福建省泉州市三校（铭选中学、泉州九中、+侨光中学）2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试题

铭选中学、泉州九中、侨光中学

2023年春季高一年期中联考数学试卷

（考试时间：120分钟   满分：150分）

命题者：陈佳妮 张旭阳  审核者：骆毓青

一、单选题(5×8=40）

1．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知两个向量，，若，则x的值为（    ）

A． B． C． D．

3．在下列区间中，函数在其中单调递减的区间是（    ）

A． B． C． D．

4．在中，内角所对的边分别是.已知，则的大小为（    ）

A．或 B．或 C． D．

5．已知，是同一平面内互相垂直的两单位向量，且，则与夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

7．在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（    ）

A． B． C． D．4

8．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题(5×4=20)

9．若，，则（    ）

A． B．

C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为

10．把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．最小正周期为              B．图象的一条对称轴为直线

C．图象的一个对称中心为  D．在区间上的最小值为

11．如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（    ）

A．是等边三角形   B．若，则，，，四点共圆

C．四边形面积最大值为  D．四边形面积最小值为

12．设，函数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则    B．若的值域为，则

C．若函数在区间内有唯一零点，则

D．若对任意的，且都有恒成立，则

三、填空题(共20分)

13．若复数是纯虚数，则实数m=____.

14．已知，与的夹角为，则 ______.

15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为___________m．

16．记锐角的内角，，的对边分别为，，，且，若，是的两条高，则的取值范围是______.

四、解答题(共10+12+12+12+12+12=70分)

17．已知平面向量，，.

(1)若，求；

(2)若与的夹角为锐角，求的取值范围.

18．已知函数．

(1)当时，求函数的最大值；

(2)若，求的值．

19．在平面四边形ABCD中，，，.

(1)若△ABC的面积为，求AC；(2)若，，求.

20．如图，在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，若.

(1)，求的值；

(2)求证：，并求的最小值.

21．锐角的三个内角是、、，满足．

(1)求角的大小及角的取值范围；

(2)若的外接圆圆心为，且，求的取值范围．

22．为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知，，，.

(1)若时，求护栏的长度（△MNC的周长）；

(2)当为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？

铭选中学、泉州九中、侨光中学

2023年春季高一年期中联考数学参考答案

1．D 

【详解】因为，以z在复平面内对应的点为（7，-1），位于第四象限．

2．A

【详解】若，则，解得.

3．B

【详解】由得，，

的减区间是，，

只有选项B的区间，

4．C

【详解】因为，所以，又因，所以，所以.

5．D

【详解】由题意，，，故与夹角的余弦值

6．A

【详解】因为，所以，

所以，则.

因为，则，故，

所以.

7．B   【详解】如下图所示：

，

由平面向量数量积的定义可得，

因此，

.

8．A【详解】由题意知：或

∴或

∴或

∵在上单调递减，∴

∴

①当时，取知

此时，当时，

满足在上单调递减，∴符合

取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合

当时，，舍去，当时，也舍去

②当时，取知

此时，当时，

，此时在上单调递增，舍去

当时，，舍去，当时，也舍去

综上：或2，.

故选：A.

9．AD

【详解】解：因为，，所以，，，

所以，，则，，故A正确，B错误；

设与的夹角为，则，因为，所以，故C错误；

在方向上的投影向量为，故D正确；

10．AB【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，得，

再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得，

则函数的最小正周期，故A正确；

因为，所以图象的一条对称轴为直线，故B正确

因为，所以不是函数图象的一个对称中心，故C错误；

当时，，所以，故D错误；

11．AC

【详解】由正弦定理，

得，

，

，B是等腰的底角，，

是等边三角形，A正确；

B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补，

由A正确知，

但由于时，

，

∴B不正确．

C正确，D不正确：

设，则，

，

，

，

，

，

，

，∴C正确，D不正确；

故选：AC.．

12．BCD

【分析】根据正弦函数的周期性判断A，对和分别计算函数的取值情况，即可得到不等式组，从而判断B、C，依题意对任意的，且都有恒成立，即在上单调递增，从而各段均单调递增，且断点处函数值需满足右侧的不小于左侧的，即可得到不等式组，解得即可判断D；

【详解】解：因为，

对于A：，所以或，，

解得或，，故A错误；

对于B：若的值域为，当时，

当时且，

所以，解得，故B正确；

对于C：若函数在区间内有唯一零点，

①又，即时，当时，此时，

所以函数在上单调递增，且，

当时且，

即函数在上单调递减，此时函数必有且仅有一个零点，符合题意；

②，即，则当时且

即函数在上单调递增，即在上不存在零点，

要使函数只有一个零点，在上有且仅有一个零点，故，解得，综上可得，故C正确；

对于D：对任意的，且都有恒成立，

即对任意的，且都有恒成立，

即在上单调递增，所以，解得，故D正确；

故选：BCD

13．2  由题意，，解得

14．0【详解】因为，与的夹角为，

所以，

15．

【详解】因为，，所以，，所以，

又因为，所以，，

在中，由正弦定理得，即，解得，

在中，由余弦定理得，

所以，解得．

故答案为：

16．

【分析】根据正弦定理进行边角互化，可得角，再根据高线的性质可得，再利用边角互化，结合三角函数值域可得范围.

【详解】由，得，

再由正弦定理得，故，

所以，

故，

又为锐角三角形，

故，即，

，

故，

故答案为：.

17．（共10分） 

解：（1），，解得：或，     ------------2分

当时，，；             ------------1分

当时，，；             ------------1分

综上所述：或10                                       ------------1分                                  

（2）若共线，则，解得：或，        ------------2分

当时，，，此时同向；

当时，，，此时反向；

若与的夹角为锐角，则，解得：且，--------2分

的取值范围为.                                  ------------1分

18．（共12分）

解：（1）依题意，，

                                                              -------------3分

当时，，                             -------------1分

则当，即时，，

所以当时，.                               -------------2分

（2）因为，则由（1）知，，即，------1分

所以

.                                           ---------------5分

19．（共12分）

解：（1）在△中，，，

∴，可得，               -------------3分

在△中，由余弦定理得，

.                                                 -------------3分

（2）设，则，

在中，，易知：，      -------------2分

在△中，由正弦定理得，即， ------2分    

，                                          -------------1分

可得，即.                              -------------1分

20．（共12分）

解（1），

故，                                                  -------------5分

（2），三点共线，故，

即，                                              -------------3分

，------------3分

当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.------------1分

21．（1）解：设的三个内角、、的对边分别为、、，

因为 ，由正弦定理可得，...........1分

所以，，................1分

故， ...............1 分 因为为锐角三角形，则........1分

解得，所以，角的取值范围是.........1分（求出就可以得1分）

（2）解：设的外接圆半径为，所以，

........1分

设，则，则，

所以..................1分

.............................1分

，........................1分

因为，所以，

所以..........2分，

所以，

所以，，

所以的取值范围为....................1分

22．（共12分）

(1)由，，，则，------------1分

所以，，则，                  -------------1分

在△ACM中，由余弦定理得，则，

                                                                -------------1分

所以，即，又，              -----------1分

所以，则，                      -----------1分

综上，护栏的长度（△MNC的周长）为.       -----------1分

(2)

设，           

在△BCN中，由，得，            -----------1分

在△ACM中，由，得，      -----------1分

所以，                 -----------1分

而，

                                                            -----------2分

所以，仅当，即时，有最大值为，                                        

此时△CMN的面积取最小值为.               -----------1分