专题一 墙角模型-备战2024年高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破

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专题一　墙角模型
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．
球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．
空间几何体的外接球与内切球十大模型
1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．
【方法总结】
墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：


【例题选讲】
[例]　(1)已知三棱锥A－BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC＝，BC＝2，CD＝，则球O的表面积为(　　)
A．12π　　　　　　　　B．7π　　　　　　　　C．9π　　　　　　　　D．8π
答案　A　解析　由AC⊥平面BCD，BC⊥CD知三棱锥A－BCD可构造以AC，BC，CD为三条棱的长方体，设球O的半径为R，则有(2R)2＝AC2＋BC2＋CD2＝3＋4＋5＝12，所以S球＝4πR2＝12π，故选A．
(2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，，则该三棱锥的外接球半径为(　　)．
A．3　　　　　　　　　B．6　　　　　　　　　C．36　　　　　　　　D．9
答案　A　解析　，，故选A．
(3)已知S，A，B，C，是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于(　　)．
A．4π　　　　　　　　　B．3π　　　　　　　　　C．2π　　　　　　　　D．π
答案　　解析　由已知，， π．
(4)在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是棱SC，BC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是________．
答案　　解析　，，，，平面，，，，，平面，，故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直，，即，正三棱锥外接球的表面积是．

(5)(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为(　　)．
A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D．
答案　D　解析　解法一：为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为，的中点，，，又，平面，∴平面，，为正方体的一部分，，，即，故选D．
　　　　　　　　　　
解法二：设，分别为的中点，，且，为边长为2的等边三角形，，又，，中，由余弦定理可得，作于，，为的中点，，，，，又，两两垂直，，，，故选D．
(6)已知二面角α－l－β的大小为，点P∈α，点P在β 内的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点B，点C∈l，BC＝2，PA＝2，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD＋∠DAB＝π．若四面体PACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．
答案　8π　解析　∵∠BCD＋∠DAB＝π，∴A，B，C，D四点共圆，直径为AC，∵PA⊥平面β，AB⊥l，∴易得PB⊥l，即∠PBA为二面角α－l－β的平面角，即∠PBA＝，∵PA＝2，∴BA＝2，∵BC＝2，∴AC＝2．设球的半径为R，则2－＝，∴R＝，V＝()3＝8π．
【对点训练】
1．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的
表面积为(　　)
A．7π　　　　　　　B．14π　　　　　　　C．π　　　　　　　D．
2．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B－AD－C，则三棱
锥B－ACD的外接球的表面积为(　　)
A．5π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．10π　　　　　　　　D．34π
3．已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体
积等于________.
4．已知四面体P－ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，AB＝PB
＝2，则球O的表面积为________．
5．三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱锥P－ABC的外接球的体
积为(　　)
A．π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．27π　　　　　　　　D．27π
6．在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD各顶点的坐标分别为A(2，2，1)，B(2，2，－1)，C(0，2，
1)，D(0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是(　　)
A．16π　　　　　　B．12π　　　　　　C．4π　　　　　　D．6π
7．在平行四边形ABCD中，∠ABD＝90°，且AB＝1，BD＝，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BC
D，则三棱锥A－BDC的外接球的表面积为(　D　)
A．2π　　　　　　　　B．8π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　　D．4π
8．在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2，则正三棱锥S－ABC的
外接球的表面积为(　　)
A．6π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．32π　　　　　　　　D．36π
9．在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体A－BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，
且AB＝BC＝CD，若此四面体的体积为，则其外接球的表面积为________．
10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，AA1＝3，E是线段A1B1上一点，
若二面角A－BD－E的正切值为3，则三棱锥A－A1D1E外接球的表面积为________．