【重难点讲义】浙教版数学八年级下册-第13讲 反比例函数与一次函数的综合

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第13讲 反比例函数与一次函数的综合
【知识点睛】
函数
一次函数
反比例函数
图象
直线
双曲线（分两支）
x取值范围

全体实数





增减性应用

k＞0
①y随x的增大而增大；
②直线从左往右看上升
③若点A（x1，y1）B（x2，y2）在其图象上，则有：当x1＜x2时，必有y1＜y2（不等号开口方向相同）
①在其每一象限内，y随x的增大而减小
②若点A（x1，y1）B（x2，y2）在其图象的同一支上，则有：当x1＜x2时，必有y1＞y2（不等号开口方向相反）
k＜0
①y随x的增大而减小
②直线从左往右看下降
③若点A（x1，y1）B（x2，y2）在其图象上，则有：当x1＜x2时，必有y1＞y2（不等号开口方向相反）
①在其每一象限内，y随x的增大而增大
②若点A（x1，y1）B（x2，y2）在其图象的同一支上，则有：当x1＜x2时，必有y1＜y2（不等号开口方向相同）
对称性
即是中心对称图形，又是轴对称图形
与方程间的练习
求交点坐标，联系解析式，得二元一次方程组，方程的解即为交点的坐标
求反比例函数的k值，用待定系数法时，会与一元一次方程相结合；求直线与双曲线交点坐标时，联立函数解析式，会与分式方程相结合



与不等式间的关系





【类题训练】
1．如图，已知直线y＝mx与双曲线的一个交点坐标为（﹣1，3），则它们的另一个交点坐标是（　　）

A．（1，3） B．（3，1） C．（1，﹣3） D．（﹣1，3）
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（﹣1，3），另一个交点的坐标为（1，﹣3）．
故选：C．
2．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数的图象相交于A、B两点，AC⊥y轴，垂足为C，若△ABC的面积为10，则此反比例函数解析式为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据A，B关于原点对称，得出AO＝BO，则S△AOC＝5，根据反比例函数k的几何意义得出m＝10，进而即可求解．
【解答】解：依题意，A，B关于原点对称，
∴AO＝BO，
∴，
∴m＝10，
∴反比例函数解析式为，
故选：A．
3．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数（k＞0，x＞0），（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD，若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是（　　）

A．2 B． C．1 D．
【分析】由反比例k的几何意义可得S△OCE＝k，设D（x，），所以S△BOD＝﹣x，再由已知可得k＝﹣x，求得D（﹣k，﹣2），再将点D代入y＝x﹣1即可求k的值．
【解答】解：由题意可求B（0，﹣1），
∵直线y＝x﹣1与y1＝交于点C，
∴S△OCE＝k，
设D（x，），
∴S△BOD＝×1×（﹣x）＝﹣x，
∵△COE的面积与△DOB的面积相等，
∴k＝﹣x，
∴k＝﹣x，
∴D（﹣k，﹣2），
∵D点在直线y＝x﹣1上，
∴﹣2＝﹣k﹣1，
∴k＝2，
故选：A．
4．函数y＝k1x（k1≠0）与y＝（k2≠0）的图象没有交点，那么（　　）
A．k1+k2＝0 B．k1k2＞0 C．k1k2＜0 D．|k1|＝|k2|
【分析】根据正比例函数与反比例函数的性质即可作出判断．
【解答】解：当k1＞0时，正比例函数经过一、三象限，当k1＜0时，经过二、四象限；
k2＞0时，反比例函数图象在一、三象限，k2＜0时，图象在二、四象限．
故该两个函数的图象没有交点，则k1、k2一定异号．
∴k1与k2的乘积为负，
故选：C．
5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，点D坐标为（4，0），则△ADC的面积为（　　）

A．3 B．6 C．8 D．12
【分析】根据AD⊥x轴，D（4，0）求出点A的横坐标，代入一次函数表达式中求出点A纵坐标，再利用三角形面积公式计算．
【解答】解：∵AD⊥x轴，D（4，0），
∴xA＝4，代入中，
∴，即A（4，3），
∴△ADC的面积为，
故选：B．
6．在平面直角坐标系中，A（2，n﹣1）是反比例函数y＝（k≠0）的图象上一点，已知点B（2，n），点C（n﹣1，n），连接BC，则下列说法正确的是（　　）
A．n的值可能为1
B．点C不可能在反比例函数 y＝的图象上
C．在反比例函数 y＝的图象的一个分支上，可能存在y随x的增大而增大
D．直线BC与反比例函数y＝的图象必有一个交点
【分析】根据反比例函数的图象与性质即可进行判断．
【解答】解：∵A（2，n﹣1）是上一点，
∴n﹣1≠0，
∴n≠1，
故A选项不符合题意，
∵点A（2，n﹣1）是反比例函数y＝（k≠0）的图象上一点，
∴k＝2（n﹣1），且n﹣1≠0，
当点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上时，可得（n﹣1）n＝2（n﹣1），
∵n﹣1≠0，
∴n＝2，
∴k＝2×（2﹣1）＝2，点C的坐标为（1，2），
∴点C可能在反比例函数 y＝的图象上，
故B选项不符合题意；
当n﹣1＜0时，k＜0，
在反比例函数y＝（k≠0）的图象上的一个分支上，y随x的增大而增大，
故C选项符合题意；
当n＝0时，直线BC在x轴上，
∴直线BC与反比例函数y＝（k≠0）的图象没有交点，
故D选项不符合题意；
故选：C．
7．已知直线y1＝﹣2x+6与反比例函数在同一坐标系的交点坐标是（1，4）和（2，2），则当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜0或1＜x＜2 B．x＜1 C．0＜x＜1或x＜0 D．x＞2
【分析】根据直线y1＝﹣2x+6与反比例函数在同一坐标系的交点坐标，即可得出结论．
【解答】解：根据题意，
当x＜0时，y1＝﹣2x+6＞0，，
∴y1＞y2；
当x＞0时，∵直线y1＝﹣2x+6与反比例函数在同一坐标系的交点坐标是（1，4）和（2，2）
要使y1＞y2，则直线y1＝﹣2x+6要在反比例函数上面，
∴x的取值范围是1＜x＜2；
综上所述x的取值范围是x＜0或1＜x＜2．
故选：A．
8．如图，一次函数y1＝x﹣1的图象与反比例函数的图象交于点A（2，m），B（n，﹣2），当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣1或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】先把B（n，﹣2）代入y1＝x﹣1，求出n值，再根据图象直接求解即可．
【解答】解：把B（n，﹣2）代入y1＝x﹣1，得﹣2＝n﹣1，
解得：n＝﹣1，
∴B（﹣1，﹣2），
∵图象交于A（2，m）、B（﹣1，﹣2）两点，
∴当y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞2．
故选：D．
9．如图，直线y＝ax+b与x轴相交于点A（2，0），与函数y＝的图象交于点B，C，点B的横坐标是8，点C的横坐标是﹣6，则不等式组0＜ax+b＜的解集是（　　）

A．﹣6＜x＜2 B．﹣6＜x＜0 C．﹣6＜x＜8 D．0＜x＜2
【分析】利用数形结合的思想，直接得出关于x的不等式0＜ax+b＜的解集．
【解答】解：观察图象可得，
当﹣6＜x＜0时，直线y＝ax+b位于x轴的上方、函数y＝图象得下方，
∴不等式组0＜ax+b＜的解是﹣6＜x＜0．
故选：B．
10．如图，已知直线y＝x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于点E，F两点，若AB＝2EF，则m的值是（　　）

A．﹣1 B．1 C． D．
【分析】作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，先利用一次函数图象上点的坐标特征得到A（2，0），B（0，2），易得△AOB为等腰直角三角形，则AB＝2，所以EF＝AB＝，且△DEF为等腰直角三角形，则FD＝DE＝EF＝1，设F点坐标为（t，t+2），则E点坐标为（t﹣1，t+1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t+2）＝（t﹣1）•（t+1），解得t＝﹣，这样可确定点坐标为（﹣，），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到m＝﹣×＝﹣．
【解答】解：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，
由直线y＝x+2可知A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（0，2），OA＝OB＝2，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AB＝2，
∴EF＝AB＝，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴FD＝DE＝EF＝1，
设F点横坐标为t，代入y＝x+2，则纵坐标是t+2，则F的坐标是：（t，t+2），E点坐标为（t﹣1，t+1），
∴t（t+2）＝（t﹣1）•（t+1），解得t＝﹣，
∴E点坐标为（﹣，），
∵双曲线过点E，F两点，
∴m＝﹣×＝﹣．
故选：D．

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与反比例函数0）的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交x轴于点C，交反比例函数图象于点B，若BC＝2OA，则b的值为（　　）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【分析】解析式联立，解方程求得A的横坐标，根据定义求得B的纵坐标，把纵坐标代入反比例函数的解析式求得B的坐标，代入y＝x+b即可求得b的值．
【解答】解：∵直线y＝x与反比例函数0）的图象交于点A，
∴解得或，
∴A（2，2），
∵BC＝2OA，
∴B的纵坐标为4，
把y＝4代入y＝得，x＝1，
∴B（1，4），
∵将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，得到直线y＝x+b，
∴把C的坐标代入得4＝1+b，求得b＝3，
故选：D．
12．若将直线y＝﹣4x+10向下平移m个单位长度与双曲线y＝恰好只有一个公共点，则m的值为（　　）
A．2 B．18 C．﹣2或18 D．2或18
【分析】由于将直线y＝﹣4x+10向下平移m个单位长度得直线解析式为y＝﹣4x+10﹣m，则直线y＝﹣4x+10﹣m与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组，只有一组解，然后消去y得到关于x的二次函数，再根据判别式的意义得到关于m的方程，最后解方程求出m的值．
【解答】解：将直线y＝﹣4x+10向下平移m个单位长度得直线解析式为y＝﹣4x+10﹣m，
根据题意方程组只有一组解，
消去y得＝﹣4x+10﹣m，
整理得4x2﹣（m﹣10）x+4＝0，
△＝（m﹣10）2﹣4×4×4＝0，解得m＝2或m＝18，
故选：D．
13．如图，直线y＝kx+b与双曲线交于点A（﹣8，1），B（2，﹣4），与两坐标轴分别交于点C，D，已知点E（1，0），连接AE，BE，作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位长度后，与双曲线有唯一交点，则n的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据A（﹣8，1），B（2，﹣4）解出直线方程解析，双曲线解析式，从而确定直线DE的解析式，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位长度后，可将平移后的解析式表示出来，与双曲线有唯一交点，则含有n的式子的判别式为零，由此即可求解．
【解答】解：直线y＝kx+b与双曲线交于点A（﹣8，1），B（2，﹣4），
∴，，
解得，m＝﹣8，
∴直线方程的解析式为，双曲线的解析式为，
∴C（﹣6，0），D（0，﹣3），且E（1，0），
设直线DE的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
解得，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3，
将直线ED向上平移n（n＞0）个单位长度后的解析式为y＝3x﹣3+n，与双曲线有唯一交点，
∴，
整理得，3x2+（n﹣3）x+8＝0，
∵有唯一解，
∴根的判别式Δ＝0，即（n﹣3）2﹣4×3×8＝0，且n＞0，
∴，
故选：C．
14．如图，反比例函数和正比例函数的图象交于点M，N，动点P（m，0）在x轴上，若△PMN为直角三角形，则m的值为（　　）

A．m＝2或 B．或 C．m＝±2或 D．或
【分析】在x轴上找到点P1，P2，使MP1⊥P1N，MP2⊥NP2，则点P1的右边，在P2的左边，作MP3⊥MN，交x轴于P3，作NP4⊥MN，交x轴于P4，则点P3的右边，在P4的左边．
【解答】解：由解得或，
∴M（2，1），N（﹣2，﹣1），
在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得∠NP1M＝∠MP2N＝90°，
则OP1＝OP2＝MN＝，
∴P1（，0），P2（﹣，0），
在x轴上原点的两旁取两点P3，P4，使得∠P3MN＝∠P4NM＝90°，
则OP3＝OP4＝，
∵点P（m，0）在x轴上，若△PMN为直角三角形，
∴m＝或m＝±，
故选：D．

15．设双曲线y＝（k＞0）与直线y＝x交于A，B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于点P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”．当双曲线y＝（k＞0）的眸径为4时，k的值为（　　）

A． B． C．2 D．4
【分析】以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点P的坐标（点P在直线y＝﹣x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示．
联立直线AB及双曲线解析式成方程组，，
解得：，，
∴点A的坐标为（﹣，﹣），点B的坐标为（，）．
∵PQ＝4，
∴OP＝2，点P的坐标为（﹣，）．
根据图形的对称性可知：PP′＝AB＝QQ′，
∴点P′的坐标为（﹣+2，+2）．
又∵点P′在双曲线y＝上，
∴（﹣+2）•（+2）＝k，
解得：k＝．
故选：A．

16．已知正比例函数y＝ax（a为常数，a≠0）与反比例函数的图象的一个交点坐标为（1，m），则另一个交点的坐标为 　（﹣1，2）　．
【分析】首先利用反比例函数的解析式求出m，再利用点的坐标确定正比例函数的解析式，进而利用方程组求交点坐标即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝ax（a为常数，a≠0）与反比例函数的图象的一个交点坐标为（1，m），
∴m＝﹣2，a＝﹣2，
∴一个交点坐标为（1，﹣2），
∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x，
联立解析式得：
，
解得，，
即另一个交点的坐标为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
17．如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（点P在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点的四边形面积为24，则点P的坐标为 　（2，4）或（8，1）　．

【分析】由题意可得A（4，2），B（﹣4，﹣2），作PN⊥x轴于N，AM⊥x轴于M，分两种情况进行解答，一是点P在点A上方曲线上，将平行四边形APBQ的四分之一，转化为梯形面积，设出坐标，构造方程求解即可，二是点P在点A的下方曲线上，方法相同，只是表示线段的代数式不同，构造方程求解，舍去不符合题意的解．
【解答】解：联立，
解得：或，
即A（4，2），B（﹣4，﹣2），
作PN⊥x轴于N，AM⊥x轴于M，
如图：由对称性得，OA＝OB，OP＝OQ，
∴四边形APBQ是平行四边形，
∴，
∵S△AOP+S△AOM＝S△PON+S梯形AMNP，而S△AOM＝S△PON＝k，
∴S△AOP＝S梯形AMNP，
设P点坐标为，则，ON＝x，
①当点P在点A上方的曲线上，如图1，
，
整理得，x2+6x﹣16＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣8（舍去），
当x＝2时，，
∴点P（2，4），
②当点P在点A下方的曲线上，如图2，
，
整理得，x2﹣6x﹣16＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣2（舍去），
当x＝8时，，
∴点P（8，1），
故答案为：（2，4）或（8，1）．

18．如图，一次函数y＝ax+8与反比例函数的图象交于M（m，6）和N（n，2）两点，已知S△MON＝8，则k＝　6　．

【分析】过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为Q，P，根据题意得出S△OMN＝S梯形MNPQ＝8，代入M，N的坐标得出n﹣m＝2，将M，N代入一次函数，得出a＝﹣2，进而求得点M（1，6），根据反比例函数的k的几何意义，即可求解．
【解答】解：如图所示，过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为Q，P，

依题意，S△OMN+S△ONP＝S△OMQ+S梯形MNPQ，
又∵S△ONP＝S△OMQ，
∴S△OMN＝S梯形MNPQ＝8，
∵M（m，6）和N（n，2），
∴，
解得：n﹣m＝2，
∵M（m，6）和N（n，2）在y＝ax+8上，
∴6＝am+8，2＝an+8，
∴a（n﹣m）＝﹣4，
∴a＝﹣2，
∴m＝1，
∴M（1，6），
∴k＝6，
故答案为：6．
19．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B与反比例函数上的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为点D，E，当AO＝2OD时，k的值为 　　．

【分析】在y＝x+k中可得A（﹣k，0），由AO＝2OD，知OD＝，在y＝x+k中，令x＝得C（，），代入y＝解得k＝．
【解答】解：在y＝x+k中，令y＝0得x＝﹣k，
∴A（﹣k，0），
∴OA＝k，
∵AO＝2OD，
∴OD＝，
在y＝x+k中，令x＝得y＝，
∴C（，），
把C（，）代入y＝得：
＝，
解得k＝，
故答案为：．
20．如图，直线与双曲线交于A、B两点，直线BC经过点B，与双曲线交于另一点C，∠ABC＝45°，连接AC，若△ABC的面积是50，则k＝　　．

【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点O作OK⊥AB交BC于点K，过点K作KT⊥x轴于T，设BC交y轴于点J，连接OC，设A（m，m），则OM＝m，AM＝m，B（﹣m，﹣m）．利用全等三角形的性质不熟悉点K的坐标再求出直线BK的解析式为y＝2x+m，设C（n，2n+m），构建方程组求出m2，可得结论．
【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点O作OK⊥AB交BC于点K，过点K作KT⊥x轴于T，设BC交y轴于点J，连接OC，设A（m，m），则OM＝m，AM＝m，B（﹣m，﹣m）．

∵∠ABC＝45°，OK⊥AB，
∴OK＝OB＝OA，
∵∠OTK＝∠AOK＝∠AMO＝90°，
∴∠KOT+∠AOM＝90°，∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠KOT＝∠OAM，
∴△KTO≌△OMA（AAS），
∴OT＝AM＝m，KT＝OM＝m，
∴K（﹣m，m），
∴直线BK的解析式为y＝2x+m，
设C（n，2n+m），
∴J（0，m），
∵△ABC的面积是50，
∴S△BOC＝S△AOC＝25，
∴S△BOJ+S△OCJ＝25，
则有，
可得m2＝，
∴k＝m×m＝，
故答案为：．
21．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k＜0），经过点（6，0），且与坐标轴围成的三角形的面积是9，与曲线y＝（x＞0）的图象G交于A，B两点．
（1）则直线的表达式为 　y＝﹣　；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．则区域W内的整点的坐标是 　（3，1）　．
（3）不等式kx+b≥的解集是 　3﹣　．
【分析】（1）借助直线与x轴、y轴的交点坐标表示出直线与坐标轴围成的三角形的两条直角边长，利用面积是9，求出直线与y轴的交点为C（0，3），利用待定系数法求出直线的表达式；
（2）联立两函数解析式可求图象的交点坐标，再结合图象找到区域W内的整点的坐标；
（3）根据图象求得即可．
【解答】解：如图：

（1）设直线与y轴的交点为C（0，b），
∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 9，
∴，
可得b＝±3，
∵k＜0，
∴b＝3，
∵直线 y＝kx+b经过点（6，0）和（0，3），
∴直线的表达式为y＝﹣；
故答案为：y＝﹣；
（2）联立，
解得：或，
∴A（3﹣，），B（3+，），
观察图象可得区域W内的整点的坐标为（3，1）．
故答案为：（3，1）；
（3）由图象可知，不等式kx+b≥的解集是3﹣．

22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数的图象分别交于A，B两点，以AB为斜边向外作等腰直角三角形ABC，然后将△ABC沿直线AB折叠，点C的对应点C′刚好落在x轴上，若点C′的坐标为（3，0），点B的纵坐标为3，则该反比例函数表达式中k的值为 　6　．

【分析】过点B作BM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质易证△BMC′≌△C′NA（AAS），根据全等三角形的性质可得C′N＝BM，MC′＝AN，设OM＝t，表示出点B（t，3）和点A坐标（6，3﹣t），根据直线AB与反比例函数的图象分别交于A，B两点，可得3t＝6（3﹣t），求出t的值，进一步可得k的值．
【解答】解：过点B作BM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，如图所示：
则∠BMC′＝∠C′NA＝90°，
∴∠MBC′+∠MC′B＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
根据折叠可知，△AC′B是等腰直角三角形，
∴∠AC′B＝90°，AC′＝BC′，
∴∠MC′B+∠NC′A＝90°，
∴∠NC′A＝∠MBC′，
在△BMC′和△C′NA中，
，
∴△BMC′≌△C′NA（AAS），
∴C′N＝BM，MC′＝AN，
设OM＝t，
∵点C′的坐标为（3，0），点B的纵坐标为3，
则C′M＝3﹣t，BM＝3，
∴AN＝3﹣t，C′N＝3，
∴点B坐标为（t，3），点A坐标为（6，3﹣t），
∵直线AB与反比例函数的图象分别交于A，B两点，
∴3t＝6（3﹣t），
解得t＝2，
∴点B坐标为（2，3），
∴k＝2×3＝6，
故答案为：6．

23．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数的图象相交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D的横坐标为4，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．求△BDE的面积．

【分析】（1）将y＝2代入得x＝6，则A点坐标为（6，2），代入反比例函数解析式即可求解；
（2）先把D点代入直线表达式求出点D坐标，进而根据DE两点横坐标一直代入反比例函数表达式求出E点坐标根据S△BDE＝DE⋅xD可求出答案．
【解答】解：（1）将y＝2代入得x＝6，
∴A点坐标为（6，2），
∵点A在反比例函数的图象上，
∴k＝2×6＝12，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）将x＝4代入一次函数得y＝1，
即点D的坐标为（4，1），
将x＝4代入反比例函数得y＝3，
即E点坐标为（4，3），
∴DE＝3﹣1＝2，
∴S△BDE＝DE⋅xD＝×2×4＝4．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数的图象交于点A，点A的纵坐标为4．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点B在反比例函数的图象上，且在点A右侧，过点B作BC∥y轴交正比例函数的图象于点C，如果△OBC的面积是12，求点B的坐标．

【分析】（1）由正比例函数解析式求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）设B（x，），则C（x，2x），BC＝2x﹣，利用三角形面积公式即可得到（2x﹣）•x＝12，求得x＝6，即可求得B（6，）．
【解答】解：（1）∵点A在正比例函数y＝2x的图象上，点A的纵坐标为4，
∴A（2，4），
∵反比例函数的图象过点A，
∴m＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）设B（x，），则C（x，2x），
∴BC＝2x﹣，
∵△OBC的面积是12，
∴（2x﹣）•x＝12，
∴x2﹣4x﹣12＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣2，
∵B在点A右侧，
∴B（6，）．

25．已知一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b）．
（1）求a，b的值和反比例函数的表达式．
（2）设点P（h，y1），Q（h，y2）分别是两函数图象上的点．在坐标系中画出y1和y2的图象，并根据图象直接写出，当y1＞y2时h的取值范围；
（3）设k≠0，且k≠﹣1，当x＝k时，y2＝p；当x＝k+1时，y2＝q．圆圆说：“p一定大于q“．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？

【分析】（1）把A（a，3），B（﹣1，b）分别代入一次函数y1＝3x﹣3中，即可求得a、b的值，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据交点坐标，结合图象即可求得；
（3）设k＝k0，且﹣1＜k0＜0，将x＝k0，x＝k0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b），
∴3＝3a﹣3，b＝﹣3﹣3，
∴a＝2，b＝﹣6，
∴A（2，3），B（﹣1，﹣6），
把A（2，3）代入反比例函数，则3＝，
∴m＝6，
∴反比例函数的表达式是y2＝；
（2）点P（h，y1），Q（h，y2）分别是两函数图象上的点．当y1＞y2时h的取值范围是h＞2或﹣1＜h＜0；
（3）圆圆的说法不正确，
理由如下：设k＝k0，且﹣1＜k0＜0，
则k0＜0，k0+1＞0，
∴当x＝k0时，p＝y2＝，
当x＝k0+1时，q＝y2＝0，
∴p＜0＜q，
∴圆圆的说法不正确．
方法二、当x＝时，p＝y2＝，当x＝k+1时，q＝y2＝，
∴p﹣q＝﹣＝，
∴当k＜﹣1时，则p﹣q＝＞0，
∴p＞q，
当﹣1＜k＜0时，则p﹣q＝＜0，
∴p＜q，
当k＞0时，则p﹣q＝＞0，
∴p＞q，
∴圆圆的说法不正确．
26．【阅读理解】把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为O的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．

【知识运用】如图1，将y＝x的图象经过倒数变换后可得到的图象（部分）．特别地，因为y＝x图象上纵坐标为O的点是原点，所以该点不作变换，因此的图象上也没有纵坐标为O的点．小明在求y＝x的图象与的交点时运用了开平方的定义：得：x2＝1，解得x＝±1，则图象交点坐标为（1，1）或（﹣1，﹣1）．
【拓展延伸】请根据上述阅读材料完成：
（1）请在图2的平面直角坐标系中画出y＝x+1的图象和它经过倒数变换后的图象．
（2）设函数y＝x+1的图象和它经过倒数变换后的图象的交点为A，B（点A在左边），直接写出其坐标．A　（﹣2，﹣1）　B　（0，1）　；
（3）设C（﹣1，m），且S△ABC＝4，求m．
【分析】（1）画出函数y＝x+1和函数y＝（x≠﹣1）的图象；
（2）解析式联立成方程组，解方程组即可求解；
（3）利用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中画出y＝x+1的图象和它经过倒数变换后的y＝（x≠﹣1）的图象；
（2）解，得或，
∴A（﹣2，﹣1），B（0，1），
故答案为：（﹣2，﹣1），（0，1）；
（3）∵S△ABC＝4，
∴＝4，
∴m＝±4．

27．如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．

【分析】（1）把点D的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作DE⊥x轴于E，根据题意求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）联立方程求得C的坐标，然后根据S△COD＝S△AOC+S△AOD即可求得△COD的面积；
（3）作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，由C'和D的坐标可得，直线C'D为，进而得到点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2＝的图象上，
∴k2＝2×（﹣3）＝﹣6，
∴y2＝；
如图，作DE⊥x轴于E，
∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，
∴A（﹣2，0），
∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1＝k1x+b的图象上，
，
解得k1＝﹣，b＝﹣，
∴；

（2）由，
解得，，
∴C（﹣4，），
∴S△COD＝S△AOC+S△AOD＝×2×+×2×3＝；

（3）如图，作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，
∴由C'和D的坐标可得，直线C'D为，
令x＝0，则y＝﹣，
∴当|PC﹣PD|的值最大时，点P的坐标为（0，）．


28．如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求得点C的坐标，然后根据S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC求得即可；
（3）过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D，设E（a，）（a＞1），通过证得△ACF≌△EDA（AAS），得到F（﹣2，4﹣a），代入y＝，即可求得a的值，从而求得点E的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（1，3），点B（n，1）在反比例函数上，
∴m＝1×3＝n×1，
∴m＝3，n＝3，
∴反比例函数为y＝，点B（3，1），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数为：y＝﹣x+4；
（2）令x＝0，则y＝﹣x+4＝4，
∴C（0，4），
∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC＝＝4；
（3）如图2，过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D，
设E（a，）（a＞1），
∵A（1，3），
∴AD＝a﹣1，DE＝3﹣，
∵把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为F，恰好也落在这个反比例函数的图象上，
∴∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴∠EAD+∠CAF＝90°，
∵∠EAD+∠AED＝90°，
∴∠CAF＝∠AED，
在△ACF和△EDA中，
，
∴△ACF≌△EDA（AAS），
∴CF＝AD＝a﹣1，AC＝DE＝3﹣，
∴F（﹣2，4﹣a），
∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上，
∴（﹣2）（4﹣a）＝3，
解得a＝6或a＝1（舍去），
∴E（6，）．