期末专题复习05：圆及其垂径定理【六大专题】-2023-2024学年九年级上学期期末专项复习（苏科版）

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【六大专题目录】
专题一：垂径定理求值
专题二：垂径定理求平行弦问题
专题三：垂径定理求同心圆问题
专题四：垂径定理求其他问题
专题五：垂径定理推论
专题六：垂径定理实际应用
【知识导图】
【专题一：垂径定理求值】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE．若AE＝1，AB=CD=6，则OE的值是（ ）

A．22B．32C．42D．52
【答案】A
【难度】基础题
【考点】垂径定理、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质
【易错点】辅助线问题、知识点的综合应用
【分析】如图所示，过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，根据垂径定理可求出EH的值，再证Rt△OBH≌Rt△OCF(HL)，可得OH=OF，根据正方形的判定可得四边形OHEF为正方形，由此即可求解．
【详情解析】解：如图所示，过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，

∴根据垂径定理得，DF=CF=12CD=12×6=3，AH=BH=12AB=12×6=3，
∵AE=1，
∴EH=AH−AE=3−1=2，
在Rt△OBH和Rt△OCF中，
OB=OCBH=CF，
∴Rt△OBH≌Rt△OCF(HL)，
∴OH=OF，
∵CD⊥AB，
∴∠HEF=90°，
∵∠OHE=∠OFE=90°，
∴四边形OHEF为正方形，OE是正方形的对角线，
∴OE=2EH=22，
故选：A．
【提优突破】本题考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础值，垂径定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB=4，CD=1，则EB的长为（ ）

A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【难度】基础题
【考点】垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理
【易错点】方程思想、知识点的综合应用
【分析】垂径定理得到AC=12AB=2，三角形中位线定理得到EB=2OC，在Rt△ACO中，设OA=x，则OC=x−1，AO2=OC2+AC2，则x2=x−12+22，解得x=52，则OA=52，OC=32，即可得到EB的长．
【详情解析】解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，
∴OC垂直平分AB，AE是⊙O的直径，
∴AC=12AB=2，
∴OC是△ABE的中位线，
∴EB=2OC，
在Rt△ACO中，设OA=x，则OC=x−1，
∵AO2=OC2+AC2，
∴x2=x−12+22，
解得：x=52，
即OA=52，OC=32，
∴EB=2OC=3，
故选：B．
【提优突破】此题考查了垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识，根据勾股定理得到AO2=OC2+AC2是解题的关键．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图像被⊙P截得的弦AB的长为42，则a的值是（ ）

A．4B．3+2C．32D．3+3
【答案】B
【难度】中等题
【考点】垂径定理、函数的性质、等腰三角形性质
【易错点】等腰三角形性质与函数结合
【分析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，求出D点坐标为(3,3)，可得△OCD为等腰直角三角形，从而△PED也为等腰直角三角形．根据垂径定理得AE=BE=22，在Rt△PBE中，利用勾股定理求出PE=1，再求出PD的长即可求解．
【详情解析】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是(3,a)，
∴OC=3,PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D点坐标为(3,3)，
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴∠PDE=∠ODC=45°，
∵PE⊥AB，
∴△PED为等腰直角三角形，AE=BE=12AB=12×42=22，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=32−(22)2=1，
∴PD=2PE=2，
∴a=3+2．
故选B．
【提优突破】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．正确作出辅助线是解答本题的关键．
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为弦作⊙O，并使直角顶点C在⊙O内，点O在△ABC外，若∠OCB=∠CAB，⊙O的半径为7，OC=13，则AB的长为（ ）
A．32B．62C．72D．12
【答案】B
【难度】中等题
【考点】垂径定理、直角三角形斜边中点
【易错点】知识点的综合应用
【分析】取AB中点D，连接CD、OD、OB，利用垂径定理及直角三角形斜边中点性质可得CD=BD=12AB，∠OCD=∠ODB=90°，最后在Rt△ODB中利用勾股定理列方程计算即可．
【详情解析】解：取AB中点D，连接CD、OD、OB，则OB=7
∴∠ODB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD=AD=12AB，
∴∠DCA=∠CAB，∠DCB=∠DBC，∠DCB+∠CAB=90°
∵∠OCB=∠CAB，
∴∠DCB+∠OCB=90°，
∵OC=13，
∴在Rt△OCD中，OD2=OC2+CD2=13+14AB2，
∵在Rt△ODB中，OB2=OD2+BD2
∴72=13+14AB2++14AB2，
解得AB=62（负值舍去），
故选：B．
【提优突破】本题考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形斜边中点等知识，解题的关键是熟记相关的定理以及公式．
5．（2021秋·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】C
【难度】基础题
【考点】垂径定理、三角形中位线
【易错点】知识点的综合应用
【分析】由OD⊥BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位线，则可求得OD的长．
【详情解析】解：∵OD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵OA＝OB，AC＝4
∴OD＝12AC＝2．
故选C．
【提优突破】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6．（2023·山东德州·统考二模）如图，已知锐角∠AOB，按如下步骤作图：（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；③连接OM，MN，ND．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM=∠CODB．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CDD．∠COD=2∠MND
【答案】D
【难度】中等题
【考点】垂径定理、几何图形的基本作法
【易错点】综合知识的灵活应用
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到弧相等，再利用等边三角形的性质得到∠AOB=20°，再利用垂径定理得到弧相等进而得到平行线，利用两点之间线段最短可知D项错误．
【详情解析】解：由作法得：MC=CD=DN，OM=ON=OC=OD，
∴MC⏜=CD⏜=DN⏜，
∴∠COM=∠COD=∠DON，
∴A选项的结论正确；
∵OM=MN，OM=ON，
∴△MON是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∴∠AOB=13∠MON=20°，
∴B选项的结论正确；
作半径OE⊥CD，如图，
∴CE⏜=DE⏜，
∴ME⏜=NE⏜，
∴OE⊥MN，
∴MN∥CD，
∴C选项的结论正确；
∵圆周角∠MND所对的弧为MD⏜，圆心角∠MOD所对的弧为MD⏜，
∴∠MOD=2∠MND，
∵∠MOD>∠COD，
∴2∠MND>∠COD，
∴D选项错误；
故选：D．
【提优突破】本题考查了尺规作图，圆周角性质，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握几何图形的基本作法是解题的关键．
7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A2,2，B4,0，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【答案】B
【难度】基础题
【考点】垂径定理、几何图形的基本作法
【易错点】综合知识的灵活应用
【分析】根据图形作线段AB和PQ的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可．
【详情解析】解：如图
作线段AB和PQ的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心，
故选：B．
【提优突破】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．
8．（2023秋·江苏连云港·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13,0)，一次函数y=kx+3k+4（k为常数，且k≠0）的图像与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为
【答案】24
【难度】基础题
【考点】垂径定理、最值问题、函数问题
【易错点】垂直的弦最短问题
【分析】易知直线 y=kx+3k+4 过定点 D(−3,4)，运用勾股定理可求出 OD，由条件可求出半径OB，由于过圆内定点 D 的所有弦中,与 OD 垂直的弦最短,因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．
【详情解析】解：对于直线 y=kx+3k+4=k(x+3)+4，当 x=−3 时，y=4，
故直线 y=kx+3k+4 恒经过点 (−3,4)，记为点 D；
过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H，
则有 OH=3,DH=4,OD=OH2+OD2=5，
∵点A (13,0)，
∴OA=13,
∴OB=OA=13.
由于过圆内定点 D 的所有弦中，与 OD 垂直的弦最短， 如图所示，

因此运用垂径定理及勾股定理可得：
BC 的最小值为 2BD=2OB2−OD2=2× 132−52=2×12=24；
故答案为：24．
【提优突破】本题主要考查了直线上点的坐标特征、 垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点 (−3,4) 以及运用“过圆内定点 D 的所有弦中，与 OD 垂直的弦最短“这个经验是解决该选择题的关键．
9．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，⊙O的半径是3，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB，BC，AC的垂线，垂足为E，F，G，连接EF．若OG=1，则EF= ．
【答案】22
【难度】基础题
【考点】垂径定理、勾股定理、三角形的中位线
【易错点】知识点综合应用
【分析】连接OC，利用勾股定理求出CG，再结合垂径定理及三角形的中位线求解EF．
【详情解析】解：连接OC，如图．
在Rt△OCG中，CG=OC2−OG2=32−12=22．
∵ OG⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，且O是⊙O的圆心，
∴ AC=2CG=42，AE=BE，BF=CF，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ EF=12AC=22．
故答案为：22．
【提优突破】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
10．（2022秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，A(1,0)、B(5,0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点，当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 ．
【答案】1
【难度】难题
【考点】垂径定理、隐圆问题
【易错点】隐圆的应用
【分析】连接MD，如图，利用垂径定理得到MD⊥EF，则∠ODM=90°，再根据勾股定理得到点D在以OM中点G点为圆心，12OM为半径的圆上，利用点与圆的位置关系可判断当D点为CG与⊙G的交点时，CD的值最小，此时CD＝CG−GD．
【详情解析】连接MD，如图，
∵D为EF的中点，
∴MD⊥EF，
∴∠ODM=90°，
∴点D在以OM为直径的圆上，
∵A(1,0)、B(5,0)，M为AB中点，
∴M点坐标为(3,0)，
令OM的中点为G，连接CG、DG，
∴G坐标为(32，0),⊙G的半径为12OM=32=CG=GM=DG
∵C为弧AB的中点，
∴∠AMC＝90°
∴ΔCGM为直角三角形，
∴CG=CM2+GM2=52
∴当D点为CG与⊙G的交点时，CD的值最小，此时CD=CG−DG=52−32=1，
【提优突破】本题考查了旋转的性质，垂径定理和勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
11．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的半径为4，AB，CD是⊙O的弦，且AB//CD，AB=4，CD=42，则AB和CD之间的距离为 ．
【答案】23±22
【难度】中等题
【考点】垂径定理、分类讨论
【易错点】分类讨论
【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA，OC，根据平行线的性质等到OF⊥CD，再利用垂径定理得到AE=12AB，CF=12CD，再由勾股定理解得OE，OF的长，继而分类讨论解题即可．
【详情解析】作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA，OC，如图，
∵AB//CD
∴OF⊥CD
∴AE=BE=12AB=2，CF=DF=12CD=22
在Rt△OAE中，
∵OA=4，AE=2
∴OE=42−22=23
在Rt△OCF中，
∵OC=4，CF=22
∴OF=42−(22)2=22
当圆心O在AB与CD之间时，
EF=OF+OE=23+22
当圆心O不在AB与CD之间时，
EF=OF−OE=23−22
即AB和CD之间的距离为23±22，
故答案为：23±22．
【提优突破】本题考查勾股定理、垂径定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【专题二：垂径定理求平行弦问题】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6B．42C．43D．45
【答案】C
【答案】1
【难度】基础题
【考点】直角三角形、平行弦问题、勾股定理
【易错点】辅助线、构造出直角三角形
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详情解析】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=OA2−OC2=23，
∴AB=2AC=43.
故答案为C.
【提优突破】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为 cm．
【答案】7或1．
【难度】中等题
【考点】垂径定理、平行弦问题、勾股定理
【易错点】辅助线、分类讨论的思想
【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．
【详情解析】解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∴E、F分别为CD、AB的中点，
∴CE=DE=12CD=3cm，AF=BF=12AB=4cm，
在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，
根据勾股定理得：OF=3cm，
在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，
根据勾股定理得：OE═4cm，
则EF=OE−OF=4cm−3cm=1cm；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，
同理可得EF=4cm+3cm=7cm，
综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．
故答案为：7或1．
【提优突破】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ．
【答案】212
【难度】中等题
【考点】垂径定理以及最短路径问题
【易错点】垂径定理、最短路径
【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．
【详情解析】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，
∴BE＝12AB＝12，CF＝12CD＝9，
∴OE=OB2−BE2=9，OF=OC2−CF2=12，
∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，
BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，
在Rt△BCH中，根据勾股定理得：BC=BH2+CH2=212，
即PA＋PC的最小值为212．
故答案为：212．
【提优突破】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键．
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，⊙M交x轴于A−1,0，B3,0两点，交y轴于C，D0,3两点，点S是DB 上一动点，N是OS的中点，则线段DN的最小值是 ．
【答案】26−52
【难度】中等题
【考点】垂径定理、中位线定理
【易错点】垂径定理，中位线定理，作出相应的辅助线
【分析】在y轴上截取DE=OD，连接ES，根据A−1,0，B3,0，求出点M的坐标为1,1，根据OD=DE，ON=NS，得出DN=12ES，当ES取最小值时，DN才能取得最小值，当且仅当E、S、M三点共线时，ES才能取得最小值，求出EM=12+6−12=26，得出ES最小=EM−SM=26−5，即可得出答案．
【详情解析】解：在y轴上截取DE=OD，连接ES，如图所示：
∵A−1,0，B3,0，
∴圆心M在AB的垂直平分线上，
∴M点的横坐标为1，
设M点的纵坐标为n，
∴M1,n，
∵D0,3，
∴r2=1−02+n−32=3−12+n2，
解得：n=1，r=5，
∴M1,1，
∵OD=DE，ON=NS，
∴DN=12ES，
∴当ES取最小值时，DN才能取得最小值，当且仅当E、S、M三点共线时，ES才能取得最小值，如图所示：
∵E0,6，M1,1，
∴EM=12+6−12=26，
∴ES最小=EM−SM=26−5，
∴DN最小=12EM最小=26−52．
故答案为：26−52．
【提优突破】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，中位线定理，作出相应的辅助线，求出点M的坐标，解题的关键是找出当ES取最小值时，DN才能取得最小值，当且仅当E、S、M三点共线时，ES才能取得最小值．
5．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）【阅读理解】三角形中线长公式：三角形两边平方的和，等于所夹中线和第三边一半的平方和的两倍如左图，在△ABC中，点D是BC中点，则有：AB2+AC2=2AD2+BD2．
【问题解决】请利用上面的结论，解决下面问题：如右图，点C、D是以AB为直径的⊙O上两点，点P是OB的中点，点E是CD的中点，且∠CPD=90°，若AB=8，当△EPB面积最大时，则CD的长为 ．
【答案】42
【难度】难题
【考点】三角形中线长公式，垂径定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理
【易错点】垂径定理，直角三角形斜边上的中线，作出相应的辅助线
【分析】连接CO,EO，根据垂径定理可得OE2+14CD2=16①，取OP的中点Q，则OQ=1，根据三角形中线长公式可得：OE2+EP2=2EQ2+1②，由①②得出 EQ=7，可得E点的轨迹，进而根据三角形中线的性质，以及三角形面积公式，圆上一点到直径的距离，求得当EQ⊥AB时，△EPB面积最大，进而勾股定理求得EP的长，根据直角三角形斜边上的中线即可求解．
【详情解析】解：如图，连接CO,EO，
∵E为CD的中点，
∴OE⊥CD，EP=12CD，
∴CO2=CE2+OE2，
∵AB为⊙O的直径,AB=8,
∴CO=4，
∴OE2=CO2−12CD2=16−14CD2，
∴OE2+14CD2=16①
如图，取OP的中点Q，则OQ=1，
根据三角形中线长公式可得：OE2+EP2=2EQ2+1②
∵EP=12CD，
∴OE2+14CD2=2EQ2+1，
即EQ2=12OE2+14CD2−1②，
将①代入②得：EQ2=12×16−1=7，
∴EQ=7，
∴E在以Q为圆心7为半径的圆上运动，
在△OPE中，P为OB的中点，
∴S△EPB=S△OPE
设点E到AB的距离为ℎ，由S△OPE=12OP⋅ℎ，则当ℎ取得最大值时，S△EPB最大，
∴当EQ⊥AB时，ℎ=EQ，
在Rt△PEQ中，EQ=7,PQ=1，
∴EP=22，
∴CD=2PE=42，
故答案为：42．
【提优突破】本题考查了三角形中线长公式，垂径定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，充分利用三角形中线长公式是解题的关键．
6．（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）如图，在⊙O中，AB是直径，弦EF∥AB．
(1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧EF的中点P；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)如图2，在（1）的条件下连接OP、PF，若OP交弦EF于点Q ，△PQF的面积6，且EF=12，求⊙O的半径；
【答案】(1)见解析
(2)10
【难度】中等题
【考点】几何图形的基本性质、垂径定理
【易错点】垂径定理，作出相应的辅助线
【分析】（1）由圆的对称性，连接AF、BE交于点M，连接OM并延长交⊙O于P点即可；
（2）连接OF，如图，根据垂径定理得到OP⊥EF，EQ=FQ=12EF=6，再利用三角形面积公式计算出PQ=2，设⊙O的半径，则OQ=r−2，OF=r，利用勾股定理得到62+(r−2)2=r2，解方程即可．
【详情解析】（1）解：连接AF、BE，它们相交于点M，连接OM并延长交⊙O于P点，如图1，
点P为所作；
（2）连接OF，如图2，
∵点P为劣弧EF的中点，
∴OP⊥EF，EQ=FQ=12EF=6，
∵△PQF的面积为6，
∴ 12×PQ×6=6，
解得PQ=2，
设⊙O的半径r，则OQ=r−2，OF=r，
在Rt△OQF中，62+(r−2)2=r2，
解得r=10，
即⊙O的半径为10．
【提优突破】本题考查了作图−复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【专题三：垂径定理求同心圆问题】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5B．4C．25 D．27
【答案】D
【难度】基础题
【考点】同心圆、弦心距
【易错点】弦心距的概念和性质
【详情解析】解：∵ O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，
∴ C点是AB的中点，即AC=BC=12AB=6；
并且OC⊥AB，在RtΔAOC中，
由勾股定理得AO2=AC2+OC2，
所以OC2=AO2−AC2；AO=8cm，
所以OC2=82−62=28，
所以OC=27
故选：D
【提优突破】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容.
2．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么AC所对的圆心角的大小是（ ）
A．60°B．75°C．80°D．90°
【答案】D
【难度】基础题
【考点】垂径定理推论、圆心确定
【易错点】径定理的推论
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．
【详情解析】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
连接AQ，CQ，
在△APQ与△QNC中
AP=QN∠APQ=∠QNCPQ=CN，
∴△APQ≌△QNCSAS，
∴∠AQP=∠QCN，∠PAQ=∠CQN，
∵∠AQP+∠PAQ=90°，
∴∠AQP+∠CQN=90°，
∴∠AQC=90°，
即AC所对的圆心角的大小是90°，
故选：D．
【提优突破】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠AC后，恰好经过点O，则∠AOC等于（ ）
A．120°B．125°C．130°D．145°
【答案】A
【难度】中等题
【考点】垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质
【易错点】折叠的性质
【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=12OE，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=12BC，求得∠COB=60°，得到∠AOC=120°，于是得到结论．
【详情解析】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，
∵把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，
∴OD=12OE，OD⊥AC
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴OD∥BC，
∵OA=OB，
∴OD=12BC，
∴BC=OE=OB=OC，
∴△OCB是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠AOC=120°，
【提优突破】本题考查了折叠的性质，垂径定理，中位线的性质，等边三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
4．（2023·江苏·九年级假期作业）在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，AB=24，则CD的长为 ___________．
(2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若AB=EF，求证CD=GH．
【答案】(1)46
(2)见解析
【难度】难题
【考点】垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质
【易错点】辅助线、垂径定理综合使用
【分析】（1）连接OA，OC，过O点作OH⊥AB，则H为AB，CD的中点，得出AH=12AB，CH=12CD，根据勾股定理即可求出CD的长；
（2）过O作OM⊥AB，作ON⊥EF，垂足分别为M、N，得出DM=12CD，HN=12GH，AM=12AB，EN=12EF，连接OA、OE、OD、OH，通过证明Rt△OAM≅Rt△OEN和Rt△ODM≅Rt△OHN，即可得证CD=GH．
【详情解析】（1）连接OA，OC，过O点作OH⊥AB，则H为AB，CD的中点，
∵AB=24，
∴AH=12AB=12×24=12，CH=12CD，
∵OH⊥AB，
∴OH2=OA2−AH2，OH2=OC2−CH2，
∴OA2−AH2=OC2−CH2，
∴132−122=72−CH2，
∴CH=26，
∴CD=2CH=46，
故答案为：46
（2）过O作OM⊥AB，作ON⊥EF，垂足分别为M、N，
∴DM=12CD，HN=12GH，AM=12AB，EN=12EF，
又∵AB=EF，
∴AM=EN，
连接OA、OE、OD、OH，

在Rt△OAM和Rt△OEN中，
OA=OEAM=EN，
∴Rt△OAM≅Rt△OEN，
∴OM=ON，
在Rt△ODM和Rt△OHN中，
OD=OHOM=ON，
∴Rt△ODM≅Rt△OHN，
∴DM=HN，
∴CD=GH．
【提优突破】本题主要考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题的关键．
5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：AC=BD．
(2)若AC=2,BC=4，大圆的半径R=5，求小圆的半径r．
【答案】(1)证明见解析
(2)小圆的半径r为17.
【难度】中等题
【考点】垂径定理，勾股定理、
【易错点】辅助线做法、垂径定理
【分析】（1）过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可知E为CD和AB的中点，则可证得结论；
（2）连接OC,OA，由条件可求得CD的长，则可求得CE和AE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理可求得OE的长，在Rt△COE中可求得OC的长；
【详情解析】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图1，
由垂径定理可得AE=BE,CE=DE,
∴AE−CE=BE−DE,
∴AC=BD.
（2）解：连接OC,OA，如图2，
∵AC=2,BC=4，
∴AB=2+4=6，
∴AE=3，
∴CE=AE−AC=1，
在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2=OA2−AE2=52−32=16，
在Rt△COE中，由勾股定理可得OC2=OE2+CE2=16+12=17,
∴OC=17，即小圆的半径r为17．
【提优突破】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
【专题四：垂径定理求其他问题】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．3+5米C．3米D．3−5米
【答案】D
【难度】基础题
【考点】垂径定理，勾股定理
【易错点】实际应用问题
【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=2，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC−OD即可求解．
【详情解析】解：根据题意和圆的性质知点C为AB的中点，
连接OC交AB于D，
则OC⊥AB，AD=BD=12AB=2，
在Rt△OAD中，OA=3，AD=2，
∴OD=AO2−AD2=5，
∴CD=OC−OD=3−5，
即点C到弦AB所在直线的距离是3−5米，
故选：D．
【提优突破】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，点A是CB中点，则下列结论正确的是（ ）

A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°
C．BC=2AC D．∠BAC+12∠AOC=180°
【答案】B
【难度】基础题
【考点】垂径定理，圆心角、弧、弦的关系
【易错点】圆心角、弧、弦的关系
【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答．
【详情解析】解：A、∵点A是CB中点，
∴AB=AC，
∴AB=AC，
无法得出AB=OC，故选项A错误；
B、如图：连接BO，
∵AB=AC，
∴∠BOA=∠AOC，
∵BO=AO=CO，
∴∠OAC=∠BAO=∠ACO，
∴∠OAC+∠ACO+∠AOC=∠BAC+∠AOC=180°，故此选项正确；
C、∵AB=AC，AB+AC>BC，
∴BC≠2AC，故选项C错误；
D、无法得出∠BAC+12∠AOC=180°，故选项D错误．
故选：B．

【提优突破】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED=1寸，AB=10寸，求直径CD的长．”则CD= 寸．

【答案】26
【难度】基础题
【考点】垂径定理，勾股定理
【易错点】垂径定理应用
【分析】连接AO，设⊙O的半径为r寸，则OA=r寸，OE=r−1寸，由垂径定理得AE=BE=12AB=5寸，由勾股定理得52+r−12=r2，解方程求出r，从而得到直径CD的值．
【详情解析】解：如图，连接AO，
，
设⊙O的半径为r寸，则OA=r寸，OE=r−1寸，
∵ AB⊥DC，AB=10寸，
∴AE=BE=12AB=5寸，
在Rt△AOE中，AE2+OE2=OA2，
即52+r−12=r2，
解得：r=13寸，
∴CD=2r=26寸，
故答案为：26．
【提优突破】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
4．（2022春·江苏·九年级期末）【数学认识】
数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系．
【构造模型】
（1）如图①，已知△ABC，在直线BC上用直尺与圆规作点D，使得∠ADB＝12∠ACB．
（不写作法，保留作图痕迹）
【应用模型】
已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为r，△ABC的周长为c．
（2）如图②，若r＝5，AB＝8，求c的取值范围．
（3）如图③，已知线段MN，AB是⊙O一条定长的弦，用直尺与圆规作点C，使得c＝MN．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析；（2）16＜c≤8＋85；（3）见解析
【难度】难题
【考点】垂径定理，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，综合作图问题
【易错点】综合作图问题
【分析】（1）可找到两个这样的点：①当点D在BC的延长线上时：以点C为圆心，AC长为半径，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；②当点D在CB的延长线上时：以点A为圆心，AD长为半径，交CB的延长线于点D1，连接AD1，即为所求；两种情况均可利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质证明；
（2）考虑最极端的情况：当C与A或B重合时，则CA+CB=AB=8，可得此时c=16，根据题意可得c>16，当点C为优弧AB的中点时，连接AC并延长至D，使得CD=CB，利用等腰三角形的性质及三角形外角性质可得点D的运动轨迹为一个圆，点C为优弧AB的中点时，点C即为△ABD外接圆的圆心，AC长为半径，连接CO并延长交AB于点E，连接AO，根据垂径定理及勾股定理可得AC=45，当AD为直径时，c最大即可得；
（3）依照（1）（2）的做法，方法一：第1步：作AB的垂直平分线交⊙O于点P；第2步：以点P为圆心，PA为半径作⊙P；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交⊙P于点E；第5步：连接AE交⊙O于点C，即为所求；方法二：第1步：在圆上取点D，连接AD、BD，延长AD使得ED=BD；第2步：作△ABE的外接圆；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以点A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交△ABE的外接圆于点F；第5步：连接AF交⊙O于点C，即为所求．
【详情解析】（1）如图所示：①当点D在BC的延长线上时：以点C为圆心，AC长为半径，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；②当点D在CB的延长线上时：以点A为圆心，AD长为半径，交CB的延长线于点D1，连接AD1，即为所求；
证明：①∵AC=CD，
∴∠CDA=∠CAD，
∴∠CDA=12∠BCA；
同理可证明∠CD1A=12∠BCA；
（2）当C与A或B重合时，则CA+CB=AB=8，
∴c=CA+CB+AB=16，
∵△ABC，
∴c>16，
如图，当点C为优弧AB的中点时，连接AC并延长至D，使得CD=CB，
∴∠D=12∠ACB，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠ACB为定角，
∴∠D为定角，
∴点D的运动轨迹为一个圆，当点C为优弧AB的中点时，点C即为△ABD外接圆的圆心，AC长为半径，连接CO并延长交AB于点E，连接AO，
由垂径定理可得：CE垂直平分AB，
∴AE=12AB=4，
在Rt△AOE中，
OE=AO2−AE2=3，
∴CE=5+3=8，
∴AC=AE2+CE2=42+82=45，
∴AD为直径时最长，
∴AC+BC=AD=85最长，
∴△ABC的周长最长．
∴c最长为AB+AC+BC=8+85，
∴c的取值范围为：16（3）方法一：
第1步：作AB的垂直平分线交⊙O于点P；
第2步：以点P为圆心，PA为半径作⊙P；
第3步：在MN上截取AB的长度；
第4步：以A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交⊙P于点E；
第5步：连接AE交⊙O于点C，即为所求；
方法二：
第1步：在圆上取点D，连接AD、BD，延长AD使得ED=BD；
第2步：作△ABE的外接圆；
第3步：在MN上截取AB的长度；
第4步：以点A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交△ABE的外接圆于点F；
第5步：连接AF交⊙O于点C，即为所求．
【提优突破】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，勾股定理，垂径定理，角的作法等，理解题意，综合运用各个知识点作图是解题关键．
5．（2021·江苏·九年级自主招生）已知y=4x(x>0)上有点P，以P为圆心，OP长为半径画图，分别交x轴，y轴于A，B两点．
（1）三角形AOB的面积是否为定值？若为，求出；若不为，说明理由．
（2）y=−2x+4与⊙P交于M，N两点，且OM=ON，求⊙P的面积．
（3）若定点Q(a,a)到P的最小距离为32，求所有满足条件的a的值．
【答案】（1）为，8；（2）10π；（3）-1或26
【难度】难题
【考点】函数问题、最值问题、三角形问题、不等式的性质
【易错点】最值问题、不等式的性质
【分析】（1）连接AB，可得AB为圆P直径，设A（2a，0），B（0，2b），可得P（a，b），由三角形面积公式可得结论；
（2）根据y=-2x+4求出GO=4，QO=2，根据勾股定理求出GQ=25，由垂径定理得OP⊥GQ，根据等积关系计算出OE，EF，EH，从而得出点E坐标（85，45），进一步求出直线OP的解析式，设P(x,4x)代入求得x的值，从而求出OP，根据圆的面积公式求解即可；
（3）设P(x,4x)，求出PQ2=2a2−2a(x+4x)+(x+4x)2−8，令t=x+4x，则t≥2x⋅4x=4，把PQ2化简为PQ2=(t−a)2+a2−8，然后分两种情况讨论求解即可．
【详情解析】解：如图，连接AB，
∵∠AOB=90°
∴AB为圆P直径，即AB的中点为点P,
设A（2a，0），B（0，2b），
∴P(2a+02,0+2b2)，即P(a,b)
∵点P在y=4x(x>0)上
∴ab=4
∴SΔABO=12⋅OA⋅OB=2ab=8
即ΔAOB的面积为定值8；
（2）设直线y=-2x+4与x轴交于点Q，与y轴交于点G，与OP交于点E，过点E作EF⊥y轴，EH⊥x轴，垂足分别为F，H，如图，
∵M，N在圆P上，且OM=ON
∴OP⊥MN
对于y=-2x+4，令x=0，则y=4；令y=0，则x=2
∴OG=4，OQ=2
由勾股定理得，GQ=OG2+OQ2=42+22=25
又12OG·OQ=12GQ·OE
∴OE=OG·OQGQ=4×225=455
又GE=GO2−OE2=42−(455)2=855，EQ=OQ2−OE2=22−(455)2=255
同理可得，EF=85，EQ=45
∴E(85,45)
设直线OP的解析式为y=kx，则85k=45
∴k=12
∴直线OP的解析式为y=12x
设P（x，4x），则有12x=4x
解得，x=22或x=−22（舍去）
∴P(22，2)
∴PO=(22)2+(2)2=10
∴⊙P的面积为：π·PO2=10π
（3）设P(x,4x)，
∵Q(a,a)
∴PQ2=(a−x)2+(a−4x)2
=2a2−2a(x+4x)+x2+16x2
=2a2−2a(x+4x)+(x+4x)2−8
令t=x+4x，则t≥2x⋅4x=4，
∴PQ2=t2−2at+2a2−8=(t−a)2+a2−8
①当a<4时，t=4时PQ最小，则有：
(4−a)2+a2−8=18
解得，a=−1，或a=5（舍去）
②当a≥4，t=a时PQ最小，则有：
a2−8=18
解得，a=−26（舍去）或a=26
综上，a的值为：-1或26．
【提优突破】本题主要考查了坐标与图形，圆的性质，垂径定理，用待定系数法求一次函数解析，反比例函数，勾股定理以及不等式的性质等知识，得到t≥4以及灵活运用分类讨论思想解题是关键．
6．（2023·江苏盐城·统考二模）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．

(1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同侧，画出∠ACB的平分线CN．并说明理由；
(2)如图②，若DE∥AB，画出∠ACB的平分线CP．
【答案】(1)画图，理由见解析
画图见解析
【难度】中等题
【考点】作图−复杂作图，角平分线的概念，圆周角定理
【易错点】圆周角定理、基本作图
【分析】（1）作直径MN，作射线CN即可，理由见解析；
（2）连接AE，BD交于点J，作直线OJ交⊙O于点P，作射线CP即可，由DE∥AB可得AD=BE，从而得出∠EAB=∠DBA，从而得出JA=JB，再由等腰三角形性质得出OJ⊥AB，推出AP=BP，最后得出结论．
【详情解析】（1）如图①，CN即为所求∠ACB的平分线；

证明：∵M是半圆的中点，
∴∠AOM=90°，
∴直径MN⊥直径AB，
∴AN=BN，
∴∠CAN=∠BCN，
即CN平分∠ACB．
（2）如图2中，射线CP即为所求．

【提优突破】本题考查作图−复杂作图，角平分线的概念，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．（2022·江苏无锡·校考一模）请用无刻度尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）如图1，点E是矩形ABCD边AD的中点过E画矩形的一条对称轴交BC于F；
（2）如图2，正方形ABCD中，点E是AB的中点，在BC上找一点G，使得AG⊥DE；
（3）如图3，在正六边形ABCDEF中．点G是AF上一点，在CD上找一点H，使得EH=BG；
（4）如图4，在⊙O中，点D是劣弧AC的中点，点B是优弧AC上一点，在⊙O上找一点I，使得BI//AC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；
【难度】中等题
【考点】作图−复杂作图，全等三角形的性质和判定、
【易错点】圆综合问题、作图
【分析】（1）连接AC和BD，通过矩形的对角线找到矩形的中心，连接E和中心做线段即可；
（2）连接BD和EC交点于O，根据轴对称的性质可得到△BEO≌△BOG，因此AE=EB=BG=12BC，可证出∠BAG=30°和∠AED=60°，因此AG⊥DE，G即为所求；
（3）连接AD和FC交于点O，连接GO并延长交CD于H，连接EH，由轴对称的性质可得到△ABG≌△EHD，故AG=HD，H即为所求；
（4）连接CB，再连接DO并延长交BC于点P，连接AP并延长交圆于点I，由垂径定理即可征得PD⊥AC，PD⊥BI，可得到BI//AC，I即为所求；
【详情解析】如图所示：
【提优突破】本题主要考查了直尺作图的方法以及一些常用平面几何结论，其中涉及到了轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，垂径定理，平行线的判定等知识点，灵活运用各性质找到关键点是解题的关键．
8．（2022·江苏·九年级专题练习）阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理--“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：
AB2+AC2=2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，
同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，
∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
理解运用：
（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB=6，AC=4，BC=8，则AD= ；
②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA=22，点B和点C在⊙O上，且∠BAC=90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为 ；
拓展延伸：
（3）小明解决上述问题后，联想到如下的题目：
如图4，已知⊙O的半径为55，以A（-3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．
请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）①10；②4；（3）AD长的最大值为10．
【难度】难题
【考点】圆的性质、中线定理、勾股定理、坐标与图形的性质
【易错点】综合知识点应用
【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，根据勾股定理即可证明；
（2）①利用中线定理计算即可；②利用中线定理即可解决；
（3）如图4中，连接OA，取OA的中点E，连接DE．利用中线定理求出DE，再利用三边关系即可解决问题；
【详情解析】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，
在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，
同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，
∴AB2+AC2=2AE2+（x+y）2+（x-y）2=2AE2+2x2+2y2
=2AE2+2BD2+2DE2
=2AD2+2BD2；
（2）①∵AB2+AC2=2AD2+2BD2，
∴62+42=2AD2+2×42，
∴AD=10；
②如图3中，
∵AF是△ABC的中线，EF是△AEO的中线，OF是△BOC的中线，
∵2EF2+2AE2=AF2+OF2，
2AF2+2BF2=AB2+AC2，
OF2=OB2-BF2，
∴4EF2=2OB2-4AE2=2OB2-OA2，
∴EF2=12OB2-14OA2=16，
∴EF=4（负根舍弃），
故答案为：①10；②4；
（3）如图4中，连接OA，取OA的中点E，连接DE．
由（2）的②可知：DE2=12OB2-14OA2=2254，
∴DE=152；
在△ADE中，AE=52，DE=152，
∵AD≤AE+DE，
∴AD长的最大值为52+152=10．
【提优突破】本题考查了圆的性质、中线定理、勾股定理、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会添加辅助线解决问题，属于中考压轴题．
【专题五：垂径定理推论】
1．（2022秋·江苏·九年级期中）如图，△ABC内接于⊙O，DE，FG是⊙O的弦，AB＝DE，FG＝AC．下列结论：①DE+FG=BC；②DE+FG=BC；③∠DOE+∠FOG=∠BOC；④∠DEO+∠FGO=∠BAC．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④B．②③C．②④D．②③④
【答案】D
【难度】中等题
【考点】圆的基本性质、三角形、圆心角、弧、弦之间是关系
【易错点】垂径定理推论
【分析】根据AB=DE，FG=AC，三角形三边关系得到DE+FG>BC，①错误；根据同圆中等弦对等弧得到AB=DE，FG=AC．推出DE+FG=AB+AC，得到DE+FG=BC，②正确；连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，根据同圆中等弦所对圆心角相等得到∠AOB=∠DOE，∠AOC=∠FOG，得到∠AOB+∠AOC=∠DOE+∠FOG，得到∠DOE+∠FOG=∠BOC，③正确；根据同圆的半径相等，等边对等角得到，∠OAB=∠OBA=180°−∠AOB2=90°−12∠AOB，∠OAC=90°−12∠AOC，∠DEO=90°−12∠DOE，∠FGO=90°−12∠FOG，根据∠AOB=∠DOE，∠AOC=∠FOG，推出∠DEO=∠OAB，∠FGO=∠OAC，得到∠DEO+∠FGO=∠OAB+∠OAC=∠BAC，④正确．
【详情解析】解：∵AB+AC>BC，AB=DE，FG=AC，
∴DE+FG>BC．
∴①错误；
∵AB=DE，FG=AC，
∴AB=DE，FG=AC．
∴DE+FG=AB+AC，
∴DE+FG=BC，
∴②正确；
连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，如图，
∵AB=DE，FG=AC，
∴∠AOB=∠DOE，∠AOC=∠FOG，
∴∠DOE+∠FOG=∠AOB+∠AOC=∠BOC；
∴③正确；
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=180°−∠AOB2=90°−12∠AOB．
同理可得：
∠OAC=90°−12∠AOC，
∠DEO=90°−12∠DOE，
∠FGO=90°−12∠FOG．
∵∠AOB=∠DOE，∠AOC=∠FOG，
∴∠DEO=∠OAB，∠FGO=∠OAC，
∴∠DEO+∠FGO=∠OAB+∠OAC=∠BAC．
∴④正确．
∴正确的序号为：②③④．
故选：D．
【提优突破】本题主要考查了圆的基本性质，解决问题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦之间是关系，三角形三边的关系，等腰三角形的性质．
2．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，在半径为5的⊙A中，弦BC，DE所对的圆心角分别是∠BAC，∠DAE．若DE=6，∠BAC+∠DAE=180°，则弦BC的弦心距为（ ）.
A．412B．342C．4D．3
【答案】D
【难度】中等题
【考点】圆的基本性质、垂径定理和三角形中位线性质
【易错点】垂径定理推论
【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=12BF=3．
【详情解析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴DE=BF，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=12BF=3,
故选：D.
【提优突破】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质，掌握以上知识是解题的关键．
3．（2022秋·江苏·九年级期中）【概念提出】
圆心到弦的距离叫作该弦的弦心距．
【数学理解】
如图①，在⊙O中，AB是弦，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．
（1）若⊙O的半径为5，OP的长为3，则AB的长为 ．
（2）若⊙O的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：
①AB的长随着OP的长的增大而增大；
②AB的长随着OP的长的增大而减小；
③AB的长随着OP的长的确定而确定；
④AB的长与OP的长无关．
其中所有正确结论的序号是 ．
【问题解决】
如图②，已知线段EF，MN，点Q是⊙O内一定点．
（3）用直尺和圆规过点Q作弦AB，满足AB＝EF；（保留作图痕迹，不写作法）
（4）若弦AB，CD都过点Q，AB＋CD＝MN，且AB⊥CD．设⊙O的半径为r，OQ的长为d，MN的长为l．
①求AB，CD的长（用含r，d，l的代数式表示）；
②写出作AB，CD的思路．
【答案】（1）8．（2）②③；（3）见解析；（4）①AB＝l−16r2−8d2−l22，CD＝l+16r2−8d2−l22；②见解析
【难度】难题
【考点】圆的基本性质、弦心距
【易错点】垂径定理推论
【分析】（1）连接OA，先根据垂径定理得出AP=12AB，再根据勾股定理求出AP的长，即可求得AB的长；
（2）设半径为r不变，得出AB=2r2−p2，然后根据式子判断即可；
（3）利用弦心距及线段的垂直平分线作图即可；
（4）①设AB＝2m，CD＝2n，列出关于m和n的二元一次方程组求解即可；
②类比（3）的作图方法即可．
【详情解析】（1）解：连接OA．
∵OP⊥AB，
∴AP=12AB，
∵OA=5，OP=3，
∴AP=OA2−OP2=52−32=4，
∴AB=2AP=8．
（2）设半径为r不变，
∴AB=AP+BP=OA2−OP2+OB2−OP2=2r2−p2，
当r不变，OP的长增大时，AB减小；OP长确定时，AB也确定，
∴选②③
（3）如图，弦AB，满足AB＝EF；
（4）①解：设AB＝2m，CD＝2n，如图，可得：
r2−m2+r2−n2=d22m+2n=l.，解得m=l−16r2−8d2−t24,n=l+16r2−8d2−t24
∴ AB＝l−16r2−8d2−l22，CD＝l+16r2−8d2−l22，
②作图思路：先作斜边为4r，一条直角边为22d，另一条直角边为16r2−8d2的直角三角形；后作斜边为16r2−8d2，一条直角边为l，另一条直角边为16r2−8d2−12的直角三角形；再在⊙O中作出长为1−16r2−8d2−l22的弦，再如（3）中作法过点Q作弦AB；最后过点Q作AB的垂直弦CD．
【提优突破】本题考查了垂径定理，勾股定理及圆的弦心距，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，AB=8，CD=6，弦AB、CD之间的距离为7．
（1）求证：弧AD=弧BC．
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）25π−504
【难度】难题
【考点】圆的基本性质、不规则图形的面积、勾股定理
【易错点】不规则图形的面积
【分析】（1）过点O作OM⊥AB，延长MO交CD于点N，连接OA、OB、OC、OD，通过证明△DON≌△OAM推出∠AOD=90°，∠BOC=90°，根据相等的圆心角所对的弧相等即可得出结论；
（2）根据S阴=S扇形BOC−S△BOC代入数值求解即可．
【详情解析】解：（1）过点O作OM⊥AB，延长MO交CD于点N，连接OA、OB、OC、OD，
∵AB//CD，
∴ON⊥CD，
∴AM=12AB=4，CN=12CD=3，MN=7，
在Rt△AOM中，∵OM2+AM2=OA2，
∴OM2+42=r2①，
在Rt△CON中，∵ON2+CN2=OC2，
∴ON2+32=r2②，
②−①得ON2−OM2=7，
∴(ON+OM)(ON−OM)=7，
∴ON−OM=1，
∴ON=4，OM=3，
∴OA=AM2+OM2=5，ON=AM，DN=OM，
在△DON和△OAM中，OD=OADN=OMON=AM，
∴△DON≌△OAM，
∴∠AOM=∠ODN，
∴∠AOM+∠DON=∠ODN+∠DON=90°，
∴∠AOD=90°，
同理可得∠BOC=90°，
∴AD⏜=BC⏜；
（2）S阴=S扇形BOC−S△BOC=90π⋅52360−12×5×5=25π−504．
【提优突破】本题考查圆的基本性质、不规则图形的面积、勾股定理等内容，作出辅助线是解题的关键．
5．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期末）如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且CF=CB，BF交CG于点E，求证：CE＝BE．
【答案】见解析．
【难度】难题
【考点】垂径定理、圆周角定理、全等三角形的性质和判定
【易错点】综合应用
【分析】证法一：连接CB，可证CF=GB，从而可证明CE＝BE；
证法二：作ON⊥BF，垂足为N，连接OE，证明△ONE≌△ODE，可得NE＝DE，再结合垂径定理可得BN＝CD，再根据线段的差即可证明结论；
证法三：连接OC交BF于点N，只需要证明△CNE≌△BDE即可证明结论．
【详情解析】证法一：如图(1)，连接BC，
∵ AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，
∴CB=GB,
∵CF=BC，
∴CF=GB，
∴∠C＝∠CBE，
∴CE＝BE．
证法二：如图(2)，作ON⊥BF，垂足为N，连接OE．
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CG，
∴CB=BG，
∵CB=CF，
∴CF=BC=BG，
∴BF＝CG，ON＝OD，
∵∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，
∴△ONE≌△ODE（HL），
∴NE＝DE．
∵BN=12BF，CD=12CG，
∴BN＝CD，
∴BN-EN＝CD-ED，
∴BE＝CE．
证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N．
∵CF=BC，
∴OC⊥BF，
∵AB是⊙O的直径，CG⊥AB，
∴BG=BC，
∴CF=BG=BC，
∴BF=CG，ON=OD，
∵OC＝OB，
∴OC-ON＝OB-OD，
即CN＝BD，
又∠CNE＝∠BDE＝90°，
∠CEN＝∠BED，
∴△CNE≌△BDE，
∴CE＝BE．
【提优突破】本题考查垂径定理、圆周角定理、全等三角形的性质和判定等．熟练掌握垂径定理及其推理是解题关键．
【专题六：垂径定理实际应用】
1．（2020秋·江苏盐城·九年级校考期中）[阅读材料]如图1所示，对于平面内⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中点M，我们把弦AB的中点M到某点或某直线的距离叫做弦AB到这点或者这条直线的“密距”例如：图1中线段MO的长度即为弦AB到原点O的“密距”，过点M作y轴的垂线交y轴于点N线段MN的长度即为弦AB到y轴的“密距”．
[类比应用]
已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2，弦AB的长度为2，弦AB的中点为M．
（1）当AB//y轴时，如图2所示，圆心P到弦AB的中点M的距离是____，此时弦AB到原点O的“密距”是 ；
（2）①如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中，圆心P到弦AB的中点M的距离变化吗?若不变化，请求出PM的长，若变化，请说明理由．
②直接写出弦AB到原点O的“密距”d的取值范围 ；
[拓展应用]如图3所示，已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2,点A（0，2），点B为⊙P上白一动点，有直线y=-x-3，弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值是 ．（直接写出答案）
【答案】【类比应用】（1）3；19；（2）①不变化，PM长为3；②4−3≤d≤4+3；【拓展应用】32+1．
【难度】难题
【考点】新定义、最值问题、动点轨迹
【易错点】动点轨迹
【分析】[类比应用]：（1）理解“密距”之意义，运用垂径定理相关知识，构造直角三角形，运用勾股定理容易作答．（2）①运用同圆中等弦的的弦心距相等，易得答；②运用两点之间线段最短，易得弦AB到原点O的“密距”d的取值范围．
[拓展应用]：先证得弦AB的中点M运动轨迹是以(0,3)为圆心，以1为半径的圆，再求出此圆心到直线y=-x-3的“密距”，加1即可得弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值．
【详情解析】[类比应用]（1）如下图2
连接PA、PM、OM、
∵P为圆心，M是弦AB（非直径）的中点
∴PM⊥AB
在RT△PAM中，由勾股定理得
PM=PA2−AM2=PA2−(12AB)2=22−1=3
即圆心P到弦AB的中点M的距离是3；
∵AB∥y轴
∴PM⊥y轴
在RT△OMP中，由勾股定理得
OM=PM2+OP2=(3)2+42=19
∴由“密距”的意义得
弦AB到原点O的“密距”是19．
（2）①不变化
连接PM、PA、
∵点M是弦AB（非直径）的中点，P为圆心，
∴PM⊥AB，MA=MB=1，
∴PM=PA2−PM2=3
②由图知OP−PM≤OM≤OP+PM
∴4−3≤d≤4+3；
[拓展应用]：如下图3
C是PA中点，连接CM、过C作CD⊥EF于D
∵M是AB（非直径）中点，P是⊙P的圆心
∴PM⊥AB
又∵C是PA中点
∴CM=AP2=1
当AB是⊙P的直径时，CM=CP=1
∴当B点在⊙P上运动是，M的运动轨迹是以C为圆心，以1为半径的圆．
易知直线y=-x-3与两坐标轴的交点为E(0,-3)、F(-3,0)
∴OE=OF=3，
∴EC=AO+OE+AC=2+3+1=6
又∵x轴⊥y轴
∴∠DEC=45°
∴CD=CEsin∠DEC=6sin45°=32
由图易知M到EF的最远距离为CD+CM=32+1
所以弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值为32+1．
【提优突破】此题主要考查垂径定理的相关知识．其关键是读懂题意理解“密距”，在拓展应用中还有一关键是发现弦AB的中点的轨迹是圆．
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．
(1)如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形；
(2)如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦；
(3)已知⊙O的半径为10，AB，CD是⊙O的等垂弦，P为等垂点．若AP=3BP，求AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)AB=85或45
【难度】难题
【考点】新定义、圆的有关知识，全等三角形的判定和性质
【易错点】综合应用能力
【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形ADOE是矩形，根据垂径定理得出OD=OE，即可判定矩形ADOE是正方形；
（2）连接AC，由圆心角、弦的关系可得AB=CD，由圆周角定理可得∠BAC=12∠BOC=45°，∠ACD=12∠AOD=45°，可证AB⊥CD，可得结论；
（3）分两种情况讨论，过点O作OH⊥AB，作OG⊥CD，可证矩形OHPG为正方形，利用勾股定理可求解．
【详情解析】（1）证明：∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠A=∠ADO=∠AEO=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB，AC是⊙O的等垂弦，
∴AB=AC，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD=OE，
∴矩形ADOE是正方形；
（2）证明：设AB交CD于点E，连接AC，
∵OD⊥OA，OC⊥OB，
∴∠AOD=∠BOC=90°，
∴∠AOB=∠COD，
∴AB=CD，
∵∠BAC=12∠BOC=45°，∠ACD=12∠AOD=45°，
∴∠BEC=∠ACD+∠BAC=90°，
即AB⊥CD，
∵AB=CD，AB⊥CD，
∴AB，AC是⊙O的等垂弦；
（3）解：若点P在⊙O内，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，如图，
∵AB，CD是⊙O的等垂弦，
∴AB=CD，AB⊥CD，
∴四边形OHPG是矩形，
∵OH⊥AB，OG⊥CD，
∴AH=12AB，DG=12CD，∠AHO=∠DGO=90°，
∴AH=DG，
又∵OA=OD，
∴Rt△AHO≌Rt△DGO(HL)，
∴OH=OG，
∴矩形OHPG为正方形，
∴OH=HP，
∵AP=3BP，且AH=BH，
∴AH=2BP=2OH，
在Rt△AOH中，AO2=AH2+OH2，
即2OH2+OH2=AO2=100，
解得OH=25，
∴HP=25，
∴AB=4HP=85；
若点P在⊙O外，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，如图，
同理，AH=25，则AB=2AH=45；
∴AB=85或45．
【提优突破】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
3．（2022秋·江苏·九年级阶段练习）图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆AB的中点，（即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节CD的高度．当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值10cm，在支架水平放置的状态下：
(1)当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度．
(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（AE=AB），求该手机的宽度．
【答案】(1)支撑杆CD的高度为9cm．
(2)手机的宽度为8cm．
【难度】中等题
【考点】垂径定理的应用、勾股定理的应用
【易错点】垂径定理的应用
【分析】（1）如图，连结OA，由题意可得：⊙O的直径为10，AB=6, 由OD⊥AB, 先求解OD, 从而可得答案；
（2）如图，记圆心为O，连结OA，证明AE=CD=BF=AB, 设AD=BD=x,则AE=CD=BF=AB=2x,则OD=2x−5, 再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详情解析】（1）解：如图，连结OA，由题意可得：⊙O的直径为10，AB=6,
∴OA=5,
∵CD⊥AB, 即OD⊥AB,
∴AD=BD=3,
∴OD=52−32=4,
∴CD=OC+OD=9.
所以此时支撑杆CD的高度为9cm．
（2）解：如图，记圆心为O，连结OA，
由题意可得：AB=AE,∠E=∠EAB=∠ABF=90°,
∴四边形AEFB为正方形，
∵CD⊥EF,
∴AE=CD=BF=AB,
∵CD⊥AB,
∴ 设AD=BD=x,
则AE=CD=BF=AB=2x,
∵OA=OC=5,
∴OD=2x−5,
由勾股定理可得：52=x2+(2x−5)2,
解得x1=0,x2=4,
经检验x=0不符合题意，舍去，取x=4,
AB=8（cm），
即手机的宽度为8cm．
【提优突破】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，建立方程解题是关键．
4．（2021·江苏南通·南通田家炳中学校考二模）（1）风筝起源于中国，至今已有2300多年的历史，如图1，在小明设计的“风筝”图案中，已知AB=AD，∠B=∠D，∠BAE=∠DAC．求证：AC=AE；
（2）如图2，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是弧CD的圆心，E为弧CD上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD=600m，EF=100m，求这段弯路的半径．
【答案】（1）答案见解析；（2）这段弯路的半径是500m
【难度】中等题
【考点】垂径定理的应用、方程思想
【易错点】垂径定理的应用、几何问题
【分析】（1）由“ASA”可证△BAC≌△DAE，可得AC=AE．
（2）根据垂径定理即可求得CF的长，设这段弯路的半径长是r，则在直角△OCF中，OE=r，OF=(r-100)m，CF=300m利用勾股定理即可列方程即可求得r的长
【详情解析】（1）证明：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
∠B＝∠DAB＝AD∠BAC＝∠DAE，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC=AE．
（2）连接CO，如图，∵OF⊥CD，
∴△OFC是直角三角形，
∵CD=600m，EF=100m，
∴CF=300m，
设OC=r，则OF=r-100
根据勾股定理：r2=（r-100）2+3002
则r=500，
∴这段弯路的半径是500m．
【提优突破】本题考查了全等三角形的判定和性质，用方程解几何问题，方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现．
5．（2019秋·江苏镇江·九年级校联考阶段练习）【操作思考】画⊙O和⊙O的直径AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足为P（如图1）．猜想所画的图中有哪些相等的线段、相等的劣弧？（OA=OB除外）．
（1）猜想：① ；② ；③ ．
操作：将图1中的ADB沿着直径AB翻折，因为圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴，所以ADB与ACB重合，又因为∠APD=∠APC=90∘，所以射线PD与射线PC重合（如图2），于是点C与点D重合，从而证实猜想．
【知识应用】图3是某品牌的香水瓶，从正面看上去（如图4），它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在EF上），其中EF∥GH．
（2）已知⊙O的半径为3cm，AB=3cm，EF=3.6cm，GH=4.8cm，求香水瓶的高度ℎ．
【答案】（1）CP=DP，AC=AD，BC=BD；（2）7.2cm
【难度】中等题
【考点】垂径定理的应用、勾股定理
【易错点】垂径定理的应用、几何问题
【分析】（1）根据轴对称图形的定义及垂径定理即可得到答案；
（2）作OM⊥EF，延长MO角GH于N，连接OE、OG，根据垂径定理分别求出EM、GN，利用勾股定理求出OM、ON，即可得到答案.
【详情解析】（1）∵⊙O的直径AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足为P，
∴相等的线段是：CP=DP，相等的劣弧是：AC=AD ，BC=BD，
故答案为：CP=DP，AC=AD，BC=BD；
（2）作OM⊥EF，延长MO角GH于N，连接OE、OG，
∵EF∥GH，
∴ON⊥GH，
∵EM=12EF=1.8cm，GN=12GH=2.4cm，⊙O的半径为3cm，
∴OM=32−1.82=2.4cm，ON=32−2.42=1.8cm,
∴香水瓶的高度ℎ=AB+OM+ON=3+2.4+1.8=7.2cm.
【提优突破】此题考查轴对称图形和圆的相关知识，勾股定理，垂径定理正确掌握轴对称图形的定义，圆的轴对称关系，利用垂径定理进行计算是解题的关键.
6．（2022秋·江苏·九年级专题练习）几何模型：
条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小，
方法：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交l于点P，则PA+PB=AB′的值最小．
直接应用：
(1)如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为______．
变式练习：
(2)如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是AN的中点，P是直径MN上一动点，求PA+PB的最小值．
深化拓展：
(3)如图4，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值．
(4)如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．）
【答案】(1)10
(2)PA+PB的最小值为2
(3)BM+MN的最小值为4
(4)见解析
【难度】难题
【考点】垂径定理的应用、最值问题、辅助线、正方形
【易错点】综合问题
【分析】（1）连接BN，根据AC是对角线为对称轴，得出BN=DN，根据两点之间距离得出DN+NM=BN+NM≥BM，当B、N、M三点共线时DN+NM最短=BM，然后利用勾股定理求解即可；
（2）作点B关于NM的对称点B′，连接PB′，OB′，可得PB=PB′，根据两点之间距离得出PA+PB=PA+PB′≥AB′，当A、P、B′，三点共线时PA+PB最小=AB′，然后求出∠AOB′=90°，再利用勾股定理AB′=OA2+OB'2=12+12=2即可；
（3）作BE⊥AC于E，作点N关于AD的对称点N′，连接MN′根据AD平分∠CAB，点N在AB上，得出点N′在AC上，根据对称性得出MN=MN′，BM+MN=BM+MN′≥BE，当点M，N′在BE上时BM+MN最小=BE，可证△AEB为等腰直角三角形，根据勾股定理求出BE=22AB=22×42=4即可；
（4）作点B关于AC对称点B′，作射线DB′交AC与P，连接BP，根据点B与点B′关于AC对称，得出PB=PB′，根据等腰三角形三线合一性质得出PE平分∠BPB′即可．
【详情解析】（1）解：连接BN，
∵四边形ABCD为正方形，AC是对角线为对称轴，
∴BN=DN，
∴DN+NM=BN+NM≥BM
∴当B、N、M三点共线时DN+NM最短=BM，
∵DM=2，DC=BC=8，
∴CM=DC-DM=8-2=6，
在Rt△BCM中，BM=BC2+CM2=82+62=10，
∴DN+NM最小=10；
故答案为10；
（2）解：作点B关于NM的对称点B′，连接PB′，OB′，
则PB=PB′，
∴PA+PB=PA+PB′≥AB′，
∴当A、P、B′，三点共线时PA+PB最小=AB′
∵点A是半圆上（半径为1）的三等分点，
∴AN的度数为60°，
∵B是AN的中点，
∴BN=B'N的度数为30°，
∴AB'的度数为60°+30°=90°，
∴∠AOB′=90°，
∵OA=OB′=1，
∴AB′=OA2+OB'2=12+12=2，
∴PA+PB最小=2；
（3）解：作BE⊥AC于E，作点N关于AD的对称点N′，连接MN′
∵AD平分∠CAB，点N在AB上，
∴点N′在AC上，
MN=MN′，BM+MN=BM+MN′≥BE，
∴当点M，N′在BE上时BM+MN最小=BE，
∵∠CAB=45°，BE⊥AC
∴∠EBA=180°-90°-45°=45°=∠CAB，
∴AE=BE，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴AE2+BE2=2BE2=AB2，
∴BE=22AB=22×42=4，
∴BM+MN最小=4；
（4）作点B关于AC对称点B′，作射线DB′交AC与P，连接BP，
∵点B与点B′关于AC对称，
∴PB=PB′，
∵PE⊥BB′
∴PE平分∠BPB′，
∴∠APB=∠APD．
【提优突破】本题考查尺规作图，轴对称性质，两点之间线段最短，正方形性质，勾股定理，圆心角，圆周角弧弦的关系，等腰直角三角形判定与性质，掌握尺规作图，轴对称性质，两点之间线段最短，正方形性质，勾股定理，圆心角，圆周角弧弦的关系，等腰直角三角形判定与性质是解题关键．