初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆精练

这是一份初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆精练，文件包含专题246直线与圆的位置关系及切线的判定与性质十大题型举一反三人教版原卷版docx、专题246直线与圆的位置关系及切线的判定与性质十大题型举一反三人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。


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\l "_Tc12366" 【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc12366 \h 2
\l "_Tc4998" 【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】 PAGEREF _Tc4998 \h 4
\l "_Tc17339" 【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 PAGEREF _Tc17339 \h 6
\l "_Tc7539" 【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】 PAGEREF _Tc7539 \h 9
\l "_Tc10609" 【题型5 定义法判断切线】 PAGEREF _Tc10609 \h 13
\l "_Tc29043" 【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】 PAGEREF _Tc29043 \h 15
\l "_Tc28461" 【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】 PAGEREF _Tc28461 \h 19
\l "_Tc26544" 【题型8 利用切线的性质求线段长度】 PAGEREF _Tc26544 \h 23
\l "_Tc4167" 【题型9 利用切线的性质求角度】 PAGEREF _Tc4167 \h 27
\l "_Tc27282" 【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】 PAGEREF _Tc27282 \h 30
【知识点1 直线与圆的位置关系】
【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】
【例1】（2022春•金山区校级月考）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相交或相切
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【变式1-1】（2022秋•韶关期末）已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．直线l与⊙O相交B．直线l与⊙O相切
C．直线l与⊙O相离D．无法确定
【分析】根据“若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离”即可得到结论．
【解答】解：∵⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，3＜5，
∴直线l与⊙O相离．
故选：C．
【变式1-2】（2022秋•川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为O，点P在函数y=14x2-1的图象上，以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y＝﹣2的位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．三种情况均有可能
【分析】设P（t，14t2﹣1），利用两点间的距离公式计算出OP=14t2+1，再计算出P点到直线y＝﹣2的距离为14t2+1，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可得到圆与直线y＝﹣2相切．
【解答】解：设P（t，14t2﹣1），
∴OP=t2+(14t2-1)2=(14t2+1)2=14t2+1，
∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴P点在直线y＝﹣2的上方，
∴P点到直线y＝﹣2的距离为14t2﹣1﹣（﹣2）=14t2+1，
∴P点到直线y＝﹣2的距离等于圆的半径，
∴以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y＝﹣2的位置关系是相切．
故选：B．
【变式1-3】（2022秋•自贡期末）如图，⊙O的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
【分析】利用直线与圆的位置的判定方法进行判断．
【解答】解：∵直线l1与⊙O相切，
∴圆心O到一条直线l1的距离为5，
∵直线l2与⊙O相离，
∴圆心O到一条直线l2的距离大于5，
∵直线l3与l4与⊙O相交，
∴圆心O到一条直线l3和直线l4的距离都小于5，
而圆心O到直线l3的距离较小，
∴圆心O到一条直线的距离为2，这条直线可能是直线l3．
故选：C．
【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】
【例2】（2022秋•北仑区期末）⊙O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是（ ）
A．3B．5C．6D．10
【分析】根据直线l和⊙O相交⇔d＜r，即可判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，
∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5，
故选：A．
【变式2-1】（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（ ）
A．0≤r≤125B．125≤r≤3C．125≤r≤4D．3≤r≤4
【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴AB＝5，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r=125，
当直线与圆如图所示也可以有交点，
∴125≤r≤4．
故选：C．
【变式2-2】（2022秋•丛台区校级期中）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围为（ ）
A．3≤r≤4B．3≤r＜5C．3≤r＜4D．3≤r≤5
【分析】由于BD＞AB＞BC，根据点与圆的位置关系得到3≤r≤5．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴BD＝AC=AB2+BC2=5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；
故选：D．
【变式2-3】（2022秋•丛台区校级期中）以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜22B．﹣42≤b≤42C．﹣22＜b＜22D．﹣42＜b＜42
【分析】求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
【解答】解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是B（0，b），
当y＝0时，x＝b，则与y轴的交点是A（b，0），
则OA＝OB＝b，即△OAB是等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，
AB=OA2+OB2=b2+b2=2b，
连接圆心O和切点C，则OC＝4，OC⊥AB，
∵S△AOB=12OA•OB=12AB•OC，
∴4=OA⋅OBAB=b⋅b2b，
则b＝42；
同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b＝﹣42；
则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣42＜b＜42．
故选：D．
【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】
【例3】（2022秋•武汉期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，
即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∴直线l和⊙O相离，
∴直线l与⊙O没有公共点．
故选：A．
【变式3-1】（2022秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不能确定
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝10，
∴斜边上的高为：AB⋅ACBC=4.8，
∴d＝4.8cm＝rcm＝4.8cm，
∴圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1，
故选：B．
【变式3-2】（2022•武汉模拟）一个圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是（ ）个．
A．0B．1C．2D．0或1或2
【分析】根据当圆的半径r＞圆心到直线的距离d时，直线与圆相交，即可得出直线l和这个圆的公共点的个数．
【解答】解：∵圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，
∴r＞d，
∴直线与圆相交，
∴这条直线和这个圆的公共点的个数为2．
故选：C．
【变式3-3】（2022秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，r为半径画圆．
（1）当r＝ 2.4 时，⊙C与边AB相切；
（2）当r满足 3＜r≤4或r＝2.4 时，⊙C与边AB只有一个交点；
（3）随着r的变化，⊙C与边AB的交点个数还有哪些变化？写出相应的r的值或取值范围．
【分析】（1）当⊙C与边AB相切时，则d＝r，由此求出r的值即可；
（2）根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案；
（3）随着r的变化，⊙C与边AB的交点个数由0个、1个、2个三种情况．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴AB＝5，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，如图1，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r＝2.4，
故答案为：r＝2.4．
（2）①当直线与圆相切时，即d＝r＝2.4，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，
②当直线与圆如图所示也可以有一个交点，如图2，
∴3＜r≤4，
故答案为：3＜r≤4或r＝2.4；
（3）①如图3，当0≤r＜2.4时，圆C与边AB有0个交点；
②如图1，当r＝2.4时，圆C与边AB有1个交点；
③如图4，当2.4＜r≤3时，圆C与边AB有2个交点；
④如图2，当3＜r≤4时，圆C与边AB有1个交点；
⑤如图5，当r＞4时，圆C与边AB有0个交点；
综上所述，当0≤r＜2.4或r＞4时，圆C与边AB有0个交点；
当3＜r≤4或r＝2.4时，圆C与边AB有1个交点；
当2.4＜r≤3时，圆C与边AB有2个交点．
【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】
【例4】（2022秋•常熟市期中）如图，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．5B．10C．15D．20
【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题
【解答】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．
∵C（1，0），直线AB的解析式为y=34x+3，
∴直线CH的解析式为y=-43x+43，
由 y=-43x+43y=34x+3解得x=-45y=125，
∴H（-45，125），
∴CH=(1+45)2+(125)2=3，
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，
∴EH＝3﹣1＝2，
当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值=12×5×2＝5，
故选：A．
【变式4-1】（2022秋•凉山州期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是 13 ．
【分析】根据勾股定理用OP表示出PA，根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：∵∠POA＝90°，
∴PA=OA2+OP2=4+OP2，
当OP最小时，PA取最小值，
由题意得：当OP⊥MN时，OP最小，最小值为3，
∴PA的最小值为：4+32=13，
故答案为：13．
【变式4-2】（2022•乐亭县一模）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为 7 ；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 21 ．
【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，∵l⊥PA，
∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大，
最大值为AO+AP＝5+2＝7；
（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，
线段MN是⊙O的直径，
∵l⊥PA，
∴∠APO＝90°，
∵AP＝2，OA＝5，
∴OP=OA2-PA2=21，
故答案为：7，21．
【变式4-3】（2022•广汉市模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案．
【解答】解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEA＝90°，
∴点E在以AC为直径的⊙Q上，
∵AC＝10，
∴QC＝QE＝5，
当点Q、E、B共线时BE最小，
∵BC＝12，
∴QB=BC2+QC2=13，
∴BE＝QB﹣QE＝8，
故选：B．
【知识点2 切线的判定】
（1）切线判定： = 1 \* GB3 ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
= 2 \* GB3 ②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）
= 3 \* GB3 ③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线
（2）切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
【题型5 定义法判断切线】
【例5】（2022•淮安模拟）下列直线中，一定是圆的切线的是（ ）
A．过半径外端的直线
B．与圆心的距离等于该圆半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线
D．与圆有公共点的直线
【分析】根据选项举出反例图形即可判断A、C、D；根据切线的判定即可判断B．
【解答】解：切线的判定定理有：①经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，②与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，
A、如图EF不是⊙O的切线，故本选项错误；
B、与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；
C、如图，EF⊥半径OA，但EF不是⊙O的切线，故本选项错误；
D、如上图，EF⊙O有公共点，但EF不是⊙O的切线，故本选项错误；
故选：B．
【变式5-1】（2022秋•嘉定区期末）下列四个选项中的表述，正确的是（ ）
A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，
故A，B，D选项不正确，C选项正确，
故选：C．
【变式5-2】（2022秋•东台市校级月考）下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线．（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有一个．其中不正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【分析】利用切线的性质进行判断后即可得到答案．
【解答】解：（1）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题错误．
（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，原命题正确．
（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线，正确．
（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有四个，原命题错误．
故选：A．
【变式5-3】（2022秋•慈溪市期末）已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A．OP＝5B．OE＝OF
C．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF
【分析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案．
【解答】解：
∵点P在⊙O上，
∴只需要OP⊥EF即可，
故选：D．
【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】
【例6】（2022•顺德区一模）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A作AE∥BC交CD延长线于点E．
（1）求∠ABC的大小；
（2）证明：AE是⊙O的切线．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，根据等边三角形的性质解答即可；
（2）连接AO并延长交BC于F，根据垂径定理的推论得到AF⊥BC，根据平行线的性质得到AF⊥AE，根据切线的判定定理证明结论．
【解答】（1）解：由圆周角定理得：∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
（2）证明：连接AO并延长交BC于F，
∵AB＝AC，
∴AB=AC，
∴AF⊥BC，
∴AF⊥AE，
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线．
【变式6-1】（2022•昭平县一模）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
（1）求AB的长；
（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
【分析】（1）连接OA、OB，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，则∠OAD＝30°，所以OD=12OA＝1，AD=3OD=3，再根据垂径定理得AD＝BD，所以AB＝23；
（2）由（1）∠BOC＝60°，则△OCB为等边三角形，所以BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，而CP＝CO＝CB，则∠CBP＝∠P，可计算出∠CBP＝30°，所以∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，于是根据切线的判定定理得PB是⊙O的切线．
【解答】（1）解：连接OA、OB，如图，
∵∠ABC＝30°，OP⊥AB，
∴∠AOC＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴OD=12OA=12×2＝1，
∴AD=3OD=3，
又∵OP⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝23；
（2）证明：由（1）∠BOC＝60°，
而OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，
∴BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴C是OP的中点，
∴CP＝CO＝CB，
∴∠CBP＝∠P，
而∠OCB＝∠CBP+∠P，
∴∠CBP＝30°
∴∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，
∴OB⊥BP，
∴PB是⊙O的切线．
【变式6-2】（2022春•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．
求证：BC是圆O的切线．
【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠CAD＝∠ODA，根据平行线的判定得出OD∥AC，求出OD⊥BC，再根据切线的判定推出即可．
【解答】证明：连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∵OD过圆心O，
∴BC是圆O的切线．
【变式6-3】（2022秋•武夷山市期末）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC是⊙O的切线．
【分析】连接OC，根据线段中点的定义得到OE＝EP，求得OE＝EC＝EP，得到∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：连接OC，
∵点E是线段OP的中点，
∴OE＝EP，
∵EC＝EP，
∴OE＝EC＝EP，
∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，
∴∠ECO+∠ECP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】
【例7】（2022•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．
（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．
【解答】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B＝90°
∴AB⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC
∴BD＝DF
∴AC与⊙D相切；
（2）在△BDE和△DCF中；
∵BD＝DF，DE＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB＝FC．
∵AB＝AF，
∴AB+EB＝AF+FC，
即AB+EB＝AC，
∴AC＝5+3＝8．
【变式7-1】（2022秋•滨海县期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
A．以OA为半径的圆B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆D．以OD为半径的圆
【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵OD⊥a于D，
∴以点O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切．
故选：D．
【变式7-2】（2022•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．
【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∵圆心到直线的距离等于半径，
∴AC是⊙O的切线．
【变式7-3】（2022秋•丹江口市期中）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径．
【分析】（1）首先连接OE，并过点O作OF⊥CD，由OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，可得OE＝OA，OE⊥BC，然后由AC为正方形ABCD的对角线，根据角平分线的性质，可证得OF＝OE＝OA，即可判定CD是⊙O的切线；
（2）由正方形ABCD的边长为10，可求得其对角线的长，然后由设OA＝r，可得OE＝EC＝r，由勾股定理求得OC=2r，则可得方程r+2r＝102，继而求得答案．
【解答】（1）证明：连接OE，并过点O作OF⊥CD．
∵BC切⊙O于点E，
∴OE⊥BC，OE＝OA，
又∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴OF＝OE＝OA，
即：CD是⊙O的切线．
（2）解：∵正方形ABCD的边长为10，
∴AB＝BC＝10，∠B＝90°，∠ACB＝45°，
∴AC=AB2+BC2=102，
∵OE⊥BC，
∴OE＝EC，
设OA＝r，则OE＝EC＝r，
∴OC=OE2+EC2=2r，
∵OA+OC＝AC，
∴r+2r＝102，
解得：r＝20﹣102．
∴⊙O的半径为：20﹣102．
【知识点3 切线的性质】
（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
（2）切线性质的推论： = 1 \* GB3 ①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
= 2 \* GB3 ②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【题型8 利用切线的性质求线段长度】
【例8】（2022•新平县模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，点C是切点，弦CF⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：AC平分∠DCF；
（2）若AD⊥CD，BE＝2，CF＝8，求AD的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠ACO＝∠CAE，根据等角的余角相等可得出结论；
（2）根据垂径定理得到CE=12CF＝4，根据勾股定理求出⊙O的半径，根据角平分线的性质定理解答即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD切⊙O于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°．
∵CF⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACF+∠CAE＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAE，
∴∠ACD＝∠ACF；
（2）解：由（1）可知，∠ACD＝∠ACF．
∵CF⊥AB，CF＝8，
∴CE=12CF＝4，
设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣3，
在Rt△OEC中，OC2＝OE2+CE2，
即r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣2＝8，
∵∠ACD＝∠ACF，AD⊥CD，CF⊥AB，
∴AD＝AE＝8．
【变式8-1】（2022•泸县一模）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长．
【分析】利用切线的性质得∠OAB＝90°，则根据勾股定理可计算出OA＝5，再根据垂径定理得到AH＝CH，接着利用勾股定理计算出AH，从而得到AC的长．
【解答】解：∵AB为切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
在Rt△OAB中，OA=OB2-AB2=132-122=5，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH，
在Rt△OAH中，AH=OA2-OH2=52-32=4，
∴AC＝2AH＝8，
答：⊙O的半径为5，AC的长为8．
【变式8-2】（2022•建邺区一模）如图，AB、CD是⊙O的切线，B、D为切点，AB＝2，CD＝4，AC＝10．若∠A+∠C＝90°，则⊙O的半径是 4 ．
【分析】连接OB，OD，根据切线的性质得到∠OBE＝∠ODE＝90°，延长AB，CD交于E，求得∠AEC＝90°，根据正方形的性质得到BE＝DE＝OB，设⊙O的半径是r，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接OB，OD，
∵AB、CD是⊙O的切线，B、D为切点，
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
延长AB，CD交于E，
∵∠A+∠C＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠OBE＝∠ODE＝90°，
∴四边形ODEB是矩形，
∵OB＝OD，
∴四边形ODEB是正方形，
∴BE＝DE＝OB，
设⊙O的半径是r，
∴AE＝r+2，CE＝r+4，
∵AE2+CE2＝AC2，
∴（r+2）2+（r+4）2＝102，
解得：r＝4（负值舍去），
∴⊙O的半径是4，
故答案为：4．
【变式8-3】（2022•新抚区校级三模）如图，△ACD内接于⊙O，AB是⊙O的切线，∠C＝45°，∠B＝30°．AD＝4，则AB长为（ ）
A．4B．22C．23D．26
【分析】如图，连接OA、OD，构造等腰直角△AOD和直角△AOB．首先利用勾股定理求得OA的长度，然后通过解直角△AOB求得边AB的长度．
【解答】解：如图，连接OA、OD，
∵∠C＝45°．
∴∠AOD＝2∠C＝90°．
又∵OA＝OD，AD＝4，
∴AD2＝2OA2＝16，则OA＝22．
又∵AB是⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°．
∵∠B＝30°，OA＝22，
∴AB=3OA＝26．
故选：D．
【题型9 利用切线的性质求角度】
【例9】（2022•红桥区三模）已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．
【分析】（Ⅰ）根据切线的性质和三角形的内角和解答即可；
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP为x，利用三角形内角和解答即可．
【解答】
解：（Ⅰ）连接BO，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB，
∵∠AOP＝65°，
∴∠APO＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
＜∠AOP＝∠BPO+∠C，
∴∠C＝∠AOP﹣∠BPO＝65°﹣25°＝40°，
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP＝x，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠BPO＝x，PA⊥AO，PB⊥OB，
∴∠APO＝90°﹣∠AOP＝90°﹣x，
∠BOP＝90°﹣∠BPO＝90°﹣x，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠BOP＝180°﹣2x，
∴∠OCB＝90°﹣∠BOC＝90°﹣2x，
∵OC∥BD，
∴∠DBP＝∠C＝90°﹣2x，
∴∠OBD＝2x，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD＝2x，
∵∠OBD+∠ODB+∠DOB＝180°，
∴x＝30°，
∴∠C＝90°﹣2x＝30°．
【变式9-1】（2022秋•香洲区期末）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°，求∠P的度数．
【分析】根据题意可以求得∠OAP和∠OBP的度数，然后根据∠BAC＝35°，即可求得∠P的度数．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠BAC＝35°，OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA＝35°，
∴∠PAB＝∠PBA＝55°，
∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝70°，
即∠P的度数是70°．
【变式9-2】（2022•老河口市模拟）PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不与A，B重合的一点，若∠APB＝70°，则∠ACB的度数为 55°或125° ．
【分析】根据切线的性质得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再根据四边形内角和得到∠AOB＝110°，然后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求∠ACB的度数．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∵∠APB＝70°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
当点C在劣弧AB上，则∠ACB=12∠AOB＝55°，
当点C′在优弧AB上，则∠AC′B＝180°﹣55°＝125°．
则∠ACB的度数为55°或125°．
故答案为：55°或125°．
【变式9-3】（2022•曲阜市二模）已知BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为A，AD交CB的延长线于点D，连接AB，AO．
（Ⅰ）如图①，求证：∠OAC＝∠DAB；
（Ⅱ）如图②，AD＝AC，若E是⊙O上一点，求∠E的大小．
【分析】（Ⅰ）先由切线和直径得出直角，再用同角的余角相等即可；
（Ⅱ）由等腰三角形的性质和圆的性质直接先判断出∠ABC＝2∠C，即可求出∠C．
【解答】解：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，切点为A，
∴DA⊥AO，
∴∠DAO＝90°，
∴∠DAB+∠BAO＝90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠OAC＝90°，
∴∠OAC＝∠DAB，
（Ⅱ）∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C，
∵AD＝AC，
∴∠D＝∠C，
∴∠OAC＝∠D，
∵∠OAC＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠D，
∵∠ABC＝∠D+∠DAB，
∴∠ABC＝2∠D，
∵∠D＝∠C，
∴∠ABC＝2∠C，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴2∠C+∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠E＝∠C＝30°
【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】
【例10】（2022•五华区三模）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，且AD＝AB，以线段AB为直径作⊙O，分别交BD，AC于点E，点F，∠BAC＝2∠CBD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，BC＝4，求点B到AC的距离．
【分析】（1）连接AE，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，由等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠DAE，进而征得∠BAE＝∠CBD，得到∠ABE+∠CBD＝∠ABC＝90°，根据切线的判定即可证得BC是⊙O的切线；
（2）连接BF，可得AF⊥AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB＝3，AC＝5，由三角形的面积公式即可求出BF．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵线段AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BD，∠BAE+∠ABE＝90°，
∵AD＝AB，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAC＝2∠BAE，
∵∠BAC＝2∠CBD，
∴∠BAE＝∠CBD，
∴∠ABE+∠CBD＝∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接BF，
∵线段AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AF⊥AC，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，BC＝4，AC＝AD+CD＝AB+2，
∴AB2+42＝（AB+2）2，
∴AB＝3，
∴AC＝5，
∵S△ABC=12AB•BC=12AC•BF，
∴BF=AB⋅BCAC=3×45=125，
即点B到AC的距离为125．
【变式10-1】（2022•邵阳模拟）如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．
【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ABC＝90°，求出∠ACB+∠CAB＝90°，求出∠OAD＝90°，再根据切线的判定得出即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质得出OA=12OD，求出OA，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
又∵∠ACB＝∠DAB，
∴∠DAB+∠CAB＝90°，即∠OAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知∠OAD＝90°，
∵∠ADB＝30°，
∴OA=12OD=12（OB+BD），
∵OA＝OB，BD＝2，
∴OA＝2，
∴AC＝2OA＝4．
【变式10-2】（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．
（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
【分析】（1）连接OD，理由切线的性质可得∠ODE＝90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得OE平分∠DOB，从而可得∠DOE＝∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性质即可解答；
（2）设⊙O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得DE＝BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：（1）直线BE与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
∵AD∥OE，
∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOE＝∠EOB，
∵OD＝OB，OE＝OE，
∴△DOE≌△BOE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BE与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
∴r＝3，
∴AB＝2r＝6，
∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，
由（1）得：△DOE≌△BOE，
∴DE＝BE，
在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，
∴82+BE2＝（4+DE）2，
∴64+DE2＝（4+DE）2，
∴DE＝6，
∴DE的长为6．
【变式10-3】（2022•盘锦模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）若AD＝4，∠D＝60°，求线段AB，BC的长．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，再根据AD∥EC，可得∠OCE＝90°，从而证明结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD＝90°，又AD＝4，∠D＝60°，即得AB=3BD＝23，根据∠ABC＝45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF＝BF=22AB=6，又△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，得AC＝22，故CF=AC2-AF2=2，从而BC＝BF+CF=6+2．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵AD∥EC，
∴∠AOC+∠OCE＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：过点A作AF⊥BC于F，如图：
∵AD是圆O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AD＝4，∠D＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD=12AD＝2，
∴AB=3BD＝23；
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝BF=22AB=22×23=6，
∵△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，
∴AC＝22，
∴CF=AC2-AF2=(22)2-(6)2=2，
∴BC＝BF+CF=6+2．
答：线段AB的长为23，线段BC的长为6+2． 直线与圆的位置关系
设的半径为，圆心到直线的距离为
则有：
相交：直线和圆有两个公共点
直线和相交
相切：直线和圆只有一个公共点
直线和相切
相离：直线和圆没有公共点
直线和相离