专题15 一元一次方程的定义与等式的基本性质之六大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10822" 【典型例题】 PAGEREF _Tc10822 \h 1
\l "_Tc8090" 【考点一 判断是否是一元一次方程】 PAGEREF _Tc8090 \h 1
\l "_Tc31376" 【考点二 根据一元一次方程的定义求参数的值】 PAGEREF _Tc31376 \h 3
\l "_Tc19595" 【考点三 已知一元一次方程的解求参数的值】 PAGEREF _Tc19595 \h 4
\l "_Tc13044" 【考点四 已知一元一次方程的解求代数式的值】 PAGEREF _Tc13044 \h 5
\l "_Tc7131" 【考点五 列一元一次方程】 PAGEREF _Tc7131 \h 6
\l "_Tc14645" 【考点六 等式的基本性质】 PAGEREF _Tc14645 \h 7
\l "_Tc5034" 【过关检测】 PAGEREF _Tc5034 \h 9
【典型例题】
【考点一 判断是否是一元一次方程】
例题：（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）下列方程为一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义解答即可．
【详解】A．含有2个未知数，故不是一元一次方程；
B．是一元一次方程，故符合题意；
C．未知数的最高次数是2，故不是一元一次方程；
D．含有2个未知数，故不是一元一次方程；
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的识别，判断一个方程是否是一元一次方程，看它是否具备以下三个条件：①只含有一个未知数，②含未知数项的最高次数是1，③未知数不能在分母里，这三个条件缺一不可．
【变式训练】
1．（2023春·河南鹤壁·七年级统考期中）在方程，，，，中，一元一次方程的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】解：方程含有两个未知数，故不是一元一次方程；
方程是一元一次方程；
方程是一元一次方程；
方程未知数的次数是2次，故不是一元一次方程；
方程分母中含有未知数，不是整式方程，故不是一元一次方程；
所以一元一次方程的个数是2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，从而完成求解．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．①③B．①②C．②④D．④⑤
【答案】C
【分析】只含有一个未知数，并且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，根据定义逐一判断即得答案．
【详解】解：①不是方程，更不是一元一次方程；
②是一元一次方程；
③含有两个未知数，不是一元一次方程；
④是一元一次方程，；
⑤不是整式方程，不是一元一次方程；
综上，是一元一次方程的是：②④；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的定义是解题的关键．
【考点二 根据一元一次方程的定义求参数的值】
例题：（2023春·福建泉州·七年级统考期中）若是关于x的一元一次方程，则a的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义列出关于的式子，求出结果即可．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴且，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数，且未知数次数为1的方程叫做一元一次方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·河南开封·七年级统考期中）已知方程是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义，得出，注意，进而得出答案．
【详解】解：由题意得：，，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确把握定义得出是解题关键．
2．（2023春·河南南阳·七年级统考期中）如果方程是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
【考点三 已知一元一次方程的解求参数的值】
例题：（2023春·七年级课前预习）已知是方程的解，那么 ．
【答案】
【分析】把代入方程求出的值即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【变式训练】
1．（2023·全国·七年级假期作业）若是方程的解，则 ．
【答案】1
【分析】直接把代入方程中求出a的值即可．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
2．（2023·全国·七年级假期作业）如果是关于的方程的解，那么 ．
【答案】
【分析】把代入得到关于的方程，然后解方程即可求解．
【详解】把代入得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟悉方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
【考点四 已知一元一次方程的解求代数式的值】
例题：（2023春·重庆北碚·七年级重庆市朝阳中学校考期中）若是关于x的方程的解，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】把代入方程中推出，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵是关于x的方程的解，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，求代数式的值，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考开学考试）若是关于x的方程的解，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】把代入得，则，即可解答．
【详解】解：把代入得：，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
2．（2023秋·湖南长沙·八年级统考开学考试）已知是关于的方程的解，则式子的值为 ．
【答案】
【分析】将代入得出，代入代数式，即可求解．
【详解】解：将代入得
即
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，得出是解题的关键．
【考点五 列一元一次方程】
例题：（2023·全国·七年级假期作业）列等式表示：比的倍大的数等于的倍，得
【答案】
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由题意可列等式为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元一次方程，解题的关键是理解题意．
【变式训练】
1．（2023秋·七年级课时练习）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ．
【答案】
【分析】设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答．
【详解】解：设这个场地的宽为米，则长为米，
由题意可得：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、明确等量关系是解答本题的关键．
2．（2023·全国·七年级假期作业）据市公园管理中心统计数据显示，月日至日，市属个景点接待市民游客万人，比去年同期增长了，求去年同期这个景点接待市民游客人数．设去年同期这个景点接待市民游客万人，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】根据增长率的计算方法，结合有理数的混合运算即可求解．
【详解】解：设去年同期这个景点接待市民游客万人，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查用方程表示增长率的计算，掌握增长率的计算，方程的运用，用字母表示数（或数量关系）的原则是解题的关键．
【考点六 等式的基本性质】
例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）下列运用等式变形错误的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】D
【分析】直接利用等式的基本性质分别分析得出答案．
【详解】解：A、若，则，正确，不合题意；
B、若，得，正确，不合题意；
C、若，则，正确，不合题意；
D、若，则，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据等式的性质逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A. 若，等号两边同时加上，等式依然成立，即变形正确，不合题意；
B. 若，等号两边同时乘以，等式依然成立，即变形正确，不合题意；
C. 若，当时，变形不正确，符合题意；
D.若，等号两边同时乘以，等式依然成立，即变形正确，不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查等式的变形，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
2．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）下列结论错误的个数为（ ）
（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或整式等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或整式等式仍成立，即可解决．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故（1）正确，不符合题意；
∵，，
∴，故（2）错误，符合题意；
∵，
∴，故（3）正确，不符合题意；
∵，
∴，故（4）错误，符合题意；错误的共2个，
故选C
【点睛】本题考查的是等式的基本性质的应用，熟记等式的基本性质是解本题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）下列方程中，方程的解是的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将代入各方程即可进行判断．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查方程的解．将解代入方程，等式两边成立则为方程的解．
2．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）根据等式的基本性质，下列变形不一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据等式的性质逐项判断即可．
【详解】A. 若，则，原变形一定正确，不符合题意；
B. 若，，则，原变形不一定正确，符合题意；
C. 若，则，那么，原变形一定正确，符合题意；
D. 若，，则，原变形一定正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式两边同时乘或除同一个不为零的数，等式仍然成立是解题的关键．
3．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）给出下列式子①；②；③；④；⑤；⑥中，属于一元一次方程的有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．
【详解】解：①是不等式，不是方程；
②有两个未知数，不是一元一次方程；
③未知数的次数为2，不是一元一次方程；
④有两个未知数，不是一元一次方程；
⑤是一元一次方程；
⑥是一元一次方程；
∴一元一次方程共有2个，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，仅仅抓住未知数的次数是1这个条件，此类题目可严格按照定义解题．
4．（2023春·河南鹤壁·七年级统考期中）若是方程的解，则代数式的值为（ ）
A．4B．7C．9D．12
【答案】D
【分析】把代入方程可得，整体代入即可求出的值．
【详解】解：把代入方程得：
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了方程的解及整体代入求代数式的值，熟练掌握相关知识是解题关键．
5．（2023·江苏宿迁·校考三模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题其内容是：“分田地，三人分之二，留三亩，问田地几何？”设田地有x亩，则可列方程为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设田地有x亩，则参与分配田地为，根据等量关系“留三亩”即可列出方程．
【详解】解：设田地有x亩，
根据题意：可知方程为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、明确等量关系是解答本题的关键．
二、填空题
6．（2023春·河南新乡·七年级统考期中）已知，用含有的代数式表示为 ．
【答案】
【分析】根据等式的性质计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
7．（2023秋·湖南湘潭·七年级统考期末）已知关于x的方程的解是，则的值为 ．
【答案】7
【分析】把代入方程计算即可求出的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：7．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
8．（2023春·四川宜宾·七年级校考阶段练习）设某数为a，则“某数的2倍与3的和是7”用方程可表示为 ;
【答案】
【分析】根据题意，列出方程即可．
【详解】某数的2倍与3的和是7，
设某数为a，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查列一元一次方程，解题的关键是明确题意找出等量关系．
9．（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知 是关于的一元一次方程，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程；即可进行解答．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程．
10．（2023秋·广东惠州·七年级校考期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ．
【答案】7
【分析】将代入方程，求出m，n的表达式，再整体代入求代数式的值即可．
【详解】解：代入方程得，
∴，
故答案为：7
【点睛】本题考查方程的解的意义，运用整体代入的思想求代数式的值是解题关键．
三、解答题
11．（2023秋·全国·七年级课堂例题）完成下列解方程的过程．
解：根据________________，两边________________，
得________________．
于是________________．
根据________________，两边________________，
得________________．
【答案】等式的性质1， 同时减去3，，1，等式的性质2，乘以（或除以），
【分析】根据等式的性质解方程
【详解】解：根据等式性质1，两边同时减去3，
得．
于是．
根据等式的性质2，两边乘以（或除以），
得．
【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的基本性质是解答此题的关键．
12．（2023秋·七年级课时练习）若是关于的方程的解，求的值．
【答案】
【分析】将代入方程得到代入代求式子即可；
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴，
∴ ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，代数式求值，掌握方程的解的概念是解题的关键．
13．（2023秋·七年级课时练习）若是关于的一元一次方程．
（1）求的值；
（2）请写出这个方程；
（3）判断，，是不是这个方程的解．
【答案】（1）；（2）-2x+4=0；（3）是方程的解；不是方程的解；不是方程的解．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义可知：a-1≠0，|a|=1，从而可求得a的值；
（2）将a=-1代入方程即可；
（3）将x=2，x=2.5，x=3代入方程进行验证即可．
【详解】（1）根据一元一次方程的定义可知：，，
解得：．
（2）将代入方程得：．
（3）将代入方程，左边，左边右边，所以是方程的解；
将代入方程，左边，左边右边，所以不是方程的解；
将代入方程，左边，左边右边，所以不是方程的解．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的定义，方程的解的定义，掌握方程的解定义是解题的关键．
14．（2023秋·全国·七年级课堂例题）在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵．
(1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数；
(2)根据题意列出含未知数的方程；
(3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵．
【答案】(1)甲班植树的棵数为棵、棵
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据多、一半的含义列出式子即可；
（2）直接列出等式即可；
（3）利用代入法进行检验即可．
【详解】（1）根据甲班植树的棵数比乙班多，
得甲班植树的棵数为棵；根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵，
得甲班植树的棵数为棵．
（2）．
（3）把分别代入（2）中方程的左边和右边，
得左边，
右边．
因为左边右边，
所以是方程的解，
即乙班植树的棵数是25棵．
由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是30棵，而不是35棵
【点睛】本题考查了列方程解实际问题的能力，考查了学生应用数学解决实际问题的能力．
15．（2023春·湖南长沙·七年级校考阶段练习）在数轴上，点，对应的数分别是，（，），为线段的中点，同时给出如下定义：如果，那么称是的“努力点”．例如：，时，是的“努力点”．
(1)若，则______，______．
(2)在（1）的条件下，下列说法正确的是______（填序号）；
①是的“努力点”； ②是的“努力点”；
③是的“努力点”； ④是的“努力点”．
(3)若，且是、其中一点的“努力点”，求值？
【答案】(1)，；
(2)③
(3)或
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可求出a和b的值；
（2）根据“努力点”的定义，即可判断四个说法正确与否；
（3）根据题意，分两种情况进行讨论：当是的“努力点”时，当是的“努力点”时；即可进行解答．
【详解】（1）解：∵
∴，，
解得：，，
故答案为：，；
（2）解：∵，对应的数分别是，，为线段的中点
∴，，对应的数分别是，，，
①∵，不是的“努力点”；
②∵，不是的“努力点”；
③∵，∴是的“努力点”；
④∵∴是的“努力点”
故答案为：③
（3）点对应的数为：，
是的“努力点”时，
，
∴或
∴或，
整理得：或，
∵，
∴，则；
当是的“努力点”时，
，
∴或，
∴或，
整理得：或，
∵，
∴，则；
综上：或．
【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，有理数的除法，数轴上两点的中点，以及新定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意进行分类讨论．