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2023-2024学年湖南省娄底市九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年湖南省娄底市九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年湖南省娄底市九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C．y＝﹣2x D．
2．如图，点P在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且△APB的面积为2，则k等于（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
3．在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
4．某开发公司2021年投入的研发资金为100亿元，为了扩大产品的竞争力，该公司不断增加研发投资，计划2023年投入400亿元研发资金．若2021年到2023年投入的研发资金年平均增长率均为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．100（1+x）＝400
B．100（1+2x）＝400
C．100（1+x）+100（1+x）2＝400
D．100（1+x）2＝400
5．若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则﹣a2﹣2a的值为（ ）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣12
6．已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7
7．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k≠2 C．k＜3且k≠2 D．k＞1且k≠2
8．若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
9．已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足a2﹣4b＝7，b2﹣4c＝﹣6，c2﹣6a＝﹣18，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
10．如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知y与x成反比例，且当x＝﹣3时，y＝4，则当x＝6时，y的值为 ．
12．若点A（x1，﹣1），B（x2，3），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是 ．
13．如图是函数y＝k1x，y＝和y＝在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断k1、k2和k3间的大小关系为 ．
14．当三角形的面积为9cm2时，它的底边长a（cm）与底边上的高h（cm）之间的函数表达式为 ．
15．方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是 ．
16．关于x的方程的两根分别为x1，x2，则x1•x2的值为 ．
17．若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为 ．
18．已知m，n是方程x2﹣2x﹣7＝0的两个实数根，则代数式m2n﹣2mn+7m+2023的值为 ．
三、解答题（共8小题，19～25每小题8分，26题10分，共66分）
19．已知函数 y＝（5m﹣3）x2﹣n+（n+m），
（1）当m，n为何值时是一次函数？
（2）当m，n为何值时，为正比例函数？
（3）当m，n为何值时，为反比例函数？
20．解方程：
（1）（x+2）2﹣x﹣2＝0；
（2）2x2+4x﹣1＝0．
21．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若P为x轴上一点，△ABP的面积为5，求点P的坐标；
（3）结合图象，关于x的不等式kx+b＜的解集为 ．
22．若x1，x2是一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两个根，求下列式子的值．
（1）+；
（2）+．
23．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．
（1）P关于S的函数关系式为 ．
（2）求当S＝0.25m2时，物体所受的压强是 Pa．
（3）当1000＜P＜4000时，求受力面积S的变化范围．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
25．某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？
26．【阅读材料】
若x2+y2+8x﹣6y+25＝0，求x，y的值．
解：（x2+8x+16）+（y2﹣6y+9）＝0，（x+4）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+4＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣4，y＝3．
【解决问题】
（1）已知m2+n2﹣12n+10m+61＝0，求（m+n）2023的值；
【拓展应用】
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2＝8b+4c﹣20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C．y＝﹣2x D．
【分析】根据反比例函数的定义回答即可．
解：A、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意；
D、该函数是反比例函数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，关键是注意反比例函数的一般形式是y＝（k≠0）．
2．如图，点P在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且△APB的面积为2，则k等于（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】由反比例函数系数k的几何意义结合△APB的面积为2即可得出k＝±4，再根据反比例函数在第二象限有图象即可得出k＝﹣4，此题得解．
解：∵点P在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，
∴S△APB＝|k|＝2，
∴k＝±4．
又∵反比例函数在第二象限有图象，
∴k＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握“在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．”是解题的关键．
3．在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
解：∵一次函数y＝﹣kx+k＝﹣k（x﹣1），
∴直线经过点（1，0），A、C不合题意；
B、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，矛盾，不合题意；
D、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＜0，一致，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，重点是注意系数k的取值．
4．某开发公司2021年投入的研发资金为100亿元，为了扩大产品的竞争力，该公司不断增加研发投资，计划2023年投入400亿元研发资金．若2021年到2023年投入的研发资金年平均增长率均为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．100（1+x）＝400
B．100（1+2x）＝400
C．100（1+x）+100（1+x）2＝400
D．100（1+x）2＝400
【分析】根据题意得到关系式为：2021年研发资金投入×（1+年平均增长率）2＝2023年研发资金投入，把相关数值代入即可
解：根据题意得，100（1+x）2＝400，
故选：D．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
5．若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则﹣a2﹣2a的值为（ ）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣12
【分析】将x＝a代入原方程，可得出a2+2a＝4，进而可求出﹣a2﹣2a的值．
解：将x＝a代入原方程得a2+2a﹣4＝0，
∴a2+2a＝4，
∴﹣a2﹣2a＝﹣（a2+2a）＝﹣1×4＝﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，找出a2+2a＝4是解题的关键．
6．已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7
【分析】方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果，即可做出判断．
解：方程移项得：x2+4x＝3，
配方得：x2+4x+4＝7，即（x+2）2＝7，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k≠2 C．k＜3且k≠2 D．k＞1且k≠2
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＞0且k﹣2≠0，求出k的取值范围即可．
解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＞0且k﹣2≠0，
解得：k＞1且k≠2，
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k的不等式是解此题的关键．
8．若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】把式子变形，再利用根与系数的关系，代入数据求值即可．
解：
＝
＝
＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，做题关键是掌握根与系数的关系式．
9．已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足a2﹣4b＝7，b2﹣4c＝﹣6，c2﹣6a＝﹣18，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【分析】将已知三个等式相加，进行配方可得结论．
解：△ABC是等腰三角形，理由是：
∵a2﹣4b＝1，b2﹣4c＝﹣4，c2﹣6a＝﹣14，
∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a＝﹣17，
∴（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2＝0，
∴a＝3，b＝2，c＝2，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形三边关系，配方法的应用．熟记完全平方公式是解题的关键，属于基础题．
10．如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．
解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2＝10π．
解得：r＝2．
∵点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝（k＜0）与⊙O的一个交点．
∴﹣2a2＝k且＝r．
∴a2＝8．
∴k＝﹣2×8＝﹣16，
则反比例函数的解析式是：y＝﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知y与x成反比例，且当x＝﹣3时，y＝4，则当x＝6时，y的值为 ﹣2 ．
【分析】根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
解：设反比例函数为y＝，
当x＝﹣3，y＝4时，4＝，解得k＝﹣12．
反比例函数为y＝．
当x＝6时，y＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
12．若点A（x1，﹣1），B（x2，3），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是 x2＞x3＞x1 ．
【分析】先根据函数解析式判断出函数图象在二四象限，再判断出函数图象的增减性，根据各点纵坐标的值即可得出结论．
解：∵反比例函数，k＝4＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
∵﹣1＜0，3＞0，5＞0，
∴点A在第四象限，点B、C在第一象限，
∴x1＞0，x2＜0，x3＜0，
∵3＜5，
∴x2＞x3＞0，
∴x2＞x3＞x1．
故答案为：x2＞x3＞x1．．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
13．如图是函数y＝k1x，y＝和y＝在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断k1、k2和k3间的大小关系为 k1＜k2＜k3 ．
【分析】根据正比例函数图象的性质：k＞0时，图象占一、三象限；k＜0时，图象占二、四象限，可判断k1＜0．根据反比例函数图象的性质：k＞0时，图象占一、三象限；k＜0时，图象占二、四象限，k的绝对值越大，图象越远离坐标轴，可判断0＜k2＜k3，即可求解．
解：由函数图象可知正比例函数y＝k1x经过第二、四象限，
∴k1＜0，
又∵反比例函数y＝和y＝图象在第一象限，且y＝更远离坐标轴，
∴0＜k2＜k3，
∴k1＜k2＜k3．
故答案为：k1＜k2＜k3．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数的性质，根据函数图象判断出k的取值范围是解题的关键．
14．当三角形的面积为9cm2时，它的底边长a（cm）与底边上的高h（cm）之间的函数表达式为 ．
【分析】根据等量关系“三角形的面积＝底边×底边上的高”即可列出a与h的关系式．
解：∵三角形的面积＝底边×底边上的高，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，找出等量关系是解决此题的关键．
15．方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是 x1＝1，x2＝0 ．
【分析】将方程右边看作一个整体，移项到左边，提取公因式x﹣1化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：（x﹣1）（x+1）＝（x﹣1），
因式分解得：（x﹣1）（x+1﹣1）＝0，
可得x﹣1＝0或x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
故答案为：x1＝1，x2＝0．
【点评】此题考查了解一元二次方程—因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
16．关于x的方程的两根分别为x1，x2，则x1•x2的值为 ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：x1•x2＝求解即可．
解：∵关于x的方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1•x2＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
17．若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为 M≥N ．
【分析】利用求差法判定两式的大小，将M与N代入M﹣N中，去括号合并得到最简结果，根据结果的正负即可做出判断．
解：M﹣N＝（2x2﹣12x+15）﹣（x2﹣8x+11）
＝x2﹣4x+4
＝（x﹣2）2．
∵（x﹣2）2≥0，
∴M≥N．
故答案为：M≥N．
【点评】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
18．已知m，n是方程x2﹣2x﹣7＝0的两个实数根，则代数式m2n﹣2mn+7m+2023的值为 2037 ．
【分析】先根据根与系数的关系得mn＝﹣7，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣7＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣7，
∴m2n﹣2mn+7m+2023
＝mn•m﹣2mn+7m+2023
＝﹣7m﹣2mn+7m+2023
＝﹣2mn+2023
＝﹣2×（﹣7）+2023
＝2037．
故答案为：2037．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
三、解答题（共8小题，19～25每小题8分，26题10分，共66分）
19．已知函数 y＝（5m﹣3）x2﹣n+（n+m），
（1）当m，n为何值时是一次函数？
（2）当m，n为何值时，为正比例函数？
（3）当m，n为何值时，为反比例函数？
【分析】（1）根据一次函数的定义知2﹣n＝1，且5m﹣3≠0，据此可以求得m、n的值；
（2）根据正比例函数的定义知2﹣n＝1，m+n＝0，5m﹣3≠0，据此可以求得m、n的值；
（3）根据反比例函数的定义知2﹣n＝﹣1，m+n＝0，5m﹣3≠0，据此可以求得m、n的值．
解：（1）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是一次函数时，
2﹣n＝1，且5m﹣3≠0，
解得：n＝1且m≠；
（2）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是正比例函数时，，
解得：n＝1，m＝﹣1．
（3）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是反比例函数时，，
解得：n＝3，m＝﹣3．
【点评】本题考查了一次函数、正比例函数、反比例函数的定义．关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式以及三种函数的关系是形式．
20．解方程：
（1）（x+2）2﹣x﹣2＝0；
（2）2x2+4x﹣1＝0．
【分析】（1）利用提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程；
（2）利用公式法解出方程．
解：（1）（x+2）2﹣x﹣2＝0，
则（x+2）2﹣（x+2）＝0，
∴（x+2）（x+2﹣1）＝0，
∴x+2＝0或x+1＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣1；
（2）2x2+4x﹣1＝0，
a＝2，b＝4，c＝﹣1，
则Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×2×（﹣1）＝24，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
21．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若P为x轴上一点，△ABP的面积为5，求点P的坐标；
（3）结合图象，关于x的不等式kx+b＜的解集为 0＜x＜2或x＜﹣3 ．
【分析】（1）把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出m，得出反比例函数的解析式，再把A点的坐标代入反比例函数的解析式，求出n，再求出一次函数的解析式即可；
（2）根据一次函数的解析式求得与x轴的交点C，然后根据△ABP的面积为5求得CP的长度，进而即可求得P点的坐标；
（3）根据函数的图象和A、B两点的坐标得出答案即可．
解：（1）把B（2，3）代入y＝得：m＝2×3＝6，
即反比例函数的表达式是y＝，
把A（﹣3，n）代入y＝得：n＝＝﹣2，
即A（﹣3，﹣2），
把A、B的坐标代入y＝kx+b，得，
解得，
所以一次函数的表达式是y＝x+1；
（2）y＝x+1，
当y＝0时，x＝﹣1，
即直线y＝x+1与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
∵A（﹣3，﹣2），B（2，3），△ABP的面积为5，
∴CP×3+CP×2＝5，
∴CP＝2，
∴点P的坐标是（1，0）或（﹣3，0）；
（3）根据图象可知：关于x的不等式kx+b＜的解集为0＜x＜2或x＜﹣3，
故答案为：0＜x＜2或x＜﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．
22．若x1，x2是一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两个根，求下列式子的值．
（1）+；
（2）+．
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝＝﹣2，x1x2＝，再进一步求解（1）（2）即可．
解：∵x1，x2是一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝＝﹣2，x1x2＝，
（1）+
＝
＝4﹣2×
＝5；
（2）+
＝
＝
＝4．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
23．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．
（1）P关于S的函数关系式为 P＝，（S＞0） ．
（2）求当S＝0.25m2时，物体所受的压强是 400 Pa．
（3）当1000＜P＜4000时，求受力面积S的变化范围．
【分析】（1）观察图象易知P与S之间的是反比例函数关系，所以可以设P＝，依据图象上点A的坐标可以求得P与S之间的函数关系式．
（2）将S代入上题求得的反比例函数的解析式即可求得压强．
（3）将压强代入函数关系式即可求得受力面积的取值范围．
解：（1）设P＝，
∵点（0.1，1000）在这个函数的图象上，
∴1000＝．
∴k＝100．
∴P与S的函数关系式为 P＝，（S＞0）．
故答案为：P＝，（S＞0）．
（2）当S＝0.25m2时，P＝＝400（pa）．
故答案为：400．
（3）令P＝1000，S＝＝0.1（m2），
令P＝4000，S＝＝0.025（m2），
∴当1000＜p＜4000时，0.025＜S＜0.1．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
（2）p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，代入（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求得m的值．
解：（1）根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×（m﹣1）≥0，解得m≤2；
（2）p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，
则（p2﹣2p+3）（m+4）＝7即（4﹣m）（4+m）＝7，
解得：m＝3（舍去）或﹣3．
故m的值为﹣3．
【点评】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式，（2）中注意求得的m要满足（1）中m的范围．
25．某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？
【分析】（1）直接将点B的坐标代入即可；
（2）观察图象可知：三段函数都有y≥15的点，而且AB段是恒温阶段，y＝20，所以计算AD和BC两段当y＝15时对应的x值，相减就是结论．
解：（1）把B（12，20）代入y＝中得：
k＝12×20＝240；
（2）如图，
设AD的解析式为：y＝mx+n．
把（0，10）、（2，20）代入y＝mx+n中得：
，
解得：，
∴AD的解析式为：y＝5x+10，
当y＝15时，15＝5x+10，x＝1．
15＝，
解得：x＝16，
16﹣1＝15．
答：恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于15℃的时间有15小时．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
26．【阅读材料】
若x2+y2+8x﹣6y+25＝0，求x，y的值．
解：（x2+8x+16）+（y2﹣6y+9）＝0，（x+4）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+4＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣4，y＝3．
【解决问题】
（1）已知m2+n2﹣12n+10m+61＝0，求（m+n）2023的值；
【拓展应用】
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2＝8b+4c﹣20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．
【分析】（1）将61拆分为25和36，再根据完全平方公式配方解答；
（2）先根据阅读材料求出b、c的值，再根据三角形三边关系解答．
解：（1）∵m2+n2﹣12n+10m+61＝0，
将61拆分为25和36，可得：
（m2+10m+25）+（n2﹣12n+36）＝0，
根据完全平方公式得（m+5）2+（n﹣6）2＝0，
∴m+5＝0，n﹣6＝0，
∴m＝﹣5，n＝6，
∴（m+n）2023＝（﹣5+6）2023＝1．
（2）∵b2+c2＝8b+4c﹣20，
将61拆分为25和36，可得：
b2+c2﹣8b﹣4c+20＝0，
根据完全平方公式得（b2﹣8b+16）+（c2﹣4c+4）＝0，
（b﹣4）2+（c﹣2）2＝0，
∴b﹣4＝0，c﹣2＝0，
∴b＝4，c＝2．
∵a是△ABC中最长的边，
∴4≤a＜6，即a的取值范围为4≤a＜6．
【点评】本题考查了配方法的应用，根据完全平方公式进行配方是解题的关键．
2023-2024学年湖南省娄底市九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C．y＝﹣2x D．
2．如图，点P在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且△APB的面积为2，则k等于（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
3．在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
4．某开发公司2021年投入的研发资金为100亿元，为了扩大产品的竞争力，该公司不断增加研发投资，计划2023年投入400亿元研发资金．若2021年到2023年投入的研发资金年平均增长率均为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．100（1+x）＝400
B．100（1+2x）＝400
C．100（1+x）+100（1+x）2＝400
D．100（1+x）2＝400
5．若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则﹣a2﹣2a的值为（ ）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣12
6．已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7
7．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k≠2 C．k＜3且k≠2 D．k＞1且k≠2
8．若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
9．已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足a2﹣4b＝7，b2﹣4c＝﹣6，c2﹣6a＝﹣18，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
10．如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知y与x成反比例，且当x＝﹣3时，y＝4，则当x＝6时，y的值为 ．
12．若点A（x1，﹣1），B（x2，3），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是 ．
13．如图是函数y＝k1x，y＝和y＝在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断k1、k2和k3间的大小关系为 ．
14．当三角形的面积为9cm2时，它的底边长a（cm）与底边上的高h（cm）之间的函数表达式为 ．
15．方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是 ．
16．关于x的方程的两根分别为x1，x2，则x1•x2的值为 ．
17．若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为 ．
18．已知m，n是方程x2﹣2x﹣7＝0的两个实数根，则代数式m2n﹣2mn+7m+2023的值为 ．
三、解答题（共8小题，19～25每小题8分，26题10分，共66分）
19．已知函数 y＝（5m﹣3）x2﹣n+（n+m），
（1）当m，n为何值时是一次函数？
（2）当m，n为何值时，为正比例函数？
（3）当m，n为何值时，为反比例函数？
20．解方程：
（1）（x+2）2﹣x﹣2＝0；
（2）2x2+4x﹣1＝0．
21．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若P为x轴上一点，△ABP的面积为5，求点P的坐标；
（3）结合图象，关于x的不等式kx+b＜的解集为 ．
22．若x1，x2是一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两个根，求下列式子的值．
（1）+；
（2）+．
23．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．
（1）P关于S的函数关系式为 ．
（2）求当S＝0.25m2时，物体所受的压强是 Pa．
（3）当1000＜P＜4000时，求受力面积S的变化范围．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
25．某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？
26．【阅读材料】
若x2+y2+8x﹣6y+25＝0，求x，y的值．
解：（x2+8x+16）+（y2﹣6y+9）＝0，（x+4）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+4＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣4，y＝3．
【解决问题】
（1）已知m2+n2﹣12n+10m+61＝0，求（m+n）2023的值；
【拓展应用】
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2＝8b+4c﹣20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C．y＝﹣2x D．
【分析】根据反比例函数的定义回答即可．
解：A、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意；
D、该函数是反比例函数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，关键是注意反比例函数的一般形式是y＝（k≠0）．
2．如图，点P在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且△APB的面积为2，则k等于（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】由反比例函数系数k的几何意义结合△APB的面积为2即可得出k＝±4，再根据反比例函数在第二象限有图象即可得出k＝﹣4，此题得解．
解：∵点P在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，
∴S△APB＝|k|＝2，
∴k＝±4．
又∵反比例函数在第二象限有图象，
∴k＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握“在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．”是解题的关键．
3．在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
解：∵一次函数y＝﹣kx+k＝﹣k（x﹣1），
∴直线经过点（1，0），A、C不合题意；
B、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，矛盾，不合题意；
D、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＜0，一致，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，重点是注意系数k的取值．
4．某开发公司2021年投入的研发资金为100亿元，为了扩大产品的竞争力，该公司不断增加研发投资，计划2023年投入400亿元研发资金．若2021年到2023年投入的研发资金年平均增长率均为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．100（1+x）＝400
B．100（1+2x）＝400
C．100（1+x）+100（1+x）2＝400
D．100（1+x）2＝400
【分析】根据题意得到关系式为：2021年研发资金投入×（1+年平均增长率）2＝2023年研发资金投入，把相关数值代入即可
解：根据题意得，100（1+x）2＝400，
故选：D．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
5．若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则﹣a2﹣2a的值为（ ）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣12
【分析】将x＝a代入原方程，可得出a2+2a＝4，进而可求出﹣a2﹣2a的值．
解：将x＝a代入原方程得a2+2a﹣4＝0，
∴a2+2a＝4，
∴﹣a2﹣2a＝﹣（a2+2a）＝﹣1×4＝﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，找出a2+2a＝4是解题的关键．
6．已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7
【分析】方程常数项移到右边，两边加上4配方得到结果，即可做出判断．
解：方程移项得：x2+4x＝3，
配方得：x2+4x+4＝7，即（x+2）2＝7，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k≠2 C．k＜3且k≠2 D．k＞1且k≠2
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＞0且k﹣2≠0，求出k的取值范围即可．
解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＞0且k﹣2≠0，
解得：k＞1且k≠2，
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k的不等式是解此题的关键．
8．若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】把式子变形，再利用根与系数的关系，代入数据求值即可．
解：
＝
＝
＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，做题关键是掌握根与系数的关系式．
9．已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足a2﹣4b＝7，b2﹣4c＝﹣6，c2﹣6a＝﹣18，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【分析】将已知三个等式相加，进行配方可得结论．
解：△ABC是等腰三角形，理由是：
∵a2﹣4b＝1，b2﹣4c＝﹣4，c2﹣6a＝﹣14，
∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a＝﹣17，
∴（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2＝0，
∴a＝3，b＝2，c＝2，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形三边关系，配方法的应用．熟记完全平方公式是解题的关键，属于基础题．
10．如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．
解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2＝10π．
解得：r＝2．
∵点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝（k＜0）与⊙O的一个交点．
∴﹣2a2＝k且＝r．
∴a2＝8．
∴k＝﹣2×8＝﹣16，
则反比例函数的解析式是：y＝﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知y与x成反比例，且当x＝﹣3时，y＝4，则当x＝6时，y的值为 ﹣2 ．
【分析】根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
解：设反比例函数为y＝，
当x＝﹣3，y＝4时，4＝，解得k＝﹣12．
反比例函数为y＝．
当x＝6时，y＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
12．若点A（x1，﹣1），B（x2，3），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是 x2＞x3＞x1 ．
【分析】先根据函数解析式判断出函数图象在二四象限，再判断出函数图象的增减性，根据各点纵坐标的值即可得出结论．
解：∵反比例函数，k＝4＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
∵﹣1＜0，3＞0，5＞0，
∴点A在第四象限，点B、C在第一象限，
∴x1＞0，x2＜0，x3＜0，
∵3＜5，
∴x2＞x3＞0，
∴x2＞x3＞x1．
故答案为：x2＞x3＞x1．．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
13．如图是函数y＝k1x，y＝和y＝在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断k1、k2和k3间的大小关系为 k1＜k2＜k3 ．
【分析】根据正比例函数图象的性质：k＞0时，图象占一、三象限；k＜0时，图象占二、四象限，可判断k1＜0．根据反比例函数图象的性质：k＞0时，图象占一、三象限；k＜0时，图象占二、四象限，k的绝对值越大，图象越远离坐标轴，可判断0＜k2＜k3，即可求解．
解：由函数图象可知正比例函数y＝k1x经过第二、四象限，
∴k1＜0，
又∵反比例函数y＝和y＝图象在第一象限，且y＝更远离坐标轴，
∴0＜k2＜k3，
∴k1＜k2＜k3．
故答案为：k1＜k2＜k3．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数的性质，根据函数图象判断出k的取值范围是解题的关键．
14．当三角形的面积为9cm2时，它的底边长a（cm）与底边上的高h（cm）之间的函数表达式为 ．
【分析】根据等量关系“三角形的面积＝底边×底边上的高”即可列出a与h的关系式．
解：∵三角形的面积＝底边×底边上的高，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，找出等量关系是解决此题的关键．
15．方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是 x1＝1，x2＝0 ．
【分析】将方程右边看作一个整体，移项到左边，提取公因式x﹣1化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：（x﹣1）（x+1）＝（x﹣1），
因式分解得：（x﹣1）（x+1﹣1）＝0，
可得x﹣1＝0或x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
故答案为：x1＝1，x2＝0．
【点评】此题考查了解一元二次方程—因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
16．关于x的方程的两根分别为x1，x2，则x1•x2的值为 ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：x1•x2＝求解即可．
解：∵关于x的方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1•x2＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
17．若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为 M≥N ．
【分析】利用求差法判定两式的大小，将M与N代入M﹣N中，去括号合并得到最简结果，根据结果的正负即可做出判断．
解：M﹣N＝（2x2﹣12x+15）﹣（x2﹣8x+11）
＝x2﹣4x+4
＝（x﹣2）2．
∵（x﹣2）2≥0，
∴M≥N．
故答案为：M≥N．
【点评】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
18．已知m，n是方程x2﹣2x﹣7＝0的两个实数根，则代数式m2n﹣2mn+7m+2023的值为 2037 ．
【分析】先根据根与系数的关系得mn＝﹣7，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣7＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣7，
∴m2n﹣2mn+7m+2023
＝mn•m﹣2mn+7m+2023
＝﹣7m﹣2mn+7m+2023
＝﹣2mn+2023
＝﹣2×（﹣7）+2023
＝2037．
故答案为：2037．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
三、解答题（共8小题，19～25每小题8分，26题10分，共66分）
19．已知函数 y＝（5m﹣3）x2﹣n+（n+m），
（1）当m，n为何值时是一次函数？
（2）当m，n为何值时，为正比例函数？
（3）当m，n为何值时，为反比例函数？
【分析】（1）根据一次函数的定义知2﹣n＝1，且5m﹣3≠0，据此可以求得m、n的值；
（2）根据正比例函数的定义知2﹣n＝1，m+n＝0，5m﹣3≠0，据此可以求得m、n的值；
（3）根据反比例函数的定义知2﹣n＝﹣1，m+n＝0，5m﹣3≠0，据此可以求得m、n的值．
解：（1）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是一次函数时，
2﹣n＝1，且5m﹣3≠0，
解得：n＝1且m≠；
（2）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是正比例函数时，，
解得：n＝1，m＝﹣1．
（3）当函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n）是反比例函数时，，
解得：n＝3，m＝﹣3．
【点评】本题考查了一次函数、正比例函数、反比例函数的定义．关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式以及三种函数的关系是形式．
20．解方程：
（1）（x+2）2﹣x﹣2＝0；
（2）2x2+4x﹣1＝0．
【分析】（1）利用提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程；
（2）利用公式法解出方程．
解：（1）（x+2）2﹣x﹣2＝0，
则（x+2）2﹣（x+2）＝0，
∴（x+2）（x+2﹣1）＝0，
∴x+2＝0或x+1＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣1；
（2）2x2+4x﹣1＝0，
a＝2，b＝4，c＝﹣1，
则Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×2×（﹣1）＝24，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
21．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若P为x轴上一点，△ABP的面积为5，求点P的坐标；
（3）结合图象，关于x的不等式kx+b＜的解集为 0＜x＜2或x＜﹣3 ．
【分析】（1）把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出m，得出反比例函数的解析式，再把A点的坐标代入反比例函数的解析式，求出n，再求出一次函数的解析式即可；
（2）根据一次函数的解析式求得与x轴的交点C，然后根据△ABP的面积为5求得CP的长度，进而即可求得P点的坐标；
（3）根据函数的图象和A、B两点的坐标得出答案即可．
解：（1）把B（2，3）代入y＝得：m＝2×3＝6，
即反比例函数的表达式是y＝，
把A（﹣3，n）代入y＝得：n＝＝﹣2，
即A（﹣3，﹣2），
把A、B的坐标代入y＝kx+b，得，
解得，
所以一次函数的表达式是y＝x+1；
（2）y＝x+1，
当y＝0时，x＝﹣1，
即直线y＝x+1与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
∵A（﹣3，﹣2），B（2，3），△ABP的面积为5，
∴CP×3+CP×2＝5，
∴CP＝2，
∴点P的坐标是（1，0）或（﹣3，0）；
（3）根据图象可知：关于x的不等式kx+b＜的解集为0＜x＜2或x＜﹣3，
故答案为：0＜x＜2或x＜﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．
22．若x1，x2是一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两个根，求下列式子的值．
（1）+；
（2）+．
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝＝﹣2，x1x2＝，再进一步求解（1）（2）即可．
解：∵x1，x2是一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝＝﹣2，x1x2＝，
（1）+
＝
＝4﹣2×
＝5；
（2）+
＝
＝
＝4．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
23．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．
（1）P关于S的函数关系式为 P＝，（S＞0） ．
（2）求当S＝0.25m2时，物体所受的压强是 400 Pa．
（3）当1000＜P＜4000时，求受力面积S的变化范围．
【分析】（1）观察图象易知P与S之间的是反比例函数关系，所以可以设P＝，依据图象上点A的坐标可以求得P与S之间的函数关系式．
（2）将S代入上题求得的反比例函数的解析式即可求得压强．
（3）将压强代入函数关系式即可求得受力面积的取值范围．
解：（1）设P＝，
∵点（0.1，1000）在这个函数的图象上，
∴1000＝．
∴k＝100．
∴P与S的函数关系式为 P＝，（S＞0）．
故答案为：P＝，（S＞0）．
（2）当S＝0.25m2时，P＝＝400（pa）．
故答案为：400．
（3）令P＝1000，S＝＝0.1（m2），
令P＝4000，S＝＝0.025（m2），
∴当1000＜p＜4000时，0.025＜S＜0.1．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．
【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
（2）p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，代入（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求得m的值．
解：（1）根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×（m﹣1）≥0，解得m≤2；
（2）p是方程的一个实数根，则p2﹣2p+m﹣1＝0，则p2﹣2p+3＝4﹣m，
则（p2﹣2p+3）（m+4）＝7即（4﹣m）（4+m）＝7，
解得：m＝3（舍去）或﹣3．
故m的值为﹣3．
【点评】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式，（2）中注意求得的m要满足（1）中m的范围．
25．某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？
【分析】（1）直接将点B的坐标代入即可；
（2）观察图象可知：三段函数都有y≥15的点，而且AB段是恒温阶段，y＝20，所以计算AD和BC两段当y＝15时对应的x值，相减就是结论．
解：（1）把B（12，20）代入y＝中得：
k＝12×20＝240；
（2）如图，
设AD的解析式为：y＝mx+n．
把（0，10）、（2，20）代入y＝mx+n中得：
，
解得：，
∴AD的解析式为：y＝5x+10，
当y＝15时，15＝5x+10，x＝1．
15＝，
解得：x＝16，
16﹣1＝15．
答：恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于15℃的时间有15小时．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
26．【阅读材料】
若x2+y2+8x﹣6y+25＝0，求x，y的值．
解：（x2+8x+16）+（y2﹣6y+9）＝0，（x+4）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+4＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣4，y＝3．
【解决问题】
（1）已知m2+n2﹣12n+10m+61＝0，求（m+n）2023的值；
【拓展应用】
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2＝8b+4c﹣20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．
【分析】（1）将61拆分为25和36，再根据完全平方公式配方解答；
（2）先根据阅读材料求出b、c的值，再根据三角形三边关系解答．
解：（1）∵m2+n2﹣12n+10m+61＝0，
将61拆分为25和36，可得：
（m2+10m+25）+（n2﹣12n+36）＝0，
根据完全平方公式得（m+5）2+（n﹣6）2＝0，
∴m+5＝0，n﹣6＝0，
∴m＝﹣5，n＝6，
∴（m+n）2023＝（﹣5+6）2023＝1．
（2）∵b2+c2＝8b+4c﹣20，
将61拆分为25和36，可得：
b2+c2﹣8b﹣4c+20＝0，
根据完全平方公式得（b2﹣8b+16）+（c2﹣4c+4）＝0，
（b﹣4）2+（c﹣2）2＝0，
∴b﹣4＝0，c﹣2＝0，
∴b＝4，c＝2．
∵a是△ABC中最长的边，
∴4≤a＜6，即a的取值范围为4≤a＜6．
【点评】本题考查了配方法的应用，根据完全平方公式进行配方是解题的关键．
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