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新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 分段函数（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 分段函数（含解析），共35页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。
求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现形如f(f(x0))的求值问题时，应从内到外依次求值. 求值域问题同样分段求解，再取其并集.
已知分段函数的值域或最值求参数范围，可先求函数在各区间段的值域或最值，再结合已知建立不等式(组)求解. 必要时可先分析函数性质，再画图数形结合.
【题型归纳】
题型一：求分段函数解析式或求函数的值
1．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，则（ ）
A．B．2C．5D．3
3．已知函数，则（ ）
A．B．C．1D．3
题型二：分段函数的值域或最值
4．函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
5．函数，定义，则满足（ ）
A．只有最小值，没有最大值B．既有最大值，又有最小值
C．只有最大值，没有最小值D．既无最大值，也无最小值
6．已知函数以下关于的结论正确的是（ ）
A．若，则
B．的值域为
C．在上单调递增
D．的解集为
题型三：已知分段函数的值求参数或自变量
7．已知函数若，且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
8．函数，则方程的解集是（ ）
A．B．C．D．
9．设，若，则x的值为（ ）
A．1或2B．或C．1D．2
题型四：根据分段函数的单调性求参数
10．已知函数，则“”是“在R上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．已知函数是上的增函数，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型五：解分段函数不等式
13．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
14．设函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
15．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型六：根据分段函数的值域（最值）求参数
16．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
18．已知函数若的最小值为0，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【双基达标】
19．已知函数，则的值是（ ）
A．B．C．D．
20．已知函数，方程有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
21．已知函数(且)，若存在最小值，则实数的取值范围为( )
A．B．
C．D．
22．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
23．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
24．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
25．若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
26．已知函数则（ ）
A．B．C．D．
27．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
28．若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
29．设，则的值是（ ）
A．1B．eC．D．
30．设，则的值为（ ）
A．16B．18C．21D．24
【高分突破】
单选题
31．函数的图象是如图所示的折线段，其中，，函数，那么函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
32．已知则（ ）
A．7B．2C．10D．12
33．已知若，则的最大值是( )
A．B．C．D．
34．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1)B．a∈[,1)C．a∈(0,]D．a∈[,2)
35．已知f(x)=，则f(4)+f(-4)=（ ）
A．63B．83C．86D．91
36．若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．14B．13C．12D．11
37．已知函数，则（ ）
A．16B．C．D．
38．已知函数则（ ）
A．B．C．D．
39．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
40．已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
41．若f(x)=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
42．已知函数若关于x的方程有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
43．已知函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
44．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为RB．的值域为
C．若，则x的值是D．的解集为
45．已知函数令，则下列说法正确的是（ ）
A．B．方程有3个根
C．方程的所有根之和为－1D．当时，
46．设函数，若则实数a=（ ）
A．2B．-2C．4D．-4
47．若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中，与是“同象函数”的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
三、填空题
48．已知函数，若函数恰有两个零点，则k的取值范围为____.
49．已知，函数．若，则________．
50．若则函数的最小值为________．
51．已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
52．设函数，若，则实数a的取值范围___________.
53．已知函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围是________．
四、解答题
54．已知
（1）求；
（2）若，求a的值；
（3）若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围.
55．《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3500元(即3500元以下不必纳税，超过3500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：
（1）列出公民全月工资总额x(0（2）刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元，那么她当月工资总额是多少？
56．已知函数.
（1）求 ；
（2）判断函数在上的单调性并用定义证明.
57．已知函数的图象如图所示，其中轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．
（1）写出函数的定义域和值域；
（2）求的值．
58．已知为定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最小值.
全月应纳税所得额
税率%
不超过1500元的部分
3
超过1500元至4500元部分
10
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式及对数的运算法则计算可得.
【详解】
解：因为，
所以
.
故选：D
2．A
【解析】
【分析】
根据分段函数的定义计算．
【详解】
由题意可知，f(－2022)＝f(－2019)＝…＝f(－3)＝f(0)＝lg3(0＋1)－2＝－2．
故选：A．
3．C
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值．
【详解】
因为，所以，
，则.
故选：C．
4．A
【解析】
【分析】
利用分段函数的性质求解.
【详解】
解：,
当，，
当，，
所以，
故选：A
5．A
【解析】
【分析】
根据题中定义，画出函数的图象，利用数形结合思想，结合最值的定义进行求解即可.
【详解】
在同一角直角坐标系内画出函数的图象，如下图所示：
根据定义，所以函数的图象如下图所示：
由图象可知，该函数有最小值无最大值，
故选：A
【点睛】
关键点睛：读懂新定义，利用数形结合思想是解题的关键.
6．B
【解析】
【分析】
A选项逐段代入求自变量的值可判断;B选项分别求各段函数的值域再求并集可判断;C选项取特值比较大小可判断不单调递增;D选项分别求各段范围下的不等式的解集求并集即可判断.
【详解】
解:A选项:当时, 若,则;当时, 若,则,故A错误;
B选项: 当时, ;当时, ,故的值城为,B正确;
C选项: 当时, ,当时, ,在上不单调递增,故C错误;
D选项: 当时, 若,则;当时, 若,则,故的解集为,故D错误;
故选:B.
7．C
【解析】
【分析】
根据函数的解析式求出，结合即可求出，进而得出结果.
【详解】
由题意知，
，
又，所以，
所以，
解得.
故选：C
8．B
【解析】
【分析】
令，则，当时，，转化为图象的交点问题；当时，成立，进一步求出的范围，即可求出答案.
【详解】
由函数，令，则，
当时，，
令，其图象如图所示
．
时，无解，
当时，成立，
由，得当时，有，解得；
当时，有，解得，
综上，的取值范围是．
故选：B.
9．C
【解析】
【分析】
由分段函数解析式，令不同区间对应解析式的值为2求x值，根据定义域区间确定x的值.
【详解】
当时，有，满足；
当时，有，则或都不满足.
所以x的值为1.
故选：C
10．B
【解析】
【分析】
先由在R上单调递增求得a的取值范围，再去判断“”与“在R上单调递增”二者间的逻辑关系即可.
【详解】
若在R上单调递增，
则时，单调递增，且，所以.
由“”可以得到“”，但由“”不可以得到“”，
所以“”是“在R上单调递增”的必要不充分条件.
故选：B.
11．D
【解析】
【分析】
根据分段函数的单调性需要满足在每一段上是单调的，而且在断点连接处的值大小关系即可求解.
【详解】
函数是上的增函数，
，且，
故选：D
12．B
【解析】
【分析】
根据每段函数单调递增，结合端点关系列不等式组可解.
【详解】
在上为单调递增函数；
，解得；
实数的取值范围为．
故选：B．
13．D
【解析】
【分析】
利用分段函数及指数函数的性质，分别求解，时不等式的解集即可.
【详解】
解：当时，，因为，所以，
故当时，不等式无解，
当时，，
令，得，解得.
故选：D.
14．D
【解析】
【分析】
分析出函数为奇函数，可得出，然后分、两种情况解不等式，即可得出实数的取值范围.
【详解】
当时，，则，
当时，，则，
所以，函数为奇函数，由可得，
当时，由，可得；
当时，由，可得，解得.
综上所述，实数的取值范围的取值范围是.
故选：D.
15．A
【解析】
【分析】
由题意，画出图形，结合，分和进行讨论，解得的范围，从而即可得实数的取值范围．
【详解】
解：作出函数的图象如图，
因为，若，由在上单调递增，且，
则，解得；
若，则，解得；
综上，，解得或.
所以实数的取值范围是．
故选：A.
16．D
【解析】
【分析】
首先求出时函数的值域，设时，的值域为，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：由题意可得当时，所以的值域为，
设时，的值域为，则由的值域为R可得，
∴，解得，即．
故选：D
17．D
【解析】
【分析】
由对数函数的性质即可判断，再由二次函数的性质及对数函数的单调性得，即可求范围.
【详解】
当时，由的值域为R，即没有最小值，
所以．
当时，有最小值；
当时，，
所以，要使存在最小值，只需，故．
故选：D
18．A
【解析】
【分析】
先用导数法求出时的最小值，然后讨论时的最小值，由两段函数的最小值关系可得.
【详解】
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
当时，．
若，则在上单调递增，所以，
因为的最小值为0，所以，所以；
若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，不合题意，故．
故选：A
19．A
【解析】
【分析】
直接代入求值即可.
【详解】
因为，所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查分段函数的求值问题，属基础题.
20．B
【解析】
【分析】
根据已知条件对进行分类讨论：、，然后分别考虑每段函数的单调性以及取值范围，确定出方程有两解时所满足的不等式，由此求解出的取值范围.
【详解】
因为，所以且，
当时，在时单调递增，所以；
又在时单调递增，且，
因为方程有两解，所以，所以；
当时，在时单调递减，；
又在时单调递增，，
因为方程要有两解，所以，此时不成立.
综上可得，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：根据方程解的个数求解参数范围的常见方法：
方法（1）：将方程解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过图象直观解答问题；
方法（2）：若方程中有指、对数式且底数为未知数，则需要对底数进行分类讨论，然后分析的单调性并求解出其值域，由此列出关于参数的不等式，求解出参数范围.
21．A
【解析】
【分析】
通过对参数分类讨论，研究在和的单调性，再结合已知条件，即可求解.
【详解】
由题意，不妨令，；，，
①当时，在上单调递减，
在上单调递减，易知在上的值域为，
又因为存在最小值，只需，解得，，
又由，从而；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
又因为存在最小值，故，
即，解得，，这与矛盾；
③当时，，易知的值域为，显然无最小值；
④当时，在上单调递增，在上单调递增，从而无最小值.
综上所述，实数的取值范围为.
故选：A.
22．C
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，分析函数的单调性，进而可将转化为：或，解得答案．
【详解】
函数，
函数在，上为减函数，在上函数值保持不变，
若，
则或，
解得：，
故选：．
【点睛】
本题主要考查的知识点是分段函数的解析式、单调性，函数单调性的应用，难度中档．
23．A
【解析】
【分析】
利用分段函数，将不等式化为具体不等式，即可得出结论．
【详解】
解：，
当时，，所以或；
当时，，所以，
所以不等式的解集是，，，
故选：A．
24．D
【解析】
【分析】
求出函数在时值的集合， 函数在时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.
【详解】
当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，
当时，，，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
，，则在上值的集合为，
因函数的值域为，于是得，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
25．A
【解析】
【分析】
本题根据减函数的定义再结合一次函数的性质直接求解即可.
【详解】
因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.
故选：A.
【点睛】
本题考查减函数的定义，一次函数的性质，是基础题.
26．D
【解析】
【分析】
先求出的值，再求出即可
【详解】
因为
所以．
故选：．
27．A
【解析】
对分情况讨论，分段求出的取值范围，最后再求并集即可．
【详解】
解：①当时，，
，
解得：，
，
②当时，，
，
解得：，
，
综上所述，实数的取值范围是：，．
故选：．
28．B
【解析】
【分析】
根据的开口方向，确定分段函数在在上的单调递增，再根据分段函数在上的单调所要满足的条件列出不等关系，求出的取值范围.
【详解】
因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：
故选：B
29．B
【解析】
【分析】
根据自变量的取值，代入分段函数解析式，运算即可得解.
【详解】
由题意得，
则.
故选：B.
【点睛】
本题考查了分段函数求值，考查了对数函数及指数函数求值，属于基础题.
30．B
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式直接求解.
【详解】
因为，所以.
故选：B.
31．B
【解析】
【分析】
根据图象可得的解析式，进而可得的解析式，再利用二次函数的性质分别求分段函数各段的值域，再求并集即可求解.
【详解】
由题图可知，，所以直线的方程是，
因为，所以直线的方程为，
所以，
所以，
当时，在上单调递增，此时函数的值域为；
当时，，
所以当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
此时函数的值域为，
综上可知，函数的值域为，
故选：B.
32．D
【解析】
【分析】
根据分段函数的定义计算．
【详解】
由题意．
故选：D．
33．C
【解析】
【分析】
利用数形结合，画出的图像可得为定值，再将转化为关于x的函数，最后利用求导求出的最大值.
【详解】
如图作出的图象，
依题意，，注意到，且，
因此，其中，
设，当，时，当，时，
因此在上单调递增，在上单调递减，
则，
即的最大值为
故选：C.
【点睛】
此题为函数零点相关问题，通常需要先画出函数图像，再结合函数图像得到某一部分为定值，再求出剩余部分的取值范围即可.
34．C
【解析】
【分析】
根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．
【详解】
∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，
∴在R上是减函数，
∴，解得，
∴a的取值范围是．
故选：C．
35．C
【解析】
【分析】
由给定条件求得f(-4)=f(5)，f(4)=f(7)，进而计算f(5)、f(7)的值，相加即可得解.
【详解】
依题意，当x<5时，f(x)=f(x+3)，于是得f(-4)= f(-1)=f(2)=f(5)，f(4)=f(7)，
当x≥5时，f(x)=2x-x2，则f(5)=25-52=7，f(7)=27-72=79，
所以f(4)+f(-4)=86.
故选：C
36．C
【解析】
【分析】
由，知函数是周期为2的函数，进而根据与函数的图象得到交点个数．
【详解】
解：因为，所以函数是周期为2函数，
因为时，，所以作出它的图象，则的图象如图所示：（注意拓展它的区间）
再作出函数的图象，
容易得出到交点为12个．
故选：C．
【点睛】
结论点睛：本题考查函数方程思想，数形结合思想，注意周期函数的一些常见结论：若，则周期为；若，则周期为；若，则周期为；另外要注意作图要细致，属于中档题．
37．C
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式先求出，再求即可得解.
【详解】
因函数，于是得，
所以.
故选：C
38．A
【解析】
【分析】
先分析出时的周期性，然后根据周期性以及已知条件将问题转化为计算的值，由此求解出结果.
【详解】
当时，因为，所以，所以是周期为的函数，
所以，
又因为，所以，
故选：A.
【点睛】
结论点睛：周期性常用的几个结论如下：
（1）对时，若或（）恒成立，则是的一个周期；
（2）对时，若或或（）恒成立，则是的一个周期；
（3）若为偶函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数；
（4）若为奇函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数.
39．C
【解析】
【分析】
由题得，即求.
【详解】
∵，又函数的值域为R，
则，解得．
故选：C．
40．D
【解析】
根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.
【详解】
由于函数是定义在上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数，要注意分析每支函数的单调性及其在分界点处函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
41．D
【解析】
【分析】
由在[1，+∞)上单调递减且可解得结果.
【详解】
因为函数在上是单调递减的，
又是R上的单调函数，
所以在[1，+∞)上单调递减，即a>0，
并且，解得，
综上所述，a的取值范围为.
故选：D
【点睛】
易错点点睛：解答本题时易只考虑两段上的单调性，忽视分界点处函数值之间的大小关系或者考虑到了函数值之间的大小关系，但是忽视了取等号的情况而导致结果错误.
42．B
【解析】
【分析】
利用换元法设，则等价为有且只有一个实数根，分 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出的取值范围.
【详解】
令，则方程等价于，
当时，此时当时，，此时函数有无数个零点，不符合题意；
当，则，所以由，得，
则关于x的方程有且只有一个实数根等价于关于x的方程有且只有一个实数根，作出的图象如图：
当时，由图象可知直线与的图象只有一个交点，恒满足条件；
当时，要使直线与的图象只有一个交点，
则只需要当时，直线与的图象没有交点，
因为 时，，此时 最小值为 ，
所以，
综上所述，实数a的取值范围是，
故选：B.
43．D
【解析】
【分析】
当时有成立；当时有成立，故的取值范围可求.
【详解】
当时为增函数，故时有成立
所以；
当时，故时有成立，所以
综上所述：
故选：D
44．BC
【解析】
分段讨论函数的定义域、值域，并分段求解方程和不等式即得结果.
【详解】
函数，定义分和两段，定义域是，故A错误；
时，值域为，时，，值域为，故的值域为，故B正确；
由值的分布情况可知，在上无解，故，即，得到，故C正确；
时令，解得，时，令，解得，故的解集为，故D错误.
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：
研究分段函数的性质时，要按照函数解析式中不同区间的对应法则分别进行研究，最后再做出总结.
45．ACD
【解析】
【分析】
由题意知可得；令，因为方程没有实根，即没有实根；令，则方程，即，通过化简与计算即可判断C；当时，，则将函数在的图象向左平移1个单位长度可得函数的图象，即可判断D．
【详解】
对于A选项，由题意知，则，所以A选项正确；
对于B选项，令，则求的根，即求的根，
因为方程没有实根，
所以没有实根，所以选项B错误；
对于C选项，令，则方程，即，
得，，由方程得或，
解得或，易知方程，没有实数根，所以方程的所有根之和为－1，选项C正确；
对于D选项，当时，，则将函数在的图象向左平移1个单位长度可得函数的图象，
当时，函数的图象不在的图象的下方，所以D选项正确，
故选：ACD．
【点睛】
方法点睛： 对于分段函数，已知函数的值求自变量的值时，常常先根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可，如果分段函数的图象易得，也可以作出函数图象，然后结合图象求解．
46．AD
【解析】
【分析】
按照分类，结合分段函数解析式即可得解.
【详解】
因为函数，且
所以或，解得a=-4或a=2.
故选：AD.
47．ACD
【解析】
【分析】
先求出在时的值域，再分别求出四个选项中的的值域，ABC选项可以用函数单调性来求解值域，D选项可以画出函数图象，结合图象求出值域.。
【详解】
当时，单调递增，所以，即
当时，单调递减，所以，即，所以
A选项正确；
当时，单调递减，此时，所以，B选项错误；
当时,的图象如图所示，
在单调递减，在单调递增，所以在处取得最小值，，因为，，所以在处取得最大值，故，C选项正确；
当时，，画出图象，如图
显然，，故D选项正确
故选：ACD
48．
【解析】
先根据条件得到的解析式，作出的图像，知道函数的单调区间和最值，根据函数恰有两个不同的零点，得到与图像有且仅有两个交点，数形结合即可求解.
【详解】
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
令，可得
当时，；当时，；
，作出函数的图像，如图所示
由图可知，在单调递增，在单调递减，
若函数恰有两个不同的零点，得到与图象有且仅有两个交点，故，
故答案为：
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
49．0或2
【解析】
【分析】
首先计算，再由求得值即可.
【详解】
因为，所以，
可得，所以，解得：或，
故答案为：0或2.
50．1
【解析】
【分析】
结合图象可得答案.
【详解】
如图，函数在同一坐标系中，
且，所以在时有最小值，即.
故答案为：1.
51．
【解析】
【分析】
去绝对值将转化为分段函数，求出其最大值，即可.
【详解】
因为，不等式恒成立，则，
，
作出函数的图象如图：
由图知：的最大值为，
所以，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
52．
【解析】
【分析】
利用解析式求出即可解出不等式.
【详解】
因为，
所以，则，
若，则，即，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
53．
【解析】
【分析】
设，求出函数的两个零点，且，将函数化为分段函数，分类讨论，当时，可知函数在区间上不可能单调递增；当时，根据的范围可知恒满足函数在区间上单调递增，根据解析式可知在上单调递增，再由可解得结果.
【详解】
设，其判别式，所以函数一定有两个零点，
设函数的两个零点为，且，
由得，，
所以函数，
①当时，在上单调递减或为常函数，从而在不可能单调递增，故，
②当时，，
，所以，
所以，
因为在上单调递增，所以在上也单调递增，
因为在和上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以在上单调递增，
欲使在上单调递增，只需，得，
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：求解关键有2个：①利用的零点将函数化为分段函数；②分类讨论，利用分段函数的单调性求解.
54．（1）3（2）12（3）
【解析】
【分析】
（1）根据分段函数解析式直接求解；
（2）根据函数解析式，分段讨论，解方程即可；
（3）作出函数图象，数形结合即可.
【详解】
（1），
，
（2）当时，，
当时，，
解得，
综上，
（3）作出的图象，如图，
由图象可知，当时，与y=b有三个交点.
55．（1）；（2）7550元.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件分段求出应缴纳税款额y元的表达式即可；
(2)判断当月工资总额所在区间，再列式即可得解.
【详解】
(1)依题意，当0当3500当5000综上可得y=；
(2)由(1)知，当0因缴纳个人所得税款300元，则有5000于是得300=0.1x-455，解得x=7550，
所以刘丽十二月份工资总额为7550元.
56．（1）；（2）减函数，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）用代入法进行求解即可；
（2）用单调性的定义进行判断并证明即可.
【详解】
（1）因为，所以；
（2）函数在上单调递减，证明如下：
设是内任意两个实数，且，则有，
，
因为，所以，因此，
所以函数在上单调递减.
57．（1）定义域为，，值域为，；（2）-1.
【解析】
【分析】
（1）由图像直接得到定义域和值域；
（2）先求出解析式，再直接代入求的值.
【详解】
解：（1）由图象可知，函数的定义域为，，值域为，；
（2）当，时，设，
将，代入可得，
解得，，
即，
当，时，设，将点代入可得，解得，
，
，
，
（1）．
58．（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用奇函数的定义即可求函数的解析式．
（2）根据函数的解析式，先画出图象，然后对进行分类讨论即可求出函数的值域．
【详解】
（1）∵ 函数是定义在上的奇函数，
∴，且，
∴，
设，则，
∴，
∴
（2）可画出分段函数的图象如图所示，令，可解得
结合图象可知：
（1）当时，
（2）当时，
（3）当时，
求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现形如f(f(x0))的求值问题时，应从内到外依次求值. 求值域问题同样分段求解，再取其并集.
已知分段函数的值域或最值求参数范围，可先求函数在各区间段的值域或最值，再结合已知建立不等式(组)求解. 必要时可先分析函数性质，再画图数形结合.
【题型归纳】
题型一：求分段函数解析式或求函数的值
1．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，则（ ）
A．B．2C．5D．3
3．已知函数，则（ ）
A．B．C．1D．3
题型二：分段函数的值域或最值
4．函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
5．函数，定义，则满足（ ）
A．只有最小值，没有最大值B．既有最大值，又有最小值
C．只有最大值，没有最小值D．既无最大值，也无最小值
6．已知函数以下关于的结论正确的是（ ）
A．若，则
B．的值域为
C．在上单调递增
D．的解集为
题型三：已知分段函数的值求参数或自变量
7．已知函数若，且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
8．函数，则方程的解集是（ ）
A．B．C．D．
9．设，若，则x的值为（ ）
A．1或2B．或C．1D．2
题型四：根据分段函数的单调性求参数
10．已知函数，则“”是“在R上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．已知函数是上的增函数，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型五：解分段函数不等式
13．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
14．设函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
15．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型六：根据分段函数的值域（最值）求参数
16．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
18．已知函数若的最小值为0，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【双基达标】
19．已知函数，则的值是（ ）
A．B．C．D．
20．已知函数，方程有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
21．已知函数(且)，若存在最小值，则实数的取值范围为( )
A．B．
C．D．
22．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
23．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
24．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
25．若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
26．已知函数则（ ）
A．B．C．D．
27．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
28．若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
29．设，则的值是（ ）
A．1B．eC．D．
30．设，则的值为（ ）
A．16B．18C．21D．24
【高分突破】
单选题
31．函数的图象是如图所示的折线段，其中，，函数，那么函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
32．已知则（ ）
A．7B．2C．10D．12
33．已知若，则的最大值是( )
A．B．C．D．
34．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1)B．a∈[,1)C．a∈(0,]D．a∈[,2)
35．已知f(x)=，则f(4)+f(-4)=（ ）
A．63B．83C．86D．91
36．若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．14B．13C．12D．11
37．已知函数，则（ ）
A．16B．C．D．
38．已知函数则（ ）
A．B．C．D．
39．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
40．已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
41．若f(x)=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
42．已知函数若关于x的方程有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
43．已知函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
44．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为RB．的值域为
C．若，则x的值是D．的解集为
45．已知函数令，则下列说法正确的是（ ）
A．B．方程有3个根
C．方程的所有根之和为－1D．当时，
46．设函数，若则实数a=（ ）
A．2B．-2C．4D．-4
47．若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中，与是“同象函数”的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
三、填空题
48．已知函数，若函数恰有两个零点，则k的取值范围为____.
49．已知，函数．若，则________．
50．若则函数的最小值为________．
51．已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
52．设函数，若，则实数a的取值范围___________.
53．已知函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围是________．
四、解答题
54．已知
（1）求；
（2）若，求a的值；
（3）若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围.
55．《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3500元(即3500元以下不必纳税，超过3500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：
（1）列出公民全月工资总额x(0
56．已知函数.
（1）求 ；
（2）判断函数在上的单调性并用定义证明.
57．已知函数的图象如图所示，其中轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．
（1）写出函数的定义域和值域；
（2）求的值．
58．已知为定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最小值.
全月应纳税所得额
税率%
不超过1500元的部分
3
超过1500元至4500元部分
10
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式及对数的运算法则计算可得.
【详解】
解：因为，
所以
.
故选：D
2．A
【解析】
【分析】
根据分段函数的定义计算．
【详解】
由题意可知，f(－2022)＝f(－2019)＝…＝f(－3)＝f(0)＝lg3(0＋1)－2＝－2．
故选：A．
3．C
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值．
【详解】
因为，所以，
，则.
故选：C．
4．A
【解析】
【分析】
利用分段函数的性质求解.
【详解】
解：,
当，，
当，，
所以，
故选：A
5．A
【解析】
【分析】
根据题中定义，画出函数的图象，利用数形结合思想，结合最值的定义进行求解即可.
【详解】
在同一角直角坐标系内画出函数的图象，如下图所示：
根据定义，所以函数的图象如下图所示：
由图象可知，该函数有最小值无最大值，
故选：A
【点睛】
关键点睛：读懂新定义，利用数形结合思想是解题的关键.
6．B
【解析】
【分析】
A选项逐段代入求自变量的值可判断;B选项分别求各段函数的值域再求并集可判断;C选项取特值比较大小可判断不单调递增;D选项分别求各段范围下的不等式的解集求并集即可判断.
【详解】
解:A选项:当时, 若,则;当时, 若,则,故A错误;
B选项: 当时, ;当时, ,故的值城为,B正确;
C选项: 当时, ,当时, ,在上不单调递增,故C错误;
D选项: 当时, 若,则;当时, 若,则,故的解集为,故D错误;
故选:B.
7．C
【解析】
【分析】
根据函数的解析式求出，结合即可求出，进而得出结果.
【详解】
由题意知，
，
又，所以，
所以，
解得.
故选：C
8．B
【解析】
【分析】
令，则，当时，，转化为图象的交点问题；当时，成立，进一步求出的范围，即可求出答案.
【详解】
由函数，令，则，
当时，，
令，其图象如图所示
．
时，无解，
当时，成立，
由，得当时，有，解得；
当时，有，解得，
综上，的取值范围是．
故选：B.
9．C
【解析】
【分析】
由分段函数解析式，令不同区间对应解析式的值为2求x值，根据定义域区间确定x的值.
【详解】
当时，有，满足；
当时，有，则或都不满足.
所以x的值为1.
故选：C
10．B
【解析】
【分析】
先由在R上单调递增求得a的取值范围，再去判断“”与“在R上单调递增”二者间的逻辑关系即可.
【详解】
若在R上单调递增，
则时，单调递增，且，所以.
由“”可以得到“”，但由“”不可以得到“”，
所以“”是“在R上单调递增”的必要不充分条件.
故选：B.
11．D
【解析】
【分析】
根据分段函数的单调性需要满足在每一段上是单调的，而且在断点连接处的值大小关系即可求解.
【详解】
函数是上的增函数，
，且，
故选：D
12．B
【解析】
【分析】
根据每段函数单调递增，结合端点关系列不等式组可解.
【详解】
在上为单调递增函数；
，解得；
实数的取值范围为．
故选：B．
13．D
【解析】
【分析】
利用分段函数及指数函数的性质，分别求解，时不等式的解集即可.
【详解】
解：当时，，因为，所以，
故当时，不等式无解，
当时，，
令，得，解得.
故选：D.
14．D
【解析】
【分析】
分析出函数为奇函数，可得出，然后分、两种情况解不等式，即可得出实数的取值范围.
【详解】
当时，，则，
当时，，则，
所以，函数为奇函数，由可得，
当时，由，可得；
当时，由，可得，解得.
综上所述，实数的取值范围的取值范围是.
故选：D.
15．A
【解析】
【分析】
由题意，画出图形，结合，分和进行讨论，解得的范围，从而即可得实数的取值范围．
【详解】
解：作出函数的图象如图，
因为，若，由在上单调递增，且，
则，解得；
若，则，解得；
综上，，解得或.
所以实数的取值范围是．
故选：A.
16．D
【解析】
【分析】
首先求出时函数的值域，设时，的值域为，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：由题意可得当时，所以的值域为，
设时，的值域为，则由的值域为R可得，
∴，解得，即．
故选：D
17．D
【解析】
【分析】
由对数函数的性质即可判断，再由二次函数的性质及对数函数的单调性得，即可求范围.
【详解】
当时，由的值域为R，即没有最小值，
所以．
当时，有最小值；
当时，，
所以，要使存在最小值，只需，故．
故选：D
18．A
【解析】
【分析】
先用导数法求出时的最小值，然后讨论时的最小值，由两段函数的最小值关系可得.
【详解】
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
当时，．
若，则在上单调递增，所以，
因为的最小值为0，所以，所以；
若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，不合题意，故．
故选：A
19．A
【解析】
【分析】
直接代入求值即可.
【详解】
因为，所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查分段函数的求值问题，属基础题.
20．B
【解析】
【分析】
根据已知条件对进行分类讨论：、，然后分别考虑每段函数的单调性以及取值范围，确定出方程有两解时所满足的不等式，由此求解出的取值范围.
【详解】
因为，所以且，
当时，在时单调递增，所以；
又在时单调递增，且，
因为方程有两解，所以，所以；
当时，在时单调递减，；
又在时单调递增，，
因为方程要有两解，所以，此时不成立.
综上可得，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：根据方程解的个数求解参数范围的常见方法：
方法（1）：将方程解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过图象直观解答问题；
方法（2）：若方程中有指、对数式且底数为未知数，则需要对底数进行分类讨论，然后分析的单调性并求解出其值域，由此列出关于参数的不等式，求解出参数范围.
21．A
【解析】
【分析】
通过对参数分类讨论，研究在和的单调性，再结合已知条件，即可求解.
【详解】
由题意，不妨令，；，，
①当时，在上单调递减，
在上单调递减，易知在上的值域为，
又因为存在最小值，只需，解得，，
又由，从而；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
又因为存在最小值，故，
即，解得，，这与矛盾；
③当时，，易知的值域为，显然无最小值；
④当时，在上单调递增，在上单调递增，从而无最小值.
综上所述，实数的取值范围为.
故选：A.
22．C
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，分析函数的单调性，进而可将转化为：或，解得答案．
【详解】
函数，
函数在，上为减函数，在上函数值保持不变，
若，
则或，
解得：，
故选：．
【点睛】
本题主要考查的知识点是分段函数的解析式、单调性，函数单调性的应用，难度中档．
23．A
【解析】
【分析】
利用分段函数，将不等式化为具体不等式，即可得出结论．
【详解】
解：，
当时，，所以或；
当时，，所以，
所以不等式的解集是，，，
故选：A．
24．D
【解析】
【分析】
求出函数在时值的集合， 函数在时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.
【详解】
当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，
当时，，，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
，，则在上值的集合为，
因函数的值域为，于是得，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
25．A
【解析】
【分析】
本题根据减函数的定义再结合一次函数的性质直接求解即可.
【详解】
因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.
故选：A.
【点睛】
本题考查减函数的定义，一次函数的性质，是基础题.
26．D
【解析】
【分析】
先求出的值，再求出即可
【详解】
因为
所以．
故选：．
27．A
【解析】
对分情况讨论，分段求出的取值范围，最后再求并集即可．
【详解】
解：①当时，，
，
解得：，
，
②当时，，
，
解得：，
，
综上所述，实数的取值范围是：，．
故选：．
28．B
【解析】
【分析】
根据的开口方向，确定分段函数在在上的单调递增，再根据分段函数在上的单调所要满足的条件列出不等关系，求出的取值范围.
【详解】
因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：
故选：B
29．B
【解析】
【分析】
根据自变量的取值，代入分段函数解析式，运算即可得解.
【详解】
由题意得，
则.
故选：B.
【点睛】
本题考查了分段函数求值，考查了对数函数及指数函数求值，属于基础题.
30．B
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式直接求解.
【详解】
因为，所以.
故选：B.
31．B
【解析】
【分析】
根据图象可得的解析式，进而可得的解析式，再利用二次函数的性质分别求分段函数各段的值域，再求并集即可求解.
【详解】
由题图可知，，所以直线的方程是，
因为，所以直线的方程为，
所以，
所以，
当时，在上单调递增，此时函数的值域为；
当时，，
所以当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
此时函数的值域为，
综上可知，函数的值域为，
故选：B.
32．D
【解析】
【分析】
根据分段函数的定义计算．
【详解】
由题意．
故选：D．
33．C
【解析】
【分析】
利用数形结合，画出的图像可得为定值，再将转化为关于x的函数，最后利用求导求出的最大值.
【详解】
如图作出的图象，
依题意，，注意到，且，
因此，其中，
设，当，时，当，时，
因此在上单调递增，在上单调递减，
则，
即的最大值为
故选：C.
【点睛】
此题为函数零点相关问题，通常需要先画出函数图像，再结合函数图像得到某一部分为定值，再求出剩余部分的取值范围即可.
34．C
【解析】
【分析】
根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．
【详解】
∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，
∴在R上是减函数，
∴，解得，
∴a的取值范围是．
故选：C．
35．C
【解析】
【分析】
由给定条件求得f(-4)=f(5)，f(4)=f(7)，进而计算f(5)、f(7)的值，相加即可得解.
【详解】
依题意，当x<5时，f(x)=f(x+3)，于是得f(-4)= f(-1)=f(2)=f(5)，f(4)=f(7)，
当x≥5时，f(x)=2x-x2，则f(5)=25-52=7，f(7)=27-72=79，
所以f(4)+f(-4)=86.
故选：C
36．C
【解析】
【分析】
由，知函数是周期为2的函数，进而根据与函数的图象得到交点个数．
【详解】
解：因为，所以函数是周期为2函数，
因为时，，所以作出它的图象，则的图象如图所示：（注意拓展它的区间）
再作出函数的图象，
容易得出到交点为12个．
故选：C．
【点睛】
结论点睛：本题考查函数方程思想，数形结合思想，注意周期函数的一些常见结论：若，则周期为；若，则周期为；若，则周期为；另外要注意作图要细致，属于中档题．
37．C
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式先求出，再求即可得解.
【详解】
因函数，于是得，
所以.
故选：C
38．A
【解析】
【分析】
先分析出时的周期性，然后根据周期性以及已知条件将问题转化为计算的值，由此求解出结果.
【详解】
当时，因为，所以，所以是周期为的函数，
所以，
又因为，所以，
故选：A.
【点睛】
结论点睛：周期性常用的几个结论如下：
（1）对时，若或（）恒成立，则是的一个周期；
（2）对时，若或或（）恒成立，则是的一个周期；
（3）若为偶函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数；
（4）若为奇函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数.
39．C
【解析】
【分析】
由题得，即求.
【详解】
∵，又函数的值域为R，
则，解得．
故选：C．
40．D
【解析】
根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.
【详解】
由于函数是定义在上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数，要注意分析每支函数的单调性及其在分界点处函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
41．D
【解析】
【分析】
由在[1，+∞)上单调递减且可解得结果.
【详解】
因为函数在上是单调递减的，
又是R上的单调函数，
所以在[1，+∞)上单调递减，即a>0，
并且，解得，
综上所述，a的取值范围为.
故选：D
【点睛】
易错点点睛：解答本题时易只考虑两段上的单调性，忽视分界点处函数值之间的大小关系或者考虑到了函数值之间的大小关系，但是忽视了取等号的情况而导致结果错误.
42．B
【解析】
【分析】
利用换元法设，则等价为有且只有一个实数根，分 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出的取值范围.
【详解】
令，则方程等价于，
当时，此时当时，，此时函数有无数个零点，不符合题意；
当，则，所以由，得，
则关于x的方程有且只有一个实数根等价于关于x的方程有且只有一个实数根，作出的图象如图：
当时，由图象可知直线与的图象只有一个交点，恒满足条件；
当时，要使直线与的图象只有一个交点，
则只需要当时，直线与的图象没有交点，
因为 时，，此时 最小值为 ，
所以，
综上所述，实数a的取值范围是，
故选：B.
43．D
【解析】
【分析】
当时有成立；当时有成立，故的取值范围可求.
【详解】
当时为增函数，故时有成立
所以；
当时，故时有成立，所以
综上所述：
故选：D
44．BC
【解析】
分段讨论函数的定义域、值域，并分段求解方程和不等式即得结果.
【详解】
函数，定义分和两段，定义域是，故A错误；
时，值域为，时，，值域为，故的值域为，故B正确；
由值的分布情况可知，在上无解，故，即，得到，故C正确；
时令，解得，时，令，解得，故的解集为，故D错误.
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：
研究分段函数的性质时，要按照函数解析式中不同区间的对应法则分别进行研究，最后再做出总结.
45．ACD
【解析】
【分析】
由题意知可得；令，因为方程没有实根，即没有实根；令，则方程，即，通过化简与计算即可判断C；当时，，则将函数在的图象向左平移1个单位长度可得函数的图象，即可判断D．
【详解】
对于A选项，由题意知，则，所以A选项正确；
对于B选项，令，则求的根，即求的根，
因为方程没有实根，
所以没有实根，所以选项B错误；
对于C选项，令，则方程，即，
得，，由方程得或，
解得或，易知方程，没有实数根，所以方程的所有根之和为－1，选项C正确；
对于D选项，当时，，则将函数在的图象向左平移1个单位长度可得函数的图象，
当时，函数的图象不在的图象的下方，所以D选项正确，
故选：ACD．
【点睛】
方法点睛： 对于分段函数，已知函数的值求自变量的值时，常常先根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可，如果分段函数的图象易得，也可以作出函数图象，然后结合图象求解．
46．AD
【解析】
【分析】
按照分类，结合分段函数解析式即可得解.
【详解】
因为函数，且
所以或，解得a=-4或a=2.
故选：AD.
47．ACD
【解析】
【分析】
先求出在时的值域，再分别求出四个选项中的的值域，ABC选项可以用函数单调性来求解值域，D选项可以画出函数图象，结合图象求出值域.。
【详解】
当时，单调递增，所以，即
当时，单调递减，所以，即，所以
A选项正确；
当时，单调递减，此时，所以，B选项错误；
当时,的图象如图所示，
在单调递减，在单调递增，所以在处取得最小值，，因为，，所以在处取得最大值，故，C选项正确；
当时，，画出图象，如图
显然，，故D选项正确
故选：ACD
48．
【解析】
先根据条件得到的解析式，作出的图像，知道函数的单调区间和最值，根据函数恰有两个不同的零点，得到与图像有且仅有两个交点，数形结合即可求解.
【详解】
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
令，可得
当时，；当时，；
，作出函数的图像，如图所示
由图可知，在单调递增，在单调递减，
若函数恰有两个不同的零点，得到与图象有且仅有两个交点，故，
故答案为：
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
49．0或2
【解析】
【分析】
首先计算，再由求得值即可.
【详解】
因为，所以，
可得，所以，解得：或，
故答案为：0或2.
50．1
【解析】
【分析】
结合图象可得答案.
【详解】
如图，函数在同一坐标系中，
且，所以在时有最小值，即.
故答案为：1.
51．
【解析】
【分析】
去绝对值将转化为分段函数，求出其最大值，即可.
【详解】
因为，不等式恒成立，则，
，
作出函数的图象如图：
由图知：的最大值为，
所以，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
52．
【解析】
【分析】
利用解析式求出即可解出不等式.
【详解】
因为，
所以，则，
若，则，即，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
53．
【解析】
【分析】
设，求出函数的两个零点，且，将函数化为分段函数，分类讨论，当时，可知函数在区间上不可能单调递增；当时，根据的范围可知恒满足函数在区间上单调递增，根据解析式可知在上单调递增，再由可解得结果.
【详解】
设，其判别式，所以函数一定有两个零点，
设函数的两个零点为，且，
由得，，
所以函数，
①当时，在上单调递减或为常函数，从而在不可能单调递增，故，
②当时，，
，所以，
所以，
因为在上单调递增，所以在上也单调递增，
因为在和上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以在上单调递增，
欲使在上单调递增，只需，得，
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：求解关键有2个：①利用的零点将函数化为分段函数；②分类讨论，利用分段函数的单调性求解.
54．（1）3（2）12（3）
【解析】
【分析】
（1）根据分段函数解析式直接求解；
（2）根据函数解析式，分段讨论，解方程即可；
（3）作出函数图象，数形结合即可.
【详解】
（1），
，
（2）当时，，
当时，，
解得，
综上，
（3）作出的图象，如图，
由图象可知，当时，与y=b有三个交点.
55．（1）；（2）7550元.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件分段求出应缴纳税款额y元的表达式即可；
(2)判断当月工资总额所在区间，再列式即可得解.
【详解】
(1)依题意，当0
(2)由(1)知，当0
所以刘丽十二月份工资总额为7550元.
56．（1）；（2）减函数，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）用代入法进行求解即可；
（2）用单调性的定义进行判断并证明即可.
【详解】
（1）因为，所以；
（2）函数在上单调递减，证明如下：
设是内任意两个实数，且，则有，
，
因为，所以，因此，
所以函数在上单调递减.
57．（1）定义域为，，值域为，；（2）-1.
【解析】
【分析】
（1）由图像直接得到定义域和值域；
（2）先求出解析式，再直接代入求的值.
【详解】
解：（1）由图象可知，函数的定义域为，，值域为，；
（2）当，时，设，
将，代入可得，
解得，，
即，
当，时，设，将点代入可得，解得，
，
，
，
（1）．
58．（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用奇函数的定义即可求函数的解析式．
（2）根据函数的解析式，先画出图象，然后对进行分类讨论即可求出函数的值域．
【详解】
（1）∵ 函数是定义在上的奇函数，
∴，且，
∴，
设，则，
∴，
∴
（2）可画出分段函数的图象如图所示，令，可解得
结合图象可知：
（1）当时，
（2）当时，
（3）当时，
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