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专题04 恒成立和存在性问题 -高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版必修第一册)
展开恒成立和存在性问题
1 恒成立和存在性问题
单变量的恒成立问题
① 恒成立，则；
② 恒成立，则；
③ 恒成立，则；
④ 恒成立，则;
单变量的存在性问题
① 使得成立，则；
② 使得成立，则；
③ ，使得恒成立，则；
④ 使得 恒成立，则;
双变量的恒成立与存在性问题
① 使得 恒成立，则;
② 使得 恒成立，则;
③恒成立，则;
④使得 恒成立，则;
相等问题
① 使得，则两个函数的值域的交集不为空集；
② 使得，则的值域的值域
2 解题方法
恒成立和存在性问题最终可转化为最值问题，具体的方法有
直接最值法
分类参数法
变换主元法
数形结合法
【题型一】恒成立和存在性问题的解题方法
1 直接构造函数最值法
【典题1】 设函数的最大值是，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是 .
2 分离参数法
【典题1】 已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数k的取值范围为 .
【典题2】 已知，其中为常数
(1)当时，求的值；
(2)当时，关于的不等式恒成立，试求的取值范围；
3 变换主元法
【典题1】对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
4 数形结合法
【典题1】已知当时，有恒成立，求的取值范围.
【题型二】 恒成立与存在性问题混合题型
【典题1】已知函数．
(1)若对任意，任意都有成立，求实数的取值范围．
(2)若对任意，总存在使得成立，求实数m的取值范围．
.
【典题2】 设，，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是 ．
巩固练习
1(★★) 已知对一切上恒成立，则实数的取值范围是 ．
2(★★) 若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 ．.
3(★★) 若不等式在内恒成立，实数的取值范围是 ．
4(★★★) 已知函数，，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 ．
5(★★★) 已知且，函数，．
(1)求的单调区间和值域；
(2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围；
(3)若对于任意，任意，都有恒成立，求的取值范围．
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