2022-2023学年福建省泉州市铭选中学、泉州九中、侨光中学三校高二下学期期末联考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年福建省泉州市铭选中学、泉州九中、侨光中学三校高二下学期期末联考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省泉州市铭选中学、泉州九中、侨光中学三校高二下学期期末联考数学试题

一、单选题
1．已知为等差数列，，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用基本量法可求公差和首项，从而可求.
【详解】设等差数列的公差为，则，
故，故，
故选：A.
2．一钟表的秒针长，经过，秒针的端点所走的路线长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算出秒针走过的弧度数，结合扇形的弧长公式可求得结果.
【详解】经过，秒针走过的弧度为，
因此，秒针的端点所走的路线长为.
故选：C.
3．的展开式中，的系数等于（    ）
A． B． C．10 D．45
【答案】D
【分析】由二项式展开式的通项公式即可求出的系数.
【详解】的通项为，
令，解得，
所以项的系数为：.
故选：D
4．已知等比数列满足，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由等比中项的性质可求出，然后对化简变形可求得结果.
【详解】因为等比数列满足，所以，
因为，所以，
所以，所以，
故选：A
5．已知函数，则（    ）
A．12 B．6 C．3 D．
【答案】B
【分析】先求导计算出，再由导数的定义得即可求解.
【详解】∵，∴，
∴．
故选：B．
6．我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、 宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中至少有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概型的概率公式求出和，再利用条件概率公式计算作答.
【详解】依题意，，
所以.
故选：D
7．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象离原点最近的对称轴为，若满足||≤，则称f(x)为“近轴函数”．若函数y＝2sin(2x－φ)是“近轴函数”，则φ的取值范围是(    )
A． B．
C．∪ D．
【答案】C
【分析】根据题意求出y＝2sin（2x－φ）靠近原点的对称轴，解不等式||≤即可得到φ的范围﹒
【详解】靠近原点的对称轴为，
则，
要为近轴函数，则，∵，
∴，
，
或
解得φ∈，
故选：C．
8．设偶函数在上的导函数为，当时，有，则下列结论一定正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将变形为，从而可构造函数，判断其单调性以及奇偶性，由此代入数值，一一判断各选项，即可得答案.
【详解】当时，有，即，
令，则，
即在上单调递增，
又为偶函数，则，即为偶函数，
故，即，
即，故A错误，C正确；
由，即，即，B错误；
而，故，则不一定成立，D错误，
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要能根据已知不等式的结构特征，进行变形，从而构造出函数，进而判断其单调性，即可解决问题.

二、多选题
9．每年4月23日为“世界读书日”，树人学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表：
月份
二月
三月
四月
五月
六月
月份代码x
l
2
3
4
5
月借阅量y（百册）
4.9
5.1
5.5
5.7
5.8
根据上表，可得y关于x的经验回归方程为，则（    ）
A．
B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位数为5.7
C．y与x的线性相关系数
D．七月的借阅量一定不少于6. 12万册
【答案】ABC
【分析】对于A：根据回归方程必过样本中心点分析运算；对于B：根据百分位的定义分析运算；对于C：根据相关系数的概念分析理解；对于D：取，代入回归直线分析运算.
【详解】对于A：因为，，
所以，得，所以A正确；
对于B：因为5×75%=3.75，所以借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位数为5.7，所以B正确；
对于C：因为，所以y与x的线性相关系数，所以C正确；
对于D：由选项A可知线性回归方程为，
当，则，
所以七月的借阅量约为6. 12百册，所以D错误；
故选：ABC.
10．若满足，，则可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用特殊角的三角函数值求解.
【详解】因为，，
所以或，
因为，
所以或，
所以
或，
或，
因为范围不定，
当时，，当时，=，
故选：AC
11．设随机变量的分布列如表：

1
2
3
…
2020
2021




…


则下列说法正确的是（    ）
A．当为等差数列时，
B．数列的通项公式可能为
C．当数列满足时，
D．当数列满足时，
【答案】BD
【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，结合数列的特性逐项分析判断作答.
【详解】对于A，由为等差数列，得前2021项和，则有，A错误；
对于B，若数列的通项公式为，
则前2021项和，B正确；
对于C，依题意，数列前2021项和，则有，C错误；
对于D，令，则，，
因此当时，，D正确.
故选：BD
12．定义在上的函数，其导函数分别为，若，，则（    ）
A．是奇函数
B．关于对称
C．周期为4
D．
【答案】ABD
【分析】对于选项A，利用已知条件，即得结果.对于选项B，由题意可推导出为偶函数，为奇函数，所以，即即可证明；对于选项C，由关于对称和关于对称，即得结果.对于选项D，通过赋值，利用C中推导的结论和已知条件，由等差数列的前项和即得结果.
【详解】因为可得为偶函数，所以，则为奇函数，故A正确；
因为，偶函数，时偶函数，
所以为偶函数，所以关于对称，
因为，为奇函数，为奇函数，
所以为奇函数，关于对称，
，
则其中为常数，又故，有关于对称，B正确；
令等价于，，所以，
因为关于对称，所以，
所以令等价于，所以，所以，
故可看成数列，
而因为关于对称，所以，，
故是以为首项，为公差的等差数列，
是以为首项，为公差的等差数列，
所以没有周期性，故C不正确；

，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：
①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；
②若连续且可导，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称.

三、填空题
13．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为 .
【答案】
【分析】把点到平面距离问题转化为向量数量积问题求解．
【详解】解：，0，，点到平面的距离为．
故答案为：.
14．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 .
【答案】
【分析】运用导数的几何意义进行求解即可.
【详解】由，所以，而，
所以切线方程为：，令，得，
令，得，所以三角形的面积为：，
故答案为：
15．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有支救援队前往，，等个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是 .
【答案】
【分析】由题意可知，若甲去点，则剩余4个救援队，可只去两个点，也可分为3组去，，，个点，分别求出安排种法，相加即可得出甲去点的安排方法，同理，即可得出甲去点的安排方法，即可得出答案.
【详解】若甲去点，则剩余4个救援队，可只去，两个点，也可分为3组去，，，个点.
当剩余4个救援队只去，两个点时，救援队个数分配为，或，，
此时的分配方法有；
当剩余4个救援队分为3组去，，，个点时，先从4个救援队中选出2个救援队，即可分为3组，
然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有，
综上可得，甲去点，不同的安排方法数是.
同理，甲去点，不同的安排方法数也是，
所以不同的安排方法数是.
故答案为：.

四、双空题
16．有一批同规格的产品，由甲乙丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙各厂分别生产2500件、3000件、4500件，而且各厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从中任取一件，则取到次品的概率为 ，如果取得零件是次品，计算它是甲厂生产的概率 ．
【答案】 /0．0525
【分析】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率，利用条件概率公式可求出取得零件是次品，则它是甲厂生产的概率
【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，则彼此互斥，且,
，，，
设取一件产品，取到的是次品为事件，则



如果取得零件是次品，那么实验它是甲厂生产的概率为


,
故答案为：，

五、解答题
17．设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，

，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
18．已知等比数列的首项为，前项和为，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和.（表示不超过的最大整数）
【答案】(1)；
(2)3186.

【分析】（1）根据，，成等差数列求得公比，再结合首项直接写出通项公式即可；
（2）根据的定义，求出，再并项求和即可求得结果.
【详解】（1）因为，，成等差数列，所以，
所以，
即，设的公比为，则，
所以.
（2）依题意，，
则



.
19．如图，在正三棱柱中，点在棱上，且.
  
(1)求证：平面；
(2)若正三棱柱的底面边长为，二面角的大小为，求直线到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据正三棱柱和得，即可得D是AB的中点，从而由中位线得，证明结论.
（2）由二面角的大小为，解得平面的一个法向量，根据第一问的平行和点到平面的距离公式得出答案.
【详解】（1）在正三棱柱中，是侧棱，所以平面ABC，
又平面ABC，所以.
又，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，又因为，所以D是AB的中点.
如图，连接，交于点M，连接DM.因为M是的中点，
所以DM是的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面.
  
（2）取的中点，可知，所以平面ABC.以D为原点，
分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设三棱柱的高为h，则，，，，，，，，.
设平面的一个法向量为，则，取，得.
设平面的一个法向量为，则，
取，得.
所以，解得，所以，
由（1）知平面，所以直线到平面的距离即点A到平面的距离，
因为，所以直线到平面的距离为.
  
20．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：
第年
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
旅游人数（万人）
300
283
321
345
372
435
486
527
622
800

该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．
（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（精确到个位，精确到0．01）．
（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．
回归方程
①
②

30407
14607
参考公式、参考数据及说明：
①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果的相关指数；③参考数据：，．






5．5
449
6．05
83
4195
9．00
表中．
【答案】（1）；（2）回归模型②的拟合效果更好，987
【分析】（1）对取对数，得，设，，先建立关于的线性回归方程.
（2）根据所给数据计算，，即可判断那种模型的拟合效果更优，再代入数据计算可得.
【详解】解：（1）对取对数，得，设，，先建立关于的线性回归方程.
， ，
，模型②的回归方程为.
（2）由表格中的数据，有30407>14607，即，
即，，模型①的相关指数小于模型②的，
说明回归模型②的拟合效果更好.
2021年时，，
预测旅游人数为（万人）.
【点睛】本题考查非线性回归分析，以及相关程度检验，属于基础题.
21．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数在上的最小值.
【答案】(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；
（2）首先求函数的导数，化简为，再讨论和两种情况讨论函数的单调性，再求函数的最值.
【详解】（1）当时，
所以.
所以曲线在处的切线方程为：.
（2）.
①当时，.
所以时，.
所以在上是增函数.所以.
②当时，令，解得（舍）
1°当，即时，时，.
所以在上是增函数.所以.
2°当，即时，
x




-
0
+

减函数
极小值
增函数
所以.
3°当，即时，时，.
所以在上是减函数.所以.
综上，当时，；
当时，.
当时，.
22．相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到以上.某健身连锁机构对其会员的年龄等级和一个月内到健身房健身次数进行了统计，制作成如下两个统计图.图1为会员年龄分布图（年龄为整数），其中将会员按年龄分为“年轻人”（20岁—39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类；图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图，其中将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”.
  
(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图表数据，补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以认为“健身达人”与年龄有关？

年轻人
非年轻人
合计
健身达人



健身爱好者



合计



(2)该健身机构在今年年底将针对全部的150名会员举办消费返利活动，预设有如下两种方案.
方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”给予奖励.其中，健身爱好者和健身达人中的“幸运之星”每人分别奖励500元和800元.
方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为2，则可获得100元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励.
如果每位健身爱好者均可参加1次摸奖游戏；每位健身达人均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）.以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.
附：.

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)列联表见解析，“健身达人”与年龄无关
(2)施行方案1投资较少，理由见解析

【分析】（1）根据题意计算相关数据填好列联表，利用公式计算，对照参考数据得出结论；
（2）按分层抽样计算方案1奖励的总金额；方案2中，设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则的可能取值为，计算对应概率，得出分布列，数学期望，进而计算按照方案2奖励的总金额，比较即可得出答案.
【详解】（1）根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为，
则年轻人人数为，非年轻人为20人，
根据图2表格得健身达人所占比，所以其人数为，
根据其中年轻人占比，所以健身达人中年轻人人数为，非年轻人为10人；
健身爱好者人数为，再通过总共年轻人合计为80人，
则健身爱好者中年轻人人数为，
根据非年轻人总共为20人，健身爱好者中非年轻人人数为，
所以列联表为：

年轻人
非年轻人
合计
健身达人
50
10
60
健身爱好者
30
10
40
合计
80
20
100
零假设为：“健身达人”与年龄无关联，
根据列联表中的数据，可得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即“健身达人”与年龄无关.
（2）方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”，
则“幸运之星”中的健身爱好者和健身达人的人数分别为
，
按照方案1奖励的总金额为（元）.
方案2：设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，
全部的150名会员中的健身爱好者和健身达人的人数分别为
，
则的可能取值为.
由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为，
所以，
，
.
所以的分布列为：

0
100
300




数学期望为（元），
按照方案2奖励的总金额为（元），
因为由，所以施行方案1投资较少.