专题4.5.1 一次函数中的存在性问题分类专题（专项练习）

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专题4.5.1 一次函数中的存在性问题分类专题（专项练习）
【类型一】一次函数中面积存在性问题
1．如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8
(1) 求正比例函数的解析式．
(2) 在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．



2．如图，已知一次函数y＝mx＋3的图象经过点A(2，6)，B(n，－3)．求：
（1）m，n的值；
（2）△OAB的面积
（3）M为坐标轴上的一点，是否存在点M，使S△OBM＝S△OAB?若存在，请求出M的坐标，若不存在，请说明理由




3．如图1，直线l1与x轴交于点A（﹣6，0）、与y轴交于点B（0，﹣3）．
(1) 直线l1的表达式为 　 　；
(2) 若直线l1上有一点M（﹣2，﹣2），y轴上有一点N，当△AMN周长最小时，求点N的坐标；
(3) 如图2，直线l2：与直线l1交于点C，点D（0，3），直线l2上是否存在一点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．





4．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点E(－2，2)，AO＝2OD．
（1）求直线CD的解析式；
（2）直线AB上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．


5．如图，直线y＝2x+4分别与x轴，y轴交于B，A两点
（1）求△ABO的面积；
（2）如果在第三象限内有一点P(﹣1，m)，请用含m的式子表示四边形AOPB的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形AOPB的面积是△ABO面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



6．在平面直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为，如图1所示.
(1) 平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，求点的坐标；
(2) 平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内(与对应， 与对应)，连接如图2所示.若表示△BCD的面积)，求点、的坐标；
(3) 在(2)的条件下，在轴上是否存在一点，使？若存在，求出点的坐标．


【类型二】一次函数中直角三角形存在性问题
7．已知如图，直线的图象与x轴，y轴分别相交于B、A两点，点P在线段AB上由A向B点以每秒2个单位运动，点Q在线段BO上由B向O点以每秒1个单位运动（其中一点先到达终点则都停止运动），设运动的时间为t秒（）．
(1)请直接写出A，B两点的坐标；
(2)当t值为多少时，为等边三角形？
(3)是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，求出t的值：若不存在，说明理由．


8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，且点．
(1) 求点C的坐标；
(2) 求原点O到直线的距离；
(3) 在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



【类型三】一次函数中等腰三角形存在性问题
9．已知一次函数y＝（6＋3m）x＋（n﹣2），求：
（1）当m，n为何值时，此一次函数是正比例函数？
（2）当m，n为何值时，y值随x值的增大而减小，且与y轴交点在x轴下方？
（3）当m＝﹣1，n＝﹣2时，设此一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上是否存在点C使得△ABC是等腰三角形，若存在直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．





10．一次函数y=kx+b图象经过点A（1，3）和B（4，6）．

（1）试求函数表达式；
（2）画出这个一次函数图象；
（3）求这个一次函数与坐标轴围成的三角形面积；
（4）若直线与x轴相交于点C，在x轴上是否存在点P，使得∆ACP为等腰三角形，如果存在，直接写出点P的坐标．







11．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2 与 x 轴交于点 A，与y 轴交于点 B．
(1) 求点 A，B的坐标；
(2) 若直线 AC⊥AB交y 轴负半轴于点 C，求△ABC 的面积；
(3) 在y轴上是否存在点 P，使以 A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．









12．如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．

(1)请直接写出点C的坐标；
(2)如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C′重合，求线段CF的长度；
(3)如图3，动点P（x，y）在第一象限，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出直线PD的的解析式；若不存在，请说明理由．










13．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与坐标轴分别交于点A、B两点，直线x=1交AB于点D，与x轴交于点E，P是直线x=1上的一个动点．
（1）直接写出A、B的坐标，A ，B ；
（2）是否存在点P，使得△AOP的周长最小，若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在点P使得△ABP是等腰三角形，若存在，请写出点P的坐标及计算过程；若不存在，请说明理由．



14．如图，直线与x轴y轴分别交于B、C两点，．
(1) 求B点的坐标和k的值；
(2) 若点是第一象限内的直线上的一个动点．当点A运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式；
(3) 探索：在（2）的条件下：
① 当的面积是时，求点A的坐标；
② 在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．





15．如图，直线l经过点A（﹣1，﹣2）和B（0，1）．
(1) 求直线l的函数表达式；
(2) 线段AB的长为_____；
(3) 在y轴上存在点C，使得以A、B、C为顶点的三角形是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点C的坐标．











【类型四】一次函数中几何最值存在性问题
16．四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，
（1）如图，在上取一点，使得沿翻折后，点落在轴上，记作点，求点的坐标．
（2）求折痕所在直线的解析式．
（3）在折痕上是否存在一点，使最小？若存在，直接写出的最小值，若不存在，请说明理由．






17．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴正半轴上，且．．
(1)求AB；
(2)在y轴上是否存在一点P，使得最小？若存在，请求出的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标．



18．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且．
(1)求点D的坐标及直线的解析式；
(2)求的面积：
(3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由．











19．如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）．
（1）填空：k＝　 　；b＝　 　；m＝　 　；
（2）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若动点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：3？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．



20．如图，直线分别与轴，轴交于，两点，在上取一点，以线段为直角边向右作等腰直角三角形，沿直线的方向以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为秒（）．
（1）求，两点的坐标；
（2）在运动的过程中，为何值时，顶点落在直线上？请说明理由；
（3）在运动的过程中，是否存在实数，使得有最小值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．





【类型五】一次函数中其它存在性问题
21．在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为．
(1)若，则三角形OAB的面积__________；
(2)若，设三角形OAB的面积为S，用含x的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，是否存在点，使，且，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．







22．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为，连接BC，过点О作于点D，点为线段BC上一个动点．
(1) 求BC，OD的长；
(2) 在线段BO上是否存在一点P，使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 当点C关于OQ的对称点恰好落在的边上，请直接写出点Q的坐标．




23．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴的正半轴，x轴的正半轴分别相交于A，B两点，点Q是线段AB上的动点．
（1）若，OA＝3，
①求直线AB所对应的函数关系式；
②若点Q是线段AB的三等分点，求点Q的坐标；
（2） 如图2，作点O关于点A的中心对称点C，连接BC，取BC的中点T，若＝，求证：O，Q，T三点共线．






















参考答案
1．(1)y＝－x(2)存在，点P的坐标为：(5，0)或(－5，0)
【分析】（1）先利用三角形面积公式得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；
（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标 ．
（1）解：∵点A的横坐标为4，，
∴点A的纵坐标为-4，
∴点A的坐标为(4，－4)，
∵正比例函数y＝kx的图像经过点A，
∴-4＝4k，解得k＝－1，
∴正比例函数的解析式为y＝－x；
（2）存在，
∵A(4，－4)，
∴AH＝4，
∵，
∴OP＝5，
∴点P的坐标为(5，0)或(－5，0)．
【点拨】本题考查了正比例函数图像的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，解题的关键是注意点P的坐标有两个．
2．（1）m=1.5，n=-4；（2）9；（3）存在，M1(-3，0)， M2(3，0)，M3(0，2.25)，M4（0，-2.25）
【分析】（1）把A代入解析式，求出m，再把B代入求出n即可；
（2）当x=0时，y=3，再根据面积计算即可；
（3）根据M为坐标轴上的一点和三角形的面积可知点M有四种情况，分别计算即可；
解：（1）将A（2，6）代入y=mx+3中，
2m+3=6，
m=1.5，
将B（n,-3）代入y=1.5x+3中，
1.5n+3=-3，
n=-4；
（2）当x=0时，y=3，
∴S△OAB=；
（3）存在；  
由已知条件可得，
①M在x轴上，
S△OBM=，
4.5=1.5OM，
OM=3，
M1(-3,0)， M2(3,0)；
②M在y轴上，
S△OBM=，
4.5=2OM，
OM=2.25，
M3(0，2.25)， M4（0，-2.25）；
∴M1(-3,0)，M2(3,0)，M3(0，2.25)，M4（0，-2.25）．
【点拨】本题主要考查一次函数解析式求解，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的应用，准确计算是解题的关键．
3．(1)y＝﹣x﹣3(2)N（0，﹣）(3)存在，G（1，）或（﹣7，﹣）
【分析】（1）由待定系数法求出答案即可；
（2）在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，求出直线CM的解析式为y1＝x﹣，则可得出答案；
（3）联立l1，l2的关系式成二元一次方程组，求得C点的坐标，进而求出CD的表达式，求出与x轴的交点，计算出△ACD的面积，求得△CBD的面积，进而求得G点横坐标，代入l2即可．
解：（1）由题意知：A（﹣6，0），B（0，﹣3），
设直线l1的表达式为：y＝kx+b，将A（﹣6，0），B（0，﹣3）代入，得
，
解得：，
∴y＝-x﹣3；
（2）在x轴上取点C（6，0），连接MC交y轴于点N，

∵点A、C关于y轴对称，
∴AN=CN，
∴当AM+MN最小时为MC，△AMN的周长最小，
∵M（﹣2，﹣2），
设直线CM的表达式为：y1＝k1x+b1，将M（﹣2，-2），C（6，0）代入，得
，
解得：，
∴直线CM的解析式为y1＝x﹣，
∴N（0，﹣）；
（3）如图2，

由
解得：，
∴C（﹣3，﹣），
设直线CD的表达式是：y2＝mx+n，
∴，解得：，
∴y2＝x+3，
令y2＝0，
∴x+3＝0，
∴x＝﹣2，
∴E（﹣2，0），
∴AE＝6﹣2＝4，
∴S△ACD＝AE•DF＝，
∵S△CDG＝S△ACD，
∴S△CDG＝×9＝6，
设G（x，x），
∴OD•|x+3|＝6，
即×3•|x+3|＝6，
∴x1＝1，x2＝﹣7，
∴G（1，）或（﹣7，﹣）．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，三角形的面积，两点间距离等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．
4．（1）；（2）或
【分析】（1）先求出A点坐标，利用AO＝2OD求出D点坐标，结合E点坐标求出解析式即可；
（2）设Q（m，m+4），求出S△QCD和S△BCE再由求出m的值即可；
解：（1），
当x=0时，y=4，
∴A（0，4）
∴OA=4，
∵AO＝2OD
∴OD=2
∴D（0，-2）
设直线CD的解析式为
将E(－2，2)，D（0，-2）代入得：

∴
∴直线CD的解析式为
（2）直线CD的解析式为

令，解得，则
设Q（m，m+4），
过作轴交于点，则
S△QCD=×
S△BCE=×
∵
∴
∴
∴
∴

【点拨】本题主要考查了一次函数综合题的知识，此题涉及到求一次函数解析式、两直线交点问题，三角形的面积等知识．
5．（1）4；（2）4﹣m；（3）存在，点P(﹣1，﹣4)
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可解决问题；
（2）根据S四边形ABOP＝S△ABO+S△BPO计算即可；
（3）根据四边形AOPB的面积是△ABO面积的2倍，构建方程即可解决问题.
解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴OA＝4，
当y＝0时，2x+4＝0，
x＝﹣2，
∴OB＝2，
∴ ；
（2） ；
（3）存在满足条件的点P．
∵S四边形AOPB＝2S△ABO，
∴4﹣m＝8，
∴m＝﹣4，
∴存在点P（﹣1，﹣4），使得S四边形ABOP＝2S△ABO．
【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，点的坐标以及三角形的面积公式,点的坐标转化为点到坐标轴的距离时注意符号问题．
6．(1)；(2)；(3)存在点，其坐标为或
【分析】（1）利用平移得性质确定出平移得单位和方向；
（2）根据平移得性质，设出平移单位，根据S△BCD=7（S△BCD建立方程求解，即可）；
（3）设出点P的坐标，表示出PC用，建立方程求解即可．
解：(1)∵B(3，0)平移后的对应点，
∴设，
∴
即线段向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到线段
∴点平移后的对应点；
(2)∵点C在轴上，点D在第二象限，
∴线段向左平移3个单位，再向上平移个单位，∴
连接，

，∴
∴；
(3)存在
设点，∴
∵，
∴
∴，
∴
∴存在点，其坐标为或.
【点拨】本题考查了线段平移的性质，解题的关键在利用平移的性质，得到点坐标的关系、图形面积的关系，根据面积的关系，从而求出点的坐标.
7．(1)，(2)当秒时，为等边三角形(3)当秒或秒时，为直角三角形
【分析】（1）分别将x=0和y=0代入函数表达式求解即可；
（2）根据勾股定理求出AB的长度，根据AB和OB的数量关系可得，求出时t的值即可；
（3）分情况讨论①当②当时t的值即可．
（1）解：当x=0时，，
∴，
当有y=0时，，解得x=18；
∴
综上：，
（2）在中，，
∴
∵，，即
∴，
∴当时，为等边三角形
，解得（秒）
∴当秒时，为等边三角形；
（3），
①当，
则，
，解得；
②当

，解得（秒）
∴当秒或（秒）时，为直角三角形．
【点拨】本题主要考查了一次函数的图象与性质，动点问题与函数图象的关系；熟练地掌握一次函数的图象和性质，根据题意进行分类讨论是解题的关键．
8．(1)(2)(3)存在满足条件的点P，坐标为或．
【分析】（1）C点是一次函数与x轴的交点，将y=0，代入即可得出答案；
（2）代入求出A、B两点坐标，根据两点之间距离公式求出AB的距离，再求出三角形AOB的面积，根据三角形的面积公式，求出O到直线的距离即可；
（3）当是直角三角形，分类讨论：第一种情况，（舍去）；第二种情况；第三种情况，，分别代入求出点P的坐标即可．
（1）当时，解得：，所以点C的坐标为；
（2）代入A、B两点可得：，解得：，故，，，设原点O到直线的距离为d，则，解得：；
（3）设点P的坐标为，因为为锐角，所以是直角三角形，而分两种情况分析：①，此时点P的坐标为；②，故，解得： ，此时点P的坐标为；综上所述，存在满足条件的点P的坐标为或．
【点拨】本题考查了一次函数的综合性问题，包括求坐标轴上点的坐标，点到直线的距离，以及直角三角形的存在性问题，本题的关键是等面积法和分类讨论思想．
9．（1）；（2）；（3）点C的坐标为,,,
【分析】（1）根据正比例函数的定义，即可求得的值；
（2）根据一次函数的性质，即可求得的值；
（3）先计算的长度，分类讨论，当时，根据求得点的坐标，当时,,即可求得点的坐标，当时，设的坐标为
根据勾股定理求得，解方程即可求得点的坐标
解：（1） y＝（6＋3m）x＋（n﹣2）是正比例函数，
，
解得：，
（2）一次函数y＝（6＋3m）x＋（n﹣2）， y值随x值的增大而减小，且与y轴交点在x轴下方，
，
解得，
（3）当m＝﹣1，n＝﹣2时，
一次函数y＝（6＋3m）x＋（n﹣2）为：，
令，得，则，
令，得，则，
，
，
当时，
，
，
，
当时,,
，
或者，
当时，设的坐标为，
，
，
，
解得：，
．
综上所述，点C的坐标为,,,．
【点拨】本题考查了正比例函数，一次函数的图像与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
10．（1）；（2）见分析；（3）；（4）存在，点P的坐标，，，．
【分析】（1）把A（1，3）和B（4，6）代入即可求出k和b的值；
（2）两点法即可画出函数图像；
（3）求出OC和OD的长即可求解；
（4）分三种情况讨论，①当时，②当时，③当 时．
解：（1）∵一次函数y=kx+b图象经过点A（1，3）和B（4，6）,
∴ ，解得： ，
∴该函数表达式为 ．
（2）如图所示：

（3）如图函数与x轴交于C点，与y轴交于D点，

∵函数表达式为，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴；
（4）存在，      ，
①当时，
∵一次函数与x轴相交于点C，
∴ ，
设 ，
∵A（1，3），
∴ ，
，
∴，
解得：（舍去），
∴ ，
②当时，
设，
∴ ，
即，
解得： ，
∴或 ，
③当 时，
设，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
综上，点P的坐标，，，．

【点拨】此题主要考查了一次函数图象，以及待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握分类讨论的思想．
11．(1)A(−1，0)；B(0，2)；(2)1.25；(3)y轴上存在点P，使以 A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为(0，2+）或(0，2−）或(0，0.75）或(0，−2)．
【分析】（1）在y＝2x+2中，分别令x=0，y=0，求出对应的y和x，即可得到A、B的坐标；
（2）设C（0，m），根据勾股定理可以求出m的值，即可得到△ABC 的面积；
（3）分BA＝BP、PB＝PA、AB＝AP三种情况分别求出P点坐标．
解：(1)当y＝0时，2x+2＝0，x= -1，
∴点A的坐标为(−1，0)；
当x＝0时，y＝2x+2＝2，
∴点B的坐标为(0，2)．
(2)设C（0，m），
∵AC⊥AB，
∴即，
∴4+1+1+m2=（2-m）2，
解之可得：m=-0.5，
∴S△ABC=；
(3)由（1）可得AB=，
∴可分三种情况考虑，如图所示．

当BA＝BP时，BP＝，
∴点P1的坐标为(0，2+），点P2的坐标为(0，2−）；
当PB＝PA时，设OP＝x，则PB2＝PA2，
∴ (2−x)2=1+x2，解得：x＝0.75，
∴点P3的坐标为(0，0.75）；
当AB＝AP时，OP＝OB＝2，
∴点P4的坐标为(0，−2)．
综上所述：y轴上存在点P，使以 A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为(0，2+）或(0，2−）或(0，0.75）或(0，−2)．
【点拨】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论的思想方法是解题的关键．
12．(1)（8，6）(2)CF＝3(3)存在，y＝-3x+26
【分析】（1）根据矩形性质和坐标与图形性质可求解；
（2）由折叠性质得，，，利用勾股定理求解、即可；
（3）分两种情况：点P在BC上方和点P在BC下方两种情况，利用全等三角形的判定与性质求得PF=BE，EP=DF即可求解．
（1）解：∵四边形OACB是矩形，OA＝8，OB＝6，
∴AC=OB=6，BC=OA=8，∠OAC=90°，
∴点C坐标为（8，6）；
（2）解：由折叠性质得：，，，
∵OA＝8，OB＝6，∠AOB=90°，
∴AB==10，则=10-6=4，
在Rt△中，BF=8-CF，由勾股定理得，
解得：CF=3；
（3）解：存在，设P（a，2a－4），
当点P在BC上方时，如图，过点P作EFBC交y轴于E，交DC延长线于F，
则∠BEP=∠PFD=90°，EF=BC=8，
∵∠BPE+∠EBP=90°，∠BPE+∠DPF=90°，
∴∠EBP=∠DPF，又BP=PD，
∴△BEP≌△PFD（AAS），
∴BE=PF=2a-4-6=2a-10，DF=PE=a，
∴EF=PE+PF=3a-10=8，解得：a=6，
∴P（6，8），D（8，2），
设直线PD的解析式为y=kx+b，
则，解得：，
∴直线PD的解析式为y=－3x+26；
当点P在BC下方时，如图，过点P作EFBC交y轴于E，交AC于F，
则∠BEP=∠PFD=90°，EF=BC=8，
同理可得△BEP≌△PFD（AAS），
∴BE=6-(2a-4)=10-2a，DF=PE=a，
∴EF=PE+PF=10-a=8，解得：a=2，
∴P（2，0），这与点P在第一象限不符，故舍去，
综上，直线PD的解析式为y=-3x+26．


【点拨】本题考查求一次函数的解析式、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键．
13．（1）（0，3），（4，0）；（2）；（3）存在点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）或（1，-4）使得△ABP是等腰三角形．
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点坐标求解方法求解即可；
（2）作A关于直线的对称点F，连接OF与直线交于点，连接，，OP，即可推出△AOP的周长=OA+AP+OP=OA+PF+OP，则要想OA+AP+OP最小，即OA+PF+OP最小，故当POF三点共线时，OA+PF+OP最小，即P在点的位置，此时P1F+O P1=OF，利用两点距离公式求出OF的长即可得到答案；
（3）设P点坐标为（1，m），先求出，，，再分当PA=PB时，当PA=AB时，当AB=PB时，三种情况进行求解即可．
解：（1）∵与坐标轴分别交于点A、B两点，
∴A点坐标为（0，3），B点坐标为（4，0），
故答案为：（0，3），（4，0）；
（2）如图所示，作A关于直线的对称点F，连接OF与直线交于点，连接，，OP，
∴点F的坐标为（2，3），
∴，
∵A点坐标为（0，3），
∴OA=3，
由轴对称的性质可知PA=PF，
∵△AOP的周长=OA+AP+OP=OA+PF+OP，
∴要想OA+AP+OP最小，即OA+PF+OP最小，
∴当POF三点共线时，OA+PF+OP最小，即P在点的位置，此时P1F+O P1=OF，
∴△AOP的周长的最小值；

（3）设P点坐标为（1，m），
∴，，
∵A点坐标为（0，3），B点坐标为（4，0），
∴，
当PA=PB时，
∴，
∴，
∴此时P点坐标为（1，）；
当PA=AB时，
∴，即，
∴，
∴或（求平方根的方法），
∴此时P点坐标为（1，）或（1，）；
当AB=PB时，
∴，
∴，
∴此时P点坐标为（1，4）或（1，-4），
∴综上所述，存在点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）或（1，-4）使得△ABP是等腰三角形．
【点拨】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，轴对称—最短路径问题，等腰三角形的性质，两点距离公式，利用平方根解方程等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
14．(1)点B的坐标为（，0），k=2(2)S=x-（x＞）(3)①A（1，1）．②（-，0）或（，0）或（1，0）或（2，0）
【分析】（1）令一次函数解析式中x=0，求出y值，即可得出点C的坐标以及OC的长度，再根据OB=OC，即可得出点B的坐标，将点B的坐标代入一次函数解析式中即可求出k值；
（2）由点A（x，y）是第一象限内直线y=2x-1的一个动点，用x表示出y并找出x的取值范围，再根据三角形的面积公式即可得出S关于x的函数关系式；
（3）①将S=代入（2）的结论中可求出x的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点A的坐标；②在①成立的情况下，x轴上存在一点P，使△POA是等腰三角形，如图所示，分别求出P的坐标即可．
（1）解：令y=kx-1中x=0，则y=-1，
∴C（0，-1），OC=1．
∵OB=OC，
∴OB=，
∴点B的坐标为（，0），
把B（，0）代入y=kx-1中，得0=k-1，
解得：k=2．
（2）解：∵点A（x，y）是第一象限内直线y=2x-1的一个动点，
∴A（x，2x-1）（x＞），
∴S=•OB•y=×（2x-1）=x-（x＞）．
（3）解：①当S=时，x-=，
解得：x=1，
∴y=2x-1=1，
∴A（1，1）．
∴当点A的坐标为（1，1）时，△AOB的面积为．
②存在这样的点P．理由如下：
由①知，A的坐标是（1，1），则OA=．
i）如图1，当O是△AOP的顶角顶点时（OA=OP），P的坐标是（-，0）或（，0）

ii）当A是△AOP的顶角顶点时（AO=AP），点P与点O关于过A的与x轴垂直的直线对称，则P的坐标是（2，0）；

iii）当P是△AOP的顶角顶点时（PA=PO），设P（x，0），则x=1，
则P（1，0）．

综上所述，符合条件的点P的坐标是：（-，0）或（，0）或（1，0）或（2，0）．
【点拨】本题考查了一次函数与等腰三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，解题的关键是正确进行分类讨论．
15．(1)y＝3x+1(2)(3)C的坐标为（0，﹣5）或（0，﹣+1）或（0，+1）．
【分析】（1）根据题意设直线l的函数表达式为y＝kx+b，将A（﹣1，﹣2）和B（0，1）代入即可得直线l的函数表达式为y＝3x+1；
（2）根据题意由A（﹣1，﹣2），B（0，1），可得AB＝；
（3）由题意设C（0，m），则AC＝，BC＝|m﹣1|，①若AB＝AC，即＝，可解得C（0，﹣5）；②若AB＝BC，得＝|m﹣1|，解得C（0，﹣+1）或（0，+1）．
解：（1）设直线l的函数表达式为y＝kx+b，
将A（﹣1，﹣2）和B（0，1）代入得：，
解得，
∴直线l的函数表达式为y＝3x+1；
（2）∵A（﹣1，﹣2），B（0，1），
∴AB＝＝；
故答案为：．
（3）设C（0，m），则AC＝，BC＝|m﹣1|，
①若AB＝AC，如图：

∴＝，
解得m＝1（与B重合，舍去）或m＝﹣5，
∴C（0，﹣5）；
②若AB＝BC，如图：

∴＝|m﹣1|，
解得m＝﹣+1或m＝+1，
∴C（0，﹣+1）或（0，+1），
综上所述，以A、B、C为顶点的三角形是以AB为腰的等腰三角形，则C的坐标为（0，﹣5）或（0，﹣+1）或（0，+1）．
【点拨】本题考查一次函数及应用，涉及待定系数法、两点间的距离、等腰三角形等知识，解题的关键是根据题意，列出满足条件的方程．
16．（1）；（2）；（3）存在，
【分析】（1）由翻折可知，再用勾股定理求OB＇长即可；
（2）设AM=x，则BM=B′M=6-x，而AB′=OA-OB′=2，在Rt△AB′M中，利用勾股定理求出x的值，确定M点的坐标，然后利用待定系数法求直线CM的解析式即可，
（3）连接OB交CM于点P，此时，最小，求OB长即可．
解：在长方形中：
由折叠可得：，
在中：，
；
，
，
由折叠可得：，
设为，则，
在中：，
即，
，
∴M点坐标为：，
设将代入，
得，
解得，
∴直线CM的解析式为：．
（3）存在；如图，连接OB交CM于点P，此时，最小，
，
的最小值为：．

【点拨】本题考查了待定系数法、轴对称、勾股定理和最短路径问题，根据翻折设未知数，利用勾股定理构建方程是解题关键，通过轴对称变换，利用两点之间，线段最短是求“两点一线”最短路径问题的基本方法．
17．(1)5(2)(3)（8，0）、（-2，0）或（-3，0）．
【分析】（1）根据题意求出a、b的值，运用勾股定理可求AB的值；
（2）首先求出点D的坐标，再作点B关于y轴的对称点连接，求解即可；
（3）根据AB是腰分类讨论即可．
(1)解：∵
∴a=4，b=3
∴OA=4，OB=3
根据勾股定理可得
∴
所以AB长度为5．
(2)解：存在点P，使得PB+PD最小值为
如图；过点D作轴，交y轴于点E，作点B关于y轴的对称点连接，过点D作轴于点F，

∵

∴
在和中

∴
∴OB=AE=3，OA=DE=4
∴点D坐标为（4，7）
∵，DF=7
根据勾股定理可得

∴
∴PB+PD最小值为．
(3)解：当AB=AM时，点M坐标为（-3，0）
当BA=BM时，点M坐标为（8，0）、（-2，0）
∴使以AB为等腰三角形的点M的坐标为（8 ，0）、（-2，0）或（-3，0）．
【点拨】本题是一次函数的综合应用，解题的关键是掌握勾股定理、对称求线段和最小、等腰三角形的判定．
18．(1)，；(2)；(3)点P的坐标为时，的最大值为
【分析】（1）作轴于点，可证得：，故可得：，，由，可得出，，，，即可得出：D，即可得出直线的解析式；
（2）由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）延长交y轴于点P，则点P即是所求的点，此时的最大值为线段的长度，由可得出：点P ．由勾股定理可得，，即可得出答案．
解：（1）作轴于点，

由题意，，，
∵，
∴，
∴，，
由，令，得，
∴，，
令，得，得，
∴，，
∴，，
，
∴点D的坐标为，
设直线的解析表达式为，
代入和，
得，
解得，
∴直线的解析表达式为；
∴点D的坐标为，直线的解析表达式为；
（2）由题意得，，，
∴；
（3）存在，理由如下：
延长交y轴于点P，则点P即是所求的点，此时的最大值为线段的长度．
令，代入，
解得，
∴点P的坐标为．
在中，由勾股定理得，
．
综上，点P的坐标为时，的最大值为．
【点拨】本题考查了一次函数与几何问题，待定系数法求函数解析式，两点之间线段最短，构造三角形全等求线段长度，三角形面积，掌握以上知识是解题的关键．
19．（1），4，2；（2）存在，点E的坐标为；（3）存在，或
【分析】（1）先把点B的坐标代入求解l2的解析式，进而可得b的值，则有点C的坐标，然后再利用待定系数法求解即可；
（2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，连接EC，则此时△BCE的周长最小，然后可求直线的解析式，进而问题可求解；
（3）由题意可得：，则可分，①当点P在线段DC上时，满足△ACP和△ADP的面积比为1：3，②当点点P在线段DC外时，满足△ACP和△ADP的面积比为1：3，然后根据同底等高问题可进行求解．
解：（1）∵直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），
∴，解得：，
∴直线l2：y＝﹣x+4，
∵直线l2：y＝﹣x+4经过点C（2，m），
∴，
∴点C（2，2），
把点C（2，2）代入直线l1：y＝kx+1可得：，
解得：，
故答案为，4，2；
（2）存在，理由如下：
作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，连接EC，如图所示：

∵C（2，2），B（﹣1，5），
∴，，
由轴对称的性质可得，
∴，
要使△BCE的周长最小，则B、E、C三点共线，则设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
当y=0时，则有，解得：，
∴当△BCE的周长最小时，则点E的坐标为；
（3）存在，理由如下：
由题意可得：，则可分，
①当点P在线段DC上时，满足△ACP和△ADP的面积比为1：3，
∵△ACP和△ADP的高相同，则有面积比转化为底之比，
∴，即，
令y=0时，则有，解得：，
∴，
∵C（2，2），
∴，
∴，
∴；
②当点P在线段DC外时，满足△ACP和△ADP的面积比为1：3，同理可得，
∴，
∴，即；
综上所述：当△ACP和△ADP的面积比为1：3，或．
【点拨】本题主要考查一次函数与几何的综合及轴对称的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合及轴对称的性质是解题的关键．
20．（1）A（6，0），B（0，3）；（2）t=1；（3）存在实数t，使得有最小值，此时t为2秒．
【分析】（1）利用直线与坐标轴交点性质即可求解；
（2）确定出经过秒，顶点的坐标为（1+t，2），落在直线l上，把点的坐标代入直线解析式，即可求出时间t；
（3）定点O，A到动点D距离和的最小值问题，作出A关于CD的对称点A'，连接OA'，与CD交于点D’，只需要求出移动距离就可以求出时间t．
解：（1）∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，
当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝6，
∴A（6，0），B（0，3）；
（2）∵，
∴BC=3-2=1，
∵以线段为直角边向右作等腰直角三角形，
∴D（1，2），
∵经过秒，顶点的坐标为（1+t，2），
∴，解得：t=1；
（3）存在实数t，使得有最小值，
理由如下：
∵点D向右移动所在的直线：y＝2，
作点A关于直线CD对称点A'，则A'（6，4），
连接OA'，交于直线CD于点D'，此时O D'＋D'A最小，
∵O（0，0），A'（6，4），
∴直线OA'：y＝x，
与直线CD：y＝2联立解得点D'（3，2），
如图DD'＝3−1＝2，
t＝2÷1＝2（秒），
答：存在实数t，使得有最小值，此时t为2秒．

【点拨】本题考查一次函数的图像和性质以及等腰昊直角三角形的性质，关键在于根据“马饮水”问题确定出满足最小值的点D．
21．(1)2(2)当时，；当时，(3)存在，6或-2
【分析】（1）先根据题意求出点A的坐标，然后求出OB，AB即可利用三角形面积公式求解；
（2）根据题意求出，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）先证明，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论求解即可．
（1）解：由题意得点A的坐标为（2，2），
∵点B的坐标为（2，0），
∴OB=2，AB=2，∠ABO=90°，
∴，
故答案为：2；

（2）解：，
，


当，即时，
当，即时，

（3）存在，6或﹣2，
，
轴．
，
轴．
①当，
，
．
又，
，
，
．

②当
，
．
又，
，
，
．

【点拨】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，准确理解题意利用数形结合的思想求解是关键．
22．(1)，(2)存在，或(3)点Q坐标为或
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点求得点，的坐标，进而求得，的长，根据勾股定理即可求得、的长，根据等面积法求得的长；
（2）先证明，则与全等分两种情况：①当时，②当时，根据全等三角形的性质分别求解即可
（3）分两种情况讨论，利用折叠的性质，三角形面积公式，等腰三角形的性质可求解．
（1）解：∵令，，得：，
∴，
又∵，
∴，
∴．
令，，得，
∴，
∵，
∴．
（2）存在，理由如下：
由（1）可知，
，
，
，
，
,，
，
即，
所以与全等分两种情况：
①当时，，
因为，
所以，即；
②当时，，


（3）设点关于OQ的对称点为，
①当落在上时，作QE⊥CO于点E，QF⊥BO于点F，

∴∠COQ＝∠OQ＝45°，
又∵QE⊥CO，QF⊥BO，
∴QE＝QF，
∵S△OBC＝×OB×OC＝×OC×QE＋×OB×QF，
∴6×8＝（6＋8）×QE，
∴QE＝QF＝，
∴点Q的坐标为．
②点C关于OQ的对称点落在AB上时，

∴OC＝O＝OA，CQ＝Q，∠OCQ＝∠OQ，
∴∠AO＝∠OA，
∴∠OCQ＝∠OQ＝∠AO＝∠OA，
∴∠CBA＝∠QB，
∴BQ＝Q，
∴CQ＝BQ＝Q，
∴点Q是BC的中点，
∴点Q（−3，4），

综上所述：点Q坐标为或
【点拨】本题考查了一次函数与坐标系交点问题，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，分类讨论思想解决问题是解题的关键．
23．（1）①y＝﹣x+3；②(，2)或(，1)；（2）见分析
【分析】（1）①由△AOB的面积及OA的长，易求得OB的长，可得出B点的坐标，利用待定系数法即可求解；
②根据平行线分线段成比例定理可得点Q的纵坐标为1或2，由①求得的函数关系式即可得点Q的坐标；
（2）可得点C（0，6），由题意得点Q的坐标为（，2），利用待定系数法求出OT的函数关系式，即可得出点Q在直线OT上，即O，Q，T三点共线．
解：（1）①∵S△AOB＝6，OA＝3，
∴OA•OB＝×3OB＝6，
∴OB＝4，
∴A（0，3），B（4，0），
设直线AB所对应的函数关系式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AB所对应的函数关系式为y＝﹣x+3；
②如图：

∵点Q是线段AB的三等分点，
∴点Q的纵坐标为1或2，
∵直线AB所对应的函数关系式为y＝﹣x+3，点Q是线段AB的三等分点，
∴当y＝1时，1＝﹣x+3，解得：x＝，
当y＝2时，2＝﹣x+3，解得：x＝，
∴点Q的纵坐标为（，2）或（，1）；
（2）∵点O关于点A的中心对称点C，A（0，3），
∴点C（0，6），
∵点T是BC的中点，B（4，0），C（0，6），
∴点T（2，3），
∵，
∴点Q的坐标为（，2），
设OT的函数关系式为y＝mx，
则2m＝3，解得m＝，
∴OT的函数关系式为y＝x，
当x＝时，y＝×＝2，
∴点Q在直线OT上，即O，Q，T三点共线．
【点拨】本题主要考查了一次函数的图象与性质、求一次函数解析式、平行线分线段成比例，准确分析计算是解题的关键．