【期中真题】北京市中国人民大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题.zip

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2021北京人大附中高二（上）期中
数学
一､选择题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量共线定理与坐标表示， 列出方程组求出的值.
【详解】解：由题意得：
向量，
由可知
，解得，.
故选：A
2. 设，向量，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量垂直，结合数量积公式，即可求得答案.
【详解】因为，
所以，解得.
故选：B
3. 在复平面内，复数与对应向量与，则向量对应的复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数减法的几何意义可求出结果.
【详解】设向量与对应的复数分别为和，则，，
所以对应的复数为，
所以向量对应的的复数是，
故选：C.
4. 如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则等于（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的线性运算法则，数形结合，即可得答案.
【详解】由题意得：.
故选：C
5. 经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.
【详解】由于直线的倾斜角为，
则该直线的斜率为，
又因为，，
所以，解得.
故选：B.
6. 在空间四点，，，中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ）.
A. ，，，四点不共线 B. ，，，四点共面，但不共线
C. ，，，四点不共面 D. ，，，点中任意三点不共线
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量基底的定义依次判断即可
【详解】选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量，，共面，构不成基底；
选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则，，共面，构不成基底；
选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则，，构不成基底；
选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量，，构不成基底.
故选：B
【点睛】此题考查空间向量的基底的定义，属于基础题
7. “”是“直线与互相垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】判断两直线垂直的方法：设两直线为，，，代入求解参数，根据充分必要性的判断法则即可得答案.
详解】解：由题意得：
的充要条件是
即，故解得
于是“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A
8. 设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
依据入射光线和反射光线关于直线对称，假设入射光线上两点、，求出这两点关于对称的两点，由两点式即可求得反射光线
【详解】入射光线和反射光线关于直线对称，设入射光线上任意两点、，
则关于直线对称的两个点的坐标分别为、且这两个点在反射光线上，
由两点式可求出反射光线所在的直线方程为，
故选：A.
9. 已知直线，则下叙述正确的是（ ）
A. 直线的斜率可以等于 B. 原点到直线的距离的最大值为
C. 直线可以表示过点的所有直线 D. 若直线的横纵截距相等，则
【答案】D
【解析】
【分析】把直线变为点斜式，可以看出斜率的取值范围，所过的定点，进而判断出ABC选项；把直线变为截距式，可以判断D选项，注意由于直线的各种表达式有自身的限制条件，对m进行分类讨论
【详解】，当时，是垂直于x轴的直线，斜率不存在；当时，变为点斜式： ，恒过定点A，由于，所以直线的斜率不会等于，故A错误；且不能表示过点的所有直线，C错误；
设原点为O，因为直线恒过点A，所以当直线与线段OA垂直时，原点到直线的距离最大，此时的最大距离就是线段OA的长，，所以B错误；
直线化为截距式：当时，，此时横纵截距为0，横纵截距相等；当时，，令，解得：，综上：若直线的横纵截距相等，则，D正确.
故选：D
10. 如图，菱形边长为2，，为边的中点，将沿折起，使A到，且平面平面，连接，则下列结论中正确的个数是（ ）

①
②点到平面的距离为
③异面直线与所成角的余弦值为
A. 个 B. 个
C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】利用反证法，假设，根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理，可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，即，与菱形矛盾，假设不成立，故①错误；如图建系，求得各点坐标，进而可得平面的法向量，根据点到平面距离的向量求法，计算求值，即可判断②的正误；根据异面直线夹角的向量求法，即可判断③的正误，即可得答案.
【详解】对于①：反证法：假设，
因为ABCD为菱形，且为边的中点，
所以，
又因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
又平面，
所以，又，
所以平面，
所以，
因为ABCD为菱形，所以，且，
所以与矛盾，故假设不成立，
所以错误，即①错误；
对于②：因为两两垂直，以E为原点分别为x，y，z轴正方向建系，如图所示：

所以，
所以，
设平面的法向量，
则，令，则法向量可取，
所以点到平面的距离，故②正确；
对于③：，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故③正确.
故选：C
二､填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11. 已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用直线斜率与其倾斜角的关系即可求得答案．
【详解】解：∵直线的方程为，设其倾斜角为，
则其斜率，
∵，
∴，
故答案为：．
12. 若复数，则_____________
【答案】.
【解析】
【详解】分析：由复数的除法运算得，进而.
详解：由.
.
故答案为1.
点睛：本题主要考查了复数的除法运算及复数模的概念，属于基础题.
13. 平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量两两的夹角均为60°，且=1，||=2，||=3，则||等于_____.
【答案】5
【解析】
【分析】根据已知，用基底表示，由向量的数量积运算法则，求，即可求解
【详解】由平行六面体ABCD-A1B1C1D1可得:，
∴
=12+22+32+2cos60°(1×2+1×3+2×3) =25，∴=5.
故答案为:5.
【点睛】本题考查空间向量的基本定理，以及向量的模长和向量的数量积运算，属于基础题.
14. 已知在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则的周长的最小值______.
【答案】
【解析】
【分析】设点关于直线：的对称点，点关于轴的对称点为，
连接交于，交轴于，则此时的周长取最小值，且最小值为，利用对称知识求出和，再利用两点间距离公式即可求解.
【详解】如图：

设点关于直线：的对称点，点关于轴的对称点为，
连接交于，交轴于，
则此时的周长取最小值，且最小值为，
与关于直线：对称，
，解得：，
，易求得：，
的周长的最小值.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.
15. 如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在正方体的表面及其内部运动，且.

则（1）所有满足条件的点构成的图形的面积为__________；
（2）的最小值为___________.
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】取AD中点E，AB中点F，连接MD、、EF、、，根据射影定理，可证、，进而可证平面，即可得P点的运动轨迹，分别求得等腰梯形各个边长，代入公式，即可得答案；如图建系，求得各点坐标，即可得坐标，根据点到面距离的向量求法，代入公式，计算即可得答案.
【详解】取AD中点E，AB中点F，连接MD、、EF、、，如图所示：

因为平面，
所以MD即为MC在平面内的射影，
因为M、E分别为中点，
所以，
所以，则，
所以，
根据射影定理可得，
同理为MC在平面内的射影，且，
所以，
又E、F分别为AD、AB中点，
所以，
所以四点共面，
所以平面，
因为，则平面，
所以P点的轨迹即为平面，
在等腰梯形中，，
不妨将等腰梯形取出画成平面图，过E、F分别作EG、FH垂直，如下图所示：

所以，
所以，
所以等腰梯形的面积，
所以所有满足条件的点构成的图形的面积为；
由题意可得，当平面时，MP有最小值，即求点M到平面的距离，
分别以为x，y，z轴正方向建系，如下图所示

则，
所以
因为平面，
所以即为平面的法向量，
所以点M到平面的距离，
所以的最小值为1
三､解答题（本大题共3小题，共35分）
16. 已知复数在复平面内所对应的点为A
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）若点A在第二象限，求实数的取值范围
【答案】（1）-6 （2）
【解析】
【分析】（1）先求得，根据其为纯虚数，可得，即可求得m值.
（2）先求得点A在复平面内坐标，根据其在第二象限，可得，即可求得m的范围.
【小问1详解】
由题意得，
因为为纯虚数，
所以，解得.
【小问2详解】
复数z在平面内所对应的点为，
因为点A在第二象限，
所以，解得或，
所以实数的取值范围为
17. 在平面直角坐标系中，已知，线段的中点；
（1）求过点和直线平行直线方程；
（2）求边的高线所在直线方程；
（3）求的面积
【答案】（1）
（2）
（3）13
【解析】
【分析】（1）先求得M点坐标，再求得直线的斜率，代入点斜式方程，化简整理即可得答案.
（2）先求得与BC垂直的直线的斜率，根据边的高线过点A，代入点斜式方程，化简整理即可得答案.
（3）先求得直线BC的方程，根据点到直线距离公式，可求得点A到直线BC的距离，再求得B、C两点间距离，代入公式，即可得答案.
【小问1详解】
因为，
所以的中点坐标，
又直线的斜率，
所以过点和直线平行的直线方程为，即.
【小问2详解】
由（1）可知的斜率，
所以与BC垂直的直线的斜率，
所以边的高线所在直线方程为，即.
【小问3详解】
直线的方程为，即，
所以点A到直线的距离，
又B、C两点间距离，
所以的面积
18. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，是的中点.

（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直性质定理，可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，即可得证.
（2）如图建系，求得各点坐标，进而可求得平面的法向量，又平面ABC，则即为平面ABC的法向量，根据二面角的向量求法，即可求得答案.

（3）设，可得，由（2）可得平面的法向量，根据线面角的向量求法，可求得t值，即可得答案.
【小问1详解】
证明：因为平面ABC，平面ABC，
所以，
又，即，
所以平面，
又平面，
所以
【小问2详解】
因为两两垂直，以C为原点，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：

则，
所以，
设平面的法向量，
则，所以，
令x=1，则法向量，
又平面ABC，则即为平面ABC的法向量，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【小问3详解】
设，则，
设与平面所成角为，
则，
解得（舍）或，
所以在线段上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，此时
四､选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
19. 若，为复数，则“是实数”是“，互为共轭复数”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】设,由是实数和，互为共轭复数得到的限制条件，再结合充分条件、必要条件的定义，即可判断
【详解】由题意，不妨设
若是实数，则
故，即，由于不一定相等，故，不一定互为共轭复数，故充分性不成立；
若，互为共轭复数，则，故，故必要性成立.
因此“是实数”是“，互为共轭复数”的必要不充分条件.
故选：B
20. 已知、、，则是（ ）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】求出空间向量、、的坐标，根据空间向量的数量积运算求得，利用向量坐标求向量的模求出，从而判断出这些向量的位置关系以及模长关系，进而可得出结论.
【详解】解：已知、、，
，，，
，，，，
，，
因此，是直角三角形.
故选：C.
21. 设，为不同的两点，直线.记，则下列结论中正确的个数是（ ）
①不论为何值，点都不在直线上；
②若，则过的直线与直线相交；
③若，则直线经过的中点.
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个.
【答案】C
【解析】
【分析】①通过分母不为0，确定，可以判断①的对错；②③通过对条件整理变形，利用直线的相关性质判断.
【详解】因为，分母不为0，所以，所以不论为何值，点都不在直线上，①正确；
当时，设，（），则，为直线上的两个点，显然直线与直线平行，故过的直线与直线不会相交，②错误；
当时，设，整理得：，因为，，所以的中点坐标为，故若，则直线经过的中点.③正确；正确的个数为2个
故选：C
五､填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
22. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质可得，菱形两组对边间的距离相等，根据两平行线间距离公式，即可得答案.
【详解】由题意得：菱形两组对边间的距离相等，
所以，解得.
故答案为：
23. 在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，点为棱的中点，点为正方体表面及内部的点，若点满足：，其中，且，则满足条件的所有点构成的图形的面积是___________.
【答案】
【解析】
【分析】因为点满足：，其中，且，所以，，，四点共面，只需要找到平面与立方体表面的交线便可知围成的图形为正六边形，求出正六边形的面积便可得到答案.
【详解】解：由条件可知：作出点为棱的中点，点为棱的中点，点为棱的中点，如图所示.
点满足：，其中，且，所以，，，四点共面.
又点为棱的中点，点为棱的中点，点为棱的中点，点为正方体表面及内部的点
∥，∥，∥，所以平面是经过，，三点的平面与正方体的截面.
点为平面边上的任意一点
故点构成的图形为正六边形，因为立方体的棱长为1，，
，正六边形的面积为六个边长为的正三角形的面积，
.
则满足条件的所有点构成的图形的面积是.
故答案为：


24. 已知集合.对于定义与之间的距离为
（1）设，则___________
（2）若集合满足：，且中任意两个元素间的距离均为2，集合中元素个数的最大值为_________
【答案】 ①. 5 ②. 4
【解析】
【分析】根据所给公式，代入数据，即可求得的值；分析可得集合R有8个元素，可看成正方体的8个顶点，根据点坐标，结合所给公式，分析即可得答案.
【详解】由题意得：，，
所以.
由题意得集合R有（0,0,0），（0,0,1），（0,1,0），（1,0,0），（1,0,1），（1,1,0），（0,1,1），（1,1,1）共8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，
因为，且中任意两个元素间的距离均为2，
所以集合M中元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，
所以或，
所以集合中元素个数的最大值为4.
故答案为：5；4
六､解答题（本大题14分）
25. 如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.
















定义为第s行与第t行的积. 若对于任意（），都有，则称数表为完美数表.
（Ⅰ）当时，试写出一个符合条件的完美数表；
（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；
（Ⅲ）设为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（1）见解析，（2）不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）见解析
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据定义确定一个解即可，（Ⅱ）先研究完美数表性质，再利用性质作变换，考虑前三行的情况，列方程组，最后根据所求解得矛盾，即证得结论，（Ⅲ）把作为研究对象，根据条件可得，根据定义可得.最后根据不等关系：证得结果.
【详解】（Ⅰ）答案不唯一. 如
1
1

1

（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表. 根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：
（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即均变为，而均变为），得到的新数表是完美数表；
（2）交换完美数表任意两列，得到的新数表也是完美数表.
完美数表反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：





















































在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w列（如上表所示），
则
由，得；
由，得；
由，得.
解方程组，，，，得. 这与矛盾，
所以不存在10行10列的完美数表.
（Ⅲ）记第1列前行中的数的和，
第2列前行中的数的和 ，……，
第n列前行中的数的和，
因为对于任意的和，都有，
所以.
又因为对于任意（），都有，
所以.
又因为，
所以，即.
【点睛】解决新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用．