数学必修 第一册1.1 集合的概念随堂练习题

集合的含义与表示

元素与集合的概念

一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).

集合的元素特征

① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了. 
   Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合.

② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的. 
   Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别.

       若集合，就意味且.      

③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.

   Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，.

元素与集合的关系

若是集合的元素，则称属于集合，记作； 
若不是集合的元素，则称不属于集合，记作. 
Eg：菱形，.

脑筋急转弯 你能证明上帝不是万能的么？

答案：如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？)

常用数集 
自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作；

有理数集，记作；实数集，记作. 

集合的分类

有限集，无限集，空集.

Eg：奇数集属于无限集，.

集合的表示方法

① 列举法 
把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法.

② 描述法 
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法. 
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：. 
用符号描述法表示集合时应注意： 
弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？ 
元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑. 
Eg：

———方程的解，即； 
———不等式的解集，即； 
———函数的定义域，即；

———函数的值域，即； 
———函数的图像，它是个点集.

【典题1】下列说法正确的是 (    ) 
某个村子里的高个子组成一个集合； 
所有小的正数组成的集合； 
集合和表示同一个集合； 
这些数组成的集合有五个元素. 

【解析】由于高个子、小的没有一个明确的标准，的对象不具备确定性；

中的三个数相等，相等，故集合只有个元素；

集合具有无序性，所以是正确的；故选.

【点拨】本题考核集合元素的三要素.

【典题2】设集合，若则        .

【解析】   或，

若则此时；

若则或

时，；

时则不符合集合的互异性，故.

综上 或．

【点拨】 本题考核集合元素的特征和元素与集合的关系；

当时此时不符合集合的互异性，故.

故求出集合后最好做下检查.

【典题3】用列举法表示集合　      　.

【解析】根据，且可得：

时，；时，；时，；

时，； 时，；  时，；

．

【点拨】

① 看集合先确定元素类型(本题中元素是，而不是)，再看元素需要满足的条件；

② 集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合.

【典题4】 若集合至多有一个元素，则的取值范围是　　．

【解析】集合至多有一个元素，

或解得或

的取值范围是．

【点拨】注意二次项系数是否等于，先确认函数类型.

巩固练习

1 (★) 下列各组对象能构成集合的是(　　)

A．充分接近的所有实数  B．所有的正方形

C．著名的数学家          D．1，2，3，3，4，4，4，4

【答案】 B

【解析】 选项不满足集合的确定性；集合正方形是确定的，

故能构成集合；选项不满足集合的互异性．

故选：．

2(★) 以实数为元素所组成的集合最多含有(　　)个元素．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】

【解析】当时此时集合共有2个元素；

当时此时集合共有1个元素；

当时此时集合共有2个元素，

故由以实数为元素所组成的集合最多含有元素的个数为2个．

故选：．

3(★) 下面有四个命题：

(1)集合中最小的数是；               (2)是自然数；

(3)是不大于的自然数组成的集合；(4)，则不小于.        .

其中正确的命题的个数是   (  )

A．１个  B．2个  C．3个   D．4个

【答案】  

【解析】 (1)集合中最小的数是0，(2)对，(3)不大于的自然数组成的集合是，(4)因为，所以可能小于，因此只有(2)是对的，故选A.

(★★) 设集合，，，若，则    (　　) 
 

【答案】  

5(★★) 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是(　　)

A．  B．  C．  D．

【答案】 

【解析】根据题意，分4种情况讨论；

①、全部为负数时，则xyz也为负数，则，

②、中有一个为负数时，则xyz为负数，则，

③、中有两个为负数时，则xyz为正数，则，

④、全部为正数时，则也正数，则；

则；

分析选项可得符合．

6(★★) 点的集合是指(　　)

A．第一象限内的点集          B．第三象限内的点集

 C．第一、第三象限内的点集   D．不在第二、第四象限内的点集

【答案】 

【解析】 指和同号或至少一个为零，故为第一或第三象限内的点或坐标轴上的点．故选

7(★★) 已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成则　 　．

【答案】

【解析】根据题意，由可得或，

又由的意义，则必有0

则，

则有即或

集合中则必有

则

故答案为：

(★★) 若集合中只有一个元素，则实数的值为   ．

【答案】或

【解析】由集合中只有一个元素，

当时即成立；

当时解得．成立．

综上或．

(★★) 用列举法表示集合　    ．

【答案】 ．

【解析】根据题意，，

又因，，且是的整数倍，

或或，或或，

集合．

故答案为：．

10 (★★) 集合的元素个数为       

【答案】

【解析】由题意，集合中的元素满足是整数，且是整数，

由此可得，，，，，，，，，，，；

此时的值分别为：，

符合条件的共有个，

11 (★★) 用列举法表示下列集合

(1)以内偶数的集合；

(2)方程的所有实数根组成的集合；

(3)一次函数与的图象的交点组成的集合．

【解析】(1)；

(2)解方程，得，

故方程的所有实数根组成的集合为；

(3)解方程组得，

因此一次函数与的图象的交点为，故所求的集合为．

12 (★★★) 已知集合

1)若是空集，求的取值范围；

2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来；

3)若中至多只有一个元素，求的取值范围

【答案】  1) ; 2) 若，则有；若 ，则有；3) 或.

【解析】 1)若是空集，则方程无解，此时且，即.

2)若中只有一个元素

则方程有且只有一个实根

当时，方程为一元一次方程，满足条件；

当，此时，解得.

或

若，则有；若 ，则有；

3)若中至多只有一个元素，

则为空集，或有且只有一个元素

由(1)，(2)得满足条件的的取值范围是：或.