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专题18 难点探究专题：实际问题与一元一次方程之六大类型-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）
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这是一份专题18 难点探究专题：实际问题与一元一次方程之六大类型-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版），文件包含专题18难点探究专题实际问题与一元一次方程之六大类型原卷版docx、专题18难点探究专题实际问题与一元一次方程之六大类型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20609" 【典型例题】 PAGEREF _Tc20609 \h 1
\l "_Tc13766" 【类型一 一元一次方程的应用--古代问题】 PAGEREF _Tc13766 \h 1
\l "_Tc11452" 【类型二 一元一次方程的应用--销售问题】 PAGEREF _Tc11452 \h 5
\l "_Tc10808" 【类型三 一元一次方程的应用--方案问题】 PAGEREF _Tc10808 \h 11
\l "_Tc18074" 【类型四 一元一次方程的应用--配套问题】 PAGEREF _Tc18074 \h 18
\l "_Tc16164" 【类型五 一元一次方程的应用--电费和水费问题】 PAGEREF _Tc16164 \h 22
\l "_Tc2022" 【类型六 一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】 PAGEREF _Tc2022 \h 28
【典型例题】
【类型一 一元一次方程的应用--古代问题】
例题：（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
【变式训练】
1．（2023春·吉林长春·九年级校考期中）《孙子算经》是中国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余一尺，问木头长多少尺?若设木头长为尺，可求得的值为 ．
2．（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，求店中共有多少间房？
3．（2023·安徽马鞍山·校考一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’问客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”
4．（2023秋·七年级课时练习）“鸡兔同笼”是中国古代数学名题之一，记载于《孙子算经》之中，其大意为，若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问：笼中鸡和兔各有多少只？
5．（2023·安徽六安·统考二模）我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．问竿和绳索的长分别是多少尺？
6．（2023秋·北京·九年级清华附中校考开学考试）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：
解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量个搬运工的体重和块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以
①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：______．
②解这个方程得，______．
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量______．个搬运工的体重
④最终可求得：大象的体重为______斤．
【类型二 一元一次方程的应用--销售问题】
例题：（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）小张自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装。为了缓解资金压力，小张决定打折销售．若每件服装按标价的6折出售将亏10元，而按标价的8折出售将赚40元．
(1)请计算每件服装标价多少元？每件服装成本多少元？（用一元一次方程求解）
(2)为尽快减少库存，又要保证不亏本，请问小张最多能打几折？
【变式训练】
1．（2023春·重庆云阳·七年级校考阶段练习）云阳新世纪超市销售蓝莓，第一周的进价是每千克30元，销量是200千克；第二周的进价是每千克25元，销量是400千克．已知第二周的售价比第一周的售价每千克少10元，第二周比第一周多获利2000元．
(1)求第二周该水果每千克的售价是多少元？
(2)第三周该水果的进价是每千克20元．经市场调查发现，如果第三周的售价比第二周降低，销量是第二周销量的3倍．此时获利比第二周增加了 求t的值．
2．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）某百货超市经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价120元，售价150元；乙种服装每件进价200元，售价320元．
(1)若该百货超市同时购进甲、乙两种服装共40件，总进价用去6000元，购进甲种服装多少件？
(2)在“双11购物节”当天，该百货超市实行“每满100元减30元”的优惠促销（比如：某顾客购物120元，他只需付款90元），张先生这天买了一件乙种服装．到了第二天，百货超市又推出：先打折，再参与“每满100元减30元”的让利活动，他发现一件乙种服装打折后的价钱在200元到299元之间此时购买反而要多付7.6元．在该百货超市第二天推出的让利活动下，购买一件甲种服装需要多少元？
3．（2023·全国·七年级假期作业）某水果店第一次购进西瓜千克，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进千克西瓜，进货价比第一次每千克少元，两次进货共花费元．
(1)这两次购进的西瓜进货价分别是每千克多少元?
(2)在销售过程中，两次进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，第一次购进的西瓜有%的损耗，第二次购进的西瓜有%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利元，每千克西瓜的售价为多少元?
4．（2023春·山东泰安·六年级校考开学考试）玉玲超市经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率；乙种商品每件进价40元，售价60元．
(1)每件甲种商品的进价为 元；每件乙商品的利润率为 ．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共500件，总进价为21000元，求购进甲种商品多少件？
(3)“元旦”期间，该超市对乙商品进行如下优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华购买乙种商品实际付款564元，求小华在商场购买乙商品多少件？
5．（2023秋·江苏盐城·七年级校考期末）根据疫情防控有关部署和上级教育行政部门既有安排，结合我市中小学幼儿园实际，为保护广大师生安全健康，市教育局经研究决定：2022年12月19日起，全市中小学本学期剩余时间全部进行线上教学．七年级某班家委会决定在网上统一购买一批防蓝光眼镜，网上某店铺的标价为90元/副，优惠活动如下：
(1)①若该班级家委会购买了2副这种防蓝光眼镜，花了___________元；
②若该班级家委会购买了15副这种防蓝光眼镜，花了___________元；
③若该班级家委会购买了副这种防蓝光眼镜，花了___________元；（用含x的代数式表示）
(2)若该班级家委会购买的这种防蓝光眼镜均价为69.6元，求他们购买的数量．
【类型三 一元一次方程的应用--方案问题】
例题：（2023春·河南周口·七年级校考期中）“太行分一脉，缥缈入云台”．某单位计划“五一”节组织员工到焦作云台山旅游，已知甲、乙两旅行社都提供去云台山的方案，都是每人400元．几经洽谈，甲旅行社表示给予每位旅客折优惠，乙旅行社表示能免去一位旅客的费用，其余9折．
(1)若参加旅游的人数为x，则选择甲旅行社的费用为______元，选择乙旅行社的费用为______元（都用含x的式子表示）．
(2)若经过计算可知甲，乙两家旅行社的费用相同，则该单位有员工多少人?
【变式训练】
1．（2023秋·黑龙江绥化·七年级统考期末）张老师暑假带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的6折优惠”，若全票价为240元．
(1)若学生有3人和5人，甲旅行社需费用多少元？乙旅行社呢？
(2)学生数为多少时两个旅行社的收费相同？
2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）为庆祝元旦活动，某中学组织大合唱比赛，甲、乙两个班级共92人（其中甲班51人以上，不足55人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表为：
(1)甲、乙两个班级共92人合起来统一购买服装共需付款____________元；
(2)如果两个班级分别单独购买服装一共应付4080元，甲、乙两个班级各有多少学生准备参加演出?
(3)如果甲班有8名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两个班级设计一种最省钱的购买服装方案．
3．（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：
A方案：买一个篮球送一条跳绳；
B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．
已知要购买篮球50个，跳绳x条（）
(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）．
(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？
(3)当时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？
4．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）为了增强学生的身体素质，丰富学生的课余生活，我县各个学校都开展了各具特色的“阳光体育大课间活动”．七年级3班和4班的班长一起去体育用品商店，准备给每位同学购买一根跳绳．了解到该店跳绳的单价及优惠方案如下图所示．已知两个班共有学生79人，其中3班人数超过40人但不超过45人．
(1)若3班有学生44人，以班级为单位每人购买一根跳绳，则两个班共付钱多少元？
(2)若以班级为单位每人购买一根跳绳，两个班共付钱1340元．
①问两个班级各有多少人？
②两位班长通过讨论和计算，发现有一种购买方案最省钱．请你写出最省钱的购买方案，并通过计算说明理由．
5．（2023春·山西长治·七年级统考阶段练习）综合与探究
“双十一”即将来临，某超市规定消费不超过200元的按原价付款，对消费超过200元的顾客实行如下优惠：
(1)小博妈妈一次性购物元，她实际付款_________元．（用含x的式子表示）
(2)小西妈妈一次性购物元，小博妈妈一次性购物元，结账时小博妈妈比小西妈妈多付了336元，求x的值．
(3)小博和妈妈一起在超市购买了如下标价的物品：一个电饭煲445元，五斤排骨（38元/斤），两提牛奶（75元/提），两板鸡蛋（35元/板），一提卷纸27元，一个文具袋6元．妈妈正准备一次性付款，小博说他有更省钱的方法．你知道他的方法吗，请问小博能为妈妈节省多少钱？
【类型四 一元一次方程的应用--配套问题】
例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．
(1)该车间有男生、女生各多少人？
(2)已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？
【变式训练】
1．（2023春·福建福州·七年级校考开学考试）某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个．已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，则安排 名工人加工大齿轮，才能刚好配套．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）服装厂计划生产一批某种型号的学生服装，已知每米长的某种布料可做件上衣或条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现仓库内存有这样的布料米，若全部用来做这种型号的学生服装，应分别用多少布料做上衣和裤子，才能恰好配套？
3．（2023秋·全国·七年级课堂例题）一张方桌是由一个桌面和四条桌腿组成的，如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个，或制作桌腿300条，现在要用5立方米木料制作方桌，请你设计一下，用多少木料制作桌面，用多少木料制作桌腿，恰好配成方桌多少张？
4．（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）某车间共有90名工人．每名工人平均每天可加工甲种部件15个或乙种部件8个，应安排加工甲、乙两种部件各多少名工人，才能使每天加工后每3个甲种部件与2个乙种部件恰好配套？
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，要求使每天生产的产品刚好配套.
(1)如果车间主任安排8人生产螺钉，其它人生产螺母，请你计算这样的安排是否符合要求？
(2)如果你是车间主任，请你用列方程的办法计算出分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母才能符合要求？
6．（2021秋·江西九江·七年级校考期中）在手工制作课上，老师组织班上学生用硬纸制作圆柱形茶叶桶．这个班共有学生50人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或筒底120个．
(1)这个班有男生、女生各多少人？
(2)茶叶筒要求一个筒身配两个筒底，那么应分配多少人去剪筒身，多少人去剪筒底？
【类型五 一元一次方程的应用--电费和水费问题】
例题：（2023秋·安徽六安·七年级阶段练习）电信公司推出两种移动电话计费方法：
方法：免收月租费，按每分钟0.5元收通话费；
方法：每月收取月租费30元，再按每分钟0.2元收通话费．
现在设通话时间是分钟．
(1)请分别用含的代数式表示计费方法、的通话费用．
(2)用计费方法的用户一个月累计通话150分钟所需的话费，若改用计费方法，则可通话多少分钟？
(3)当通话多少分钟时，两种计费方法产生的费用相差15元？
【变式训练】
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）南京市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水吨，计划内用水每吨收费元，超计划部分每吨按元收费．
(1)用代数式表示（所填结果需化简）：设用水量为吨，当用水量小于等于吨，需付款____元；当用水量大于吨，需付款_____元；
(2)某月该单位用水吨，水费是____元；若用水吨，水费____元；
(3)若某月该单位缴纳水费元，则该单位用水多少吨？
2．（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如下图．
价目表
注：水费按月结算
(1)若某户居民1月份用水，则水费为_________元．
(2)若某户居民某月用水，请用含x的代数式表示水费．
(3)若某户居民3，4月份共用水，且4月份用水量超过，3月份用水量超过，共交水费94元，则该户居民3、4月份各用水多少m³?
3．（2023秋·河南信阳·七年级统考期末）某市对居民生活用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下表：已知2022年10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元，2022年9月份老李家交电费157元．
(1)求表中a的值；
(2)求老李家9月份的用电量；
(3)若老李家2022年8月份用电的平均电价为元/度，求老李家2022年8月份的用电量．
4．（2023春·重庆巴南·七年级重庆巴南育才中学校校考阶段练习）小明的爸爸是一名业务员，使用电话的频率很高，因此他在某电话营业厅选择了A种套餐，如下表（A、B两种套餐接听免费，拨打收费，以下通话时间全部为拨打时间）：
(1)如果小明的爸爸10月份拨打电话2600分钟，求当月的电话费；
(2)小明的爸爸在11月份便登记更换成B套餐，但营业厅告知下月才能生效，11月仍按套餐计费，第二年1月，小明的爸爸查询到去年11、12月话费共为176元，拨打时间一共为5200分钟。请问他11月和12月的话费各是多少？
(3)若小明的爸爸没有按照（2）更换套餐，则11、12月话费一共将比实际多花多少钱？
5．（2023秋·江苏徐州·七年级统考期末）为缓解用电高峰期的供电缺口，促进电力资源的优化配置，某地居民用电实施峰谷计费．峰时段为8：00－21：00；谷时段为21：00－次日8：00．下表为该地某户居民八月份的电费账单（部分信息缺失），设其中的峰时电量为x千瓦·时，根据所给信息，解决下列问题．
(1)填空（用含x的代数式表示）：①________，②__________，③______；
(2)由题意，可列方程为___________；
(3)该账单中的峰时电量、谷时电量分别为多少千瓦时？
【类型六 一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】
例题：（2023秋·福建福州·七年级校考阶段练习）如图，数轴单位长度为1，点P、A、B是数轴上的三个点，其中B点表示的数是5．
(1)点A表示的数是______，点P表示的数是______．
(2)若点A以3个单位/秒的速度向数轴的正方向运动，点B以个2单位/秒的速度向数铀的正方向运动，点P以个1单位/秒的速度向数轴的正方向运动，且三点同时开始运动．
①当A、P两点重合时，求运动时间；
②当其中一点是另外两点所在线段中点时，求运动时间．
【变式训练】
1．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为5，点C到点A、B的距离相等，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动．设点P运动的时间为t秒（）．
(1)点C表示的数是__________；
(2)当点P到达点B时，求t的值；
(3)点P表示的数是__________（用含t的代数式表示）；
(4)当P、C两点之间的距离为2个单位长度时，直接写出t的值．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，在一条不完整的数轴上，动点A向左移动12个单位长度到达点B，再向右移动28个单位长度到达点C．
(1)观察猜想：若点A表示的数为0，则点B表示的数为________________，点C表示的数为________________；
(2)问题解决：在（1）的条件下，若小虫P从点B出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时另一只小虫Q从点C出发，以4个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，设两只小虫在数轴上的点D处相遇，则点D表示的数是多少？
(3)拓展延伸：在（2）的条件下，设两只小虫运动t秒时在数轴上相距8个单位长度，求出t的值．
3．（2023秋·湖南长沙·七年级校考阶段练习）已知a，b满足，a，b分别对应数轴上的A，B两点．
(1)直接写出 ， ；
(2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍?
(3)数轴上还有一点C对应的数为30．若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动．P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A．求点P和点Q运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为4？并求此时点Q对应的数．
4．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）已知是最小的正整数，是的相反数，，且，，分别是点，，在数轴上对应的数.动点从点出发沿数轴正方向匀速运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向匀速运动，点的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，设点的运动时间为秒．
(1)_______，_______，________；
(2)若点是的中点，直接写出点在数轴上对应的数为________；
(3)当时，求线段长为；
(4)若，出发的同时，求经过多少秒，点恰好追上点？
(5)若，出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向匀速运动，速度为每秒4个单位长度，当点追上点后，点立即按原速度沿数轴负方向匀速运动，直接写出点追上点后，再运动________秒，到的距离等于到的距离？
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于或等于450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
按购物总金额打九折
超过600元
其中600元部分八五折优惠，超过600元的部分打三折优惠
销售量
单价
不超过10副的部分
每副立减14元
超过10副但不超过20副的部分
每副立减22元
超过20副的部分
每副立减30元
购买服装的套数
1套至50套
51套至90套
91套及以上
每套服装的价格
50元
40元
30元
一次性购物
优惠方案
超过200元但不超过600元
超过200元不超过600元的部分打八折
超过600元
每满300元减100元
每月用水量
单价
不超过的部分
3元
超过不超过的部分
4元
超过的部分
6元
一户居民一个月的用电量
电价（元/度）
不超过240度的部分
a
超过240度的部分但不超过400度的部分
超过400度的部分
固定费用（元）
免费拨打时间（分钟）
超出免费时间后单价（元/分钟）
A
18
1500
B
38
4000
户主
***
用电户号
******
家庭地址
******
2022年
08月
合计金额
166元
合计电量
350千瓦·时
抄送周期
2022-06-01－－2022-08-01
备注：合计电量=峰时电量+谷时电量
单价（元）
计费数量（千瓦•时）
金额（元）
峰时电量
0.56
x
②______
谷时电量
0.36
①_____
③______
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20609" 【典型例题】 PAGEREF _Tc20609 \h 1
\l "_Tc13766" 【类型一 一元一次方程的应用--古代问题】 PAGEREF _Tc13766 \h 1
\l "_Tc11452" 【类型二 一元一次方程的应用--销售问题】 PAGEREF _Tc11452 \h 5
\l "_Tc10808" 【类型三 一元一次方程的应用--方案问题】 PAGEREF _Tc10808 \h 11
\l "_Tc18074" 【类型四 一元一次方程的应用--配套问题】 PAGEREF _Tc18074 \h 18
\l "_Tc16164" 【类型五 一元一次方程的应用--电费和水费问题】 PAGEREF _Tc16164 \h 22
\l "_Tc2022" 【类型六 一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】 PAGEREF _Tc2022 \h 28
【典型例题】
【类型一 一元一次方程的应用--古代问题】
例题：（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
【变式训练】
1．（2023春·吉林长春·九年级校考期中）《孙子算经》是中国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余一尺，问木头长多少尺?若设木头长为尺，可求得的值为 ．
2．（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，求店中共有多少间房？
3．（2023·安徽马鞍山·校考一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’问客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”
4．（2023秋·七年级课时练习）“鸡兔同笼”是中国古代数学名题之一，记载于《孙子算经》之中，其大意为，若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问：笼中鸡和兔各有多少只？
5．（2023·安徽六安·统考二模）我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．问竿和绳索的长分别是多少尺？
6．（2023秋·北京·九年级清华附中校考开学考试）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：
解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量个搬运工的体重和块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以
①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：______．
②解这个方程得，______．
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量______．个搬运工的体重
④最终可求得：大象的体重为______斤．
【类型二 一元一次方程的应用--销售问题】
例题：（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）小张自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装。为了缓解资金压力，小张决定打折销售．若每件服装按标价的6折出售将亏10元，而按标价的8折出售将赚40元．
(1)请计算每件服装标价多少元？每件服装成本多少元？（用一元一次方程求解）
(2)为尽快减少库存，又要保证不亏本，请问小张最多能打几折？
【变式训练】
1．（2023春·重庆云阳·七年级校考阶段练习）云阳新世纪超市销售蓝莓，第一周的进价是每千克30元，销量是200千克；第二周的进价是每千克25元，销量是400千克．已知第二周的售价比第一周的售价每千克少10元，第二周比第一周多获利2000元．
(1)求第二周该水果每千克的售价是多少元？
(2)第三周该水果的进价是每千克20元．经市场调查发现，如果第三周的售价比第二周降低，销量是第二周销量的3倍．此时获利比第二周增加了 求t的值．
2．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）某百货超市经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价120元，售价150元；乙种服装每件进价200元，售价320元．
(1)若该百货超市同时购进甲、乙两种服装共40件，总进价用去6000元，购进甲种服装多少件？
(2)在“双11购物节”当天，该百货超市实行“每满100元减30元”的优惠促销（比如：某顾客购物120元，他只需付款90元），张先生这天买了一件乙种服装．到了第二天，百货超市又推出：先打折，再参与“每满100元减30元”的让利活动，他发现一件乙种服装打折后的价钱在200元到299元之间此时购买反而要多付7.6元．在该百货超市第二天推出的让利活动下，购买一件甲种服装需要多少元？
3．（2023·全国·七年级假期作业）某水果店第一次购进西瓜千克，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进千克西瓜，进货价比第一次每千克少元，两次进货共花费元．
(1)这两次购进的西瓜进货价分别是每千克多少元?
(2)在销售过程中，两次进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，第一次购进的西瓜有%的损耗，第二次购进的西瓜有%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利元，每千克西瓜的售价为多少元?
4．（2023春·山东泰安·六年级校考开学考试）玉玲超市经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率；乙种商品每件进价40元，售价60元．
(1)每件甲种商品的进价为 元；每件乙商品的利润率为 ．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共500件，总进价为21000元，求购进甲种商品多少件？
(3)“元旦”期间，该超市对乙商品进行如下优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华购买乙种商品实际付款564元，求小华在商场购买乙商品多少件？
5．（2023秋·江苏盐城·七年级校考期末）根据疫情防控有关部署和上级教育行政部门既有安排，结合我市中小学幼儿园实际，为保护广大师生安全健康，市教育局经研究决定：2022年12月19日起，全市中小学本学期剩余时间全部进行线上教学．七年级某班家委会决定在网上统一购买一批防蓝光眼镜，网上某店铺的标价为90元/副，优惠活动如下：
(1)①若该班级家委会购买了2副这种防蓝光眼镜，花了___________元；
②若该班级家委会购买了15副这种防蓝光眼镜，花了___________元；
③若该班级家委会购买了副这种防蓝光眼镜，花了___________元；（用含x的代数式表示）
(2)若该班级家委会购买的这种防蓝光眼镜均价为69.6元，求他们购买的数量．
【类型三 一元一次方程的应用--方案问题】
例题：（2023春·河南周口·七年级校考期中）“太行分一脉，缥缈入云台”．某单位计划“五一”节组织员工到焦作云台山旅游，已知甲、乙两旅行社都提供去云台山的方案，都是每人400元．几经洽谈，甲旅行社表示给予每位旅客折优惠，乙旅行社表示能免去一位旅客的费用，其余9折．
(1)若参加旅游的人数为x，则选择甲旅行社的费用为______元，选择乙旅行社的费用为______元（都用含x的式子表示）．
(2)若经过计算可知甲，乙两家旅行社的费用相同，则该单位有员工多少人?
【变式训练】
1．（2023秋·黑龙江绥化·七年级统考期末）张老师暑假带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的6折优惠”，若全票价为240元．
(1)若学生有3人和5人，甲旅行社需费用多少元？乙旅行社呢？
(2)学生数为多少时两个旅行社的收费相同？
2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）为庆祝元旦活动，某中学组织大合唱比赛，甲、乙两个班级共92人（其中甲班51人以上，不足55人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表为：
(1)甲、乙两个班级共92人合起来统一购买服装共需付款____________元；
(2)如果两个班级分别单独购买服装一共应付4080元，甲、乙两个班级各有多少学生准备参加演出?
(3)如果甲班有8名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两个班级设计一种最省钱的购买服装方案．
3．（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：
A方案：买一个篮球送一条跳绳；
B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．
已知要购买篮球50个，跳绳x条（）
(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）．
(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？
(3)当时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？
4．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）为了增强学生的身体素质，丰富学生的课余生活，我县各个学校都开展了各具特色的“阳光体育大课间活动”．七年级3班和4班的班长一起去体育用品商店，准备给每位同学购买一根跳绳．了解到该店跳绳的单价及优惠方案如下图所示．已知两个班共有学生79人，其中3班人数超过40人但不超过45人．
(1)若3班有学生44人，以班级为单位每人购买一根跳绳，则两个班共付钱多少元？
(2)若以班级为单位每人购买一根跳绳，两个班共付钱1340元．
①问两个班级各有多少人？
②两位班长通过讨论和计算，发现有一种购买方案最省钱．请你写出最省钱的购买方案，并通过计算说明理由．
5．（2023春·山西长治·七年级统考阶段练习）综合与探究
“双十一”即将来临，某超市规定消费不超过200元的按原价付款，对消费超过200元的顾客实行如下优惠：
(1)小博妈妈一次性购物元，她实际付款_________元．（用含x的式子表示）
(2)小西妈妈一次性购物元，小博妈妈一次性购物元，结账时小博妈妈比小西妈妈多付了336元，求x的值．
(3)小博和妈妈一起在超市购买了如下标价的物品：一个电饭煲445元，五斤排骨（38元/斤），两提牛奶（75元/提），两板鸡蛋（35元/板），一提卷纸27元，一个文具袋6元．妈妈正准备一次性付款，小博说他有更省钱的方法．你知道他的方法吗，请问小博能为妈妈节省多少钱？
【类型四 一元一次方程的应用--配套问题】
例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．
(1)该车间有男生、女生各多少人？
(2)已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？
【变式训练】
1．（2023春·福建福州·七年级校考开学考试）某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个．已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，则安排 名工人加工大齿轮，才能刚好配套．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）服装厂计划生产一批某种型号的学生服装，已知每米长的某种布料可做件上衣或条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现仓库内存有这样的布料米，若全部用来做这种型号的学生服装，应分别用多少布料做上衣和裤子，才能恰好配套？
3．（2023秋·全国·七年级课堂例题）一张方桌是由一个桌面和四条桌腿组成的，如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个，或制作桌腿300条，现在要用5立方米木料制作方桌，请你设计一下，用多少木料制作桌面，用多少木料制作桌腿，恰好配成方桌多少张？
4．（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）某车间共有90名工人．每名工人平均每天可加工甲种部件15个或乙种部件8个，应安排加工甲、乙两种部件各多少名工人，才能使每天加工后每3个甲种部件与2个乙种部件恰好配套？
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，要求使每天生产的产品刚好配套.
(1)如果车间主任安排8人生产螺钉，其它人生产螺母，请你计算这样的安排是否符合要求？
(2)如果你是车间主任，请你用列方程的办法计算出分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母才能符合要求？
6．（2021秋·江西九江·七年级校考期中）在手工制作课上，老师组织班上学生用硬纸制作圆柱形茶叶桶．这个班共有学生50人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或筒底120个．
(1)这个班有男生、女生各多少人？
(2)茶叶筒要求一个筒身配两个筒底，那么应分配多少人去剪筒身，多少人去剪筒底？
【类型五 一元一次方程的应用--电费和水费问题】
例题：（2023秋·安徽六安·七年级阶段练习）电信公司推出两种移动电话计费方法：
方法：免收月租费，按每分钟0.5元收通话费；
方法：每月收取月租费30元，再按每分钟0.2元收通话费．
现在设通话时间是分钟．
(1)请分别用含的代数式表示计费方法、的通话费用．
(2)用计费方法的用户一个月累计通话150分钟所需的话费，若改用计费方法，则可通话多少分钟？
(3)当通话多少分钟时，两种计费方法产生的费用相差15元？
【变式训练】
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）南京市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水吨，计划内用水每吨收费元，超计划部分每吨按元收费．
(1)用代数式表示（所填结果需化简）：设用水量为吨，当用水量小于等于吨，需付款____元；当用水量大于吨，需付款_____元；
(2)某月该单位用水吨，水费是____元；若用水吨，水费____元；
(3)若某月该单位缴纳水费元，则该单位用水多少吨？
2．（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如下图．
价目表
注：水费按月结算
(1)若某户居民1月份用水，则水费为_________元．
(2)若某户居民某月用水，请用含x的代数式表示水费．
(3)若某户居民3，4月份共用水，且4月份用水量超过，3月份用水量超过，共交水费94元，则该户居民3、4月份各用水多少m³?
3．（2023秋·河南信阳·七年级统考期末）某市对居民生活用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下表：已知2022年10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元，2022年9月份老李家交电费157元．
(1)求表中a的值；
(2)求老李家9月份的用电量；
(3)若老李家2022年8月份用电的平均电价为元/度，求老李家2022年8月份的用电量．
4．（2023春·重庆巴南·七年级重庆巴南育才中学校校考阶段练习）小明的爸爸是一名业务员，使用电话的频率很高，因此他在某电话营业厅选择了A种套餐，如下表（A、B两种套餐接听免费，拨打收费，以下通话时间全部为拨打时间）：
(1)如果小明的爸爸10月份拨打电话2600分钟，求当月的电话费；
(2)小明的爸爸在11月份便登记更换成B套餐，但营业厅告知下月才能生效，11月仍按套餐计费，第二年1月，小明的爸爸查询到去年11、12月话费共为176元，拨打时间一共为5200分钟。请问他11月和12月的话费各是多少？
(3)若小明的爸爸没有按照（2）更换套餐，则11、12月话费一共将比实际多花多少钱？
5．（2023秋·江苏徐州·七年级统考期末）为缓解用电高峰期的供电缺口，促进电力资源的优化配置，某地居民用电实施峰谷计费．峰时段为8：00－21：00；谷时段为21：00－次日8：00．下表为该地某户居民八月份的电费账单（部分信息缺失），设其中的峰时电量为x千瓦·时，根据所给信息，解决下列问题．
(1)填空（用含x的代数式表示）：①________，②__________，③______；
(2)由题意，可列方程为___________；
(3)该账单中的峰时电量、谷时电量分别为多少千瓦时？
【类型六 一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】
例题：（2023秋·福建福州·七年级校考阶段练习）如图，数轴单位长度为1，点P、A、B是数轴上的三个点，其中B点表示的数是5．
(1)点A表示的数是______，点P表示的数是______．
(2)若点A以3个单位/秒的速度向数轴的正方向运动，点B以个2单位/秒的速度向数铀的正方向运动，点P以个1单位/秒的速度向数轴的正方向运动，且三点同时开始运动．
①当A、P两点重合时，求运动时间；
②当其中一点是另外两点所在线段中点时，求运动时间．
【变式训练】
1．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为5，点C到点A、B的距离相等，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动．设点P运动的时间为t秒（）．
(1)点C表示的数是__________；
(2)当点P到达点B时，求t的值；
(3)点P表示的数是__________（用含t的代数式表示）；
(4)当P、C两点之间的距离为2个单位长度时，直接写出t的值．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，在一条不完整的数轴上，动点A向左移动12个单位长度到达点B，再向右移动28个单位长度到达点C．
(1)观察猜想：若点A表示的数为0，则点B表示的数为________________，点C表示的数为________________；
(2)问题解决：在（1）的条件下，若小虫P从点B出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时另一只小虫Q从点C出发，以4个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，设两只小虫在数轴上的点D处相遇，则点D表示的数是多少？
(3)拓展延伸：在（2）的条件下，设两只小虫运动t秒时在数轴上相距8个单位长度，求出t的值．
3．（2023秋·湖南长沙·七年级校考阶段练习）已知a，b满足，a，b分别对应数轴上的A，B两点．
(1)直接写出 ， ；
(2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍?
(3)数轴上还有一点C对应的数为30．若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动．P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A．求点P和点Q运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为4？并求此时点Q对应的数．
4．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）已知是最小的正整数，是的相反数，，且，，分别是点，，在数轴上对应的数.动点从点出发沿数轴正方向匀速运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向匀速运动，点的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，设点的运动时间为秒．
(1)_______，_______，________；
(2)若点是的中点，直接写出点在数轴上对应的数为________；
(3)当时，求线段长为；
(4)若，出发的同时，求经过多少秒，点恰好追上点？
(5)若，出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向匀速运动，速度为每秒4个单位长度，当点追上点后，点立即按原速度沿数轴负方向匀速运动，直接写出点追上点后，再运动________秒，到的距离等于到的距离？
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于或等于450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
按购物总金额打九折
超过600元
其中600元部分八五折优惠，超过600元的部分打三折优惠
销售量
单价
不超过10副的部分
每副立减14元
超过10副但不超过20副的部分
每副立减22元
超过20副的部分
每副立减30元
购买服装的套数
1套至50套
51套至90套
91套及以上
每套服装的价格
50元
40元
30元
一次性购物
优惠方案
超过200元但不超过600元
超过200元不超过600元的部分打八折
超过600元
每满300元减100元
每月用水量
单价
不超过的部分
3元
超过不超过的部分
4元
超过的部分
6元
一户居民一个月的用电量
电价（元/度）
不超过240度的部分
a
超过240度的部分但不超过400度的部分
超过400度的部分
固定费用（元）
免费拨打时间（分钟）
超出免费时间后单价（元/分钟）
A
18
1500
B
38
4000
户主
***
用电户号
******
家庭地址
******
2022年
08月
合计金额
166元
合计电量
350千瓦·时
抄送周期
2022-06-01－－2022-08-01
备注：合计电量=峰时电量+谷时电量
单价（元）
计费数量（千瓦•时）
金额（元）
峰时电量
0.56
x
②______
谷时电量
0.36
①_____
③______
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