北师大版1 两条直线的位置关系精品练习题

2.1 两条直线的位置关系

知识点一 垂线

直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。

垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。

【注意事项】线段与线段及射线与射线互相垂直，是指它们所在的直线互相垂直。

垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

            2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角。

3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条。垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

【注意事项】垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离

知识点二 相交线中的角

第一种 邻补角与对顶角

【注意事项】1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；

2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；

3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；

4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

余角概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角。

补角概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角。

【性质】等角的余角相等，等角的补角相等。

【题型一】理解相交线概念

【典题】（山东省淄博市高青县2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M．”画出的图形是（    ）

A． B． C．D．

巩固练习

1．（）（湖南省怀化市通道侗族自治县2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）以下四个图中有直线、射线、线段，其中能相交的是（  ）

A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①

2．（）（人教版七年级数学下第五章相交线与平行线测试题）如图，2条直线 最多有＝1个交点，3条直线最多有＝3个交点，4条直线最多有＝6个交点，……由此猜想，8条直线最多有＿＿＿个交点.

A．32 B．16 C．28 D．40

【题型二】理解垂线概念

【典题】（河北省2020年中考数学试题）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（    ）

A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条

 巩固练习

1．（）（云南省昭通市2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）过点画线段所在直线的垂线段，其中正确的是（    ）

A．B．C．D．

2．（）（2018-2019学年上海市浦东新区进才北校七年级第二学期期中试卷）如果4条直线两两相交，最多有_________个交点，最少有_________个交点.

3．（）（广东省中山市2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）已知：OA⊥OC，∠AOB：∠BOC＝1：3，则∠BOC的度数为 _____________．

4．（）（上海市浦东新区上海民办建平远翔学校2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知，CO与DO互相垂直，那么______．

5．（）（河南省虞城县第二中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则等于____________．

【题型三】理解点到直线的距离

【典题】（河南省洛阳市伊川县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足是B，，则下列不正确的语句是（　　）

A．线段的长是点P到直线a的距离

B．、、三条线段中，最短

C．线段的长是点A到直线的距离

D．线段的长是点C到直线的距离

巩固练习

1．（）（辽宁省沈阳市第一二六中学2020-2021学年七年级下学期6月月考数学试题）如图，，，垂足为，则下面的结论中，不正确的是（　　）

A．点到的垂线段是线段

B．与互相垂直

C．与互相垂直

D．线段的长度是点到的距离

2．（）（黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2022-2023学年七年级上学期数学10月月考数学试题）如图，，垂足为点D，则点A到直线的距离是线段（    ）的长．

A． B． C． D．

3．（）（四川省凉山彝族自治州西昌市川兴中学2021-2022学年七年级下学期7月月考数学试题）如图，P为直线l外一点，A，B，C在l上，且PB⊥l，下列说法中，正确的个数是（   ）

①PA，PB，PC三条线段中，PB最短；②线段PB叫做点P到直线l的距离；③线段AB的长是点A到PB的距离；④线段AC的长是点A到PC的距离．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．（）（广东省梅州市丰顺县大同中学2022-2023学年七年级上学期能力测试卷数学试题）如图，用刻度尺分别量出点P到直线，和的距离．

5．（）（河南省平顶山市汝州市有道实验学校2021-2022学年七年级下学期第一次学情分析数学试题）如图，P是∠AOB的边OB上一点．

(1)过点P画OA的垂线，垂足为H；

(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C；

(3)点O到直线PC的距离是线段________的长度；

(4)比较PH与PC的大小，并说明理由．

【题型四】判断对顶角

【典题】（广东省汕尾市海丰县2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）下列四个图形中，与是对顶角的是（    ）

A．B．C．D．

巩固练习

1．（）（上海市重点中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）下列所示的四个图形中，和是对顶角的图形有（   ）

A．个 B．个 C．个 D．个

2．（）（云南省昭通市巧家县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，图中对顶角的对数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．（）（重庆市重庆市两江新区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，直线AB与CD交于点O，过点O作射线OE，∠1的对顶角是（    ）

A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4

4．（）（河北省唐山市迁安市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有_________对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有_________对；如图3图中有条直线相交于一点，则对顶角有_________对．

【题型五】利用对顶角的性质求解

【典题】（2022年北京市中考数学真题）如图，利用工具测量角，则的大小为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

巩固练习

1．（）如图，三条直线相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数等于（    ）

A．210° B．180° C．150° D．120°

2．（）（福建省福州市福州第十九中学2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）如图，直线AB与CD相交于点O，若，则等于（    ）

A．40° B．60° C．70° D．80°

3（）（黑龙江省哈尔滨市第四十七中学2021-2022学年七年级上学期期中数学试题）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（　　）

A．45° B．55° C．65° D．75

4（）（江苏省南京市部分学校2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）如图，直线 a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示135°的点在直线b上，则∠1＝______°．

5．（）（广西壮族自治区钦州市直初中2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）已知直线AB和CD相交于O点，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠BOF＝25°，求∠AOC与∠EOD的度数．

6．（）（江苏省镇江市2020-2021学年七年级上学期期末数学试题）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，射线OF平分∠AOC，∠AOF＝25°．

求：（1）∠BOD的度数；

（2）∠COE的度数．

【题型六】求一个角的余角、补角

【典题】（陕西省2020年中考数学试题）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（　　）

A．57° B．67° C．77° D．157°

 【典题】（福建省三明市2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）已知∠A＝38°，则∠A的补角的度数是（　　）

A．52° B．62° C．142° D．162°

巩固练习

1（）（福建省福州市鼓楼区福州三牧中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）如图，直线AB、CD交于O，EO⊥AB于O，则图中∠1与∠3的关系是（　　）

A．互为余角 B．互为补角 C．对顶角 D．同位角

2．（）（广东省佛山市顺德区勒流育贤实验学校2021~2022学年七年级下学期期中考试数学试卷）∠A的补角是168°，∠B的余角是68°，则∠A与∠B的大小关系是（　　）

A．∠A=∠B B．∠A＜∠B C．∠A＞∠B D．不能确定

3．（）（贵州省毕节市织金县第六中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）下列关于余角、补角的说法，正确的是（       ）

A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余

B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1 与∠2 互补

C．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3 互余

D．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α，∠β，∠γ互补

4．（）（贵州省六盘水市2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）已知，则的补角等于（    ）

A． B． C． D．

【题型七】与余角、补角有关的计算

【典题】（福建省厦门市2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）若∠1与∠2互补，则∠1+∠2＝（　　）

A．90° B．100° C．180° D．360°

 巩固练习

1．（）（北京市延庆区2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）如图，点A，O，B在一条直线上，OE⊥AB于点O，如果∠1与∠2互余，那么图中相等的角有（   ）

A．5对 B．4对 C．3对 D．2对

2．（）（江西省景德镇市2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）已知，互补，那么与之间的关系是（    ）

A．和为45° B．差为45° C．互余 D．差为90°

3．（）如果，且与互余，那么与的关系为（    ）．

A．互余 B．互补 C．相等 D．不能确定

4．（）（安徽省宿城第一初级中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，直线和交于点，已知的补角是它的余角的4倍，求的度数．

5．（）（山东省聊城市莘县樱桃园镇中心初级中学2021--2022学年七年级（下）第一次月考数学试题）若一个角的补角比它的余角的2倍还多70°，则这个角的度数为多少度．

6．（）（四川省邛崃市第二学区2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．

(1)若∠EOC=72°，求∠BOD的度数；

(2)若∠DOE=2∠AOC，判断射线OE，OD的位置关系并说明理由．