期末专题复习06：圆周角、直线与圆、正多边形与圆-2023-2024学年九年级上学期期末专项复习（苏科版）

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【考纲解析】
圆周角内容的考察比较多，可以是基础题，也可以是压轴题，在平时考试中基础题一般都是简单的圆周角定理和同弧所对圆周角问题或直径所对圆周角问题比较多，主要是让学生理解知识点同时应用就容易解决，但是在中等题和压轴题上，对于内接四边形以及隐圆、圆的翻折中应用比较多，同时也作为圆综合应用的基本工具和手段，要求学生不但要熟练掌握基础知识，还要灵活的变通解决，所以掌握圆周角的问题是学生学好圆的基础哦
直线与圆内容的考察也比较多，选择、填空、解答题、压轴题都会考察，基础题中一般都是切线的证明和切线长定理的基础应用，要求学生能证明切线，应用切线长定理求解三角形周长等问题；在中等题和压轴题圆的切线问题考察比较多，近几年考试（期中或期末、中考）都比较常考的就是圆的切线和一次函数问题，同时结合动点考察，综合应用能力比较强，要让学生数形结合思想和函数灵活应用，有时还伴随着新定义的题型，所以直线与圆必须掌握的同时，也要逐步的延伸拓展知识
正多边形与圆内容考察也是重点，主要考察的是在圆心角圆周角、多边形边长等为基础题，中等题一般是几何作图或者跟三角形结合的综合应用，相对来说考察内容属于两极分化现象，所以学生在学习上，要想圆的知识掌握的更好，在考试中不丢分，那就要求学生必须熟练掌握
【考点一：圆周角】
1．（2022秋·湖北武汉·九年级校考期中）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转α角度得到△DBE，边DE，DB分别交AC交于M，N，若BM=BN，∠A=48°，则角α的度数是（ ）
A．22°B．28°C．30°D．35°
2．（2023秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在弧AmB上，点D在弧AB上，若∠ACB=70°，则∠ADB=（ ）

A．70°B．110°C．125°D．140°
3．（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中AC为直径，以AB为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的AC，且AB交AC于点D，如图2所示，若BC为37°，则AD的度数= ．

4．（2023秋·江苏·九年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，AE=AB，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，若BG=10，BD−DF=1，则AB= ．

5．（2023·江苏·统考中考真题）在四边形ABCD中，AB=BC=2,∠ABC=120°,BH为∠ABC内部的任一条射线（∠CBH不等于60°），点C关于BH的对称点为C′，直线AC′与BH交于点F，连接CC′、CF，则△CC′F面积的最大值是 ．

6．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．

(1)如图①， 在损矩形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段 ．
(2)在图①中线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹）
(3)如图②，在△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向三角形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，AB=2，BD=42．求BC的长．
7．（2023秋·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）（1）【基础巩固】如图1，△ABC内接于⊙O，若∠C=60°，弦AB=43，则半径r=______；
（2）【问题探究】如图2，四边形ABCD的四个顶点均在⊙O上，若∠ADC=60°，AD=DC，点B为弧AC上一动点（不与点A，点C重合）．
求证：AB+BC=BD；
（3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段AD、AB、BC）和一条道路劣弧CD围成，已知CM=DM=3千米，∠DMC=60°，CD的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点P在CD上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM、MC、CP、PD，某数学兴趣小组探究后发现C、P、D、M四个点在同一个圆上，请你帮他们证明C、P、D、M四点共圆，并判断是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．

8．（2023秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，已知线段AB和直线l，在直线l上求作点P，使得∠APB分别为①90°；②30°；③120°，（都用尺规作图，并保留作图痕迹）．

9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为AB所对的圆周角．

知识回顾
(1)如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C=135°．
①求∠C的度数；
②若⊙O的半径为5，AC=8，求BC的长；
逆向思考
(2)如图②，P为圆内一点，且∠APB<120°，PA=PB，∠APB=2∠C．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
(3)如图③，在（2）的条件下，若∠APB=90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD=2CB−CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
10．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．

(1)【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为_______度；
(2)【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA,BP,BE之间的数量关系，并说明理由．
【考点二：直线与圆】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P=70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）

A．110°B．120°C．125°D．130°
2．（2023秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC=45°，BC=2，则线段AE的长为 ．

3．（2023秋·江苏南京·九年级南京民办实验学校校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，已知AB=6，BC=4，以CD为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为M，边CD′与⊙O相交于点N，则CN的长为 ．

4．（2023秋·江苏南京·九年级南京民办实验学校校考阶段练习）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为12，则线段PA的长为 ．

5．（2022秋·江苏连云港·九年级灌云县实验中学校考期末）问题背景：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，由勾股定理可知：BC=2AB．

(1)问题探究：如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB=AC，P为弧BmC上一动点（不与B，C重合），求证：2PA=PB+PC．请你根据图中所给的辅助线，写出具体作法并完成证明过程．
(2)类比迁移：如图②，⊙O的半径为4，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．
6．（2023秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）小明在学习了《圆周角定理及其推论》后，有这样的学习体会：在Rt△ABC中，∠C=90°，当AB长度不变时．则点C在以AB为直径的圆上运动（不与A、B重合）．

【探索发现】
（1）小明继续探究，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB长度不变．作∠A与∠B的角平分线交于点F，小明计算后发现∠AFB的度数为定值，小明猜想点F也在一个圆上运动．请你计算∠AFB的度数，并简要说明小明猜想的圆的特征．
【拓展应用】
（2）在【探索发现】的条件下，若AB=23，求出△AFB面积的最大值．
7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在△ABC中，∠C=90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．
(1)如图①，连接AD，若∠CAD=26°，求∠B的大小；
(2)如图②，若点F为AD的中点，⊙O的半径为3，求AB的长．
8．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）对于在平面直角坐标系xOy中的两点Px1,y1和Qx2,0，给出如下定义：
若OP=3−x2(0
(1)当x2=1时，在点P12,0，P2−1,3，P31,−1中，点Q的依附点是______；
(2)若直线y=3x上的点P是点Q的依附点，求点P横坐标的取值范围；
(3)若直线y=−x+m上存在点Q的依附点，直接写出m的取值范围．
9．（2023春·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校联考阶段练习）【尝试探究】已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是AB的中点．作∠POQ=90°，分别交AC、BC于点P、Q，连接PQ．
（1）如图1，若AC=BC，求证：

①连接OC，证明：△AOP≌△COQ；
②证明：AP2+BQ2=PQ2：
（2）如图2，试探索②中的结论在一般情况下是否仍然成立；

【解决问题】（3）如图3，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点O是AB的中点，过C、O两点的圆分别交边AC、BC于点P、Q，连接PQ，则△PCQ面积的最大值为______．

10．（2023春·江苏扬州·九年级高邮市城北中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B为⊙O上一点．给出如下定义：记A、B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p=0），最大值为q，那么把p+q2的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作dA,⊙O．
(1)如图，点D、E、F的横、纵坐标都是整数．
①dD,⊙O=___；
②若点M在线段EF上，求dM,⊙O的取值范围．
(2)若点N在直线y=3x+23上，求dN,⊙O的取值范围．
(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足dP,⊙O的最小值为1，最大值为10，直接写出m的最小值和最大值．
11．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线MN接近球门AB，他在哪里射门时射门角度最大？
【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门AB的张角∠APB时，在MN上取一点Q，过A、B、Q三点作圆，发现直线MN与该圆相交或相切．如果直线MN与该圆相交，如图1，那么球员P由M向N的运动过程中，∠APB的大小______：（填序号）
①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大
【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线MN与该圆相切于点Q，那么球员P运动到切点Q时∠APB最大，如图2，试证明他们的发现．
【实际应用】如图3，某球员P沿垂直于AB方向的路线MN带球，请用尺规作图在MN上找出球员P的位置，使∠APB最大．（不写作法，保留作图痕迹）
【考点三：正多边形与圆】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在AB上，点Q是DE的中点，则∠CPQ的度数为（ ）

A．30°B．45°C．36°D．60°
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为(2,−3)，则顶点C的坐标为（ ）

A．23−2,3B．2−23,3C．2−3,3D．2−23,2+3
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知D、E分别在等边△ABC的边AC、BC上，连结DE，∠ADE的平分线恰好经过△ABC的外心O，交AB于点F，连结EF，若△CDE的周长为18，则△ABC的周长为 ．
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，延长正五边形FGHJK各边，使得GA=HB=JC=KD=FE，若AB=AF，则∠BCH的度数为 ．

5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图①，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图②是一部分巢房的截面图，建立平面直角坐标系，已知点A的坐标为3，−3，则点B的坐标为 ．

6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切……按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为 ．
7．（2021秋·江苏镇江·九年级统考期中）如图，已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心，连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为 ．
8．（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．

(1)如图1，A为⊙O上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出⊙O的内接正方形；
(2)我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．如图2，在▱ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．
9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图①，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N.
(1)求出∠MPN的度数，并证明PM+PN=3a；
(2)如图②，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；
(3)如图③，点O是AD的中点，OG平分∠MON，求证：四边形OMGN是菱形.
10．（2023·江苏·九年级假期作业）【阅读理解】如图1，∠BOC为等边△ABC的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度α(0°<α<120°)，∠BOC的两边与三角形的边BC,AC分别交于点M,N．设等边△ABC的面积为S，通过证明可得△OBM≌△OCN，则S四边形OMCN=S△OMC+S△OCN=S△OMC+S△OBM=S△OBC=13S．
【类比探究】如图2，∠BOC为正方形ABCD的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度α(0°<α<90°)，∠BOC的两边与正方形的边BC,CD分别交于点M,N．若正方形ABCD的面积为S，请用含S的式子表示四边形OMCN的面积（写出具体探究过程）．
【拓展应用】如图3，∠BOC为正六边形ABCDEF的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转一个角度α(0°<α<60°)，∠BOC的两边与正六边形的边BC,CD分别交于点M,N．若四边形OMCN面积为6，请直接写出正六边形ABCDEF的面积．