；
②当a≠0时，两边同时除以a，得：x=1，错误；
③ax=1，则a≠0，两边同时除以a，得：x=1a，若a=0，无解，错误；
④当a=0时，x取全体实数，当a>0时，x=1，当a<0时，x=−1，错误．
故选A.
解一元一次方程的步骤有5步：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1，系数化为1时的系数一定不能为0，①②④都忽略了系数为0的情况．
本题考查了一元一次方程的解法，注意：当是含字母的系数时，一定要保证系数不为0，才能同时除以这个系数．
3.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查角的计算，一副三角板中的度数，用三角板画出角，无非是用角度加减，逐一分析即可。
【解答】
解：A.18∘=90∘−72∘，则18∘角能画出；
B.55∘不能写成36∘、72∘、45∘、90∘的和或差的形式，不能画出；
C.63∘=90∘−72∘+45∘，则63∘可以画出；
D.117∘=72∘+45∘，则117∘角能画出。
故选：B。
4.【答案】B
【解析】解：∵当x=1时，代数式px3+qx+1的值为2022，
∴p+q+1=2022，
∴p+q=2021.
∴当x=−1时，
代数式px3+qx+1
=−p−q+1
=−(p+q)+1
=−2021+1
=−2020.
故选：B.
将x=1代入代数式中，通过化简得到关于p，q的关系式，再将x=−1代入后，利用整体代入的方法解答即可．
本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：因为2个球体的重量等于5个圆柱体的重量，
所以1个球体的重量等于52个圆柱体的重量；
因为2个正方体的重量等于3个圆柱体的重量，
所以1个圆柱体的重量等于23个正方体的重量，
所以三个球体的重量等于正方体的重量的个数是：
3×52×23=5(个)
故选：A.
根据图示，可得：2个球体的重量等于5个圆柱体的重量，2个正方体的重量等于3个圆柱体的重量，据此推出1个球体的重量等于多少个圆柱体的重量，1个圆柱体的重量等于多少个正方体的重量，即可推得三个球体的重量等于多少个正方体的重量．
此题主要考查了等式的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(1)等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式；(2)等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
6.【答案】A
【解析】解：设甲方案中长方体箱子的正方形底面的边长为a，长方体的高为b，
则：4a=82a+b=14，
解得：a=2b=10，
∴V甲=2×2×10=40，
设乙方案中长方体箱子的正方形底面的边长为m，长方体的高为n，
则：2m+2n=14m+2n=8，
解得：m=6n=1，
∴V乙=6×6×1=36，
∵40>36，
∴V甲>V乙，
故选：A.
观察图形，分别利用二元一次方程组求出底面正方形的边长和长方体的高，求出体积，比较大小即可得出答案．
本题考查了认识立体图形，考查空间想象能力，分别利用二元一次方程组求出底面正方形的边长和长方体的高是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：(1)若第二次购物超过100元，但不超过350元，
设此时所购物品价值为x元，
则90%x=288，
解得x=320，
两次所购物价值为80+320=400>350，
所以享受8折优惠，
因此王波应付400×80%=320(元)；
(2)若第二次购物超过350元，
设此时购物价值为y元，
则80%y=288，
解得y=360，
两次所购物价值为80+360=440>350，
因此王波应付440×80%=352(元).
故选：C.
按照优惠条件第一次付80元时，所购买的物品价值不会超过100元，不享受优惠，因而第一次所购物品的价值就是80元；350元的9折是315元，8折是280元，因而第二次的付款288元所购买的商品价值可能超过350元，也可能超过100元而不超过350元，因而应分两种情况讨论．计算出两次购买物品的价值的和，按优惠条件计算出应付款数．
本题考查了一元一次方程的应用，能够分析出第二次购物可能有两种情况进行讨论是解决本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由题意得：
图中所有角的度数之和=∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOC+∠BOD+∠AOD
=∠AOD+∠AOB+∠BOC+∠BOD+∠AOD
=3∠AOD+∠BOC，
∵∠BOC=20∘，∠AOD的度数是一个正整数，
∴A、当3∠AOD+∠BOC=330∘时，则∠AOD=310∘3，故A不符合题意；
B、当3∠AOD+∠BOC=340∘时，则∠AOD=320∘3，故B不符合题意；
C、当3∠AOD+∠BOC=350∘时，则∠AOD=110∘，故C符合题意；
D、当3∠AOD+∠BOC=360∘时，则∠AOD=340∘3，故D不符合题意；
故选：C.
根据题意结合图形可得图中所有角的度数之和=3∠AOD+∠BOC，然后再根据∠AOD的度数是一个正整数，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
9.【答案】31∘16′
【解析】解：原式=31∘16′，
故答案为：31∘16′.
根据度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1∘=60′，1分=60秒，即1′=60′′进行计算即可．
本题主要考查度分秒的换算，1∘=60′，1′=60′′是解题的关键．
10.【答案】x=2
【解析】解：由一元一次方程的定义得：|a|−2=1，
∴|a|=3，
∴a=3或−3，
又a−3≠0，
∴a≠3，
∴a=−3，
把a=−3代入原方程得：−6x+12=0，
解得x=2.
故答案为：x=2.
此题的关键是根据一元一次方程的定义确定a的值，所以|a|−2=1并且a−3≠0，确定a的值后代入原方程即可求得方程x的解．
本题的考点是一元一次方程的定义及其解法，只要能深刻理解一元一次方程的定义就能使问题变得简单．
11.【答案】两点之间，线段最短
【解析】解：将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原五边形的周长小，理由是两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
利用“两点之间，线段最短”可以得出结论．
本题主要考查了多边形，熟知“两点之间，线段最短”是解答本题的关键．
12.【答案】10cm或6cm
【解析】解：当点C在线段AB上，如图，
∵点D是线段AC的中点，AB=16cm，BC=4cm，
∴DC=12AC
=12×(AB−BC)
=12×(16−4)
=6(cm)，
∴DB=DC+BC
=6cm+4cm
=10cm；
当点C在线段AB的延长线上，如图，
∵点D是线段AC的中点，AB=16cm，BC=4cm，
∴DC=12AC
=12×(AB+BC)
=12×(16+4)
=10(cm)，
∴DB=DC−BC
=10cm−4cm
=6cm；
综上所述，DB的长为10cm或6cm.
故答案为：10cm或6cm.
分类讨论：当点C在线段AB上，如图，先根据线段中点定义得到DC=12AC=6cm，然后利用DB=DC+BC求解；当点C在线段AB的延长线上，如图，同样得到DC=12AC=11cm，然后利用DB=DC−BC进行计算．
本题考查了两点间的距离，掌握分类讨论的运用是关键．
13.【答案】3或5
【解析】解：4÷23
=4×32
=6(km/h)，
当两人还没相遇，两人相距10km时，
(40−10)÷(4+6)
=30÷10
=3(小时)；
当两人相遇后，两人相距10km时，
(40+10)÷(4+6)
=50÷10
=5(小时)，
故答案为：3或5.
先求出乙的速度，然后分两种情况：当两人还没相遇，两人相距10km时和当两人相遇后，两人相距10km时，分别计算即可．
本题考查了有理数的除法，正确分析当两人还没相遇，两人相距10km时和当两人相遇后，两人相距10km时，是本题的关键．
14.【答案】120∘
【解析】解：∵∠AOB=90∘，OM平分∠AOB，
∴∠MOB=45∘，
∵∠MON=60∘，
∴∠BON=15∘，
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=15∘，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90∘+30∘=120∘.
故答案为：120∘.
根据角平分线的性质，OM平分∠AOB，得出∠MOB=45∘，再根据∠MON=60∘，ON平分∠BOC，得出∠BON=15∘，进而求出∠AOC=∠AOB+∠BOC的度数．
此题主要考查了垂线的性质以及角平分线的定义，得出∠BON=15∘是解决问题的关键．
15.【答案】70
【解析】【分析】
本题考查了角的计算，能求出∠AOD+∠BOC=180∘是解此题的关键．
根据已知求出∠AOD+∠BOC=180∘，再根据∠BOC=18∠AOD求出∠AOD，即可求出答案．
【解答】
解：因为∠AOB=∠COD=90∘，
所以∠AOB+∠COD=180∘，
因为∠AOB+∠COD=∠AOB+∠DOB+∠BOC=∠AOD+∠BOC
所以∠AOD+∠BOC=180∘，
因为∠BOC=18∠AOD，
所以∠AOD+18∠AOD=180∘，解得∠AOD=160∘，
所以∠BOD=∠AOD−∠AOB=160∘−90∘=70∘，
故答案为：70.
16.【答案】a=65或32
【解析】解：由图可知，第一次操作后剩下的矩形长为：原矩形的长-原矩形的宽，即为：2−a
∵第二次操作后剩下的矩形的边长分别为：2−a，2a−2，
∴面积为：(2−a)(2a−2)=−2a2+6a−4，
②当2−a>2a−2，a<43时，2−a=2(2a−2)，
解得：a=65；
当2−a<2a−2，a>43时，2(2−a)=2a−2，
解得：a=32；
综合得a=65或32.
故答案为：a=65或32.
根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽．当12a−2；②2−a<2a−2.对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出a的值．
本题考查了翻折的性质，矩形的性质和正方形的性质以及正方形、矩形的面积公式以及分类讨论思想在几何题目中的运用．
17.【答案】解：(1)去括号得：4x−2−8x−6=7，
移项合并得：−4x=15，
解得：x=−3.75；
(2)系数化为1得，x=b+2a；
(3)方程整理得：4x+95=2x+33+1，
去分母得：12x+27=10x+15+15，
移项合并得：2x=3，
解得：x=1.5；
(4)当x≤−12时，原方程化为−2x−1−x+1=4，
解得x=−43，
当−12解得x=2，不合题意，舍去，
当x≥1时，原方程化为2x+1+x−1=4，
解得x=43，
∴原方程的解为x=−43或43；
(5)由绝对值的意义可得，
2x+1=3x−4或2x+1=−3x+4，
解得x=5或35，
所以，原方程的解为x=5或；
(6)去分母得：ax=ab+bx，
移项合并得：(a−b)x=ab，
解得：x=aba−b.
【解析】(1)去括号，移项，合并同类项，系数化为1；
(2)系数化为1，解一元一次方程；
(3)先把分母化为整数，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1；
(4)分情况讨论去绝对值，化为一元一次方程，求解；
(5)由绝对值的意义可知得到2x+1=3x−4或2x+1=−3x+4，解方程即可；
(6)去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.
此题考查了含绝对值符号的一元一次方程，解题关键是：分情况讨论去绝对值或由绝对值的意义去绝对值化为一元一次方程．
18.【答案】解：(1)如图①，直线AC，线段AB和射线BC即为所求；
(2)如图②，线段AB=a+2b−2c即为所求．
【解析】(1)根据直线、射线、线段定义即可画出直线AC，线段AB和射线BC；
(2)根据已知线段a，b，c，用圆规和直尺画一条线段AB，使它等于a+2b−2c即可．
本题考查了应用与设计作图、直线、射线、线段，解决本题的关键是区别直线、射线、线段．
19.【答案】解：(1)∵点E是线段AB的中点，
∴AE=BE，
设CE=x，
∴AE=BE=6−x，
∴BC=BE−CE=6−x−x，
∵F为CB的中点，
∴CF=12BC=3−x，
∴EF=CE+CF=x+3−x=3；
(2)∵EC：CB=1：4，
∴设CE=x，则CB=4x，
∵点E是线段AB的中点，
∴AE=BE，
∴AE=5x，
∴AC=6x=6，
∴x=1，
∴AB=10x=10.
【解析】(1)根据线段中点的定义得到AE=BE，设CE=x，求得AE=BE=6−x，得到BC=BE−CE=6−x−x，于是得到结论；
(2)设CE=x，则CB=4x，根据线段中点的定义得到AE=BE，求得AE=5x，得到AC=6x=6，于是得到结论；
本题考查了两点间的距离，解题的关键是结合图形，利用线段的和与差即可解答．
20.【答案】解：(1)设该中学库存x套桌椅，
则x16−20=x16+8，
解得x=960.
答：该中学库存960套桌椅．
(2)设a、b、c三种修理方案的费用分别为y1、y2、y3元，
则y1=(80+20)×96016=6000，
y2=(120+20)×96016+8=4000，
y3=(80+120+20)×96016+16+8=2880，
综上可知，选择方案c更省时省钱．
答：方案c省时省钱．
【解析】(1)通过理解题意可知本题的等量关系，即甲单独修完这些桌凳的天数=乙单独修完的天数+20天，列方程求解即可；
(2)分别计算，通过比较选择最省钱的方案．
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
21.【答案】(1)证明：∵∠AOE=∠FOD，
∴∠AOF+∠EOF=∠EOD+∠EOF，
∴∠AOF=∠EOD；
(2)解：∵OB平分∠COD，
∴∠BOC=∠DOB，
∵∠AOE=90∘，
∴∠BOE=90∘，
∴∠BOD+∠DOE=∠EOF+∠DOE=90∘，
∴∠BOD=∠EOF，
∴∠BOC=∠EOF，
∵∠EOC=∠EOB+∠BOC，
∴∠EOC=∠EOB+∠EOF，
∴∠EOC+∠AOF=∠EOB+∠EOF+∠AOF，
=∠EOB+∠AOE=90∘+90∘=180∘.
【解析】(1)由∠AOE=∠FOD，得到∠AOF+∠EOF=∠EOD+∠EOF，即可证明；
(2)由角平分线定义，余角的性质，即可求解．
本题考查角平分线定义，余角的性质，关键是应用角平分线定义，余角的性质得出有关的等式．
22.【答案】25
【解析】解：(1)∵∠MON=90∘，∠BOC=65∘，
∴∠MOC=∠MON−∠BOC=90∘−65∘=25∘.
故答案为：25；
(2)∵∠BOC=65∘，OC是∠MOB的角平分线，
∴∠MOB=2∠BOC=130∘.
∴∠BON=∠MOB−∠MON
=130∘−90∘
=40∘.
∠CON=∠COB−∠BON
=65∘−40∘
=25∘.
即∠BON=40∘，∠CON=25∘；
(3)∵∠NOC=16∠AOM，
∴∠AOM=6∠NOC.
∵∠BOC=65∘，
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC
=180∘−65
=115∘.
∵∠MON=90∘，
∴∠AOM+∠NOC=∠AOC−∠MON
=115∘−90∘
=25∘.
∴6∠NOC+∠NOC=25∘.
∴∠NOC=257∘.
(1)根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数．
(2)根据OC是∠MOB的角平分线，∠BOC=65∘可以求得∠BOM的度数，由∠NOM=90∘，可得∠BON的度数，从而可得∠CON的度数．
(3)由∠BOC=65∘，∠NOM=90∘，∠NOC=16∠AOM，从而可得∠NOC的度数，由∠BOC=65∘，从而得到∠NOC的度数．
本题考查角的计算和旋转的知识，关键是明确题意，灵活变化，找出所求问题需要的量．
23.【答案】1+a或1−a
【解析】解：(1)根据题意可知，点M表示的数为1，且点N到点M的d追随值d[MN]=a(a≥0)，
∴点M到点N的距离为a，如点N在点M左侧，则N表示的数为1−a，若点N在点M右侧，则N表示的数为1+a.
故答案为：1+a或1−a；
(2)①根据题意，点A所表示的数为1+3t，点B所表示的数为5+t，
∴AB=|5+t−(1+3t)|=|4−2t|，
∵AB=2，
∴|4−2t|=2，
当4−2t=2时，解得t=1，
当4−2t=−2时，解得t=3.
∴t的值为1或3；
②当点B在点A左侧或者重合时，此时b≤1，随着时间的增大，A和B之间的距离会越来越大，
∵0∴t=3时，A和B之间的距离最大，
此时，1+3×3−(b+3)=7，
解得b=0.
当点B在点A右侧时，此时b>0，
在A、B不重合的情况下，A和B之间的距离会越来越小，
∴t=0时，A和B之间的距离最大，此时，b=7+1=8，
∴0综合两种情况，b的取值范围是0≤b≤8.
(1)据题干的定义，分两种情况，一种是点N在点M左侧，一种是点N在点M右侧．
(2)①先用含t的式子表示点A和点B，由d[AB]=2即可求解；
②先用含t的式子表示点A和点B，再分两种情况，点A在点B的左侧，和点A在点B的右侧，类比行程问题列式即可．
此题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点，及两点之间的距离，还有绝对值的意义．另外解决数轴上两点之间的距离要考虑分情况讨论．