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高中数学1.1 集合的概念教学演示课件ppt
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这是一份高中数学1.1 集合的概念教学演示课件ppt，共38页。PPT课件主要包含了探究点一集合的概念等内容，欢迎下载使用。
1.通过实例,了解集合的含义.2.掌握集合中元素的三个特性.3.理解元素与集合的“属于”关系.4.记住常用数集及其记法.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目 录 索 引
知识点1 元素与集合的概念
一般地,我们把 统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.把一些元素组成的 叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合.
名师点睛集合的三个特性(1)描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点” “线”“面”等概念一样,都只是描述性的说明.(2)整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.(3)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等.
过关自诊1.你能举例说出:初中阶段,我们在代数方面学习过的集合吗?
2.构成集合的元素有什么要求?
提示 自然数集合,有理数集合,实数集合,方程解的集合,不等式解的集合等.
提示 构成集合的元素除了常见的数、点、式子等数学对象,也可以是其他任何形式的对象,只要是有确定标准的对象即可,另外,一个集合也可以是另一个集合的元素.
3.观察下列每组对象能否构成一个集合:(1)不超过36的非负数;(2)方程x2-10=0在实数范围内的解;(3)某校2022年在校的所有成绩好的同学;(4)π的近似值的全体.
解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过36的非负数”,所以能构成集合.(2)能构成集合.(3)“成绩好”无明确的标准,对于某个同学算不算成绩好无法客观地判断,因此不能构成一个集合.(4)“π的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“3”是不是它的近似值,所以不能构成集合.
知识点2 集合中元素的特性
1.集合中元素的三大特性:确定性、互异性、无序性. 不分先后2.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
名师点睛对集合中元素的特性的理解(1)确定性是集合中元素的基本特征,没有确定性就不能构成集合.例如“课本中的难题”“聪明的孩子”,其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊,故都不能组成集合.(2)互异性是判断能否组成集合的另一标准,也是最容易被忽视的性质.例如:gd中的字母组成的集合中的元素是g,,,d,这句话是不对的,因为在这个单词中,字母“”虽然出现了两次,但如果归入集合中只能算作一个元素,根据互异性,正确的说法应为gd中的字母组成的集合中的元素有3个,分别为g,,d.
过关自诊1.改变一个集合中元素的顺序,这个集合还是原来的集合吗?
2.(1)由方程x2-4=0和x-2=0的根组成的集合中有 个元素.
(2)已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1,若-3是集合A中的元素,试求实数a的值.
解 因为-3是集合A中的元素,所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0,此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A含有两个元素-4,-3,符合要求.综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
知识点3 元素与集合的关系
过关自诊1.如何准确理解符号“∈”和“∉”?
提示 符号“∈”和“∉”用于表示集合的元素与集合之间的关系,只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换.
2.设集合A表示“1~10以内的所有素数”,则3和4这两个元素与集合A有什么关系?如何用数学语言表示?
提示 3是集合A中的元素,即3属于集合A,记作3∈A;4不是集合A中的元素,即4不属于集合A,记作4∉A.
3.[北师大版教材习题]用符号“∈”或“∉”填空:设A为所有亚洲国家组成的集合,则中国 A,美国 A,印度 A,英国 A.
知识点4 常用数集及其记法
过关自诊1.非负整数集与正整数集有何区别?
2.最小的自然数是什么?
提示 非负整数集包括0,而正整数集不包括0.
提示 最小的自然数是0.
3.[北师大版教材习题]用符号“∈”或“∉”填空:0 N,0 N+, -1 N,-1 Z, 3.14 Q,π Z, π Q,π R,
【例1】 给出下列各组对象:①我们班中比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的全体;④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥的近似值的全体.其中能够构成集合的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个
解析 ①②③⑥不能构成集合,因为没有明确的判断标准;④⑤可以构成集合,“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准.
规律方法 判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.
变式训练1 (1)下列各组对象中能构成集合的是( )A.著名物理家B.很大的数C.聪明的人D.小于3的实数
解析 只有选项D有明确的标准,能构成一个集合.
(2)下列各组对象可以构成集合的是( )A.数学必修第一册课本中所有的难题B.小于8的所有素数C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数
解析 A中“难题”的标准不确定,不能构成集合;B能构成集合;C中“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合;D中“小的正数”没有明确的标准,所以不能构成集合.
探究点二 元素与集合的关系
【例2】 (1)已知不等式2x-5<0的解集为M,则以下表示方法正确的是( )A.0∈M,3∈MB.0∉M,3∈MC.0∈M,3∉MD.0∉M,3∉M
(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.①0是不是集合A中的元素?②若-5∈A,求实数a的值;③若1∉A,求实数a的取值范围.
解 ①将x=0代入方程,得02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素.②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.③若1∉A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4.
规律方法 判断元素与集合的关系的两种方法(1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素构成的.(2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.若元素a属于集合A,则元素a就具有集合A中元素的特征;若元素a不属于集合A,则元素a就不具有集合A中元素的特征.
变式训练2 (1)给出下列关系:①- ∈R;②|-3|∉N;③|- |∈Q;④0∉N.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4(2)已知集合A中的元素x满足x=m2-n2(m,n∈Z),试判断下列元素与集合A之间的关系.①0;②3;③4;④若一个元素a∈A,试判断-a与集合A的关系,并说明理由.
解 ①∵0=m2-m2(m∈Z),∴0∈A.②∵3=22-12(2,1∈Z),∴3∈A.③∵4=22-02,∴4∈A.④由于a∈A,则一定存在m,n∈Z满足a=m2-n2,因此-a=n2-m2,结合m,n∈Z可知-a∈A.
探究点三 集合中元素的特性及其应用
【例3】 已知集合A含有3个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.
变式探究 本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制?
规律方法 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
本节要点归纳1.知识清单:(1)元素与集合的概念.(2)集合中元素的三个特性.(3)元素与集合的关系.(4)常用数集及其记法.2.方法归纳:分类讨论.3.常见误区:(1)易忽视集合中元素的互异性;(2)易弄错符号“∈,∉”连接的对象.
1.现有下列各组对象:①著名的数学家;②某校2022年在校的所有高个子同学;③不超过30的所有非负整数;④方程x2-4=0在实数范围内的解;⑤平面直角坐标系中第一象限内的点.其中能构成集合的是( )A.①③B.②③C.③④D.③④⑤
解析 ①著名的数学家无明确的标准,对某个数学家是否著名无法客观地判断,因此①不能构成一个集合;类似地,②也不能构成集合;③任给一个数,可以明确地判断它是不是“不超过30的非负整数”,因此③能构成一个集合;类似地,④也能构成一个集合;对于⑤,“在第一象限内”不仅可以用坐标系进行图示,也可以通过点的横、纵坐标是否都大于0来判断,标准是明确的,因此能构成一个集合.
2.已知1,x,x2三个实数构成一个集合,则x满足的条件是( )A.x≠0B.x≠1C.x≠±1D.x≠0且x≠±1
3.若以正实数x,y,z,w四个元素构成集合A,以A中四个元素为边长构成的四边形可能是( )A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形
解析 由于集合中的元素具有互异性,所以正实数x,y,z,w互不相等.因为平行四边形、菱形、矩形都有相等的边,而梯形四边不一定相等,故以集合A中四个元素为边长构成的四边形可能是梯形,故选A.
4.用符号∈或∉填空:(其中A表示由所有质数组成的集合)(1)1 A,2 A,3 A;
解析 (1)由2,3为质数,1不是质数,得1∉A,2∈A,3∈A.
5.若方程x2-ax+2=0的解集为M,且1∈M,则a= ,集合M中的另一个元素是 .
解析 由于1∈M,因此1是方程x2-ax+2=0的一个根,将1代入可得a=3,当a=3时,方程x2-3x+2=0的根是x=1或x=2,因此集合M中的另一个元素是2.
1.通过实例,了解集合的含义.2.掌握集合中元素的三个特性.3.理解元素与集合的“属于”关系.4.记住常用数集及其记法.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目 录 索 引
知识点1 元素与集合的概念
一般地,我们把 统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.把一些元素组成的 叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合.
名师点睛集合的三个特性(1)描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点” “线”“面”等概念一样,都只是描述性的说明.(2)整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.(3)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等.
过关自诊1.你能举例说出:初中阶段,我们在代数方面学习过的集合吗?
2.构成集合的元素有什么要求?
提示 自然数集合,有理数集合,实数集合,方程解的集合,不等式解的集合等.
提示 构成集合的元素除了常见的数、点、式子等数学对象,也可以是其他任何形式的对象,只要是有确定标准的对象即可,另外,一个集合也可以是另一个集合的元素.
3.观察下列每组对象能否构成一个集合:(1)不超过36的非负数;(2)方程x2-10=0在实数范围内的解;(3)某校2022年在校的所有成绩好的同学;(4)π的近似值的全体.
解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过36的非负数”,所以能构成集合.(2)能构成集合.(3)“成绩好”无明确的标准,对于某个同学算不算成绩好无法客观地判断,因此不能构成一个集合.(4)“π的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“3”是不是它的近似值,所以不能构成集合.
知识点2 集合中元素的特性
1.集合中元素的三大特性:确定性、互异性、无序性. 不分先后2.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
名师点睛对集合中元素的特性的理解(1)确定性是集合中元素的基本特征,没有确定性就不能构成集合.例如“课本中的难题”“聪明的孩子”,其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊,故都不能组成集合.(2)互异性是判断能否组成集合的另一标准,也是最容易被忽视的性质.例如:gd中的字母组成的集合中的元素是g,,,d,这句话是不对的,因为在这个单词中,字母“”虽然出现了两次,但如果归入集合中只能算作一个元素,根据互异性,正确的说法应为gd中的字母组成的集合中的元素有3个,分别为g,,d.
过关自诊1.改变一个集合中元素的顺序,这个集合还是原来的集合吗?
2.(1)由方程x2-4=0和x-2=0的根组成的集合中有 个元素.
(2)已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1,若-3是集合A中的元素,试求实数a的值.
解 因为-3是集合A中的元素,所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0,此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A含有两个元素-4,-3,符合要求.综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
知识点3 元素与集合的关系
过关自诊1.如何准确理解符号“∈”和“∉”?
提示 符号“∈”和“∉”用于表示集合的元素与集合之间的关系,只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换.
2.设集合A表示“1~10以内的所有素数”,则3和4这两个元素与集合A有什么关系?如何用数学语言表示?
提示 3是集合A中的元素,即3属于集合A,记作3∈A;4不是集合A中的元素,即4不属于集合A,记作4∉A.
3.[北师大版教材习题]用符号“∈”或“∉”填空:设A为所有亚洲国家组成的集合,则中国 A,美国 A,印度 A,英国 A.
知识点4 常用数集及其记法
过关自诊1.非负整数集与正整数集有何区别?
2.最小的自然数是什么?
提示 非负整数集包括0,而正整数集不包括0.
提示 最小的自然数是0.
3.[北师大版教材习题]用符号“∈”或“∉”填空:0 N,0 N+, -1 N,-1 Z, 3.14 Q,π Z, π Q,π R,
【例1】 给出下列各组对象:①我们班中比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的全体;④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥的近似值的全体.其中能够构成集合的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个
解析 ①②③⑥不能构成集合,因为没有明确的判断标准;④⑤可以构成集合,“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准.
规律方法 判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.
变式训练1 (1)下列各组对象中能构成集合的是( )A.著名物理家B.很大的数C.聪明的人D.小于3的实数
解析 只有选项D有明确的标准,能构成一个集合.
(2)下列各组对象可以构成集合的是( )A.数学必修第一册课本中所有的难题B.小于8的所有素数C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数
解析 A中“难题”的标准不确定,不能构成集合;B能构成集合;C中“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合;D中“小的正数”没有明确的标准,所以不能构成集合.
探究点二 元素与集合的关系
【例2】 (1)已知不等式2x-5<0的解集为M,则以下表示方法正确的是( )A.0∈M,3∈MB.0∉M,3∈MC.0∈M,3∉MD.0∉M,3∉M
(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.①0是不是集合A中的元素?②若-5∈A,求实数a的值;③若1∉A,求实数a的取值范围.
解 ①将x=0代入方程,得02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素.②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.③若1∉A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4.
规律方法 判断元素与集合的关系的两种方法(1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素构成的.(2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.若元素a属于集合A,则元素a就具有集合A中元素的特征;若元素a不属于集合A,则元素a就不具有集合A中元素的特征.
变式训练2 (1)给出下列关系:①- ∈R;②|-3|∉N;③|- |∈Q;④0∉N.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4(2)已知集合A中的元素x满足x=m2-n2(m,n∈Z),试判断下列元素与集合A之间的关系.①0;②3;③4;④若一个元素a∈A,试判断-a与集合A的关系,并说明理由.
解 ①∵0=m2-m2(m∈Z),∴0∈A.②∵3=22-12(2,1∈Z),∴3∈A.③∵4=22-02,∴4∈A.④由于a∈A,则一定存在m,n∈Z满足a=m2-n2,因此-a=n2-m2,结合m,n∈Z可知-a∈A.
探究点三 集合中元素的特性及其应用
【例3】 已知集合A含有3个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.
变式探究 本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制?
规律方法 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
本节要点归纳1.知识清单:(1)元素与集合的概念.(2)集合中元素的三个特性.(3)元素与集合的关系.(4)常用数集及其记法.2.方法归纳:分类讨论.3.常见误区:(1)易忽视集合中元素的互异性;(2)易弄错符号“∈,∉”连接的对象.
1.现有下列各组对象:①著名的数学家;②某校2022年在校的所有高个子同学;③不超过30的所有非负整数;④方程x2-4=0在实数范围内的解;⑤平面直角坐标系中第一象限内的点.其中能构成集合的是( )A.①③B.②③C.③④D.③④⑤
解析 ①著名的数学家无明确的标准,对某个数学家是否著名无法客观地判断,因此①不能构成一个集合;类似地,②也不能构成集合;③任给一个数,可以明确地判断它是不是“不超过30的非负整数”,因此③能构成一个集合;类似地,④也能构成一个集合;对于⑤,“在第一象限内”不仅可以用坐标系进行图示,也可以通过点的横、纵坐标是否都大于0来判断,标准是明确的,因此能构成一个集合.
2.已知1,x,x2三个实数构成一个集合,则x满足的条件是( )A.x≠0B.x≠1C.x≠±1D.x≠0且x≠±1
3.若以正实数x,y,z,w四个元素构成集合A,以A中四个元素为边长构成的四边形可能是( )A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形
解析 由于集合中的元素具有互异性,所以正实数x,y,z,w互不相等.因为平行四边形、菱形、矩形都有相等的边,而梯形四边不一定相等,故以集合A中四个元素为边长构成的四边形可能是梯形,故选A.
4.用符号∈或∉填空:(其中A表示由所有质数组成的集合)(1)1 A,2 A,3 A;
解析 (1)由2,3为质数,1不是质数,得1∉A,2∈A,3∈A.
5.若方程x2-ax+2=0的解集为M,且1∈M,则a= ,集合M中的另一个元素是 .
解析 由于1∈M,因此1是方程x2-ax+2=0的一个根,将1代入可得a=3,当a=3时,方程x2-3x+2=0的根是x=1或x=2,因此集合M中的另一个元素是2.
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