福建省泉州市三校（铭选中学、泉州九中、+侨光中学）2022-2023学年高二下学期4月期中联考数学试题

这是一份福建省泉州市三校（铭选中学、泉州九中、+侨光中学）2022-2023学年高二下学期4月期中联考数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

铭选中学、泉州九中、 侨光中学
2023春季高二年期中联考数学试卷
（考试时间：120 分钟 满分：150 分 ）
命题者：陈美珠 林公兴 审核者： 林公兴
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（    ）
A．1 B．2 C．4 D．8

2．将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）
A． B． C． D．

3．随机变量的分布列如下表，若，则（    ）





A．0 B．2 C．3 D．4

4．函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
5．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（    ）
A． B． C． D．

6． 在某互联网大会上，为了提升安保级别，将甲、乙等5名特警分配到3个不同的路口
执勤，每个人只能分配到1个路口，每个路口最少1人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（    ）
A．180种 B．150种 C．96种 D．114种

7． 定义在R上的函数满足，是的导函数，且，
则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（    ）．
A． B．
C． D．

8．已知函数，若的图像与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．


二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每个小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的5分，部分选对的2分，有选错的0分。
9．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是（    ）
A．二项展开式中各项系数之和为
B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项
D．二项展开式中系数最大的项为
10．正方体的棱长为2，E，F，G分别为的中点，则（    ）

A． 直线与直线垂直 B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点C到平面的距离为

11． 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和
一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，
第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第一次抽到2号球且第二次抽到1号球的概率为
C第二次抽到3号球的概率为
D如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大


12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）
A．函数的图像关于原点对称
B．若在R上单调递增，则
C．当时，函数恰有两个零点
D．当时，函数恰有两个极值点

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中x的系数是______.

14.在杨辉三角中，图中虚线上的数、、、、......依次构成数列，
则___________（用数字作答）


15.某集团第一年年初给下属企业甲制造厂投入生产资金万元，到年底资金增长了，以后每年资金年增长率与第一年相同.集团要求甲制造厂从投入生产资金开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底甲制造厂上缴资金后的剩余资金为万元，若，则正整数的最小值为_____________.
（取，）

16.已知函数，对任意的，恒成立，
则的取值范围是__________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
除17题为10分外，18~22题均为12分．）

17.已知函数在处有极值，且曲线在点处
的切线与直线平行．
(1)求；
(2)若方程在区间上有三个不同的根，求的取值范围．




18．已知数列满足（）
(1)求数列的通项公式：
(2)设为数列的前项和




19．如图1，在菱形中，为的中点，.现将沿翻折至，并连接，得到如图2所示的四棱锥，且.

(1)证明：；
(2)在棱上是否存在点，使得与平面所成的角的正弦值为
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.






20．已知数列的首项为1，令．
（1）若为常数列，求的解析式；
（2）若是公比为3的等比数列，试求数列的前项和．



21． 如图是飞行棋部分棋盘图示，飞机的初始位置为0号格。抛掷一个质地均匀的骰子，
若拋出的点数为1，2，飞机在原地不动；若抛出的点数为3，4，飞机向前移一格；若抛
出的点数为5，6，飞机向前移两格。记事件为“抛掷骰子一次后，飞机到达1号格”，
记事件为“抛掷骰子两次后，飞机到达2号格”。

(1)求；并判断事件是否独立，并说明理由；
(2)抛掷骰子2次后，记飞机所在格子的号为，求随机变量的分布列和数学期望．






22．已知函数
(1)当时，讨论函数的单调性：
(2)若函数恰有两个极值点且，
求的最大值．












铭选中学、泉州九中、 侨光中学
2023春季高二年期中联考数学参考答案20230420
1-8:C D B B A D A A 9.ABD 10.BCD 11.AD 12.ABD
13. 14. 220 15.6 16.
17.解：函数的导函数为， ....... 1分
由题意得即，解得， ....... 3分
， ....... 4分
经检验，符合题意， ....... 5分
；
(2)解：由（1）得， ....... 6分
当或时，，
当时，，
所以函数在和上递增，在上递减， .......7分
函数在处取得极大值，在处取极小值， ....... 8分
，，，， ...... 9分
因为方程在区间上有三个不同的根，所以函数和
函数在区间上有三个交点。 ...... 10分
18.（1）  ①
时，   ② ...... 2分
①- ②得， ..... 3分
， ..... 4分
当时，，满足上式。 .....5分
故； ..... 6分
( 备注：未分类讨论即未体现，扣2分；未检验扣1分）
（2）由（1）得：，
   ③， ..... 7分
两边同乘以得：  ④ ..... 8分
③-④得： .....9分

..... 10分


..... 11分
..... 12分

19（1）证：在中，，... 1分
由，得，
所以，即在空间中. ...... 2分
(证明为正，三线合一，同样得分)
又，所以.
连接，在中， ...... 3分
(在中，用余弦定理求解，同样得分)
在中，由，得，所以. ...... 4分
又，平面，所以平面 ....... 5分
(未说明扣一分)
又平面，所以. ....... 6分

（2） 由（1）可知两两垂直，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标， ....... 7分 则

.
设平面的法向量
令，则. ....... 8分
假设棱上存在点，使得与平面所成的角的正弦值为，
设，则，
， ....... 9分
所以，...... 10分
整理得，解得 ....... 11分
又，所以，故. ....... 12分

20（1）由为常数列，又，所以， ...... 1分
所以． ...... 4分
（2）由是公比为3的等比数列，且，所以， ...... 5分
所以， ...... 6分
所以 ...... 7分
...... 8分
...... 9分
...... 10分
...... 11分
...... 12分



21（1）由题意，, ...... 2分
...... 3分
（没有事件符号，仅有代数计算式扣2分）
记“第i次抛掷骰子后，飞机向前移动两格”为事件
“第i次抛掷骰子后，飞机在原地不动”为事件
...... 4分
由事件的互斥性和概率乘法公式
得

...... 5分
（没有事件符号，关系，仅有代数计算式扣1分）
因此，所以事件，相互独立． .....6分
（由得出事件，相互独立，也得分）
（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4， .....7分
， ， ， .....9分
（概率值计算对两个給1分，全对給2分，只对一个不给分。没有列式过程，
只有正确结果得1分）
所以随机变量的分布列为

0
1
2
3
4






.....10分
所以． .....12分 （列式，得数各1分）

22． （1）解法一：（根据根是否存在和根与端点的大小比较分类讨论）
函数的定义域为（0，+∞）， .....1分
1)当a≤0时，在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增； .....2分
2)当0＜a≤e时，令，则
设令,则x=lna .....3分
<1>若0＜a≤1,则x=lna0 ,则 >0在（0，+∞）恒成立
在（0，+∞）单调递增,
所以在（0，+∞）恒成立 .. ...4分
<2>若1＜a≤e 时,
0＜x＜lna时，，g（x）单调递减，
x＞lna时，，g（x）单调递增，
∴g（x）≥g（lna）＝a﹣alna＝a（1﹣lna）≥0，
∴，在（0，+∞）上单调递增； ...5分
综上，当a≤e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增。 ....6分

（1） 解法二：（根据导数值恒同号，参数范围进行讨论）
函数的定义域为（0，+∞）， .....1分
由,令则 .....2分
令则 .....3分
当时 ,;当时 ,;当时 ,;
所以函数在单调递减，在单调递增，
当时， .....4分
所以当时，在（0，+∞）恒成立，此时 .....5分
∴当时，在（0，+∞）上单调递增。 .....6分
（1）解法三：（根据导数值放缩，恒同号讨论）
函数f（x）的定义域为（0，+∞）， .....1分

3分
令
4分
当0＜x＜1时，，g（x）单调递减，
当x＞1时，，g（x）单调递增，
∴g（x）≥g（1）＝0 ...5分
∴在（0，+∞）恒成立，在（0，+∞）上单调递增；
所以，当a≤e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增； ...6分

（2）依题意，，则，所以 ....7分
设，则t＞1，x2＝tx1，，
∴，， (各1分) ∴， ....9分
设则， ....10分
设，则，
∴在（1，+∞）单调递增，则，
∴，则h（t）在（1，+∞）单调递增，
又，即h（t）≤2ln3，h（3）＝2ln3， ...11分
∴t∈（1，3]， 所以的最大值为3． ...12分