专题十 内切球模型- 高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破

专题十　内切球模型

【方法总结】

以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．

方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；

第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；

第三步：解出r＝＝．

秒杀公式(万能公式)：r＝

【例题选讲】

[例]　(1)已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的内切球的体积为________．

答案　π　解析　由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示．AE＝AB·sin 60°＝，AO＝AE＝，DO＝＝，三棱锥的体积VD­ABC＝S△ABC·DO＝，设内切球的半径为r，则VD­ABC＝r(S△ABC＋S△ABD＋S△BCD＋S△ACD)＝，r＝，V内切球＝πr3＝π．

(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．

答案　π　解析　圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r．作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝2，△PEO∽△PDB，故＝，即＝，解得r＝，故内切球的体积为π3＝π．

(3)阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为(　　)

A．4π　　　　　　　　B．16π　　　　　　　　C．36π　　　　　　　　D．

答案　C　解析　设该圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R，则圆柱的表面积S＝S底＋S侧＝2×πR2＋2·π·R·2R＝54π，解得R2＝9，即R＝3．∴圆柱的体积为V＝πR2×2R＝54π，∴该圆柱的内切球的体积为×54π＝36π．故选C．

(4)已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P－ABC的外接球与内切球的半径比为________．

答案　　解析　以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱，作长方体，由PA＝PB＝PC＝2，可知此长方体即为正方体．设外接球的半径为R，则R＝＝，设内切球的半径为r，则内切球的球心到四个面的距离均为r，由(S△ACP＋S△APB＋S△PCB＋S△ABC)·r＝·S△PCB·AP，解得r＝，所以＝＝．

(5)正四面体的外接球和内切球上各有一个动点、，若线段长度的最大值为，则这个四面体的棱长为________．

答案　4　解析　设这个四面体的棱长为，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径，，依题意得，．

【对点训练】

1．若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________.

2．已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，

小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

3．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的

球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是(　　)

A．6　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

4．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为(　　)

A．π　　　　　　　　B．2π　　　　　　　　C．3π　　　　　　　　D．4π

5．体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________.

6．在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在这

个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为________．

7．一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是　　

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

8．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥

为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为________．

9．在三棱锥中，，，，二面角、、的大

小均为，设三棱锥的外接球球心为，直线交平面于点，则三棱锥的内切球半径为________．________．

10．已知直三棱柱中，，，设二面角的平面角为，且

，现在该三棱柱的内部空间放一个小球，设小球的表面积为，三棱柱的外接球的表面积为，则的最大值为_______

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