期末专题复习04：一元二次方程应用问题-2023-2024学年九年级上学期期末专项复习（苏科版）

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→考纲解析
一元二次方程的应用是考试重点考察内容，无论是单元测试、期中期末还是中考，都是常考题型，通常情况选择和填空属于基础考察，常见的类型是：增长率、传播、行程、工程问题，只要理解相关内容，一般都可以得分，在解答题的考察就比较灵活，可以是营销问题、图形相关问题和几何动态问题，这些题目通常都是中等偏上或者压轴题，对于考生的灵活应用和思维能力的考察比较明显；中考中考察最多的是营销问题和几何动态问题，同时一元二次方程还是计算的工具出现在解答题中，主要根据上门知识导图的分类掌握完全，考试会得心应手哦
→解题思路
列一元二次方程解应用题的一般步骤
①审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系；
②设：用字母表示题目中的一个未知量；
③列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程；
④解：解方程求出未知数的值；
⑤验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去；
⑥答：写出答案，包括单位名称.
考点一：基础专题
【传播问题】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（ ）
A．1+x2=121B．1+x+x2=121
C．1+x+x+12=121D．1+x+2x+1=121
【答案】A
【难度】基础题
【考点】传播问题
【易错点】等量关系建立
【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
【详情解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：1+x，
第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x(1+x)，
而已知经过两轮传染后共有121人患了流感，则可得方程，
1+x+x(1+x)=121．即1+x2=121
故选：A．
【提优突破】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
2．（2019秋·江苏·九年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）
A．xx+1=182B．xx−1=182
C．2xx+1=182D．xx−1=182×2
【答案】B
【难度】基础题
【考点】传播问题
【易错点】等量关系建立
【分析】由题意可知，每个同学需赠送出(x-1)件标本，x名同学需赠送出x(x-1) 件标本，即可列出方程．
【详情解析】解：由题意可得，
x（x-1）=182，
故选B．
【提优突破】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、确定等量关系是解答本题的关键．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )
A．9人B．10人C．11人D．12人
【答案】B
【难度】基础题
【考点】传播问题
【易错点】等量关系建立
【详情解析】试题解析：设这个微信群共有x人，
依题意有x（x-1）=90，
解得：x=-9（舍去）或x=10，
∴这个微信群共有10人．
故选B.
【增长率问题】
1．（2020秋·江苏·九年级校联考阶段练习）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．2001+a%2=148B．2001−a%2=148
C．2001−2a%2=148D．2001−a2%=148
【答案】B
【难度】基础题
【考点】增长率问题
【易错点】等量关系建立、增长量和增长的联系
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程．
【详情解析】解：由题意可得，
2001−a%2=148，
故选：B．
【提优突破】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．161−x2=9B．161−x2=9C．91−x2=16D．91+x2=16
【答案】A
【难度】基础题
【考点】增长率问题
【易错点】等量关系建立、增长量和增长的联系
【分析】设平均每次降价的百分率是x，根据降价后的价格＝降价前的价格×（1－降价的百分率），则第一次降价后的价格是16×1−x，第二次降价后的价格是16×1−x2，据此即可列方程求解．
【详情解析】解：根据题意可得：
161−x2=9，
故选：A．
【提优突破】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到已知量和未知量之间的等量关系，列出方程即可．
【行程问题】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（ ）秒．
A．23B．3−33C．6−303D．6−263
【答案】D
【难度】中等题
【考点】行程问题
【易错点】等量关系建立、速度、路程、时间的关系
【分析】求滑行10米时用时，即有了距离求时间，则必须知道速度．这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度，因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少．这二者解决后，便可解答．
【详情解析】解：时速108千米=30米/秒，
设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒，由平均速度×时间=路程得：
30+02⋅x=30，解得x=2秒，
平均每秒减速=30−02=15米/秒；
设刹车后汽车滑行10米时用了t秒，
依题意列方程：30+(30−15t)2⋅t=10，即3t2−12t+4=0，解方程得x1=6−263，x2=6+263>2（舍去），
∴x=6−263秒，
故选：D．
【提优突破】本题是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度×时间=路程．注意速度单位的转化和题目的问题相符．
2．（2022秋·江苏·九年级专题练习）上午8点，某台风中心在A岛正南方向100km处由南向北匀速移动，同时在A岛正西方向40km处有一艘补给船向A岛匀速驶来，补给完后改变速度立即向A岛正北方向的C港匀速驶去，如图所示是台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象．已知台风影响的半径是100km（包含边界），请结合图象解答下列问题：
（1）台风的速度是_________kmh，补给船在到达A岛前的速度是_________kmh，图中点P的实际意义是_______________；
（2）从几点开始，补给船将受到台风的影响？
（3）设补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，出于安全考虑，补给船速度不超过100km/ℎ、a<1．求出图中补给船航行时间m的正整数值及此时补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间．
【答案】（1）20，60，补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相等；（2）8点12分；（3）m=3,补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间为1310小时．
【难度】中等题
【考点】行程问题
【易错点】等量关系建立、速度、路程、时间的关系
【分析】（1）首先根据图像为台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象，台风在上午8点距离A岛100km，即可得出线段DE为台风中心距离A岛的距离S和时间t的图象；补给船上午8点距离A岛40km，即可得出线段FG为补给船与A岛的距离S和时间t的图象，从图像获取信息即可求得各自的速度；由题目可知，补给船到达A岛后，还要去C港，此时与台风的图像相交，结合各自的速度，即可得出点P的实际意义；
（2）由台风影响的半径是100km（包含边界），即可画出此情况下的图形，利用勾股定理列出方程，求解即可得出答案；
（3）根据补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，即可列出方程，解出a，根据题目要求，补给船速度不超过100km/ℎ且a<1，列出不等式，再根据m为正整数，即可求出m；补给船受台风影响总时间为驶向C港受影响的时间加上驶向A岛受影响的时间，即可求得答案．
【详情解析】（1）由题分析得，线段DE为台风中心与A岛之间的距离S与时间t的图像，
∴台风的速度v=1005=20(km/ℎ),
线段FG是补给船与A岛的距离S与时间t的图像，
∴补给船的速度v=40÷23=60(km/ℎ)，
∴点P表示：补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相等；
（2）如图所示开始受影响，即BH=100km，
设t小时后补给船开始受台风影响，
则AB=40−60t,AH=100−20t,
在Rt△ABH中，由勾股定理得，
AB2+AH2=BH2，
(40−60t)2+(100−20t)2=1002,
解得，t1=15,t2=2（不合题意，舍去），
∴补给船出发15×60=12（分钟），开始受台风影响，
∴从8点12分开始补给船开始受台风影响；
（3）由图可得，补给船离开A岛时，台风已经移动了1小时，
台风中心距离A岛的距离为：
100−20×1=80(km)，
由图可知，补给船离开A岛驶向C港的路程为120km，时间为(m−1)ℎ，
故补给船离开A岛驶向C港的速度为：120m−1(km/h)，
∵补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，
∴120m−1·a+80−20a=100,
解得，a=m−17−m,
∵a<1,
∴m−17−m<1，
由图可知，m<5,
去分母得，m−1<7−m,
解得：m<4，
又∵补给船速度不超过100km/ℎ，
∴120m−1≤100,
由图可知，m>1,
去分母得，120≤100(m−1),
解得：m≥2.2,
∴2.2≤m<4,
∵m为正整数，
∴m=3,
当m=3, a=m−17−m=3−17−3=24=12,
即补给船驶出A岛到驶到C港之前受台风影响的时间为12ℎ，
在补给船出发驶向A岛的过程中，有15ℎ没有受台风影响，
∴补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间t=1−15+12=1310(ℎ)．
【提优突破】本题考查了从函数图像获取信息，勾股定理，一元二次方程的应用，解不等式组，解题关键是正确理解题意，能从函数图像中获取需要信息进行求解．
[工程问题]
1．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多25%；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为300米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为300米
【难度】中等题
【考点】工程问题
【易错点】等量关系建立
【分析】选择（1）时，设原计划每天修建x米，则实际每天修建1+25%x米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；
选择（2）时，设原计划每天修建盲道x米，则实际每天修建x+75米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论；
【详情解析】选（1）或（2）
（1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为x米
3000x−30001+25%x=2
x=300
经检验：x=300是所列方程的解
答：原计划每天修建下水管道的长度为300米．
（2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为x米
3000x−3000x+75=2
x1=300,x2=−375（舍）
经检验：x=300是所列方程的解．
答：原计划每天修建下水管道的长度为300米．
【提优突破】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
2．（2022秋·江苏·九年级阶段练习）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的65，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖16a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖29a米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多7a−12万元．求a的值．
【答案】(1)甲最多施工2500米
(2)a的值为6
【难度】难题
【考点】工程问题、不等式
【易错点】等量关系建立
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的65，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖16a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖29a米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详情解析】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
依题意，得：12（5000-x）≥65×10x，
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
（2）依题意，得：10+a5+16a+125−29a=12×5+10×5+7a−12 ，
整理，得：a2−18a+72=0，
解得：a1=12，a2=6，
当a1=12时，总成本为：12×5+10×5+7×12−12=182（万元），
∵182＞150，
∴a1=12不符合题意舍去；
当a2=6时，总成本为：12×5+10×5+7×6−12=140（万元），
∵140＜150，
∴a2=6符合题意；
答：a的值为6．
【提优突破】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
3．（2021秋·江苏·九年级专题练习）2020年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼·罗兰说：“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的需求量大大增加，两江新区某护目镜生 产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线A,B．原计划A生产线每小时生产护目镜400个，B生产线每小时生产护目镜500个．
（1）若生产线A,B一共工作12小时，且生产护目镜的总数量不少于5500个，则B生产线至少生产护目镜多少小时？
（2）原计划A,B生产线每天均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，A生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量将减少10个，B生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量将减少15个．这样一天生产的护目镜将比原计划多3300个，求该厂实际每天生产护目镜的时间．
【答案】（1）B生产线至少生产口罩7小时；（2）该厂实际每天生产口罩的时间为14ℎ．
【难度】难题
【考点】工程问题、不等式
【易错点】等量关系建立
【分析】（1）设B生产线至少生产口罩x小时，根据生产护目镜的总数量不少于5500个列出不等式求解即可；
（2）设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为t，根据实际一天生产的护目镜将比原计划多3300个列出方程求解即可．
【详情解析】（1）解：设B生产线至少生产口罩x小时
(12−x)400+500x≥5500
解得：x≥7
答：B生产线至少生产口罩7小时.
（2）解：设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为t
(400−10t)(8+t)+(500−15t)(8+t)=8×400+8×500+3300
解得：t1=22,t2=6
生产时间：6+8=14ℎ
答：设该厂实际每天生产口罩的时间为14ℎ.
【提优突破】此题主要考查了一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系和等量关系，列出不等式和方程．
考点二:中等专题
【营销问题】
1．（2023秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）吾悦涛涛美食店的A，B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．
(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？
(2)该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1 份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么当A菜品降价多少元时，这两种菜品一天的总利润和是291元？
【答案】(1)该店每天卖出这两种菜品共60份
(2)A种菜品售价降5.5元或者0.5元时，总利润是291元
【难度】中等题
【考点】利润问题、方程组问题
【易错点】利润、成本等关系
【分析】（1）首先设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份，然后根据总营业额和总利润得出二元一次方程组，从而求出答案；
（2）设A种菜品售价降0.5a元，则每天卖20+a份，根据每天销售总份数不变，则B种菜品卖40−a份，每份售价提高0.5a元，然后根据总利润等于单件利润乘以数量得出一元二次方程，解方程即可求解．
【详情解析】（1）设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份，
根据题意得：20x+18y=112020−14x+18−14y=280，
解得：x=20y=40，
即x+y=20+40=60（份），
答：该店每天卖出这两种菜品共60份；
（2）设A种菜品售价降0.5a元，则每天卖20+a份，根据每天销售总份数不变，则B种菜品卖40−a份，每份售价提高0.5a元，此时总利润为291元，
则20−14−0.5a20+a+18−14+0.5a40−a=291，
整理得：a2−12a+11=0，
解得a=11或者a=1，
则A种菜品售价降5.5元或者0.5元，
答：A种菜品售价降5.5元或者0.5元时，总利润是291元．
【提优突破】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，明确题意，列出一元二次方程、二元一次方程组，是解答本题的关键．
2．（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)20%
(2)5
【难度】中等题
【考点】利润问题
【易错点】销售相关的公式应用
【分析】（1）设每次下降的百分率为a，1−a2为两次降价的百分率，50降至32是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
【详情解析】（1）解：设每次下降的百分率为a，
根据题意得，501−a2=32，
解得：a=180%（舍）或a=20%，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）解：设每千克应涨价x元，
由题意，得：10+x500−20x=6000，
整理，得：x2−15x+50=0，
解得：x1=5,x2=10，
∵商场要尽快减少库存，
∴x=5符合题意，
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
【提优突破】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．
3．（2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考阶段练习）盐城著名旅游“网红打卡地”大洋湾景区在2021年五一小长假期间，共接待游客达5万人次，在2023年五一小长假期间接待游客达7.2万人次．
(1)求大洋湾景区2021至2023年五一小长假期间接待游客人次的年平均增长率；
(2)大洋湾景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格每降低1元，则平均每天可多销售30杯，2023年五一小长假期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
【答案】(1)20%
(2)当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【难度】难题
【考点】利润问题
【易错点】销售相关的公式应用
【分析】（1）设年平均增长率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设每杯售价定为y元，由题意得关于y的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【详情解析】（1）解：设年平均增长率为x，由题意得：
51+x2=7.2，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（不符合题意，舍去），
答：大洋湾景区2021至2023年五一小长假期间接待游客人次的年平均增长率为20%；
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，
由题意得：y−6300+3025−y=6300，
整理得：y2−41y+420=0，
解得：y1=20，y2=21，
∵让顾客获得最大优惠，
∴y=20．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【提优突破】本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确地列出方程是解题的关键．
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元，经市场调研发现，牙膏的日均销售量y（万支）与销售单价x（元）之间存在着如图所示关系．

(1)求牙膏的日均销售量y（万支）关于销售单价x（元）的函数表达式（写出x的取值范围）．
(2)若该连锁超市想要获得9万元的日均销售利润，牙膏的销售单价应定为多少元？
(3)该超市日均销售利润能否达到13万元？请说明理由．
【答案】(1)y=−3x+213≤x≤5.5
(2)4元
(3)不可能达到13万元，理由见解析
【难度】中等题
【考点】利润问题、函数问题
【易错点】销售相关的公式应用、函数解析式
【分析】（1）设函数表达式为y=kx+b，把(3.5,10.5)，(5,6)代入表达式求出解析式即可；
（2）设牙膏的销售单价应定为x元，根据该连锁超市想要获得9万元的日均销售利润列出等式，解方程即可得到答案；
（3）设牙膏的销售单价应定为x元，根据超市日均销售利润能否达到13万元列出等式求出答案．
【详情解析】（1）解：设函数表达式为y=kx+b，把(3.5,10.5)，(5,6)代入表达式，
得：3.5k+b=10.55k+b=6，
解得：k=−3b=21，
∴y=−3x+213≤x≤5.5；
（2）解：设牙膏的销售单价应定为x元，根据题意得：
x−3−3x+21=9，
即x2−10x+24=0．
解得：x1=4或x2=6．
∵ 3≤x≤5.5 ，
∴x=4．
答：牙膏的销售单价应定为4元；
（3）解：设牙膏的销售单价应定为x元，根据题意得：
x−3−3x+21=13，
即3x2−30x+76=0．
∵ b2−4ac=900−4×3×86=−12<0，
∴该超市日均销售利润不可能达到13万元．
【提优突破】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式．正确求出一次函数解析式是解题关键．
5．（2022秋·江苏·九年级专题练习）随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”．为助力湖北复苏，4月8日抖音发起了“湖北重启，抖来助力--抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产品.已知当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售18万份，其中周黑鸭的销量是热干面的3.5倍．
(1)求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？
(2)为刺激消费，直播中推出了优惠活动.疫情前，疫情期间售价均为100元一份的周黑鸭（一份里面有一盒锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以6折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为60元一份的热干面（一份里面有6包热干面），以5折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少2a%，疫情期间的日销售额比疫情前的日销售额减少了680万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少103a%，疫情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了8a%；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的总销售额少5a%，求a的值．
【答案】(1)当天的直播活动中销售了14万份周黑鸭
(2)a的值为454
【难度】难题
【考点】利润问题、不等式
【易错点】销售相关的公式应用
【分析】（1）设当天的直播活动中销售了x万份热干面，则销售了3.5x万份周黑鸭，由题意得：x+3.5x=18，求解x的值，进而可得3.5x的值；
（2）由题意得：[100×14×(1−2a%)−680]+60×4×(1−103a%)×(1−8a%)=(100×0.6×14+60×0.5×4)×(1−5a%)，计算求出满足要求的解即可．
【详情解析】（1）解：设当天的直播活动中销售了x万份热干面，则销售了3.5x万份周黑鸭，由题意得：x+3.5x=18，
解得：x=4，
∴3.5x=14．
答：当天的直播活动中销售了14万份周黑鸭；
（2）解：由题意得：[100×14×(1−2a%)−680]+60×4×(1−103a%)×(1−8a%)=(100×0.6×14+60×0.5×4)×(1−5a%)，
整理得：4a2−45a=0，
解得：a1=454，a2=0(不合题意，舍去)．
∴a的值为454．
【提优突破】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．
6．（2021·江苏无锡·九年级专题练习）健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在2016年推出A,B两种健康食品套餐，到年底共卖出m万份，其中A套餐卖出a万份，两种套餐共获利润1500万元、已知销售一份A套餐可获利润20元，销售一份B套餐可获利润45元．
（1）用含a的代数式表示m；
（2）随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整．2017年，该公司将每份B套餐的利润增加到100元，每份A套餐的利润不变．经核算，两种套餐在这一年的销售总量与2016年相同，其中A套餐的销售量增加13，两种套餐的总利润增加760万元．
①求2017年每种套餐的销售量；
②由于B套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，2018年该公司将每份B套餐的利润在2017年的基础上增加x%，2019年在2018年的基础上又增加2x%、若B套餐在近三年销售量不变的情况下，仅2019年一年就获利2856万元，求x的值．
【答案】（1）m=300+5a9（或1003+59a）；（2）①2017年A项套餐销售量为28万份，2017年B项套餐销售量为17万份；② x=20.
【难度】难题
【考点】利润问题、方案问题
【易错点】销售相关的公式应用
【分析】（1）根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案；
（2）①根据题意，先确定A和B套餐的销售量，然后列出方程组，解方程组即可得到答案；
②分别求出B套餐2017年、2018年、2019年的盈利，然后列出方程，解方程即可．
【详情解析】解：（1）根据题意，B套餐卖出(m−a)份，则
45m−a=1500−20a，
∴m=300+5a9（或1003+59a）；
2①依题意得，2017年A项套餐销售量为：1+13a=4a3万份，
B项套餐销售量为：m−1+13a=m−43a万份，
根据题意得：20a+45(m−a)=150020×(1+13a)+100(m−43a)=2260
解得：a=21m=45
所以2017年A项套餐销售量为4a3=28（万份）
2017年B项套餐销售量为m−43a=17(万份）
②依题意可知，
2017年B项套餐每份盈利100元，
2018年B项套餐每份盈利1001+x%元，
2019年B项套餐每份盈利1001+x%1+2x%元，
所以根据题意得：
1001+x%1+2x%×17=2856
设x%=y，则1001+y1+2y×17=2856
解得：y1=0.2
y2=−1.7(不符合题意，舍去）
∴x=20．
【提优突破】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及列代数式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确理解题意，列出方程进行解题．
【与图形相关问题】
1．（2023秋·江苏南京·九年级校考开学考试）某单位院内有一块长30m，宽20m的矩形空地，准备将其建成一个矩形花坛，要求在花坛中修两条纵向平行和横向弯折的小道（如图），剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：左右小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
【答案】小道进出口的宽度应为1米
【难度】中等题
【考点】几何面积问题
【易错点】公式应用、实际问题
【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用种植花草的面积为532m2列出方程求解即可．
【详情解析】解：设小道进出口的宽度为x米，
依题意得：30−2x20−x=532，
整理得：x2−35x+34=0，
解得：x1=1，x2=34，
∵34>20（不符合题意，舍去），
∴x=1，
答：小道进出口的宽度应为1米．
【提优突破】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）学校课外兴趣活动小组准条利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平行于墙一边CD长为xm．

(1)如图1，如果矩形花园的一边靠墙AB，另三边由篱笆ECDF围成，当苗圃园的面积为60m2时，求x的值；
(2)如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成，当苗圃园的面积为60m2时，求x的值．
【答案】(1)6
(2)12
【难度】中等题
【考点】几何面积问题、不等式问题
【易错点】公式应用、实际问题、不等式的建立
【分析】（1）可求CE=26−x2，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解；
（2）可求AC=26+8−2x2=17−x，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解．
【详情解析】（1）解：∵四边形ECDF是矩形，
∴ CE=26−x2，
由题意得：26−x2⋅x=60，
整理得：x2−26x+120=0，
解得：x1=6，x2=20，
∵0∴ x=20不合题意舍去，
∴x=6．
答：当苗圃园的面积为60m2时，x的值为6．
（2）解：∵四边形ECDF是矩形，
∴ AC=26+8−2x2=17−x，
∴ 8≤x17−x>0，
解得：8≤x<17，
由题意得：17−x⋅x=60，
整理得：x2−17x+60=0，
解得：x1=5，x2=12，
∴ x=5不合题意舍去，
∴x=12．
答：当苗圃园的面积为60m2时，x的值为12．
【提优突破】本题主要考查了一元二次方程在面积问题中的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系式是解题的关键．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，某市规划在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO=２AN=２CP，AM=OC．已知五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800m，BC=1200m，CD=600m，AE=900m．请问，四边形人工湖OPMN的面积能否为51000m2，若能，求出此时AN的长；若不能，请说明理由．
【答案】能，AN的长为250m或450m
【难度】难题题
【考点】面积问题、割补问题
【易错点】公式应用、实际问题
【分析】设AN=xm，分别求出BN，CP，BO，AM，MH的长度，用x表示四边形人工湖OPMN的面积，利用一元二次方程的判别式可求解．
【详情解析】解：能，理由如下：
如图，延长AE，CD于H，
∵∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCH是矩形，
∴ AB=CH=800，AH=BC=1200，
∵CD=600，AD=900，
∴ EH=300，DH=200，
设AN=xm，则BN=800−x，
∵BO=2AN=2CP，AM=OC，
∴CP=x，BO=2x，AM=NC=1200−2x，
∴MH=2x，PH=800−x，
若四边形人工湖OPMN的面积为51000m2，
S四边形OPMN=1200×800−2×12×2x800−x−2×12x1200−2x=510000，
整理得：4x2−2800x+450000=0，
解得：x1=450，x2=250，
故：能，AN的长为250m或450m．
【提优突破】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，利用参数表示四边形OPMN的面积是解题的关键．
4．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）课本呈现：
问题探究：
(1)小红给出的证明思路为：以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成证明；
(2)如图，将正方形沿图中虚线剪成①②③④四块图形（其中x【答案】(1)见解析
(2)xy=5−12
【难度】难题题
【考点】几何问题、坐标与图形、函数问题
【易错点】图文与函数联系、数形结合思想问题
【分析】（1）以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2，则A(0,5)，C(13,0)，待定系数法求得直线AC的解析式为：y=−513x+5，当x=5时，y=4013>3，可知点E(5,3)在直线AC的下方，当x=8时，y=2513<2，可知点G(8,2)在直线AC的上方，进而可得拼合的长方形内部有空隙；
（2）如图3，由拼图前后的面积相等得：[(x+y)+y]y=(x+y)2，整理得：x2+xy−y2=0，由y≠0，可得xy2+xy−1=0，计算求出满足要求的解即可．
【详情解析】（1）解：以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2，
∵A(0,5)，C(13,0)，
设直线AC的解析式为：y=−kx+5，
将C(13,0)代入，解得k=−513，
∴直线AC的解析式为：y=−513x+5，
当x=5时，y=4013>3，
∴点E(5,3)在直线AC的下方，
当x=8时，y=2513<2，
∴点G(8,2)在直线AC的上方，
∴拼合的长方形内部有空隙；
（2）解：如图3，
由拼图前后的面积相等得：(x+y)+yy=(x+y)2，
整理得：x2+xy−y2=0，
∵y≠0，
∴xy2+xy−1=0，
解得：xy=5−12或xy=−5−12（负值不合题意，舍去）．
∴xy的值为5−12．
【提优突破】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，完全平方公式，一元二次方程的应用．解题的关键在于理解题意以及对知识的灵活运用．
考点三：压轴专题
【动态几何问题】
1．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B匀速运动，点Q以1cm/s的速度向终点D匀速运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为ts．

(1)当t=1时，求四边形BCQP的面积；
(2)当t为何值时，PQ为5cm？
(3)当t=___，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】(1)5cm2
(2)53或73
(3)65或−6+2333或3+72或3−72
【难度】难题
【考点】几何面积问题、动态问题、等腰三角形存在性问题
【易错点】分类讨论、等腰三角形存在问题的解题方法
【分析】（1）先求出BP，CQ，再直接用梯形的面积公式即可；
（2）分当APDQ，两种情况过点P作PG⊥CD于点G，先表示出QG，再用勾股定理建立方程求解即可；
（3）分PD=PQ，PD=DQ，PQ=DQ三种情况，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详情解析】（1）解：由题意知，0≤t≤3，AP=2tcm，CQ=tcm，
∵在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，
∴CD=AB=6cm，BC=AD=2cm，
∴PB=AB−AP=6−2tcm，DQ=CD−CQ=6−tcm．
当t=1时，PB=6−2t=4cm，CQ=t=1cm，
∵BC=2cm，
∴S四边形BCQP=12PB+CQ⋅BC=12×4+1×2=5cm2．
（2）解：如图1所示，当AP过点P作PG⊥CD于点G，则四边形APGD是矩形，
∴PG=AD=2cm，
∴QG=DQ−DG=DQ−AP=6−t−2t=6−3tcm，
在Rt△PGQ中，由勾股定理得：PG2+QG2=PQ2，
∴4+6−3t2=5，
∴t=53或t=73(舍去)．

如图2，当AP>DQ，即2t>6−t，即2过点P作PG⊥CD于点G，则四边形APGD是矩形，
∴PG=AD=2cm，
∴QG=CQ−CG=CQ−PB=t−6−2t=3t−6cm
在Rt△PGQ中，由勾股定理得：PG2+QG2=PQ2，
∴4+(3t−6)2=5，
∴t=73或t=53(舍去)．

综上所述：当t为53或73时，PQ为5cm．
（3）解：在Rt△ADP中，由勾股定理得PD2=AD2+AP2=4+4t2，
∴PQ2=4+6−3t2，．
∵点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形，0≤t≤3，
①当PD=PQ时，即：PD2=PQ2，
∴4+4t2=4+6−3t2，
∴t=6(舍去)或t=65．
②当PD=DQ时，即：PD2=DQ2，
∴4+4t2=6−t2，
∴t=−6−2333(舍去)或t=−6+2333．
③当PQ=DQ时，即，PQ2=DQ2，
∴4+6−3t2=6−t2
∴t=3+72或t=3−72．
综上所述：当t的值为65或−6+2333或3+72或3−72时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．
【提优突破】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，解本题的关键是用时间表示出PQ，DQ，PD，用方程的思想是解本题的难点．
2．（2023秋·江苏徐州·九年级徐州市科技中学校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P由点B以2cm/s的速度沿B→C→D方向向点D运动，动点Q由点A以1cm/s的速度沿A→B方向向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为t s．
(1)连接PD、PQ、DQ，当t为何值时，△PDQ的面积为11cm2?
(2)当点P在BC上运动时，是否存在这样的t值，使得△PDQ是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)没有符合的t值，使△PDQ的面积为11cm2．
(2)当t为43秒或42−4秒时，△PQD是以PD为腰的等腰三角形
【难度】难题
【考点】几何面积问题、动态问题、等腰三角形存在性问题
【易错点】分类讨论、等腰三角形存在问题的解题方法
【分析】（1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解；
（2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以PD为腰的等腰三角形即可说明．
【详情解析】（1）解：如图，当点P在BC上时，此时0≤t≤2，
根据题意，得：
AB=BC=CD=AD=4，AQ=t，BQ=4−t，BP=2t，PC=4−2t，
∵△PDQ的面积为11cm，
∴S△PQD=S正方形ABCD−S△ADQ−S△BPQ−S△CDP=11，
∴4×4−12×4×t−12×2t×4−t−12×4×4−2t=11，
整理，得：t2−2t−3=0，
解得：t1=3 (舍去)，t2=−1（舍去）．
如图，当点P在CD上时，此时2∴DP=4−2t−4=8−2t，
∴S△PQD=128−2t×4=11，
解得t=54（舍去），
∴没有符合的t值，使△PDQ的面积为11cm2．
（2）存在．
如图，当点P在BC上时，
①当PD=QD时，可得：
42+4−2t2=42+t2，
解得：t1=43，t2=4（不合题意，舍去），
②当PD=PQ时，可得：
42+4−2t2=4−t2+2t2
整理，得：t2+8t−16=0，
解得：t1=42−4，t2=−42−4（不合题意，舍去），
如图，当点P在CD上时，此时2可知：DP<4，DQ>4，PQ≥4，
∴不存在以PD为腰的等腰△PQD．
∴当t为43秒或42−4秒时，△PQD是以PD为腰的等腰三角形．
【提优突破】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，割补法求面积．解题的关键是分类讨论思想的运用．
3．（2023春·江苏苏州·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16厘米，BC=20厘米，点D在BC上，且CD=12厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以4厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以5厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒(t>0)．
(1)CP= ；（用t的代数式表示）
(2)连接CE，并运用割补的思想表示△AEC的面积（用t的代数式表示）；
(3)是否存在某一时刻t，使四边形EQDP是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由；
(4)当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
【答案】(1)16−4t
(2)24t
(3)存在，t=1
(4)t=52或3.1
【难度】难题
【考点】几何面积问题、动态问题、平行四边形存在性问题
【易错点】分类讨论、平行四边形存在问题的解题方法
【分析】（1）用AC减去AP的长即可；
（2）连接CE，由平行线的性质可得S△PCD=S△CDE，由S△ACD=S△AEC+S△CDE，可求出PE=3t，再利用三角形面积公式计算即可；
（3）由平行四边形的性质可得QD=PE，可得3t=8−5t，可求t的值；
（4）分两种情况讨论，利用直角三角形的性质和面积和差关系可求解．
【详情解析】（1）解：由题意可得：
CP=AC−AP=16−4t；
（2）如图1，连接CE，
∵PE∥CD，
∴S△PCD=S△CDE，
∵AP=4tcm，
∴CP=AC−AP=(16−4t)cm，
∵S△ACD=S△AEC+S△CDE，
∴ 12×162=16×PE2+12×(16−4t)2，
∴PE=3t，
∴S△AEC=16×3t2=24t；
（3）∵四边形EQDP是平行四边形，
∴PE=DQ，
∴ 3t=8−5t，
∴t=1，
∴当t=1时，使四边形EQDP是平行四边形；
（4）如图2，当∠EQD=90°时，
∵∠C=∠EQD=90°，
∴EQ∥CP，
又∵EP∥CQ，
∴四边形EPCQ是平行四边形，
∴EP=CQ=3t，
∴ 5t+3t=20，
∴t=52；
当∠DEQ=90°时，
∵AC=16cm，CD=12cm，
∴AD=AC2+CD2=162+122=20cm，
∵S△ACD=S△ACQ+S△ADQ，
∴ 12×12×16=12×16×(20−5t)+12×20×QE，
∴QE=4t−325，
∵AE=AP2+PE2=16t2+9t2=5t，
∴DE=20−5t，
∵DQ2=DE2+EQ2，
∴(5t−8)2=(20−5t)2+(4t−325)2，
∴t1=3.1，t2=385（不合题意舍去），
综上所述：t=52或3.1时，△EDQ为直角三角形．
【提优突破】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
4．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．

(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？
(2)连接QB．
①当△BPQ为等腰三角形时，求t的值；
②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得∠PQB=90°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当t=165时，PQ最小，PQ的最小距离为6cm
(2)①当△BPQ为等腰三角形时，t的值为4±72或48−23015或167；②不存在一个时刻，使得∠PQB=90°，理由见解析
【难度】难题
【考点】几何面积问题、动态问题、等腰三角形存在性问题、最小值问题
【易错点】分类讨论、等腰三角形存在问题的解题方法
【分析】（1）首先根据题意，得出AP=3tcm，CQ=2tcm，再根据线段之间数量关系，得出PB=16−3tcm，再根据垂线段最短，得出当PQ⊥AB时，PQ最小，此时四边形BCQP是矩形，再根据矩形的性质，得出CQ=PB，然后代入数据，得出2t=16−3t，解出即可得出答案；
（2）①过点Q作QG⊥AB于点G，得矩形BCQG，矩形AGQD，根据矩形的性质，得出BG=CQ=2tcm，QG=BC=6cm，再根据线段之间数量关系，得出PG=16−5tcm，再根据勾股定理，得出PQ2=16−5t2+62，BQ2=2t2+62，然后分三种情况：当PQ=PB时，当BQ=PB时，当QP=QB时，分别列出方程进行求解，即可得出答案；
②当∠PQB=90°时，根据勾股定理，得出PQ2+BQ2=PB2，进而得出16−5t2+62+2t2+62=16−3t2，整理得出5t2−16t+18=0，再根据一元二次方程的根与判别式的关系，即可得出答案．
【详情解析】（1）解：根据题意，可得：AP=3tcm，CQ=2tcm，
∵AB=16cm，AD=6cm，
∴PB=AB−AP=16−3tcm，
当PQ⊥AB时，PQ最小，此时四边形BCQP是矩形，
∴CQ=PB，
∴2t=16−3t，
解得：t=165，
∴当t=165时，PQ最小，PQ的最小距离为6cm；
（2）解：①如图，过点Q作QG⊥AB于点G，得矩形BCQG，矩形AGQD，

∴BG=CQ=2tcm，QG=BC=6cm，
∴PG=AB−BG−AP=16−2t−3t=16−5tcm，
在Rt△PQG中，
根据勾股定理，可得：PQ2=PG2+QG2=16−5t2+62，BQ2=BG2+QG2=2t2+62，
当PQ=PB时，
可得：16−5t2+62=16−3t2，
整理可得：4t2−16t+9=0，
解得：t=4±72；
当BQ=PB时，
可得：2t2+62=16−3t2，
整理可得：5t2−96t+220=0，
解得：t=48−23015或t=48+23015（不符合题意，舍去），
当QP=QB时，G为PB的中点，
∴16−5t=2t，
解得：t=167，
综上可得：当△BPQ为等腰三角形时，t的值为4±72或48−23015或167；
②不存在一个时刻，使得∠PQB=90°，理由如下：
当∠PQB=90°时，
可得：PQ2+BQ2=PB2，
即16−5t2+62+2t2+62=16−3t2，
整理可得：5t2−16t+18=0，
∵Δ=−162−4×5×18=−104<0，
∴此方程无实数解，
∴不存在一个时刻，使得∠PQB=90°．
【提优突破】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一元二方程、一元二次方程的根与判别式的关系，解本题的关键在利用分类讨论思想解答．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，0≤t≤5

求：
(1)当t为多少秒时，P、Q两点之间的距离是10cm？
(2)用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
(3)当t为多少秒时，S△CPQ=425S△ABC？
【答案】(1)3秒或5秒
(2)S=20t−4t20≤t≤5
(3)2秒或3秒
【难度】难题
【考点】几何面积问题、动态问题、存在性问题、代数式问题
【易错点】存在问题的解题方法
【分析】（1）设运动的时间为t，则CP=20−4t，CQ=2t，根据PQ=10，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，求解即可；
（2）设运动的时间为t，则CP=20−4t，CQ=2t，利用三角形的面积计算公式，即可得出S与t的关系式；
（3）利用三角形的面积计算公式，结合S△CPQ=425S△ABC，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．
【详情解析】（1）解：设运动的时间为t，则CP=20−4t，CQ=2t，
∵在Rt△PCQ中，∠C=90°，PQ=10，
∴PC2+CQ2=PQ2，
即20−4t2+2t2=102，
解得：t1=3，t2=5，
答：当t为3秒或5秒时，P、Q两点之间的距离是10cm；
（2）设运动的时间为t，则CP=20−4t，CQ=2t，
∴SRt△CPQ=12CP⋅CQ=12×20−4t×2t=20t−4t2，
∴Rt△CPQ的面积S=20t−4t20≤t≤5；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15，
∴SRt△ABC=12AC⋅BC=12×20×15=150，
设当运动时间为t秒时，S△CPQ=425S△ABC，
∴20t−4t2=425×150，
解得：解得：t1=2，t2=3，
答：当t为2秒或3秒时，S△CPQ=425S△ABC．
【提优突破】本题考查一元二次方程的应用、列代数式、代数式求值以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用勾股定理，求出PQ的长；（2）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出S；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
6．（2018秋·江苏连云港·九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．

(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm？
(2)若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】(1)85s或245s；
(2)4秒或6秒．
【难度】难题
【考点】几何面积问题、动态问题、直角三角形
【易错点】动态问题的解题方法、分类讨论思想
【分析】（1）过点P作PE⊥CD于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可求得；
（2）根据点P的三个位置进行分类讨论，表示出△PBQ的底和高，代入面积公式即可求得；
【详情解析】（1）解：过点P作PE⊥CD于E，
设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
16−2x−3x2+62=102，
∴x1=85， x2=245；
∴经过85s或245s，P、Q两点之间的距离是10cm；
（2）解：连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当0≤y≤163时，PB=16−3y，
∴12PB⋅BC=12，即12×16−3y×6=12，
解得y=4；
②当163≤y≤223时，BP=3y−16，QC=2y，
则12BP⋅CQ=123y−16×2y=12，
解得y1=6，y2=−23（舍去）；
③223则12QP⋅CB=1222−y×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒，△PBQ的面积为12cm2．
【提优突破】本题考查了动点问题，相关知识点有：勾股定理求长度，解一元二次方程等知识点，分类讨论是本题的解题关键．
7．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间t（秒）．
(1)求DQ、PC的代数表达式；
(2)当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
(3)当0【答案】(1)DQ=16−t，PC=21−2t或PC=2t−21
(2)当t=5或373秒时，四边形PQDC是平行四边形
(3)存在这样的P,使△PQD是等腰三角形,当t=163秒或72秒时，△PQD是等腰三角形
【难度】难题
【考点】几何面积问题、动态问题、等腰三角形存在性问题
【易错点】分类讨论、等腰三角形存在问题的解题方法
【分析】（1）根据题意，写出代数表达式即可；
（2）根据平行四边形的性质知DQ=CP，分当P从B运动到C时，当P从C运动到B时，两种情况进行求解即可；
（3）分PQ=QD、PQ=PD、QD=PD三种情况讨论求出t值即可；
【详情解析】（1）解：根据题意，DQ=16−t，
当点P未到点C时，PC=21−2t；
当点P由点C返回时，PC=2t−21；
（2）∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ=CP，
当P从B运动到C时，
∵DQ=AD−AQ=16−t，
CP=21−2t，
∴16−t=21−2t，
解得：t=5，
当P从C运动到B时，
∵DQ=AD−AQ=16−t，
CP=2t−21，
∴16−t=2t−21，
解得：t=373，
∴当t=5或373秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（3）当PQ=PD时，作PH⊥AD于H，则HQ=HD，
∵QH=HD=12QD=12(16−t)，
∵AH=BP，
∴2t=12(16−t)+t，
∴t=163（秒）；
当PQ=QD时，QH=AH−AQ=BP−AQ=2t−t=t，QD=16−t，
∵QD2=PQ2=t2+122，
∴(16−t)2=122+t2，
解得t=72（秒）；
当QD=PD时，DH=AD−AH=AD−BP=16−2t，
∵QD2=PD2=PH2+HD2=122+(16−2t)2，
∴(16−t)2=122+(16−2t)2，
即3t2−32t+144=0，
∵Δ=−322−4×3×144=−704<0，
∴方程无实根，
综上可知，当t=163秒或72秒时，△PQD是等腰三角形．
【提优突破】本题主要考查平行四边的性质，等腰三角形的性质及动点问题，一元二次方程的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
直觉的误差
有一张8cm×8cm的正方形纸片，面积是64cm2．把这张纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是四边形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个13cm×5cm的长方形，面积是65cm2，面积多了1cm2，这是为什么？
小明给出如下证明：如图2，可知，tan∠CEF=83，tan∠EAB=52，
∵tan∠CEF>tan∠EAB，∴∠CEF>∠EAB．
∵EF∥AB，∴∠EAB+∠AEF=180°，∴CEF+∠AEF>180°．
因此A、E、C三点不共线．同理A、G、C三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了1cm2．