高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件精品当堂检测题

1.4 充分条件与必要条件

1.5 全称量词和存在量词

1充分条件与必要条件

①       概念

一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出.

这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件.

如果若，则和它的逆命题若，则均是真命题，

即既有，又有，就记作，

此时即是的充分条件也是必要条件，我们说是的充要条件.

② 是的______条件(填写是否充分、必要)

完成此题型，可思考

从左到右，若则充分，若则不充分；

从右到左，若则必要，若则不必要.

Eg：帅哥是男人的______条件.

从左到右，显然若是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；

从右到左，若是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.

③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围

命题对应集合，

   若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件.

备注 若，则称为小范围，为大范围.

Eg1：帅哥是男人的______条件.

设集合帅哥，集合男人，显然，帅哥是小范围，推得出男人这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.

Eg2：是的不充分必要条件，因为.

结论

① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则；

③ 若是的充分条件，则；      ④ 若是的必要条件，则；

⑤ 若是的充要条件，则.

2 全称量词与存在量词

① 全称量词

短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示．

含有全称量词的命题称为全称命题．

全称命题对中任意一个，有成立，记作．

Eg：对所有末位数是的数能被整除，.

② 存在量词

短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示．

含有存在量词的命题称为特称命题．

特称命题存在中的一个，使成立，记作.

Eg：至少有一个质数是偶数，.

③ 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的.

Eg：的否定是.

是真命题，是假命题.

【题型一】 充分条件与必要条件

【典题1】 设，则是的      (　　)

充分不必要条件 必要不充分条件 

充分必要条件 既不充分也不必要条件

【解析】可知，而，．

反之不成立，例如a，，满足，但不成立.

是的充分不必要条件．故选：． 

【点拨】

① 以为已知，可以推出这个结论，所以是的充分条件；若要判断某个命题是对的，只能去证明它；

② 证明推不出，即判断某个命题是错的，举一个反例就行，这点做非解答题时多多注意，可称之为取特殊值否定法；

③ 思考：本题可从集合的角度去判断么？

【典题2】 若是正整数，则充要条件是(　　)

 有一个为 

 且

【解析】，

，

是正整数，，，

则，，，

若，则，

即或，即有一个为，

即充要条件是有一个为，故选．

【点拨】

②       本题求充要条件就相当于“当是正整数，由可以等价推导出什么结论”；

② 是充要条件就是相当于两个命题是等价的，这个很重要，有一种数学思想叫做“等价转化”，在推导问题的过程中经常遇到它，这需要严谨的逻辑分析.

【典题３】 若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【解析】由得或，即不等式的解集为，

由得，

若，则不等式的解为，此时不等式的解集为为，

若，则不等式的解集为，

若，不等式的解集为，

(求解含参的不等式，注意分类讨论)

若是的必要不充分条件，则，

(从集合的角度去思考充分必要条件问题)

则当时，不满足条件．

当时，则满足，即，得，

当时，则满足，得，得．

综上实数的取值范围或.

【点拨】

① 本题涉及含参的一元二次不等式的求解，要注意两个根的大小比较，才有了

的分类；

② 从集合的角度去理解充分条件和必要条件，记住“小范围推得出大范围”.

巩固练习

1 (★★) 已知则“”的一个必要不充分条件是  (　　)

    ．        

【答案】

【解析】由已知可得：A是既不充分也不必要条件；B是充分不必要条件；C是必要不充分条件；D是充要条件．故选：．

2 (★★★) 设，命题，命题，则是的  (　　)

 .充分不必要条件 .必要不充分条件  .充分必要条件 .既不充分也不必要条件

【答案】

【解析】若，即有；

若，显然有；

若，则，

而，，所以，

故可以推出．

若，当时，如果，不等式显然成立，此时有；

如果，则有，因而；

当时，，此时有，

因而，故可以推出．

故选：．

3 (★★) 在关于的不等式中，“”是“恒成立”的(　　)

.充分不必要条件 .必要不充分条件 .充要条件   .既不充分也不必要条件

【答案】  

【解析】在关于的不等式中，

当时，，

恒成立，

当时，，

恒成立，

是恒成立的充要条件．

故选：C．

4 (★★★) 已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为       .

【答案】

【解析】命题，，即，

是的必要不充分条件，

，，解得．

实数的取值范围为．

5 (★★★) 已知，：关于的不等式恒成立．

(1)当时成立，求实数的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】  

【解析】(1)，，，

实数的取值范围为：．

(2)，

设，，

是的充分不必要条件，

①由(1)知，时，，满足题意；

②时，，满足题意；

③时，，满足题意；

④，或时，设，

对称轴为，由得或，

或，

或，

或

综上可知：

【题型二】 全称量词与存在量词

【典题1】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：

；           所有可以被整除的整数，末位数字都是；

；    存在一个四边形，它的对角线互相垂直．

【解析】全称命题，当时，结论不成立，所以为假命题．

命题的否定：.

全称命题，所有可以被整除的整数，末位数字都是或；为假命题．

命题的否定：存在可以被整除的整数，末位数字不都是；(这里不能写“都不是”)

特称命题，，所以结论不成立，为假命题．

命题的否定：

特称命题，菱形的对角线互相垂直，真命题．

命题的否定：任意的四边形，它的对角线不互相垂直．

【点拨】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.

【典题2】若命题“时，”是假命题，则的取值范围　    　．

【解析】  是假命题，

该命题的否定是真命题，

即方程在上有解，

，解得.

【点拨】

①命题与命题的否定的真假性相反；

②正面不好证明，可从反面入手.

巩固练习

1 (★)  命题“”的否定是　    　.

【答案】

【解析】因为特称命题的否定是全称命题，

所以命题的否定是．

2 (★★) 若命题，”是假命题，则实数的取值范围是　   　．

【答案】 [] 

【解析】命题的否定为，

命题”是假命题，

为真命题，

则，解得．

实数的取值范围是：[]．

3 (★★) 已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是　 ．

【答案】

【解析】命题为真命题

等价于上有解，

令，则等价于，

，

挑战学霸

设数集满足下列两个条件：

(1)，；(2)或，则．

现给出如下论断：

①中必有一个为；②中必有一个为；

③若且，则；④存在互不相等的，使得．

其中正确论断的个数是(　　)

A． B． C． D．

 【解析】由(2)知不属于(①不成立)，

由(1)可推出对于任意，

等于中的某一个，

不妨设，

，(由(1)知②成立)，

若③中，则，

由(1)知，即，

时③成立，

同理有时③成立和时③成立，

下面讨论时，

，若，则，③成立(最后会证到即可能等于1)，

若，则中的某个等于1，

不妨设，由知，

由(1)知，又(即)，(即)，(即)，

，

同理有，

，，，

，③成立，

综上，对于任意，有成立，即③成立，

由即的讨论可知

当时，，(联立解出)

此时，④成立，

若即，则，由1知，

若，则，不可能，

若，则，不可能，

若，则，不可能，

，

，

同理有，

的平方根有且只有两个值，

那么中至少有两个相同，这与同属于矛盾，

不存在即的情况，

④成立．

故选：．