新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 对数的运算（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 对数的运算（含解析），共22页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

1. 对数
(1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
(2)常用对数和自然对数
①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把lg10N记为lgN.
②自然对数：无理数e＝2. 718 28…，以e为底的对数称为自然对数，并把lgeN记为lnN.
(3)对数与指数间的关系：当a＞0，a≠1时，ax＝N⇔x＝lgaN. 负数和0没有对数；lga1＝0，lgaa＝1.
(4)对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R).
根据性质③又可得对数换底公式：
lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；b>0，c>0，且c≠1).
2. 对数相关结论
(1)对数恒等式：algaN＝N；
(2)换底公式推论：lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
【题型归纳】
题型一：对数的运算
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．化简的值为（ ）
A．B．C．D．-1
3．若，，则（ ）
A．B．C．D．

题型二：运用换底公式化简计算
4．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系.对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻，若，，，估计的值约为（ ）
A．0.2481B．0.3471C．0.4582D．0.7345
5．，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．若实数a，b满足，，则（ ）．
A．B．C．D．

【双基达标】
7．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
8．设3x＝4y＝36，则的值为（ ）
A．6B．3
C．2D．1
9．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知，结果取整数）（ ）
A．23天B．33天C．43天D．50天
10．设，且，则（ ）
A．B．10C．20D．100
11．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．不确定
13．若函数是奇函数，则a的值为（ ）
A．1B．－1
C．±1D．0
14．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
15．如果方程的两根为、，则的值为（ ）
A．B．C．D．
16．设，则（ ）
A．B．C．D．
17．国棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国.围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现.围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜.围棋状态空间的复杂度上限为，据资料显示宇宙中可观测物质原子总数约为，则下列数中最接近数值的是（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
18．已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a19．一种药在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 （ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，结果精确到）
A．小时B．小时C．小时D．小时
20．（ ）
A．B．C．D．
21．国家质量监督检验检疫局发布的相关规定指出，饮酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于，小于的驾驶行为；醉酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于的驾驶行为. 一般的，成年人喝一瓶啤酒后，酒精含量在血液中的变化规律的“散点图”如图所示，且图中的函数模型为： ，假设某成年人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则的值为（ ）
（参考数据：，）
A．5B．6C．7D．8
22．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：）
A．20%B．23%C．28%D．50%
23．若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
24．已知函，且，则（ ）
A．B．C．11D．13
25．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟
【高分突破】
单选题
26．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
27．在中，，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
28．设，则的值是（ ）
A．1B．eC．D．
29．2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：）
A．B．C．D．
30．《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为（ ）
A．2566B．2567C．2568D．2569
31．化简的结果是（ ）
A．B．1C．2D．4
二、多选题
32．下列四个等式正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
33．若，，则（ ）
A．B．
C．D．
34．已知a，b均为不等于1的正数，则下列选项中与相等的有（ ）
A．B．C．D．
35．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
36．已知函数是偶函数，则___________．
37．若，，则________.
38．______
39．若，则___________；
40．已知，，且，则______．
41．___________.
四、解答题
42．（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）
（2）已知，试用表示.
43．已知，是方程的两个不等实根，且，求实数的值．
44．已知函数（且）的图象过点
（1）求的值.
（2）若.
（i）求的定义域并判断其奇偶性；
（ii）求的单调递增区间.
45．已知函数=lgax，=lga(2x+m2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，m∈R.
（1）若m=6且函数F=+的最大值为2，求实数a的值.
（2）当a>1时，不等式<2在x∈[1,3]时有解，求实数m的取值范围.
46．已知函数是R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先求出集合，再由集合的交集即可得出答案.
【详解】
解：因为，，，，
所以,所以．
故选:C．
2．A
【解析】
【分析】
运用对数的运算性质即可求解.
【详解】
解析：
故选：A.
3．B
【解析】
【分析】
先换底，然后由对数运算性质可得.
【详解】
.
故选：B
4．C
【解析】
【分析】
利用对数式与指数式的互化及换底公式即可求出的近似值．
【详解】
∵，
，
所以.
故选：．
5．B
【解析】
【分析】
根据对数函数的性质结合基本不等式分析比较即可
【详解】
，，，
因为，
所以，
因为，，
所以，所以，
综上，
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质，结合基本不等式可证明 ，由此可证明，再构造函数，证明其值小于零，进而结合指数函数的单调性证明，可得答案.
【详解】
因为，所以,
即 ，故，即，故 ，
令 ，则，
故
，
即有，所以，
即，即，故 ，
故，
故选：C.
7．A
【解析】
由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】
两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】
本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
8．D
【解析】
根据指数式与对数式的互化公式，结合已知和对数的运算性质进行求解即可.
【详解】
由3x＝4y＝36得x＝lg336，y＝lg436，
∴＝2lg363＋lg364＝lg369＋lg364＝lg3636＝1.
故选：D
【点睛】
本题考查了对数式与指数式的互化公式，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.
9．B
【解析】
【分析】
根据题设条件先求出、，从而得到，据此可求失去50%新鲜度对应的时间.
【详解】
，故，故，
令，∴，故，
故选：B.
10．A
【解析】
【分析】
根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得，，进而结合对数的运算公式，即可求解.
【详解】
由，可得，，
由换底公式得，，
所以，
又因为，可得．
故选：A.
11．A
【解析】
【分析】
根据余弦函数值域和可知均为真命题，由复合命题真假性判断可得结论.
【详解】
，，，命题为真，则为假；
当时，，，，命题为真，则为假；
为真，A正确；为假，B错误；为假，C错误；为假，D错误.
故选：A.
12．C
【解析】
【分析】
令，结合题意可知，进而有，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解
【详解】
令，
则当时，，当时，；
由，得
考虑到得，
由，得，
即
故选：C
13．C
【解析】
【分析】
根据函数奇函数的概念可得，进而结合对数的运算即可求出结果.
【详解】
因为是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即恒成立，所以，即 恒成立，所以，即．
当时，，定义域为，且，故符合题意；
当时，，定义域为，且，故符合题意；
故选：C.
14．D
【解析】
【分析】
令，得到关于t的函数式，进而可得关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值.
【详解】
令，则，，
∴，，即，
若，则，
∴，有，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴，即的最小值为.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
15．C
【解析】
【分析】
由题设条件利用根与系数的关系求出，直接变换即可求得答案.
【详解】
解：由题意、是关于的方程的两根，
∴，∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查对数运算和根与系数的关系，考查运算求解能力，属于基础题型.
16．B
【解析】
【分析】
根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】
由可得，所以，
所以有，
故选：B.
【点睛】
本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
17．D
【解析】
【分析】
利用对数的运算法则计算后可得．
【详解】
，，
因此最接近于．
故选：D．
18．A
【解析】
【分析】
由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】
由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】
本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
19．A
【解析】
【分析】
根据已知关系式可得不等式，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.
【详解】
设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，
则，整理可得：，
，
，，
，即应在用药小时后再向病人的血液补充这种药.
故选：A.
20．C
【解析】
【分析】
利用对数的运算法则求解.
【详解】
.
故选：C.
21．B
【解析】
【分析】
由散点图知，该人喝一瓶啤酒后个小时内酒精含量大于或者等于，所以，根据题意列不等式，解不等式结合即可求解.
【详解】
由散点图知，该人喝一瓶啤酒后个小时内酒精含量大于或者等于，
所以所求，
由，即，
所以，即，
所以，
因为，所以最小为，
所以至少经过小时才可以驾车，
故选：B.
22．B
【解析】
【分析】
根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.
【详解】
将信噪比从1000提升至5000时，C大约增加了
.
故选：B.
23．A
【解析】
【分析】
令，由则，将对数式转化为指数式，统一其指数为常数，比较其底数的大小关系，结合幂函数的性质解答．
【详解】
解：设，则，，，，，．
因为，且函数在上是减函数，
所以．
故选
【点睛】
本题考查指对数的运算及幂函数的性质．属于中档题．
24．C
【解析】
【分析】
令，则，则先判断函数，进而可得，即，结合已知条件即可求的值.
【详解】
令，则，
因为
，
所以，
则，又因为，则，
故选：C.
25．D
【解析】
【分析】
由已知条件得出，，，代入等式，求出即可得出结论.
【详解】
由题知，，，所以，，可得，
所以，，.
故选：D.
26．A
【解析】
【分析】
由内向外，代入分段函数求值，先计算，再计算.
【详解】
由题意，，所以.
故选：A.
27．B
【解析】
【分析】
利用给定条件结合对数运算可得，再利用正弦定理角化边即可判断得解.
【详解】
因，则有，
即有，于是得，
在中，由正弦定理得：，
所以是直角三角形.
故选：B
28．B
【解析】
【分析】
根据自变量的取值，代入分段函数解析式，运算即可得解.
【详解】
由题意得，
则.
故选：B.
【点睛】
本题考查了分段函数求值，考查了对数函数及指数函数求值，属于基础题.
29．C
【解析】
【分析】
根据对数的换底公式运算可得结果.
【详解】
.
故选：C．
30．B
【解析】
【分析】
由题意，得到，结合对数的运算性质，即可判定，得到答案.
【详解】
由题可知，．
因为，所以，
所以的整数部分为2567．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了对数的有关运算及性质的应用，其中解答中认真审题，根据对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力．
31．C
【解析】
【分析】
由对数运算性质可知，再利用，化简计算可得结果.
【详解】
原式.
故选：C.
【点睛】
本题考查对数运算性质，考查计算能力，属于基础题.
32．AB
【解析】
【分析】
根据对数式与指数式的互化，对数的运算对各选项作出判断.
【详解】
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，则 ，故D错误.
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查了对数式与指数式的互化，对数的运算，属于基础题.
33．ACD
【解析】
【分析】
利用指对数的运算性质及其关系求出、、，结合对数函数的单调性判断各选项的正误.
【详解】
由题设，，即，A正确；
，即，B错误，D正确；
由，则，C正确；
故选：ACD
34．AD
【解析】
【分析】
根据换底公式可判断.
【详解】
，，，.
故选：AD．
35．BC
【解析】
【分析】
由对数函数的单调性结合换底公式比较的大小，计算出，利用基本不等式得，而，从而可比较大小．
【详解】
由题意可知，对于选项AB，因为，所以，又因为，且，所以，则，所以选项A错误，选项B正确；对于选项CD，，且，所以，故选项C正确，选项D错误；
故选：BC.
【点睛】
关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换底公式化为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．
36．##0.5
【解析】
【分析】
依据偶函数的定义建立方程即可求解.
【详解】
由题意知：是偶函数，
则，
即：
即：
即：，解得：.
故答案为：.
37．1
【解析】
先由得到，再由换底公式，计算所求式子，即可得出结果.
【详解】
由可得，
又，
所以.
故答案为：.
38．
【解析】
利用指数幂运算和对数恒等式计算，即可得到答案；
【详解】
因为，
故答案为：
39．6
【解析】
【分析】
首先利用换底公式表示，再代入求值.
【详解】
由条件得，所以.
故答案为：
40．
【解析】
将指数式化为对数式可求出，将指数式化为对数式可分别求出，代入可求出，进而可求出的值.
【详解】
因为，，
所以，，，
所以，
所以.
故答案为：
41．
【解析】
【分析】
根据对数的换底公式以及运算性质即可求出．
【详解】
．
故答案为：．
42．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.
（2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得.
【详解】
（1）设，写成指数式.
两边取以为底的对数，得.
因为，，，因此上式两边可除以，得.
所以，.
（2）.
【点睛】
本题考查换底公式的证明和应用，属基础题，关键是将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.
43．16
【解析】
【分析】
根据韦达定理，可得，根据对数的运算性质可得，代入数据，即可得答案.
【详解】
已知，是方程的两个不等实根，
则，且．
所以，则，即．
所以实数m的值为16.
44．（1）；（2）（i）定义域为，是偶函数；（ii）.
【解析】
【分析】
（1）由可求得实数的值；
（2）（i）根据对数的真数大于零可得出关于实数的不等式，由此可解得函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义可证明函数为偶函数；
（ii）利用复合函数法可求得函数的增区间.
【详解】
（1）由条件知，即，又且，所以；
（2）.
（i）由得，故的定义域为.
因为，故是偶函数；
（ii），
因为函数单调递增，函数在上单调递增，
故的单调递增区间为.
45．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题设可得，讨论、，结合已知最大值求参数a，注意判断a值是否符合题设.
（2）由对数函数的性质可得，再由对数函数的单调性可得，利用二次函数的性质求不等式右边的最小值，即可得m的取值范围.
【详解】
（1），，则，.
当时，，所以；
当时，，所以，不合题意.
综上，.
（2）要使在上有意义，则，解得.
由，即，又，
∴，即，得.
令，，记，对称轴，
∴，故.
综上，.
46．（1）1；（2）.
【解析】
（1）由求得参数值，代入检验函数为奇函数得可得；
（2）由于分母是正数，去分母，把作为一个整体（可以换元），不等式看作一个二次不等式求解，注意即可．
【详解】
（1）因为是R上的奇函数，则，
此时，经验证，满足，所以；
（2）由
即得不等式的解集为．
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数有奇偶性，考查解指数不等式．在解指数不等式时可以 用换元法，设，把指数不等式转化为多项式或分式不等式求解，也可以不作这个换元操作，把作为一个整体利用换元的思想求解，只是解题中要注意．