初中数学华师大版九年级下册2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质公开课教案设计

第5课时　二次函数最值的应用

【知识与技能】

能根据实际问题列出函数关系式．

【过程与方法】

使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围．

【情感态度】

通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生善用数学的意识．

【教学重点】

会通过配方求出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大或最小值．

【教学难点】

在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．

一、情境导入，初步认识

1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．

(1)y＝6x2＋12x；　(2)y＝－4x2＋8x－10

2．以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？

【教学说明】　通过配方，使学生能熟悉二次函数最值的求法，从而解决实际问题．

二、思考探究，获取新知

有了前面所学的知识，现在我们就可以应用二次函数的知识去解决第2页提出的两个实际问题．

1．要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样的围法才能使围成的花圃的面积最大？

解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞0，所以0＜x＜10.围成的花圃面积y与x的函数关系式是y＝x(20－2x)即y＝－2x2＋20x，配方得y＝－2(x－5)2＋50，所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50.因为x＝5时，满足0＜x＜10，这时20－2x＝10.所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大．

2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元．

商品每天的利润y与x的函数关系式是：

y＝(10－x－8)(100＋100x)

即y＝－100x2＋100x＋200

配方得y＝－100(x－)2＋225

因为x＝时，满足0≤x≤2.

所以当x＝时，函数取得最大值，最大值y＝225.

所以将这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大．

【教学说明】　解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．

三、运用新知，深化理解

1．见教材P19例5

2．求下列函数的最大值或最小值．

(1)y＝2x2－3x－5.

(2)y＝－x2－3x＋4.

解：(1)二次函数y＝2x2－3x－5中的二次项系数2＞0，因此抛物线y＝2x2－3x－5有最低点，即函数有最小值．因为y＝2x2－3x－5＝2(x－)2－，所以当x＝时，函数y＝2x2－3x－5有最小值是－.

(2)二次函数y＝－x2－3x＋4中的二次项系数－1＜0，因此抛物线y＝－x2－3x＋4有最高点，即函数有最大值．因为y＝－x2－3x＋4＝－(x＋)2＋，所以当x＝－时，函数y＝－x2－3x＋4有最大值是.

3．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表：

若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？

解：由表可知x＋y＝200，因此，所求的一次函数的关系式为y＝－x＋200.

设每日销售利润为s元，

则有s＝y(x－120)＝－(x－160)2＋1600，因为－x＋200≥0，x－120≥0，

所以120≤x≤200.x＝160满足条件．

所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE＝x，DF＝y.

(1)用含y的代数式表示AE；

(2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；

(3)设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．

解：(1)由题意可知，四边形DECF为矩形，因此AE＝AC－DF＝8－y.

(2)由DE∥BC，得＝，即＝，所以y＝8－2x，x的取值范围是0＜x＜4.

(3)S＝xy＝x(8－2x)＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8所以，当x＝2时，S有最大值8.

【教学说明】　应用所学知识解决实际问题，使学生明白数学来源于生活，适用于生活．

四、师生互动，课堂小结

让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：

(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

(2)研究自变量的取值范围；

(3)研究所得的函数；

(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；

(5)解决提出的实际问题．

1．布置作业：教材P20“练习”中第2、3题．

2．完成同步练习册中本课时的练习．

本节课只要是通过配方，使学生能熟悉二次函数最值的求法，从而解决实际问题．使学生明白数学来源于生活，适用于生活．提高学生学习兴趣．