专题三 汉堡模型-备战2024年高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破

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专题三　汉堡模型
【方法总结】
汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．
　　　　
【例题选讲】
[例]　(1) (2013辽宁)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)．
A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D．
答案　C　解析　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M．又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝．

另解　过C点作AB的平行线，过B点作AC的平行线，交点为D，同理过C1作A1B1的平行线，过B1作A1C1的平行线，交点为D1，连接DD1，则ABCD－A1B1C1D1恰好成为球的一个内接长方体，故球的半径r＝．故选C．
(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)．
A．　　　　　 　　B．　　　　　　　C．　　　　　　D．
答案　B　解析　，．故选B．
(3)(2009全国Ⅰ)直三棱柱ABC－A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于(　　)．
A．10π　　　　　　　　B．20π　　　　　　　　C．30π　　　　　　　　D．40π
答案　B　解析　如图，先由余弦定理求出BC＝2，再由正弦定理求出r＝AO1＝2，外接球的直径R＝＝，所以该球的表面积为4πR2＝20π．故选B．

(4)已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于(　　)
A．4π 　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．16π
答案　D　解析　由题意知圆柱的中心O为这个球的球心，于是，球的半径r＝OB＝＝＝2．故这个球的表面积S＝4πr2＝16π．故选D．
(5)若一个圆柱的表面积为，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为　　
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
答案　A　解析　设圆柱的底面半径为，高为，则，则．设该圆柱的外接球的半径为，则，当且仅当，即时，等号成立．故该圆柱的外接球的表面积的最小值为．
【对点训练】
1．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为(　　)
A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．π
2．一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该
六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________.
3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面积为，一个侧面的周长为6，则正三棱柱ABC－A1B1C1外
接球的表面积为(　　)
A．4π　　　　　　　　B．8π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　D．32π
4．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1
＝2，则该三棱柱的外接球的体积为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．20π
5．已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二
面角A－EF－C的大小为120°，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为(　　)
A．6π　　　　　　　　B．5π　　　　　　　　C．4π　　　　　　　　D．3π
6．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝，
则球O的体积为(　　)
A．　　　　　　　　B．3π　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．8π
7．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的　　
A．倍　　　　　　B．2倍　　　　　　C．倍　　　　　　D．3倍
8．正四棱柱中，，二面角的大小为，则该正四棱柱外接球的表面
积为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
9．正四棱柱中，，，设四棱柱的外接球的球心为，动点在正方
形的边上，射线交球的表面点，现点从点出发，沿着运动一次，则点经过的路径长为________．
10．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心
．若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为________．