湖南省邵阳市邵东市2024届九年级上学期10月第一次学情监测数学试卷(含解析)

这是一份湖南省邵阳市邵东市2024届九年级上学期10月第一次学情监测数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，三象限B. 第二，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知函数的图象过点，则该函数的图象必在( )
A. 第二、三象限B. 第二、四象限C. 第一、三象限D. 第三、四象限
2.解一元二次方程，配方正确的是( )
A. B. C. D.
3.把写成比例式，写错的是( )
A. B. C. D.
4.已知点，是反比例函数图象上的两点，若，则有( )
A. B. C. D.
5.若是关于的方程的一个根，则的值是( )
A. B. C. D.
6.点是线段的黄金分割点，且若，则的长为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，利用围墙的一边用的铁丝网围成一个面积为的矩形，求这个矩形中与围墙平行的一边长度，如果设平行于围墙的一边为，那么可得方程( )
A. B. C. D.
8.如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定∽的是( )
A.
B.
C.
D.
9.已知关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是( )
A. B. 且
C. D. 且
10.函数和在同一坐标系中的图象可以大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.已知点与点在反比例函数的图象上，则的值为______ ．
12.一元二次方程的根是______ ．
13.若，则 ______ ．
14.如图，已知直线，直线、分别与直线、、分别交于点、、、、、，若，，则的值为______ ．
15.已知：关于的方程若方程的一个根是，则的值为______ ．
16.如图，在中，是边上的一点，连接，请添加一个适当的条件______ ，使∽只填一个即可
17.如图，在▱中，的平分线分别与、交于点、若，，则的值是______ ．
18.如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上，若点在反比例函数的图象上，则______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
；
．
20.本小题分
已知是关于的反比例函数．
若时，随的增大而减小，求的值；
若该反比例函数图象经过第二象限内点，求的值．
21.本小题分
如图，在正方形中，为边的中点，且：：，连接并延长交的延长线于点，
求证：∽；
若正方形的边长为，求的长．
22.本小题分
某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于元，经调查发现，若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件．
若每件衬衫降价元，则每天可盈利多少元？
若商场平均每天盈利元，则每件衬衫应降价多少元？
23.本小题分
已知▱，点是延长线上一点，与，分别相交于点，求证：．
24.本小题分
已知关于的一元二次方程有两实数根．
求的取值范围；
若、是该方程的两个根，且，求的值．
25.本小题分
如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点与点．
求的值与反比例函数关系式；
连接，，求；
若，请结合图象直接写出的取值范围．
26.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，且
求反比例函数与一次函数关系式；
线段上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
点是轴上一点，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
解析：解：函数的图象过点，
，，
函数解析式为，
函数的图象在第二、四象限．
故选：．
先将点代入函数解析式，求出的取值，从而确定函数的图象所在象限．
2.【答案】
解析：解：，
，
，
故选：．
3.【答案】
解析：解：、把两边同时除以得，，所以A正确；
B、把两边同时除以得，，B正确；
C、把两边同时除以，得，所以C正确；
利用排除法可知D错误．
故选D．
4.【答案】
解析：解：反比例函数中，
此函数图象在第一、三象限，
，
在第三象限，点在第一象限，
，
故选：．
先根据反比例函数中可判断出此函数图象在第一、三象限，再根据，可判断出、两点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可判断出与的大小关系．
5.【答案】
解析：解：把代入得，
，
，
即．
故选A．
根据一元二次方程的解的定义得到，然后两边除以即可得到的值．
6.【答案】
解析：解：点是线段的黄金分割点，且，
，
故选：．
根据黄金比值为进行计算即可．
7.【答案】
解析：解：根据题意，得，
故选：．
根据矩形的面积长宽列一元二次方程即可．
8.【答案】
解析：解：，
，
，
选项B、根据两角对应相等判定∽，
选项A根据两边成比例夹角相等判定∽，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：．
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
此题考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
9.【答案】
解析：解：根据题意得且，
解得且，
即的取值范围是且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
10.【答案】
解析：解：当时，，
反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限，
当时，，
反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限，
符合题意的只有选项B．
故选：．
当时，可得出反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限；当时，可得出反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限．再对照四个选项即可得出结论．
11.【答案】
解析：解：把代入得，
所以反比例函数的解析式为，
把代入，得．
故答案为：．
先把点坐标代入中求出的值，从而得到反比例函数解析式，然后把代入反比例函数解析式即可求出的值．
12.【答案】，
解析：解：，
，
，
或，
解得：，．
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
13.【答案】
解析：解：，
，
．
故答案为：．
由，利用比例变形，即可求得，然后根据比例的性质，即可求得的值．
此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质的应用．
14.【答案】
解析：解：，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算答案．
15.【答案】
解析：解：根据题意，得
，
解得，；
故答案为：．
将代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程即可求得的值．
16.【答案】答案不唯一
解析：解：由题意得，公共角，
则可添加：，利用两角法可判定∽．
故答案可为：．
相似三角形的判定有三种方法：
三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
由此可得出可添加的条件．
17.【答案】
解析：解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
∽，
：：，
，，
：：，
．
故答案为：．
由在▱中，，利用平行线的性质，可求得，又由是的平分线，易证得，利用等角对等边的知识，即可证得，证得∽，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得结果．
此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定．注意有平行线与角平分线易得等腰三角形．
18.【答案】
解析：解：过点，作轴，轴，分别于，．
设点的坐标是，则，．
，
．
，
．
，
∽．
，，
，
，
设，则，
点在反比例函数的图象上，
，
，
．
故答案为：．
要求函数的解析式只要求出点的坐标就可以，过点，作轴，轴，分别于，根据条件得到∽，得到：，然后用待定系数法即可．
19.【答案】解：方程化为，
，
或，
所以，；
方程化为，
，
或，
所以，．
解析：先把方程化整系数，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
20.【答案】解：函数是关于的反比例函数，
，
解得，
时，随的增大而减小，
，
，
；
该反比例函数图象经过第二象限内点，
，
，
，
，
，
．
解析：根据反比例函数的定义得出关于的不等式组，即可求得的值；然后根据反比例函数的性质得到关于的不等式，解不等式即可求得的值，从而求得反比例函数的解析式，进一步即可求得的值．
21.【答案】证明：设正方形的边长为．
四边形为正方形，
，，
为边的中点，
，
又：：，
，
，
∽；
解：四边形为正方形，
，
∽，
：：：，
．
又正方形的边长为，点是的中点，
，，
．
解析：设正方形的边长为根据已知条件得到，，则由“两边及夹角法”证得结论；
由“平行线法”证得∽，所以由该相似三角形的对应边成比例可以求得，又由，则易求的长度．
22.【答案】解：根据题意得：


元．
答：每天可盈利元；
设每件衬衫降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：每件衬衫应降价元．
解析：利用商场销售这种衬衫每天获得的利润每件的销售利润日销售量，即可求出结论；
设每件衬衫降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用商场销售这种衬衫每天获得的利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要求每件盈利不少于元，即可确定结论．
23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
∽，∽，
，，
，即．
解析：根据平行四边形的性质得到，，得到∽，∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
24.【答案】解：关于的一元二次方程有两实数根，
，
解得：；
由题意得：，，
则．
解得：，，
又，
所以的值为．
解析：根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论；
根据根与系数的关系得出，，变形后整体代入，即可求出答案．
25.【答案】解：将代入中，得；
将代入中，得，
所以反比例函数关系式；
由，解得或，
所以，，
设一次函数与轴交于点，
故；
观察图象，若，则或．
解析：把点代入一次函数求得的值，然后利用待定系数法即可求得反比例函数关系式；
解析式联立成方程组，解方程组即可求得、的坐标，设一次函数与轴交于点，利用三角形面积公式，根据求得即可；
根据图象即可求解．
26.【答案】解：作轴于点，由点可知，，，．
又，，
．
即，
，

反比例函数的解析式为，一次函数关系式为；
当时，，则，
当时，点在的垂直平分线上，故D，
当时，设，则，
又，则，
即，
所以；
综上，或或；
存在．设∽，
则，
又，，
则，
故存在，．
解析：将代入可求出的值，作轴，交轴于点则，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，然后据待定系数法即可求得一次函数解析式；
当时，当时，当时，解方程即可得到结论；
国家相似三角形的性质即可得到结论．