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湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）
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这是一份湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共23页。试卷主要包含了选择题，三象限B．第二，解方程，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）（解析版）
一、选择题（每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1．（3分）已知函数y＝的图象过点（1，﹣2），则该函数的图象必在（ ）
A．第二、三象限 B．第二、四象限
C．第一、三象限 D．第三、四象限
2．（3分）解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5
3．（3分）把mn＝pq（mn≠0）写成比例式，写错的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有（ ）
A．y2＜0＜y1 B．y1＜y2＜0 C．y1＜0＜y2 D．y2＜y1＜0
5．（3分）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+3n＝0的一个根，则m+n的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
6．（3分）点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC．若AC＝4，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图所示，利用围墙的一边用13m的铁丝网围成一个面积为20m2的矩形，求这个矩形中与围墙平行的一边长度，如果设平行于围墙的一边为xm那么可得方程（ ）
A．x（13﹣x）＝20 B．（13﹣x）＝20
C．x（13﹣x）＝20 D．（13﹣2x）＝20
8．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．＝ B．∠B＝∠D C．＝ D．∠C＝∠AED
9．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有实根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2 B．m≥﹣6且my≠0 C．m≤6 D．m≤6且m≠2
10．（3分）函数和y2＝﹣kx﹣k在同一坐标系中的图象可以大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）已知点A（﹣3，4）与点B（6，m）在反比例函数，则m的值为 ．
12．（3分）一元二次方程的根是 ．
13．（3分）若2a＝3b，则＝ ．
14．（3分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝4，DF＝9，则 ．
15．（3分）已知：关于x的方程2x2+kx﹣1＝0若方程的一个根是﹣1，则k的值为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，请添加一个适当的条件 ，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
17．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．若AB＝3，则的值是 ．
18．（3分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，点A在反比例函数y＝的图象上的图象上，则k＝ ．
三、解方程（共8分）
19．（8分）（1）；
（2）（x﹣1）（x+2）＝4．
四、解答题（第20-25题，每题8分，第26题10分，共58分）
20．（8分）已知y＝（m+1）x1﹣|m|是关于x的反比例函数．
（1）若x＞0时，y随x的增大而减小，求m的值；
（2）若该反比例函数图象经过第二象限内点A（n，6），求n的值．
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接EF并延长交BC的延长线于点G，
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
22．（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利50元，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于30元，若每件衬衫每降价1元，则商场每天可多销售2件．
（1）若每件衬衫降价5元，则每天可盈利多少元？
（2）若商场平均每天盈利1600元，则每件衬衫应降价多少元？
23．（8分）已知▱ABCD，点E是BA延长线上一点，CE与AD，F．求证：CF2＝EF•GF．
24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m﹣1＝0有两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1、x2是该方程的两个根，且，求m的值．
25．（8分）如图，反比例函数图象与一次函数（﹣4，a）与点B．
（1）求a的值与反比例函数关系式；
（2）连接OA，OB，求S△ADB；
（3）若y1＞y2，请结合图象直接写出x的取值范围．
26．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（﹣1，6），且∠ACO＝45°
（1）求反比例函数与一次函数关系式；
（2）线段AC上是否存在一点D，使以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在请求出D点坐标，请说明理由．
（3）点P是x轴上一点，是否存在以点A、C、P为顶点的三角形与△AOC相似，若存在；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1．（3分）已知函数y＝的图象过点（1，﹣2），则该函数的图象必在（ ）
A．第二、三象限 B．第二、四象限
C．第一、三象限 D．第三、四象限
【分析】先将点（1，﹣2）代入函数解析式y＝，求出k的取值，从而确定函数的图象所在象限．
【解答】解：∵函数y＝的图象过点（1，
∴﹣2＝，k＝﹣2，
∴函数解析式为y＝﹣，
∴函数的图象在第二、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质：k＞0时，图象在第一、三象限；k＜0时，图象在第二、四象限；以及待定系数法求函数解析式．
2．（3分）解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2+4x﹣2＝0，
∴x2+4x+4＝5，
∴（x+5）2＝5，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
3．（3分）把mn＝pq（mn≠0）写成比例式，写错的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用等式的基本性质即可解决问题．
【解答】解：A、把mn＝pq（mn≠0）两边同时除以np得，＝；
B、把mn＝pq（mn≠0）两边同时除以mq得，＝；
C、把mn＝pq（mn≠7）两边同时除以mp，得＝；
利用排除法可知D错误．
故选：D．
【点评】本题考查的是等式的性质．
等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．
4．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有（ ）
A．y2＜0＜y1 B．y1＜y2＜0 C．y1＜0＜y2 D．y2＜y1＜0
【分析】先根据反比例函数y＝中k＞0可判断出此函数图象在第一、三象限，再根据x1＜0＜x2，可判断出A、B两点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可判断出y1与y2的大小关系．
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＞0，
∴此函数图象在第一、三象限，
∵x1＜2＜x2，
∴A（x1，y5）在第三象限，点B（x2，y2）在第一象限，
∴y7＜0＜y2，
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征及各象限内点的坐标特点，先根据k＞0判断出该函数图象所在象限是解答此题的关键．
5．（3分）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+3n＝0的一个根，则m+n的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到n2+mn+3n＝0，然后两边除以n即可得到m+n的值．
【解答】解：把x＝n代入x2+mx+3n＝4得n2+mn+3n＝4，
∵n≠0，
∴n+m+3＝4，
即m+n＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
6．（3分）点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC．若AC＝4，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据黄金比值为进行计算即可．
【解答】解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，
∴BC＝AC＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．
7．（3分）如图所示，利用围墙的一边用13m的铁丝网围成一个面积为20m2的矩形，求这个矩形中与围墙平行的一边长度，如果设平行于围墙的一边为xm那么可得方程（ ）
A．x（13﹣x）＝20 B．（13﹣x）＝20
C．x（13﹣x）＝20 D．（13﹣2x）＝20
【分析】根据矩形的面积＝长×宽列一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意，得，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意并根据题意找出其中的等量关系是解题的关键．
8．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．＝ B．∠B＝∠D C．＝ D．∠C＝∠AED
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠6+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，
选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
9．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有实根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2 B．m≥﹣6且my≠0 C．m≤6 D．m≤6且m≠2
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣2≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣2）（m+3）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m﹣2≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣4）（m+3）≥0，
解得m≤7且m≠2，
即m的取值范围是m≤6且m≠4．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
10．（3分）函数和y2＝﹣kx﹣k在同一坐标系中的图象可以大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】当k＞0时，可得出反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过第二、三、四象限；当k＜0时，可得出反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过第一、二、三象限．再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：当k＞0时，﹣k＜0，
∴反比例函数的图象在第一，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过第二、三，
当k＜0时，﹣k＞0，
∴反比例函数的图象在第二，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过第一、二，
符合题意的只有选项B．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，分k＞0和k＜0两种情况找出反比例函数图象与一次函数图象经过的象限是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）已知点A（﹣3，4）与点B（6，m）在反比例函数，则m的值为 ﹣2 ．
【分析】先把A点坐标代入中求出k的值，从而得到反比例函数解析式，然后把B（6，m）代入反比例函数解析式即可求出m的值．
【解答】解：把A（﹣3，4）代入，
所以反比例函数的解析式为y＝﹣，
把B（8，m）代入y＝﹣＝﹣2．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，熟知待定系数法是解题的关键．
12．（3分）一元二次方程的根是 x1＝，x2＝﹣1 ．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：，
x（x﹣）+x﹣，
（x﹣）（x+3）＝0，
x﹣＝7或x+1＝0，
解得：x4＝，x2＝﹣8．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
13．（3分）若2a＝3b，则＝ ．
【分析】由2a＝3b，利用比例变形，即可求得＝，然后根据比例的性质，即可求得的值．
【解答】解：∵2a＝3b，
∴＝，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质的应用．
14．（3分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝4，DF＝9，则 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算答案．
【解答】解：∵l1∥l2∥l4，
∴＝，
∵DE＝4，DF＝9，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
15．（3分）已知：关于x的方程2x2+kx﹣1＝0若方程的一个根是﹣1，则k的值为 1 ．
【分析】将x＝1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值．
【解答】解：根据题意，得
2×（﹣1）7﹣k﹣1＝0，
解得，k＝3；
故答案为：1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
16．（3分）如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，请添加一个适当的条件 ∠ACD＝∠ABC（答案不唯一） ，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
【分析】相似三角形的判定有三种方法：
①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
由此可得出可添加的条件．
【解答】解：由题意得，∠A＝∠A（公共角），
则可添加：∠ACD＝∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．
故答案可为：∠ACD＝∠ABC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．
17．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．若AB＝3，则的值是 ．
【分析】由在▱ABCD中，AD∥BC，利用平行线的性质，可求得∠2＝∠3，又由BF是∠ABC的平分线，易证得∠1＝∠3，利用等角对等边的知识，即可证得AB＝AF，证得△AEF∽△CEB，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠3，
∵BF平分∠ABC，
∴∠8＝∠2，
∴∠1＝∠7，
∴AB＝AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴AE：CE＝AF：BC，
∵AF＝AB＝3，BC＝5，
∴AE：EC＝3：5，
∴＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定．注意有平行线与角平分线易得等腰三角形．
18．（3分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，点A在反比例函数y＝的图象上的图象上，则k＝ ﹣6 ．
【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：＝＝＝，然后用待定系数法即可．
【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），OC＝m．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°．
∵∠DBO+∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC．
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA．
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，
∴＝，
∴＝＝＝，
设A（m，n）n，m），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴mn＝7，
∴﹣n•，
∴k＝﹣4．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点B的坐标（用含n的式子表示）是解题的关键．
三、解方程（共8分）
19．（8分）（1）；
（2）（x﹣1）（x+2）＝4．
【分析】（1）先把方程化整系数，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）方程化为x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+6）＝0，
x﹣3＝2或x+1＝0，
所以x3＝3，x2＝﹣6；
（2）方程化为x2+x﹣6＝3，
（x+3）（x﹣2）＝4，
x+3＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
四、解答题（第20-25题，每题8分，第26题10分，共58分）
20．（8分）已知y＝（m+1）x1﹣|m|是关于x的反比例函数．
（1）若x＞0时，y随x的增大而减小，求m的值；
（2）若该反比例函数图象经过第二象限内点A（n，6），求n的值．
【分析】根据反比例函数的定义得出关于m的不等式组，即可求得m的值；然后根据反比例函数的性质得到关于m的不等式，解不等式即可求得m的值，从而求得反比例函数的解析式，进一步即可求得n的值．
【解答】解：∵函数y＝（m+1）x1﹣|m|是关于x的反比例函数，
∴，
解得m＝±2，
（1）∵x＞0时，y随x的增大而减小，
∴k＝m+7＞0，
∴m＞﹣1，
∴m＝7；
（2）∵该反比例函数图象经过第二象限内点A（n，6），
∴m+1＜5，
∴m＜﹣1，
∴m＝﹣2，
∴m+4＝﹣1，
∴6n＝﹣5，
∴n＝﹣．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接EF并延长交BC的延长线于点G，
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
【分析】（1）设正方形的边长为a．根据已知条件得到AE＝ED＝a，DF＝a，则由“两边及夹角法”证得结论；
（2）由“平行线法”证得△DEF∽△CGF，所以由该相似三角形的对应边成比例可以求得CG＝3ED，又由ED＝AD＝2，则易求BG的长度．
【解答】（1）证明：设正方形的边长为a．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝DC＝a，∠A＝∠D＝90°，
∵E为边AD的中点，
∴AE＝ED＝a，
又∵DF：CF＝7：3，
∴DF＝a，
∴＝，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴△DEF∽△CGF，
∴ED：GC＝DF：FC＝1：3，
∴GC＝3ED．
又∵正方形的边长为4，点E是AD的中点，
∴ED＝2，CG＝8，
∴BG＝BC+CG＝10．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．此题利用了“两边及夹角法”和“平行线法”证得图中的相似三角形的．
22．（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利50元，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于30元，若每件衬衫每降价1元，则商场每天可多销售2件．
（1）若每件衬衫降价5元，则每天可盈利多少元？
（2）若商场平均每天盈利1600元，则每件衬衫应降价多少元？
【分析】（1）利用商场销售这种衬衫每天获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可求出结论；
（2）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（50﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，利用商场销售这种衬衫每天获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要求每件盈利不少于30元，即可确定结论．
【解答】解：（1）根据题意得：（50﹣5）×（20+2×4）
＝（50﹣5）×（20+10）
＝45×30
＝1350（元）．
答：每天可盈利1350元；
（2）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（50﹣x）元，
根据题意得：（50﹣x）（20+2x）＝1600，
整理得：x6﹣40x+300＝0，
解得：x1＝10，x8＝30，
当x＝10时，50﹣x＝50﹣10＝40＞30；
当x＝30时，50﹣x＝50﹣30＝20＜30，舍去．
答：每件衬衫应降价10元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（8分）已知▱ABCD，点E是BA延长线上一点，CE与AD，F．求证：CF2＝EF•GF．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，得到△DFG∽△BFC，△DFC∽△BFE，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△DFG∽△BFC，△DFC∽△BFE，
∴，，
∴＝，即CF2＝EF•GF．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m﹣1＝0有两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1、x2是该方程的两个根，且，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2m，，变形后整体代入，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m8+m﹣1＝0有两实数根，
∴Δ＝（5m）2﹣4（m5+m﹣1）≥0，
解得：m≤7；
（2）由题意得：x1+x2＝﹣7m，，
则 ．
解得：m7＝﹣1，m2＝7，
又m≤1，
所以m的值为﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x1+2x2＝6可求出x2的值．
25．（8分）如图，反比例函数图象与一次函数（﹣4，a）与点B．
（1）求a的值与反比例函数关系式；
（2）连接OA，OB，求S△ADB；
（3）若y1＞y2，请结合图象直接写出x的取值范围．
【分析】（1）把点A（﹣4，a）代入一次函数求得a的值，然后利用待定系数法即可求得反比例函数关系式；
（2）解析式联立成方程组，解方程组即可求得A、B的坐标，设一次函数 与y轴交于点C（0，﹣1），利用三角形面积公式，根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得即可；
（3）根据图象即可求解．
【解答】解：（1）将 A（﹣4，a） 代入 ，得 a＝1；
将 A（﹣2，1）代入 ，得k＝﹣4，
所以反比例函数关系式 ；
（2）由，解得，
所以 A（﹣7，1），﹣2），
设一次函数 与y轴交于点C（0，
故S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝3；
（3）观察图象，若y1＞y8，则﹣4＜x＜0或x＞5．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
26．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（﹣1，6），且∠ACO＝45°
（1）求反比例函数与一次函数关系式；
（2）线段AC上是否存在一点D，使以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在请求出D点坐标，请说明理由．
（3）点P是x轴上一点，是否存在以点A、C、P为顶点的三角形与△AOC相似，若存在；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣1，6）代入y可求出k的值，作AE⊥x轴，交x轴于点E．则E（﹣1，0），EA＝6，根据等腰直角三角形的性质得出CE＝AE＝6，即C（5，0），然后据待定系数法即可求得一次函数解析式；
（2）当OD＝OC时，当 DC＝DO 时，当CD＝CO 时，解方程即可得到结论；
（3）国家相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）作 AB⊥x轴于点B，由点A（﹣1，m＝﹣6，OB＝2．
又∠ACO＝45°，AB＝CB，
∴OC＝5．
即C（5，2），
∴，
∴
∴反比例函数的解析式为，一次函数关系式为y＝﹣x+5；
（2）当OD＝OC时，∠OCD＝∠ODC＝45°，5），
当 DC＝DO 时，点D在OC的垂直平分线上，7.5），
当CD＝CO 时，设 D（m，则 CD＝CO＝5，
又∠DCO＝45°，则 （﹣m+7）2×2＝82，
即 ，
所以 ；
综上，D（0，2.7）或 ；
（3）存在．设△AOC∽△PAC，
则 ，
又∵OC＝5，，
则 ，
故存在，．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，反比例函数的性质等，解题关键是数形结合思想的应用．
湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）（解析版）
一、选择题（每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1．（3分）已知函数y＝的图象过点（1，﹣2），则该函数的图象必在（ ）
A．第二、三象限 B．第二、四象限
C．第一、三象限 D．第三、四象限
2．（3分）解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5
3．（3分）把mn＝pq（mn≠0）写成比例式，写错的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有（ ）
A．y2＜0＜y1 B．y1＜y2＜0 C．y1＜0＜y2 D．y2＜y1＜0
5．（3分）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+3n＝0的一个根，则m+n的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
6．（3分）点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC．若AC＝4，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图所示，利用围墙的一边用13m的铁丝网围成一个面积为20m2的矩形，求这个矩形中与围墙平行的一边长度，如果设平行于围墙的一边为xm那么可得方程（ ）
A．x（13﹣x）＝20 B．（13﹣x）＝20
C．x（13﹣x）＝20 D．（13﹣2x）＝20
8．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．＝ B．∠B＝∠D C．＝ D．∠C＝∠AED
9．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有实根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2 B．m≥﹣6且my≠0 C．m≤6 D．m≤6且m≠2
10．（3分）函数和y2＝﹣kx﹣k在同一坐标系中的图象可以大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）已知点A（﹣3，4）与点B（6，m）在反比例函数，则m的值为 ．
12．（3分）一元二次方程的根是 ．
13．（3分）若2a＝3b，则＝ ．
14．（3分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝4，DF＝9，则 ．
15．（3分）已知：关于x的方程2x2+kx﹣1＝0若方程的一个根是﹣1，则k的值为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，请添加一个适当的条件 ，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
17．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．若AB＝3，则的值是 ．
18．（3分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，点A在反比例函数y＝的图象上的图象上，则k＝ ．
三、解方程（共8分）
19．（8分）（1）；
（2）（x﹣1）（x+2）＝4．
四、解答题（第20-25题，每题8分，第26题10分，共58分）
20．（8分）已知y＝（m+1）x1﹣|m|是关于x的反比例函数．
（1）若x＞0时，y随x的增大而减小，求m的值；
（2）若该反比例函数图象经过第二象限内点A（n，6），求n的值．
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接EF并延长交BC的延长线于点G，
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
22．（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利50元，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于30元，若每件衬衫每降价1元，则商场每天可多销售2件．
（1）若每件衬衫降价5元，则每天可盈利多少元？
（2）若商场平均每天盈利1600元，则每件衬衫应降价多少元？
23．（8分）已知▱ABCD，点E是BA延长线上一点，CE与AD，F．求证：CF2＝EF•GF．
24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m﹣1＝0有两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1、x2是该方程的两个根，且，求m的值．
25．（8分）如图，反比例函数图象与一次函数（﹣4，a）与点B．
（1）求a的值与反比例函数关系式；
（2）连接OA，OB，求S△ADB；
（3）若y1＞y2，请结合图象直接写出x的取值范围．
26．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（﹣1，6），且∠ACO＝45°
（1）求反比例函数与一次函数关系式；
（2）线段AC上是否存在一点D，使以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在请求出D点坐标，请说明理由．
（3）点P是x轴上一点，是否存在以点A、C、P为顶点的三角形与△AOC相似，若存在；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1．（3分）已知函数y＝的图象过点（1，﹣2），则该函数的图象必在（ ）
A．第二、三象限 B．第二、四象限
C．第一、三象限 D．第三、四象限
【分析】先将点（1，﹣2）代入函数解析式y＝，求出k的取值，从而确定函数的图象所在象限．
【解答】解：∵函数y＝的图象过点（1，
∴﹣2＝，k＝﹣2，
∴函数解析式为y＝﹣，
∴函数的图象在第二、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质：k＞0时，图象在第一、三象限；k＜0时，图象在第二、四象限；以及待定系数法求函数解析式．
2．（3分）解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2+4x﹣2＝0，
∴x2+4x+4＝5，
∴（x+5）2＝5，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
3．（3分）把mn＝pq（mn≠0）写成比例式，写错的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用等式的基本性质即可解决问题．
【解答】解：A、把mn＝pq（mn≠0）两边同时除以np得，＝；
B、把mn＝pq（mn≠0）两边同时除以mq得，＝；
C、把mn＝pq（mn≠7）两边同时除以mp，得＝；
利用排除法可知D错误．
故选：D．
【点评】本题考查的是等式的性质．
等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．
4．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有（ ）
A．y2＜0＜y1 B．y1＜y2＜0 C．y1＜0＜y2 D．y2＜y1＜0
【分析】先根据反比例函数y＝中k＞0可判断出此函数图象在第一、三象限，再根据x1＜0＜x2，可判断出A、B两点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可判断出y1与y2的大小关系．
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＞0，
∴此函数图象在第一、三象限，
∵x1＜2＜x2，
∴A（x1，y5）在第三象限，点B（x2，y2）在第一象限，
∴y7＜0＜y2，
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征及各象限内点的坐标特点，先根据k＞0判断出该函数图象所在象限是解答此题的关键．
5．（3分）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+3n＝0的一个根，则m+n的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到n2+mn+3n＝0，然后两边除以n即可得到m+n的值．
【解答】解：把x＝n代入x2+mx+3n＝4得n2+mn+3n＝4，
∵n≠0，
∴n+m+3＝4，
即m+n＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
6．（3分）点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC．若AC＝4，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据黄金比值为进行计算即可．
【解答】解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，
∴BC＝AC＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．
7．（3分）如图所示，利用围墙的一边用13m的铁丝网围成一个面积为20m2的矩形，求这个矩形中与围墙平行的一边长度，如果设平行于围墙的一边为xm那么可得方程（ ）
A．x（13﹣x）＝20 B．（13﹣x）＝20
C．x（13﹣x）＝20 D．（13﹣2x）＝20
【分析】根据矩形的面积＝长×宽列一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意，得，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意并根据题意找出其中的等量关系是解题的关键．
8．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．＝ B．∠B＝∠D C．＝ D．∠C＝∠AED
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠6+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，
选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
9．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有实根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2 B．m≥﹣6且my≠0 C．m≤6 D．m≤6且m≠2
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣2≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣2）（m+3）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m﹣2≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣4）（m+3）≥0，
解得m≤7且m≠2，
即m的取值范围是m≤6且m≠4．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
10．（3分）函数和y2＝﹣kx﹣k在同一坐标系中的图象可以大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】当k＞0时，可得出反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过第二、三、四象限；当k＜0时，可得出反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过第一、二、三象限．再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：当k＞0时，﹣k＜0，
∴反比例函数的图象在第一，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过第二、三，
当k＜0时，﹣k＞0，
∴反比例函数的图象在第二，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过第一、二，
符合题意的只有选项B．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，分k＞0和k＜0两种情况找出反比例函数图象与一次函数图象经过的象限是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）已知点A（﹣3，4）与点B（6，m）在反比例函数，则m的值为 ﹣2 ．
【分析】先把A点坐标代入中求出k的值，从而得到反比例函数解析式，然后把B（6，m）代入反比例函数解析式即可求出m的值．
【解答】解：把A（﹣3，4）代入，
所以反比例函数的解析式为y＝﹣，
把B（8，m）代入y＝﹣＝﹣2．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，熟知待定系数法是解题的关键．
12．（3分）一元二次方程的根是 x1＝，x2＝﹣1 ．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：，
x（x﹣）+x﹣，
（x﹣）（x+3）＝0，
x﹣＝7或x+1＝0，
解得：x4＝，x2＝﹣8．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
13．（3分）若2a＝3b，则＝ ．
【分析】由2a＝3b，利用比例变形，即可求得＝，然后根据比例的性质，即可求得的值．
【解答】解：∵2a＝3b，
∴＝，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质的应用．
14．（3分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝4，DF＝9，则 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算答案．
【解答】解：∵l1∥l2∥l4，
∴＝，
∵DE＝4，DF＝9，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
15．（3分）已知：关于x的方程2x2+kx﹣1＝0若方程的一个根是﹣1，则k的值为 1 ．
【分析】将x＝1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值．
【解答】解：根据题意，得
2×（﹣1）7﹣k﹣1＝0，
解得，k＝3；
故答案为：1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
16．（3分）如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，请添加一个适当的条件 ∠ACD＝∠ABC（答案不唯一） ，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
【分析】相似三角形的判定有三种方法：
①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
由此可得出可添加的条件．
【解答】解：由题意得，∠A＝∠A（公共角），
则可添加：∠ACD＝∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．
故答案可为：∠ACD＝∠ABC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．
17．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．若AB＝3，则的值是 ．
【分析】由在▱ABCD中，AD∥BC，利用平行线的性质，可求得∠2＝∠3，又由BF是∠ABC的平分线，易证得∠1＝∠3，利用等角对等边的知识，即可证得AB＝AF，证得△AEF∽△CEB，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠3，
∵BF平分∠ABC，
∴∠8＝∠2，
∴∠1＝∠7，
∴AB＝AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴AE：CE＝AF：BC，
∵AF＝AB＝3，BC＝5，
∴AE：EC＝3：5，
∴＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定．注意有平行线与角平分线易得等腰三角形．
18．（3分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，点A在反比例函数y＝的图象上的图象上，则k＝ ﹣6 ．
【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：＝＝＝，然后用待定系数法即可．
【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），OC＝m．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°．
∵∠DBO+∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC．
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA．
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，
∴＝，
∴＝＝＝，
设A（m，n）n，m），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴mn＝7，
∴﹣n•，
∴k＝﹣4．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点B的坐标（用含n的式子表示）是解题的关键．
三、解方程（共8分）
19．（8分）（1）；
（2）（x﹣1）（x+2）＝4．
【分析】（1）先把方程化整系数，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）方程化为x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+6）＝0，
x﹣3＝2或x+1＝0，
所以x3＝3，x2＝﹣6；
（2）方程化为x2+x﹣6＝3，
（x+3）（x﹣2）＝4，
x+3＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
四、解答题（第20-25题，每题8分，第26题10分，共58分）
20．（8分）已知y＝（m+1）x1﹣|m|是关于x的反比例函数．
（1）若x＞0时，y随x的增大而减小，求m的值；
（2）若该反比例函数图象经过第二象限内点A（n，6），求n的值．
【分析】根据反比例函数的定义得出关于m的不等式组，即可求得m的值；然后根据反比例函数的性质得到关于m的不等式，解不等式即可求得m的值，从而求得反比例函数的解析式，进一步即可求得n的值．
【解答】解：∵函数y＝（m+1）x1﹣|m|是关于x的反比例函数，
∴，
解得m＝±2，
（1）∵x＞0时，y随x的增大而减小，
∴k＝m+7＞0，
∴m＞﹣1，
∴m＝7；
（2）∵该反比例函数图象经过第二象限内点A（n，6），
∴m+1＜5，
∴m＜﹣1，
∴m＝﹣2，
∴m+4＝﹣1，
∴6n＝﹣5，
∴n＝﹣．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接EF并延长交BC的延长线于点G，
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
【分析】（1）设正方形的边长为a．根据已知条件得到AE＝ED＝a，DF＝a，则由“两边及夹角法”证得结论；
（2）由“平行线法”证得△DEF∽△CGF，所以由该相似三角形的对应边成比例可以求得CG＝3ED，又由ED＝AD＝2，则易求BG的长度．
【解答】（1）证明：设正方形的边长为a．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝DC＝a，∠A＝∠D＝90°，
∵E为边AD的中点，
∴AE＝ED＝a，
又∵DF：CF＝7：3，
∴DF＝a，
∴＝，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴△DEF∽△CGF，
∴ED：GC＝DF：FC＝1：3，
∴GC＝3ED．
又∵正方形的边长为4，点E是AD的中点，
∴ED＝2，CG＝8，
∴BG＝BC+CG＝10．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．此题利用了“两边及夹角法”和“平行线法”证得图中的相似三角形的．
22．（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利50元，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于30元，若每件衬衫每降价1元，则商场每天可多销售2件．
（1）若每件衬衫降价5元，则每天可盈利多少元？
（2）若商场平均每天盈利1600元，则每件衬衫应降价多少元？
【分析】（1）利用商场销售这种衬衫每天获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可求出结论；
（2）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（50﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，利用商场销售这种衬衫每天获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要求每件盈利不少于30元，即可确定结论．
【解答】解：（1）根据题意得：（50﹣5）×（20+2×4）
＝（50﹣5）×（20+10）
＝45×30
＝1350（元）．
答：每天可盈利1350元；
（2）设每件衬衫降价x元，则每件盈利（50﹣x）元，
根据题意得：（50﹣x）（20+2x）＝1600，
整理得：x6﹣40x+300＝0，
解得：x1＝10，x8＝30，
当x＝10时，50﹣x＝50﹣10＝40＞30；
当x＝30时，50﹣x＝50﹣30＝20＜30，舍去．
答：每件衬衫应降价10元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（8分）已知▱ABCD，点E是BA延长线上一点，CE与AD，F．求证：CF2＝EF•GF．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，得到△DFG∽△BFC，△DFC∽△BFE，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△DFG∽△BFC，△DFC∽△BFE，
∴，，
∴＝，即CF2＝EF•GF．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m﹣1＝0有两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1、x2是该方程的两个根，且，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2m，，变形后整体代入，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m8+m﹣1＝0有两实数根，
∴Δ＝（5m）2﹣4（m5+m﹣1）≥0，
解得：m≤7；
（2）由题意得：x1+x2＝﹣7m，，
则 ．
解得：m7＝﹣1，m2＝7，
又m≤1，
所以m的值为﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x1+2x2＝6可求出x2的值．
25．（8分）如图，反比例函数图象与一次函数（﹣4，a）与点B．
（1）求a的值与反比例函数关系式；
（2）连接OA，OB，求S△ADB；
（3）若y1＞y2，请结合图象直接写出x的取值范围．
【分析】（1）把点A（﹣4，a）代入一次函数求得a的值，然后利用待定系数法即可求得反比例函数关系式；
（2）解析式联立成方程组，解方程组即可求得A、B的坐标，设一次函数 与y轴交于点C（0，﹣1），利用三角形面积公式，根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得即可；
（3）根据图象即可求解．
【解答】解：（1）将 A（﹣4，a） 代入 ，得 a＝1；
将 A（﹣2，1）代入 ，得k＝﹣4，
所以反比例函数关系式 ；
（2）由，解得，
所以 A（﹣7，1），﹣2），
设一次函数 与y轴交于点C（0，
故S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝3；
（3）观察图象，若y1＞y8，则﹣4＜x＜0或x＞5．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
26．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（﹣1，6），且∠ACO＝45°
（1）求反比例函数与一次函数关系式；
（2）线段AC上是否存在一点D，使以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在请求出D点坐标，请说明理由．
（3）点P是x轴上一点，是否存在以点A、C、P为顶点的三角形与△AOC相似，若存在；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣1，6）代入y可求出k的值，作AE⊥x轴，交x轴于点E．则E（﹣1，0），EA＝6，根据等腰直角三角形的性质得出CE＝AE＝6，即C（5，0），然后据待定系数法即可求得一次函数解析式；
（2）当OD＝OC时，当 DC＝DO 时，当CD＝CO 时，解方程即可得到结论；
（3）国家相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）作 AB⊥x轴于点B，由点A（﹣1，m＝﹣6，OB＝2．
又∠ACO＝45°，AB＝CB，
∴OC＝5．
即C（5，2），
∴，
∴
∴反比例函数的解析式为，一次函数关系式为y＝﹣x+5；
（2）当OD＝OC时，∠OCD＝∠ODC＝45°，5），
当 DC＝DO 时，点D在OC的垂直平分线上，7.5），
当CD＝CO 时，设 D（m，则 CD＝CO＝5，
又∠DCO＝45°，则 （﹣m+7）2×2＝82，
即 ，
所以 ；
综上，D（0，2.7）或 ；
（3）存在．设△AOC∽△PAC，
则 ，
又∵OC＝5，，
则 ，
故存在，．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，反比例函数的性质等，解题关键是数形结合思想的应用．
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