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专题4.5.2 一次函数中的折叠、翻折、对称问题专题（专项练习）
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这是一份专题4.5.2 一次函数中的折叠、翻折、对称问题专题（专项练习），共63页。
专题4.5.2 一次函数中的折叠、翻折、对称问题专题
（专项练习）
1．如图，一次函数的图象经过点和，该图象记作直线．某同学为观察，对函数图象的影响，将这个一次函数中的与交换位置后得到一个新的函数，新函数图象记作直线．
(1) 求直线的解析式；
(2) 若直线与直线，分别相交于点，，求的长；
(3) 若直线与直线，及轴有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出的值．
2．一次函数y＝x＋2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC．
(1)求C点的坐标；
(2)在第二象限内有一点M（m，2），使，求M点的坐标；
(3)将△ABC沿着直线AB翻折，点C落在点E处；再将△ABE绕点E顺时针方向旋转15°，点B落在点F处，过点F作FG⊥y轴于G．求△EFG的面积．
3．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）．点C在线段AO上．如图，将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求AC的长；
（3）点P为x轴上一点．且以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点坐标．
4．如图，一次函数y=-x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB的中点为D（3，2）．将△AOB沿直线CD折叠，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）在坐标平面内存在点P（除点C外），使得以A、D、P为顶点的三角形与△ACD全等，请直接写出点P的坐标．
5．如图1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A和点C，过点A作轴，垂足为点A；过点C作轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
（1）线段的长为______，______度．
（2）将图2中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，如图②，求线段的长；
（3）点M是直线上一个动点（不与点A、点C重合）．过点M的另一条直线与y轴相交于点N．是否存在点M，使与全等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x，y轴于点A和B，与经过点，的直线交于点E．
(1) 求直线CD的函数解析式及点E的坐标；
(2) 点P是线段DE上的动点，连接BP．
① 当BP分面积为1：2时，请直接写出点P的坐标；
② 将沿着直线BP折叠，点E对应点，当点落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标．
7．平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O、A、C的坐标分别为O（0，0）、A（a，0）、C（0，b），且a、b满足；
(1) 矩形的顶点B的坐标是（ ， ）；
(2) 若D是OC中点，沿AD折叠矩形OABC使O点落在E处，折痕为DA，连CE并延长交AB于F，求直线CE的解析式；
(3) 在（2）的条件下，平面内是否存在一点P，使得△OFP是以OF为直角边的等腰直角三角形．若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点C为线段OB的中点，作点C关于直线AB的对称点F，连接BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．
(1) 求点F的坐标．（用m表示）
(2) 求证：．
9．如图，将正方形AOBC放在平面直角坐标系中，点O是坐标系原点，A点坐标为（-1，3）．
(1) 求出点B、C的坐标：
(2) 在x轴上有一动点Q，过点Q作PQ⊥x轴，交BC于点P，连接AP，将四边形AOBP沿AP翻折，当点O刚好落在y轴上点E处时，求点P、D的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．
(1) 直接写出点A、B、C的坐标；
(2) 求△ADE的面积．
11．如图1，一次函数y＝x+3的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D是直线AB上的一个动点，CD⊥x轴于点C，点P是射线CD上的一个动点．
(1)求点A，B的坐标；
(2)如图2，当点D在第一象限，且AB＝BD时，将ACP沿着AP翻折，当点C的对应点落在直线AB上时，求点P的坐标．
12．如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．
(1) 请直接写出点C的坐标；
(2) 如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C′重合，求线段CF的长度；
(3) 如图3，动点P（x，y）在第一象限，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出直线PD的的解析式；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
(1) 求的长；
(2) 求点和点的坐标；
(3) 轴上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，已知一次函数的图像与坐标轴交于点A、B，点C在线段AO上，将△BOC沿BC翻折，点O恰好落在AB上点D处．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求点C的坐标；
15．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OB上，将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，直线DC交AB于点E．
（1）求点C的坐标；
（2）若点P在直线DC上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当△CPQ和△CBE全等时，直接写出点P的坐标 （不包括这两个三角形重合的情况）．
16．已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．
(1) 如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标；
(2) △AOB与△FOD是否全等，请说明理由；
(3) 如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点．
(1) 直接写出点、、的坐标；
(2) 求的面积．
18．已知：如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx＋b的图像相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC．
(1) 直线CD的函数表达式为______；点D的坐标______；（直接写出结果）
(2) 点P为线段DE上的一个动点，连接BP．
① 若直线BP将△ACD的面积分为两部分，试求点P的坐标；
② 点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．
(1)如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积；
(2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；
(3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，且点P正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式．
20．将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．
(1) 如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积；
(2) 如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；
(3) 在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，求此时△PBC的面积．
21．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点，两条垂线相交于点.
（1）线段的长为______，用关于的代数式表示的长______.
（2）折叠图1中的，使点与点重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点，交于点，连接，如图2，若平分，
①求的值和的长度.
②在直线上，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.
22．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A．点C，过点1作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
（1）线段OC，OA，AC的长分别为OC＝ ，OA＝ ，AC＝ ，∠ACO＝ 度．
（2）将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2，求线段AD的长；
（3）点M是直线AC上一个动点（不与点A、点C重合）．过点M的另一条直线MN与y轴相交于点N．是否存在点M，使与全等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图①，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴和y轴交于点A、点B，四边形OACB为矩形．
(1)如图②，点F在BC上，连接AF，把沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点重合．
①求点F的坐标；
②请直接写出直线的解析式：______；
(2)如图③，动点在一次函数的图象上运动，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为，折痕为CE．直线CE的关系式是，与x轴相交于点F，且AE=3．
（1）OC= ，OF= ；
（2）求点的坐标；
（3）求矩形ABCO的面积．
25．如图，Rt△ABC的顶点A（﹣6，0），B（m，0），AC交y轴正半轴于点E，将Rt△ABC沿AC翻折得△ADC，点D恰好落在y轴上．
（1）若DO平分∠ADC，求m的值；
（2）若E（0，3），求C点的坐标；
（3）过点E的直线MN分别交x轴，CD于M，N，且M，N分别是AB，CD的中点，求m的值．
参考答案
1．(1)直线的解析式为(2)(3)或或-1
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式；
（2）分别求出点A和点B的纵坐标，求出纵坐标差的绝对值即为所求；
（3）分别用m表示出点A、B、C的纵坐标，然后分三种情况求出m的值．
(1)解：把和代入，
得
解得
∴直线的解析式为．
(2)根据题意，直线的解析式为，
把代入得；
把代入得．
∴．
(3)设直线x=m分别交l、l’和x轴于点A、B、C，
则当x=m时，，
点A坐标为（m，m-2），点B坐标为（m，-2m+1）
点C坐标为（m，0），
当A和B关于点C对称时，有m-2-2m+1=0
解得m=-1，
当A和C关于点B对称时，有m-2+0=2（-2m+1）
解得m= ，
当C和B关于点A对称时，有-2m+1=2(m-2)
解得m= ，
故m的值为或或-1．
【点拨】本题考查一次函数的相关知识，解决问题的关键是利用待定系数法求出函数解析式，并掌握函数图象上点的坐标特征．
2．(1)C（﹣2，4）(2)M（﹣4，2）(3)2
【分析】（1）先求得A、B的坐标，由勾股定理得到AB＝4，取AB的中点D，连接OD，则OD＝BD＝AB＝2，然后可得到∠BAO＝30°，则∠CAO＝90°，从而可得到点C的坐标；
（2）过点C作CMAB，则S△ABM＝S△ABC．设直线CM的解析式为yx+b，将点C的坐标代入求得b的值，然后将y＝2代入MC的解析式可求得点M的横坐标；
（3）先求出∠FHG＝30°，进而表示出FG，EG，用勾股定理建立方程求出a2，最后用面积公式即可得出结论．
（1）解：对于一次函数y＝x＋2，
当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
当y＝0时，x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴OB＝2，OA＝2，
∴AB＝，
如图1，取AB的中点D，连接OD，则OD＝BD＝AB＝2，
∴OB＝OD＝BD＝2，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠OBD＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝4，
∴∠CAO＝90°，
∴CA⊥AO，
∴C（﹣2，4）；
（2）过点C作CMAB，如图2，
∵CMAB，
∴，
设直线CM的解析式为y＝，将点C的坐标代入得：（﹣2）+b＝4，
解得b＝6，
∴直线CM的解析式为yx+6，
将y＝2代入MC的解析式得：2x+6，
解得：x＝﹣4，
∴M（﹣4，2）；
（3）∵∠ABC＝∠ABO＝60°，
∴点E落在y轴上，
如图3所示，取EG上取一点H使，EH＝FH，连接FH，
由（1）知A（﹣2，0），B（0，2），AB＝4，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝4，
由折叠知，BE＝BC＝4，
由旋转知，EF＝BE＝4，∠BEF＝15°，
∴∠EFH＝∠BEF＝15°，
∴∠FHG＝∠EFH＋∠BEF＝30°，
设FG＝a，
∴FH＝2a，
∴EH＝FH＝2a，
在Rt△FHG中，由勾股定理得，
HG＝，
∴EG＝EH+HG＝2aa＝（2）a，
在Rt△EFG中，根据勾股定理得，，
即a2+[（2）a]2＝16，
∴a2，
∴EG×FG（2）a×aa22．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，添加适当的辅助线是解答本题的关键．
3．（1）；（2）AC=5；（3）当点P的坐标为（2，0）或（-18，0）或（8，0）或（，0），以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形．
【分析】（1）把A、B坐标代入一次函数解析式中求解即可；
（2）先利用勾股定理求出，由折叠的性质可知：CD=CO，BD=OD=6，∠CDB=∠COB=90°，设AC=m，则OC=CD=OA-AC=8-m，由，可得，由此求解即可；
（3）分当AP=AB=10时，当AB=PB时，当AP=BP时，三种情况讨论求解即可．
解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6），
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
（2）∵A（-8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴，
由折叠的性质可知：CD=CO，BD=OD=6，∠CDB=∠COB=90°，
∴∠CDA=90°，AD=AB-BD=4，
设AC=m，则OC=CD=OA-AC=8-m，
∵，
∴，
解得，
∴AC=5；
（3）如图3-1所示，当AP=AB=10时，
∵A点坐标为（-8，0），
∴P点坐标为（2，0）或（-18，0）；
如图3-2所示，当AB=PB时，
∵BO⊥AP，
∴AO=PO=8，
∴点P的坐标为（8，0）；
如图3-3所示，当AP=BP时，
设AP=BP=n，则OP=AO-AP=8-n，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为（，0）；
∴综上所述，当点P的坐标为（2，0）或（-18，0）或（8，0）或（，0），以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够利用数形结合的思想求解．
4．（1）一次函数解析式为y=-x+4.（2）C（，0）；（3）P1（，4）；P2（，-2）；P3（，2）．
试题分析：（1）根据线段中点的性质，可得B点，A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）OC=x，根据翻折变换的性质用x表示出BC的长，再根据勾股定理求解即可；
（3）当△ACD≌△AP1D时，根据C、P点关于D点对称，可得P点坐标，当△ACD≌△DP2A时，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；当△ACD≌△DP3A时，根据线段中点的性质，可得答案．
解：（1）设A点坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），
由线段AB的中点为D（3，2），得
=3，=2，
解得a=6，b=4．
即A（6，0），B（0，4）
故一次函数解析式为y=-x+4.
（2）如图1：
连接BC，设OC=x，则AC=CB=6-x，
∵∠BOA=90°，
∴OB2+OC2=CB2，
42+x2=（6-x）2，
解得x=，
即C（，0）；
（3）①当△ACD≌△APD时，设P1（c，d），
由D是PC的中点，得
，=2，
解得c=，d=4，
即P1（，4）；
如图2：
，
②当△ACD≌△DP2A时，
做DE⊥AC与E，P2F⊥AC与F点，DE=2，CE=，
由△CDE≌△AP2F，
AF=CE=，P2F=DE=2，
OF=6-=，
∴P2（，-2）；
③当△ACD≌△DP3A时，设P3（e，f）
A是线段P2P3的中点，得
，，
解得e=，f=2，
即P3（，2），
综上所述：P1（，4）；P2（，-2）；P3（，2）．
考点：一次函数综合题．
5．（1）4；30．（2）AD=；（3）M点的坐标为（-2，4）或（，−3+2）或（-，3+2）．
【分析】（1）先确定出OA=2，OC=2，进而得出AC=4，可得出答案；
（2）利用折叠的性质得出BD=2-AD，最后用勾股定理即可得出结论；
（3）分不同的情况画出图形，根据全等三角形的性质可求出点M的坐标．
解：（1）∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，
∴令，则；，则，
∴A（2，0），C（0，2），
∴OA=2，OC=2，
∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=8，BC=OA=4，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，，
∴∠ACO=30°．
故答案为：4；30．
（2）由（1）知，BC=2，AB=2，
由折叠知，CD=AD，
在Rt△BCD中，BD=AB-AD=2-AD，
根据勾股定理得，CD2=BC2+BD2，
即：AD2=4+（2-AD）2，
∴AD=；
（3）①如图1，MN⊥y轴，若△AOC≌△MNC，则CN=CO，
∴M点的纵坐标为4，代入y=-x+2得，x=-2，
∴M(−2，4)．
②如图2，MN⊥AC，MP⊥y轴，
∵，
∴CN=AC=4，
∴，
∴M点的横坐标为或-，代入y=-x+2得，y=-3+2或y=3+2．
∴M点的坐标为（，−3+2）或（-，3+2）．
综合以上可得M点的坐标为（-2，4）或（，−3+2）或（-，3+2）．
【点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
6．(1)，(2)①或；②或
【分析】（1）设直线CD的函数解析式为，将点，代入可得其解析式；将两函数解析式联立得到点E的坐标；
（2）①当BP分面积为1：2时，或，设点P的坐标为，其中，则，，根据线段比例关系列出方程，求解即可；
②分三种情况进行讨论，当落在y轴负半轴时、当落在x轴正半轴时、当落在x轴负半轴时，根据线段的相等关系列出方程，求解即可．
（1）解：设直线CD的函数解析式为，
将点，代入可得：
，解得，
∴直线CD的函数解析式为，
将两个一次函数解析式联立，可得，
解得，
所以点E的坐标为；
（2）解：①当BP分面积为1：2时，或，
设点P的坐标为，其中，
则，，
∴或4，解得或
所以点P的坐标为或；
②分三种情况进行讨论：
当落在y轴负半轴时，，
由题意可知，，，
∴，，
此时与点D重合，不符合题意；
当落在x轴正半轴时，，
此时，∴，
设，则，，
∵，
∴，解得，
∴此时点P的坐标为；
当落在x轴负半轴时，，
此时，∴，
设，则，，
∵，
∴，解得，
∴此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．
【点拨】本题考查一次函数的图像与性质、勾股定理的应用、折叠的性质等内容，根据题意得到线段的等量关系，进行数形转化是解题的关键．
7．(1)；(2)；(3)，，，
【分析】（1）根据平方和二次根式的非负性求解即可；
（2）根据折叠的性质可知DA⊥OE，DE=OD，证明CE∥AD，求出直线AD解析式，从而直线CE的解析式可求；
（3）按照当FP=FO，OF=OP讨论即可；
（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
将，代入 ，
得a=-3，
∴点B坐标为（-3，4），
故答案为：（-3，4），
（2）解：如图，连接OE，
由折叠性质可得DA⊥OE，DE=OD，
∵D为OC中点 ，
∴CD=OD，
∵DE=OD=CD，
∴，，
∵，
∴ ,
∴ ,
∴△OCE为直角三角形，
∴OE⊥CE,
∴CE∥AD，
∴,
设直线AD解析式为，将点A（-3，0），D（0，2）代入,
得 ,解得 ,
∴，
设直线CE解析式为，
将点C（0，4）代入可得m=4,
∴直线CE的解析式为．
（3）解：由（2）可知直线CE的解析式为，
∴点F坐标为（-3，2），
∴OA=3，FA=2，
①当FP=FO时，如图所示，即为所求；
过点作，交FB延长线于点H，
∵，，
∴，
在和中，
，
（AAS），
∴OA=FH=3，，
∴AH=AF+FH=2+3=5，
点的横坐标为-（3-2）=-1，
∴点的坐标为（-1，5），
同理点坐标为（-5，-1），
②当OF=OP时，如图所示，即为所求;
过点作轴，交x轴于点Q，
∵，，
∴，
在和中，
，
（AAS），
∴OA= =3，，
∴点的坐标为（2，3），
同理点坐标为（-2，-3），
综上所述满足条件的点P坐标为（-1，5），（-5，-1），（2，3），（-2，-3）．
【点拨】本题考查了一次函数的综合题，需要掌握平方和二次根式的非负性，待定系数的求解析式，等腰直角三角形的判定等知识点，注意分类讨论思想．
8．(1)（m，）(2)证明见详解
【分析】（1）连接CF，交AB于点H，由题意可知点A（0，m）、点B（m，0），故在中，，；由点C为线段OB的中点，C、F关于直线AB对称，可证明， ，进而证明轴，再得出F点坐标即可；
（2）首先证明，推导，再根据可知，进而得出，即可证明．
(1)解：如下图，连接CF，交AB于点H，
由题意可知，直线AB解析式为，
令，则，即点A（0，m），
令，则，即点B（m，0），
∴，
∴在中，，
∵点C为线段OB的中点，
∴点C（，0），，
∵C、F关于直线AB对称，
∴，且，，
∴，
∴，即轴，
∴点F坐标为（m，）；
(2)证明：由（1）可知，，，，
∴（SAS），
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了一次函数的应用、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是熟练运用数形结合的数学思想分析问题．
9．(1)B （3，1）、C （2，4）(2)D （3，5）、P（，3）
【分析】（1）分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H，证明△AGO≌△OHB，根据三角形全等 的性质可得出结论；
（2）根据对称性和全等的性质可得D （3，5），再求出BC的解析式y=-3x+10，从而可求出点P坐标．
解：（1）分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H；
∵四边形 AOBC 是正方形
∴AO= BO ，∠AOB =90°
∴△AGO≌△OHB
∴ AG= OH ，OG= BH
∵A 点坐标为（-1，3）
∴ AG =3，OG=1
∴ OH =3， BH=]
∴ B （3，1）
同理可得C （2，4）
（2）∵点O与点 E 关于 AP 成轴对称
∴AO=AE， AP⊥OE 且平分 OE
∴E （0，6）
根据上面全等可以得到 D （3，5）
∴点 P 的纵坐标是3
∵点 P 在直线 BC 上
∴设直线 BC 为 y = kx + b ，
由条件可得，
解之得
∴y=-3x+10
当y=3时，
∴P（，3）
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，一次函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
10．(1)（8，0）(2)9
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，再利用勾股定理可求得AB，根据折叠的性质可得AC＝AB，即可得OC的长度，进而可得C点的坐标．
（2）根据翻折的性质，可得∠ABD＝∠ACD，∠BDA＝∠ADC，进而可得∠AOD＝∠AED，可证得△AOD≌△AED，故所求△ADE的面积即为求△AOD的面积，即可得解．
(1)解：由题意，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，
令x＝0，得y＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
令y＝0，0＝﹣x+4，
解得x＝3，
∴点A的坐标为（3，0），
∴OB＝4，OA＝3，
∴AB＝＝5，
∵将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，
∴AC＝AB＝5，
∴OC＝5+3＝8，
∴点C的坐标为（8，0）．
(2)解：由翻折的性质可得，∠ABD＝∠ACD，∠BDA＝∠ADC，
∵∠BAO＝∠CAE，
∴∠CAE＋∠ACD＝∠BAO＋∠ABD＝180°－∠AOB＝90°，
∴∠AEC＝180°－（∠CAE＋∠ACD）＝90°，
∴∠AED＝180°－∠AEC＝90°，
∴∠AOD＝∠AED，
∵AD＝AD，
∴△AOD≌△AED（AAS），
∵点D（0，﹣6），
∴OD＝6，
∴S△ADE＝S△AOD＝×OA×OD＝×3×6＝9．
【点拨】本题主要考查了一次函数的图象与性质、翻折的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数的性质和翻折的性质是解题的关键．
11．(1)A（−4，0）；B（0，3）(2)
【分析】（1）利用坐标轴上点的特点建立方程即可得出结论；
（2）先求出C（4，0），D（4，6），进而求出AC＝8，CD＝6，AD＝10，由折叠知，，，再用勾股定理即可得出结论．
（1）解：令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，则x＋3＝0，
∴x＝−4，
∴A（−4，0）．
（2）解：过点D作轴于点E，
∵CD⊥x轴于点C，
∴，
∴四边形OCDE为矩形，
∴，
∵在△DEB和△AOB中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵A（−4，0），
∴C（4，0），
∴D（4，6），
∴AC＝8，
∴，
由折叠知，，
∴，
设PC＝a，
∴，，
在中，，
∴，
∴．
【点拨】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
12．(1)（8，6）(2)CF＝3(3)存在，y＝-3x+26
【分析】（1）根据矩形性质和坐标与图形性质可求解；
（2）由折叠性质得，，，利用勾股定理求解、即可；
（3）分两种情况：点P在BC上方和点P在BC下方两种情况，利用全等三角形的判定与性质求得PF=BE，EP=DF即可求解．
（1）解：∵四边形OACB是矩形，OA＝8，OB＝6，
∴AC=OB=6，BC=OA=8，∠OAC=90°，
∴点C坐标为（8，6）；
（2）解：由折叠性质得：，，，
∵OA＝8，OB＝6，∠AOB=90°，
∴AB==10，则=10-6=4，
在Rt△中，BF=8-CF，由勾股定理得，
解得：CF=3；
（3）解：存在，设P（a，2a－4），
当点P在BC上方时，如图，过点P作EFBC交y轴于E，交DC延长线于F，
则∠BEP=∠PFD=90°，EF=BC=8，
∵∠BPE+∠EBP=90°，∠BPE+∠DPF=90°，
∴∠EBP=∠DPF，又BP=PD，
∴△BEP≌△PFD（AAS），
∴BE=PF=2a-4-6=2a-10，DF=PE=a，
∴EF=PE+PF=3a-10=8，解得：a=6，
∴P（6，8），D（8，2），
设直线PD的解析式为y=kx+b，
则，解得：，
∴直线PD的解析式为y=－3x+26；
当点P在BC下方时，如图，过点P作EFBC交y轴于E，交AC于F，
则∠BEP=∠PFD=90°，EF=BC=8，
同理可得△BEP≌△PFD（AAS），
∴BE=6-(2a-4)=10-2a，DF=PE=a，
∴EF=PE+PF=10-a=8，解得：a=2，
∴P（2，0），这与点P在第一象限不符，故舍去，
综上，直线PD的解析式为y=-3x+26．
【点拨】本题考查求一次函数的解析式、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键．
13．(1)5(2)，(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）先求得点和点的坐标，则可得到，的长，然后依据勾股定理可求得的长；
（2）依据翻折的性质可得到的长，于是可求得的长，从而可得到点的坐标；设，则，在中，依据勾股定理可求得的值，从而可得到点的坐标；
（3）先求得的值，然后依据三角形的面积公式可求得的长，从而可得到点的坐标．
解：（1）∵直线与轴、轴分别交于点A、点，
令，则，
，
，
令，则，
解得，
，
，
在中，；
（2），
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
；
（3），
，
点在轴上，，
，
即，
解得，
点点上方或点下方，
点的坐标为或．
【点拨】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质，勾股定理，三角形面积公式等知识，依据勾股定理列出方程是解题的关键．
14．（1）A（-4，0），B（0,3）；（2）C（，0）．
【分析】（1）分别令y=0，x=0，求得对应的横坐标和纵坐标即可解答；
（2）由折叠可得，BD=BO，CO=CD，∠BDC=∠BOC=90°，设CO=CD=x，AC=4-x，再根据勾股定理列方程求解即可．
解：（1）∵一次函数的图像与坐标轴交于点A、B
∴令y=0，可得，解得x=-3
令x=0，可得=3
∴A（-4，0），B（0,3）；
（2）∵A（-4，0），B（0,3）
∴OA=4，OB=3
∴在Rt△A0B中，AB=，
由折叠可得，BD=B0=3，CO=CD，∠BDC=∠BOC=90°，
∴AD=5-3=2，∠ADC=90°，
设CO=CD=x，则AC=4-x，
∴在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，即：22+x2=（4-x）2，解得x=，
∴OC=
∴C（，0）．
【点拨】本题主要考查了一次函数、翻折变换、勾股定理等知识点，灵活应用折叠的性质成为解答本题的关键．
15．（1）C（0，）；（2）（﹣2，0）或（2，3）或（﹣）
【分析】（1）首先求出A（3，0），B（0，4），得出AB＝5，设OC＝x，则BC＝4﹣x，在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2，解方程即可；
（2）首先可证∠BEC＝∠COD＝90°，分当点D与P重合，当CQ＝BC＝时，当PC＝BE＝2，，时，再分别根据图形性质求出点P的坐标即可．
解：（1） ，
令 则 令 则
A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
由勾股定理得，AB＝，
∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，
∴AD＝AB＝5，
∴OD＝2，
设OC＝x，则，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴C（0，）；
（2）设为
解得：
所以直线CD的解析式为，
∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠BCE＝∠DCO，
∴∠BEC＝∠COD＝90°，
①当点D与P重合时，OP＝2，OC＝，
CP＝ 而
则△CPQ△CBE，此时重合，
∴P（﹣2，0）；
②当CQ＝BC＝时，则点Q的纵坐标为﹣1时，如图，
当△CPQ△CEB时，
解得：
∴；
③当PQ＝BE＝2，，时，如图，
点P（2，3），
综上，点P的坐标为（﹣2，0）或（2，3）或．
【点拨】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解（2）的关键.
16．(1)E（，）
(2)△AOB≌△FOD，理由见详解；
(3)P（0，-3）或（4，1）或（，）.
【分析】（1）连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，首先求出点A，点B，点C，点D的坐标，然后根据点E到两坐标轴的距离相等，得到OE平分∠BOC，进而求出点E的坐标即可；
(2)首先求出直线DE的解析式，得到点F的坐标，即可证明△AOB≌△FOD；
(3)首先求出直线GC的解析式，求出AB的长，设P（m，m-3），分类讨论①当AB=AP时，②当AB=BP时，③当AP=BP时，分别求出m的值即可解答.
(1)解: 连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，
当y=0时，-3x+3=0，
解得x=1，
∴A（1，0），
当x=0时，y=3，
∴OB=3，B（0，3），
∵点D与点C关于y轴对称，C（3，0），OC=3，
∴D（-3，0），
∵点E到两坐标轴的距离相等，
∴EG=EH，
∵EH⊥OC，EG⊥OC，
∴OE平分∠BOC，
∵OB=OC=3，
∴CE=BE，
∴E为BC的中点，
∴E（，）；
(2)解: △AOB≌△FOD，
设直线DE表达式为y=kx+b，
则，
解得：，
∴y=x+1，
∵F是直线DE与y轴的交点，
∴F（0，1），
∴OF=OA=1，
∵OB=OD=3，∠AOB=∠FOD=90°，
∴△AOB≌△FOD；
(3)
解:∵点G与点B关于x轴对称，B（0，3），
∴点G（0，-3），
∵C（3，0），
设直线GC的解析式为：y=ax+c，
，
解得：，
∴y=x-3，
AB== ，
设P（m，m-3），
①当AB=AP时，
=
整理得：m2-4m=0，
解得：m1=0，m2=4，
∴P（0，-3）或（4，1），
②当AB=BP时，=
m2-6m+13=0,
△＜0
故不存在，
③当AP=BP时，
=，
解得：m=，
∴P（， ），
综上所述P（0，-3）或（4，1）或（，），
【点拨】此题主要考查待定系数法求一次函数，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定，勾股定理.
17．(1)点A的坐标为(3，0) ，点B的坐标为(0，4) ，点的坐标为(2)
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，再利用勾股定理可求得AB，根据折叠的性质可得AC=AB，即可得OC的长度，进而可得C点的坐标．
（2）根据翻折的性质，可得∠B=∠C，∠BDA=∠ADC，进而可得∠AOD=∠AED，可证得△AOD≌△AED，故所求△ADE的面积即为求△AOD的面积，即可得解．
（1）解：由题意，直线与轴、轴分别交于点，，
令，得，
点的坐标为，
令，得，
点的坐标为，
，，
，
将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，
即，
，
点的坐标为．
（2）解：由翻折的性质可得，，，
，
，
，
，
≌，
点，
，
．
【点拨】本题考查一次函数的图象与性质、勾股定理，翻折的性质以及全等三角形的判定与性质．
18．(1)，（-4，-6）(2)①点坐标为或；②存在，点坐标为或
【分析】（1）由求出与的交点坐标，进而得到E，C两点坐标，然后代入，求解的值，进而可得直线CD的函数表达式；D点为直线AB与直线CD的交点，联立方程组求解即可．
（2）①分情况求解：情况一，如图1，当P在CD上，设，过B作轴交CD于点M，将代入求解得到点M的坐标，根据，求解的值，进而得到点坐标；情况二，如图2，当P在CE上，设PB与x轴交于G ，根据，解得的值，得到点坐标，设直线的解析式为，将B，G点坐标代入求解的值，得直线的解析式，P为直线与直线CD的交点，联立方程组求解即可．
②分情况求解：情况一，如图3，当D落在x轴上（记为）时，作DH⊥y轴于点H，BH＝OB＝3，由翻折可知，，证明 ，，可得，PB∥x轴，可得P点纵坐标，代入解析式求解即可得点的坐标；情况二，如图4，当D落在y轴上（记为）时，作PM⊥BD，PN⊥OB，由翻折可知：，证明，有PM＝PN，由，，，解得的值，将代入中得的值，即可得到点坐标．
（1）解：将代入得
∴点B的坐标为
将代入得，解得
∴点A的坐标为
∴由题意知点E，C坐标分别为，
将E，C两点坐标代入得
解得：
∴直线CD的函数表达式为；
联立方程组
解得
∴D点坐标为；
故答案为：；．
（2）①解：分情况求解，情况一，如图1，当P在CD上，设，过B作轴交CD于点M
∴将代入中得
解得
∴点M的坐标为
由题意得
∴
解得
∴点坐标为；
情况二，如图2，当P在CE上，设PB与x轴交于G
由题意知：
解得
∴点坐标为
设直线的解析式为
将B，G点坐标代入得
解得
∴直线的解析式为
联立方程组
解得
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．
②解：分情况求解：情况一，如图3，当D落在x轴上（记为）时，作DH⊥y轴于点H
∴BH＝OB＝3
由翻折可得：，
∵°
在和中
∴
∴
∵
∴
∴°
∴PB∥x轴
∴P点纵坐标为
将代入中得
解得
∴点的坐标为；
情况二，如图4，当D落在y轴上（记为）时，作PM⊥BD于M，PN⊥OB于N
由翻折可得：
在和中
∴
∴PM＝PN
∵，，
∴解得
将代入中得
解得
∴点坐标为；
综上所述，存在点，且点坐标为或．
【点拨】本题考查了一次函数的解析式，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，解二元一次方程组．解题的关键在于对知识的灵活运用．
19．(1)84(2)(3)
【分析】（1）先求出点B坐标，继而可得OB，由翻折性质可得：，根据勾股定理可得OC的长，根据三角形面积公式即可求解；
（2）设，，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA的长，从而得到点A坐标，将点A（，0）代入可得k的值；
（3）连接CE交AB于点P，由轴对称的性质可得当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，将直线AB和直线CE的解析式联立可得点P，继而即可求得反比例函数解析式．
解：（1）∵将代入，得：，
∴点B（0，-7），
∴，
又∵点D（0，18），即，
∴，
由翻折的性质可得：，
在Rt△BOC中，由勾股定理可得：，
∴直线BC的坐标三角形的面积；
（2）设，，
∵在Rt△AOB中，由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴点A（，0），
∵将点A（，0）代入，得：，
∴，
（3）如图，连接CE交AB于点P，
∵点C与点D关于直线AB对称，
∴，
∴，
∴当点P、C、E在一条直线上时，有最小值，
又∵DE的长度不变，
∴当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，
设直线CE的解析式，
将点C（-24，0）、E（0，8）代入上式，得：，
解得：，
∴直线CE的解析式，
联立，
解得：，
∴点P（-9，5），
设反比例函数解析式为，
∴，
∴反比例函数解析式为．
【点拨】本题考查一次函数的综合运用，涉及到翻折的性质、勾股定理、待定系数法求解析式、方程组与交点坐标、轴对称路径最短等知识点，解题的关键是求得各直线解析式，明确当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小．
20．(1)84；(2)；(3)112．
【分析】（1）先求出点B坐标，继而可得OB，由翻折性质可得：BC=BD=25，根据勾股定理可得OC的长，根据三角形面积公式即可求解；
（2）设OA=x，AB=14−x，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA的长，从而得到点A坐标，将点A（，0）代入y=kx−7可得k的值；
（3）连接CE交AB于点P，由轴对称的性质可得当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，将直线AB和直线CE的解析式联立可得点P，继而利用分割法求出的面积．
解：（1）∵将代入，得：，
∴点B（0，-7），
∴，
又∵点D（0，18），即，
∴，
由翻折的性质可得：，
在Rt△BOC中，由勾股定理可得：，
∴直线BC的坐标三角形的面积为：；
（2）设，，
∵在中，由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴点A（，0），
∵将点A（，0）代入，得：，
∴；
（3）如图，连接CE交AB于点P，
∵点C与点D关于直线AB对称，
∴，
∴，
∴当点P、C、E在一条直线上时，有最小值，
又∵DE的长度不变，
∴当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，
设直线CE的解析式，
将点C（-24，0）、E（0，8）代入上式，得：，
解得：，
∴直线CE的解析式，
联立，解得：，
∴点P（-9，5），
∴．
【点拨】本题考查一次函数的综合运用，涉及到翻折的性质、勾股定理、待定系数法求解析式、方程组与交点坐标、轴对称路径最短等知识点，解题的关键是求得各直线解析式，明确当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小．
21．（1）；；（2）①；4；②存在；或或或
【分析】（1）先利用一次函数求出A、C的坐标即可求出OA、OC的长，再证四边形OABC为矩形，即可到AB、BC的长；
（2）①利用折叠的性质和角平分线，即可得到∠DAC=∠DCA=∠BCD，从而求出∠DAC的度数，再利用∠DAC的锐角三角函数即可求出的值和的长度；
②先根据点在直线上设出P点坐标，然后利用平面直角坐标中任意两点之间的距离公式分别表示出AP、PD和AD的长，然后再分类讨论即可.
解：（1）∵一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点
当y=0时，代入解得：，当x=0时，代入解得y=6
∴点A的坐标为：，点C的坐标为：
∴，
∵，，CO⊥OA
∴四边形OABC为矩形
∴，
（2）①∵平分
∴∠DCA=∠BCD
由折叠可知：∠DAC=∠DCA
在Rt△ABC中
∠BAC＋∠BCA=90°
可得∠BAC=30°
∵，
∴，
解得：，
由折叠可知：
在Rt△ADE中
∴
解得：AD=4；
②存在，
∵点在直线上，
设P的坐标为
∵点A的坐标为，点D的坐标为：
∴，
当PA=PD时，即
解得：
∴此时P点坐标为：；
当PA=AD时，即
解得：
此时P点坐标为：或；
当PD=AD时，
解得：（此时与A重合，故舍去）
此时P点坐标为：
故P点的坐标为：或或或.
【点拨】此题为一次函数综合题：主要考查的是矩形的性质，锐角三角函数，折叠的性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离，解题的关键是掌握坐标与线段长度的关系及分类讨论的数学思想.
22．（1）2，2，4，30；（2）；（3）存在，(﹣2，4)或()或(﹣)
【分析】（1）先确定出OA=2，OC=2，进而得出AC=4，可得出答案；
（2）利用折叠的性质得出BD=2-AD，最后用勾股定理即可得出结论；
（3）分不同的情况画出图形，根据全等三角形的性质可求出点M的坐标．
解：（1）∵一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，
∴A（2，0），C（0，2），
∴OA＝2，OC＝2，
∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC＝90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝8，BC＝OA＝4，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC＝＝＝4，
∴∠ACO＝30°．
故答案为：2；2；4；30．
（2）由（1）知，BC＝2，AB＝2，
由折叠知，CD＝AD，
在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝2﹣AD，
根据勾股定理得，CD2＝BC2+BD2，
即：AD2＝4+（2﹣AD）2，
∴AD＝；
（3）①如图1，MN⊥y轴，若△AOC≌△MNC，则CN＝CO，
∴M点的纵坐标为4，代入y＝﹣x+2得，x＝﹣2，
∴．
②如图2，MN⊥AC，MP⊥y轴，
∵S△MCN＝S△AOC＝，
∴CN＝AC＝4，
∴PM＝，
∴M点的横坐标为或﹣，代入y＝﹣x+2得，y＝﹣3+2或y＝3+2．
∴M点的坐标为（）或（﹣）．
综合以上可得M点的坐标为（﹣2，4）或（）或（﹣）．
【点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
23．(1)①F的坐标为②(2)存在，点P坐标为(2，1)或
【分析】（1）①由矩形的性质可得BC=OA=4，AC=OB=3，AC//OB，BC//OA，即可求解；②过点作于E，⊥y轴于点G，x轴于M，因为在Rt中，由等积法可得CE= 根据勾股定理可得，，求出，F坐标，代入y=kx+b中即可得；
(2)分两种情况讨论，利用全等三角形的性质，可以求出PF=BE，EP=DF，即可求解；
解：（1）①∵一次函数分别与x轴和y轴交于点A、点B，
可得A(4，0)B(0，3)
∴OA=4，OB=3
∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=4，OB=AC=3
由折叠可知：
设CF=x，则
在Rt∆中，
解得：
∴
∴F的坐标为
②过点作于E，⊥y轴于点G，x轴于M
由(1)可知
∴在Rt中，由等积法可得：
得CE=
∴
∴又F
设为y=kx+b
解得：
所以的解析式为：；
（2）设点P(a，2a-3)，
当点P在BC下方时，如图③，过点P作EF//BC，交y轴于E，交AC于F，
，
∵△BPD是等腰直角三角形，
∴BP=PD，∠BPD=90°
∴EF//BC，
∴∠BEP=∠BOA=90°
∴∠PFD=∠CAO=90°
∴∠BPE+∠DPF=∠DPF+∠PDF，
∴∠BPE=∠PDF，
∴△BPE≌△PDF(AAS)，
PF=BE=3-(2a-3)=6-2a，EP=DF，
∴EF=EP+PF=a+6-2a=4，
a=2，
∴点P (2，1)；
当点P在BC的上方时，如图④，过点P作EF//BC，交y轴于E，交AC的延长线于F，
同理可证△BPE≌△PDF，
BE=PF=2a-3-3=2a-6，
∵EF=EP+PF=a+2a-6=4，
解得：
∴点P，
综上所述：点P坐标为(2，1)或．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
24．（1）8，16；（2）( 6，0)；（3）80
【分析】（1）在直线y=-x+8中令x=0可求得C点坐标，则可求得OC长度；
（2）由折叠的性质可求得B′E，在Rt△AB′E中，可求得AB′，再由点E在直线CF上，可求得E点坐标，则可求得OA长，利用线段和差可求得OB′，则可求得点B′的坐标；
（3）由（1）、（2）可求得OC和OA，可求得矩形ABCO的面积．
解：（1）∵直线y=-x+8与y轴交于点为C，
∴令x=0，则y=8，令y=0，则x=16，
∴点C坐标为（0，8），点F的坐标为（16，0）
∴OC=8；OF=16
故答案为：8；16
（2）在矩形OABC中，AB=OC=8，∠A=90°，
∵AE=3，
∴BE=AB﹣BE=8﹣3=5，
∵是△CBE沿CE翻折得到的，
∴EB′=BE=5，
在Rt△AB′E中， ，
由点E在直线，
设E（a，3），
则有，
解得，a=10，
∴OA=10，
∴OB′=OA﹣AB′=10﹣4=6，
∴点B′的坐标为（6，0）；
（3）由（1），（2）知OC=8，OA=10，
∴矩形ABCO的面积为OC×OA=8×10=80
【点拨】本题为一次函数的综合应用，涉及直线与坐标轴的交点、轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质及方程思想等知识点．在（1）中注意求与坐标轴交点的方法，在（2）中求得E点坐标是解题的关键．
25．（1）6﹣6；（2）（4，5）；（3）3．
【分析】（1）DO平分∠ADC，则△AOD为等腰直角三角形，故OD＝OA＝6，在等腰直角三角形ADO中，AD＝AO＝6＝AB，即可求解；
（2）由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝x+3，故设点C的坐标为（m，m+3），而BC∥y轴，则∠ACB＝∠DEC＝∠DCE，故DE＝CD＝BC＝m+3，则OD＝OE+DE＝m+6，即可求解；
（3）由中点公式得，点M、N的坐标分别为（，0）、（，），则直线MN的表达式为y＝（x﹣），当x＝0时，y＝（0﹣）＝yE＝，即可求解．
解：（1）∵DO平分∠ADC，
∴∠ADO＝∠COD＝45°，
∴△AOD为等腰直角三角形，故OD＝OA＝6，
由图形的翻折知，AD＝AB＝m+6，
在等腰直角三角形ADO中，AD＝AO＝6＝AB，
故OB＝6﹣6＝m；
（2）由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝x+3，故设点C的坐标为（m，m+3）
∵BC∥y轴，则∠ACB＝∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝CD＝BC＝m+3，
故OD＝OE+DE＝m+6，
∵AD＝AB＝m﹣（﹣6）＝m+6，AO＝6，
在Rt△AOD中，AD2＝AO2+OD2，即（m+6）2＝62+（m+6）2，
解得m＝﹣12（舍去）或4，
故点C的坐标为（4，5）；
（3）设a＝OE，过点E作EH⊥AD于点H，
则HE＝OE＝a，
由题意得：AD＝AB＝m+6，
S△ADE＝×AD•HE＝×DE×AO，即×（m+6）•a＝×6•ED，
解得DE＝a（m+6），
则OD＝OE+DE＝a+a（a+6）＝a（12+m），
在Rt△AOD中，AD2＝AO2+OD2，
即（m+6）2＝36+（）2，解得a＝，
则点E、D的坐标分别为（0，）、（0，6m），
而点C（m，），
由中点公式得，点M、N的坐标分别为（，0）、（，），
由点M、N的坐标得，直线MN的表达式为y＝（x﹣），
当x＝0时，y＝（0﹣）＝yE＝，
解得m＝0（舍去）或﹣6（舍去）或3，
故m＝3．
【点拨】本题为三角形综合题，涉及到三角形的面积计算、等腰直角三角形的性质、一次函数的综合运用．
专题4.5.2 一次函数中的折叠、翻折、对称问题专题
（专项练习）
1．如图，一次函数的图象经过点和，该图象记作直线．某同学为观察，对函数图象的影响，将这个一次函数中的与交换位置后得到一个新的函数，新函数图象记作直线．
(1) 求直线的解析式；
(2) 若直线与直线，分别相交于点，，求的长；
(3) 若直线与直线，及轴有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出的值．
2．一次函数y＝x＋2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC．
(1)求C点的坐标；
(2)在第二象限内有一点M（m，2），使，求M点的坐标；
(3)将△ABC沿着直线AB翻折，点C落在点E处；再将△ABE绕点E顺时针方向旋转15°，点B落在点F处，过点F作FG⊥y轴于G．求△EFG的面积．
3．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）．点C在线段AO上．如图，将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求AC的长；
（3）点P为x轴上一点．且以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点坐标．
4．如图，一次函数y=-x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB的中点为D（3，2）．将△AOB沿直线CD折叠，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）在坐标平面内存在点P（除点C外），使得以A、D、P为顶点的三角形与△ACD全等，请直接写出点P的坐标．
5．如图1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A和点C，过点A作轴，垂足为点A；过点C作轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
（1）线段的长为______，______度．
（2）将图2中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，如图②，求线段的长；
（3）点M是直线上一个动点（不与点A、点C重合）．过点M的另一条直线与y轴相交于点N．是否存在点M，使与全等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x，y轴于点A和B，与经过点，的直线交于点E．
(1) 求直线CD的函数解析式及点E的坐标；
(2) 点P是线段DE上的动点，连接BP．
① 当BP分面积为1：2时，请直接写出点P的坐标；
② 将沿着直线BP折叠，点E对应点，当点落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标．
7．平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O、A、C的坐标分别为O（0，0）、A（a，0）、C（0，b），且a、b满足；
(1) 矩形的顶点B的坐标是（ ， ）；
(2) 若D是OC中点，沿AD折叠矩形OABC使O点落在E处，折痕为DA，连CE并延长交AB于F，求直线CE的解析式；
(3) 在（2）的条件下，平面内是否存在一点P，使得△OFP是以OF为直角边的等腰直角三角形．若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点C为线段OB的中点，作点C关于直线AB的对称点F，连接BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．
(1) 求点F的坐标．（用m表示）
(2) 求证：．
9．如图，将正方形AOBC放在平面直角坐标系中，点O是坐标系原点，A点坐标为（-1，3）．
(1) 求出点B、C的坐标：
(2) 在x轴上有一动点Q，过点Q作PQ⊥x轴，交BC于点P，连接AP，将四边形AOBP沿AP翻折，当点O刚好落在y轴上点E处时，求点P、D的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．
(1) 直接写出点A、B、C的坐标；
(2) 求△ADE的面积．
11．如图1，一次函数y＝x+3的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D是直线AB上的一个动点，CD⊥x轴于点C，点P是射线CD上的一个动点．
(1)求点A，B的坐标；
(2)如图2，当点D在第一象限，且AB＝BD时，将ACP沿着AP翻折，当点C的对应点落在直线AB上时，求点P的坐标．
12．如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．
(1) 请直接写出点C的坐标；
(2) 如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C′重合，求线段CF的长度；
(3) 如图3，动点P（x，y）在第一象限，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出直线PD的的解析式；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
(1) 求的长；
(2) 求点和点的坐标；
(3) 轴上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，已知一次函数的图像与坐标轴交于点A、B，点C在线段AO上，将△BOC沿BC翻折，点O恰好落在AB上点D处．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求点C的坐标；
15．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OB上，将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，直线DC交AB于点E．
（1）求点C的坐标；
（2）若点P在直线DC上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当△CPQ和△CBE全等时，直接写出点P的坐标 （不包括这两个三角形重合的情况）．
16．已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．
(1) 如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标；
(2) △AOB与△FOD是否全等，请说明理由；
(3) 如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点．
(1) 直接写出点、、的坐标；
(2) 求的面积．
18．已知：如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx＋b的图像相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC．
(1) 直线CD的函数表达式为______；点D的坐标______；（直接写出结果）
(2) 点P为线段DE上的一个动点，连接BP．
① 若直线BP将△ACD的面积分为两部分，试求点P的坐标；
② 点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．
(1)如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积；
(2)如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；
(3)在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，且点P正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式．
20．将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．
(1) 如果点C在x轴上，将沿着直线AB翻折，使点C落在点上，求直线BC的坐标三角形的面积；
(2) 如果一次函数y=kx-7的坐标三角形的周长是21，求k值；
(3) 在（1）（2）条件下，如果点E的坐标是，直线AB上有一点P，使得周长最小，求此时△PBC的面积．
21．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点，两条垂线相交于点.
（1）线段的长为______，用关于的代数式表示的长______.
（2）折叠图1中的，使点与点重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点，交于点，连接，如图2，若平分，
①求的值和的长度.
②在直线上，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.
22．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A．点C，过点1作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
（1）线段OC，OA，AC的长分别为OC＝ ，OA＝ ，AC＝ ，∠ACO＝ 度．
（2）将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2，求线段AD的长；
（3）点M是直线AC上一个动点（不与点A、点C重合）．过点M的另一条直线MN与y轴相交于点N．是否存在点M，使与全等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图①，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴和y轴交于点A、点B，四边形OACB为矩形．
(1)如图②，点F在BC上，连接AF，把沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点重合．
①求点F的坐标；
②请直接写出直线的解析式：______；
(2)如图③，动点在一次函数的图象上运动，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为，折痕为CE．直线CE的关系式是，与x轴相交于点F，且AE=3．
（1）OC= ，OF= ；
（2）求点的坐标；
（3）求矩形ABCO的面积．
25．如图，Rt△ABC的顶点A（﹣6，0），B（m，0），AC交y轴正半轴于点E，将Rt△ABC沿AC翻折得△ADC，点D恰好落在y轴上．
（1）若DO平分∠ADC，求m的值；
（2）若E（0，3），求C点的坐标；
（3）过点E的直线MN分别交x轴，CD于M，N，且M，N分别是AB，CD的中点，求m的值．
参考答案
1．(1)直线的解析式为(2)(3)或或-1
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式；
（2）分别求出点A和点B的纵坐标，求出纵坐标差的绝对值即为所求；
（3）分别用m表示出点A、B、C的纵坐标，然后分三种情况求出m的值．
(1)解：把和代入，
得
解得
∴直线的解析式为．
(2)根据题意，直线的解析式为，
把代入得；
把代入得．
∴．
(3)设直线x=m分别交l、l’和x轴于点A、B、C，
则当x=m时，，
点A坐标为（m，m-2），点B坐标为（m，-2m+1）
点C坐标为（m，0），
当A和B关于点C对称时，有m-2-2m+1=0
解得m=-1，
当A和C关于点B对称时，有m-2+0=2（-2m+1）
解得m= ，
当C和B关于点A对称时，有-2m+1=2(m-2)
解得m= ，
故m的值为或或-1．
【点拨】本题考查一次函数的相关知识，解决问题的关键是利用待定系数法求出函数解析式，并掌握函数图象上点的坐标特征．
2．(1)C（﹣2，4）(2)M（﹣4，2）(3)2
【分析】（1）先求得A、B的坐标，由勾股定理得到AB＝4，取AB的中点D，连接OD，则OD＝BD＝AB＝2，然后可得到∠BAO＝30°，则∠CAO＝90°，从而可得到点C的坐标；
（2）过点C作CMAB，则S△ABM＝S△ABC．设直线CM的解析式为yx+b，将点C的坐标代入求得b的值，然后将y＝2代入MC的解析式可求得点M的横坐标；
（3）先求出∠FHG＝30°，进而表示出FG，EG，用勾股定理建立方程求出a2，最后用面积公式即可得出结论．
（1）解：对于一次函数y＝x＋2，
当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
当y＝0时，x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴OB＝2，OA＝2，
∴AB＝，
如图1，取AB的中点D，连接OD，则OD＝BD＝AB＝2，
∴OB＝OD＝BD＝2，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠OBD＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝4，
∴∠CAO＝90°，
∴CA⊥AO，
∴C（﹣2，4）；
（2）过点C作CMAB，如图2，
∵CMAB，
∴，
设直线CM的解析式为y＝，将点C的坐标代入得：（﹣2）+b＝4，
解得b＝6，
∴直线CM的解析式为yx+6，
将y＝2代入MC的解析式得：2x+6，
解得：x＝﹣4，
∴M（﹣4，2）；
（3）∵∠ABC＝∠ABO＝60°，
∴点E落在y轴上，
如图3所示，取EG上取一点H使，EH＝FH，连接FH，
由（1）知A（﹣2，0），B（0，2），AB＝4，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝4，
由折叠知，BE＝BC＝4，
由旋转知，EF＝BE＝4，∠BEF＝15°，
∴∠EFH＝∠BEF＝15°，
∴∠FHG＝∠EFH＋∠BEF＝30°，
设FG＝a，
∴FH＝2a，
∴EH＝FH＝2a，
在Rt△FHG中，由勾股定理得，
HG＝，
∴EG＝EH+HG＝2aa＝（2）a，
在Rt△EFG中，根据勾股定理得，，
即a2+[（2）a]2＝16，
∴a2，
∴EG×FG（2）a×aa22．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，添加适当的辅助线是解答本题的关键．
3．（1）；（2）AC=5；（3）当点P的坐标为（2，0）或（-18，0）或（8，0）或（，0），以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形．
【分析】（1）把A、B坐标代入一次函数解析式中求解即可；
（2）先利用勾股定理求出，由折叠的性质可知：CD=CO，BD=OD=6，∠CDB=∠COB=90°，设AC=m，则OC=CD=OA-AC=8-m，由，可得，由此求解即可；
（3）分当AP=AB=10时，当AB=PB时，当AP=BP时，三种情况讨论求解即可．
解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6），
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
（2）∵A（-8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴，
由折叠的性质可知：CD=CO，BD=OD=6，∠CDB=∠COB=90°，
∴∠CDA=90°，AD=AB-BD=4，
设AC=m，则OC=CD=OA-AC=8-m，
∵，
∴，
解得，
∴AC=5；
（3）如图3-1所示，当AP=AB=10时，
∵A点坐标为（-8，0），
∴P点坐标为（2，0）或（-18，0）；
如图3-2所示，当AB=PB时，
∵BO⊥AP，
∴AO=PO=8，
∴点P的坐标为（8，0）；
如图3-3所示，当AP=BP时，
设AP=BP=n，则OP=AO-AP=8-n，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为（，0）；
∴综上所述，当点P的坐标为（2，0）或（-18，0）或（8，0）或（，0），以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够利用数形结合的思想求解．
4．（1）一次函数解析式为y=-x+4.（2）C（，0）；（3）P1（，4）；P2（，-2）；P3（，2）．
试题分析：（1）根据线段中点的性质，可得B点，A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）OC=x，根据翻折变换的性质用x表示出BC的长，再根据勾股定理求解即可；
（3）当△ACD≌△AP1D时，根据C、P点关于D点对称，可得P点坐标，当△ACD≌△DP2A时，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；当△ACD≌△DP3A时，根据线段中点的性质，可得答案．
解：（1）设A点坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），
由线段AB的中点为D（3，2），得
=3，=2，
解得a=6，b=4．
即A（6，0），B（0，4）
故一次函数解析式为y=-x+4.
（2）如图1：
连接BC，设OC=x，则AC=CB=6-x，
∵∠BOA=90°，
∴OB2+OC2=CB2，
42+x2=（6-x）2，
解得x=，
即C（，0）；
（3）①当△ACD≌△APD时，设P1（c，d），
由D是PC的中点，得
，=2，
解得c=，d=4，
即P1（，4）；
如图2：
，
②当△ACD≌△DP2A时，
做DE⊥AC与E，P2F⊥AC与F点，DE=2，CE=，
由△CDE≌△AP2F，
AF=CE=，P2F=DE=2，
OF=6-=，
∴P2（，-2）；
③当△ACD≌△DP3A时，设P3（e，f）
A是线段P2P3的中点，得
，，
解得e=，f=2，
即P3（，2），
综上所述：P1（，4）；P2（，-2）；P3（，2）．
考点：一次函数综合题．
5．（1）4；30．（2）AD=；（3）M点的坐标为（-2，4）或（，−3+2）或（-，3+2）．
【分析】（1）先确定出OA=2，OC=2，进而得出AC=4，可得出答案；
（2）利用折叠的性质得出BD=2-AD，最后用勾股定理即可得出结论；
（3）分不同的情况画出图形，根据全等三角形的性质可求出点M的坐标．
解：（1）∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，
∴令，则；，则，
∴A（2，0），C（0，2），
∴OA=2，OC=2，
∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=8，BC=OA=4，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，，
∴∠ACO=30°．
故答案为：4；30．
（2）由（1）知，BC=2，AB=2，
由折叠知，CD=AD，
在Rt△BCD中，BD=AB-AD=2-AD，
根据勾股定理得，CD2=BC2+BD2，
即：AD2=4+（2-AD）2，
∴AD=；
（3）①如图1，MN⊥y轴，若△AOC≌△MNC，则CN=CO，
∴M点的纵坐标为4，代入y=-x+2得，x=-2，
∴M(−2，4)．
②如图2，MN⊥AC，MP⊥y轴，
∵，
∴CN=AC=4，
∴，
∴M点的横坐标为或-，代入y=-x+2得，y=-3+2或y=3+2．
∴M点的坐标为（，−3+2）或（-，3+2）．
综合以上可得M点的坐标为（-2，4）或（，−3+2）或（-，3+2）．
【点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
6．(1)，(2)①或；②或
【分析】（1）设直线CD的函数解析式为，将点，代入可得其解析式；将两函数解析式联立得到点E的坐标；
（2）①当BP分面积为1：2时，或，设点P的坐标为，其中，则，，根据线段比例关系列出方程，求解即可；
②分三种情况进行讨论，当落在y轴负半轴时、当落在x轴正半轴时、当落在x轴负半轴时，根据线段的相等关系列出方程，求解即可．
（1）解：设直线CD的函数解析式为，
将点，代入可得：
，解得，
∴直线CD的函数解析式为，
将两个一次函数解析式联立，可得，
解得，
所以点E的坐标为；
（2）解：①当BP分面积为1：2时，或，
设点P的坐标为，其中，
则，，
∴或4，解得或
所以点P的坐标为或；
②分三种情况进行讨论：
当落在y轴负半轴时，，
由题意可知，，，
∴，，
此时与点D重合，不符合题意；
当落在x轴正半轴时，，
此时，∴，
设，则，，
∵，
∴，解得，
∴此时点P的坐标为；
当落在x轴负半轴时，，
此时，∴，
设，则，，
∵，
∴，解得，
∴此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．
【点拨】本题考查一次函数的图像与性质、勾股定理的应用、折叠的性质等内容，根据题意得到线段的等量关系，进行数形转化是解题的关键．
7．(1)；(2)；(3)，，，
【分析】（1）根据平方和二次根式的非负性求解即可；
（2）根据折叠的性质可知DA⊥OE，DE=OD，证明CE∥AD，求出直线AD解析式，从而直线CE的解析式可求；
（3）按照当FP=FO，OF=OP讨论即可；
（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
将，代入 ，
得a=-3，
∴点B坐标为（-3，4），
故答案为：（-3，4），
（2）解：如图，连接OE，
由折叠性质可得DA⊥OE，DE=OD，
∵D为OC中点 ，
∴CD=OD，
∵DE=OD=CD，
∴，，
∵，
∴ ,
∴ ,
∴△OCE为直角三角形，
∴OE⊥CE,
∴CE∥AD，
∴,
设直线AD解析式为，将点A（-3，0），D（0，2）代入,
得 ,解得 ,
∴，
设直线CE解析式为，
将点C（0，4）代入可得m=4,
∴直线CE的解析式为．
（3）解：由（2）可知直线CE的解析式为，
∴点F坐标为（-3，2），
∴OA=3，FA=2，
①当FP=FO时，如图所示，即为所求；
过点作，交FB延长线于点H，
∵，，
∴，
在和中，
，
（AAS），
∴OA=FH=3，，
∴AH=AF+FH=2+3=5，
点的横坐标为-（3-2）=-1，
∴点的坐标为（-1，5），
同理点坐标为（-5，-1），
②当OF=OP时，如图所示，即为所求;
过点作轴，交x轴于点Q，
∵，，
∴，
在和中，
，
（AAS），
∴OA= =3，，
∴点的坐标为（2，3），
同理点坐标为（-2，-3），
综上所述满足条件的点P坐标为（-1，5），（-5，-1），（2，3），（-2，-3）．
【点拨】本题考查了一次函数的综合题，需要掌握平方和二次根式的非负性，待定系数的求解析式，等腰直角三角形的判定等知识点，注意分类讨论思想．
8．(1)（m，）(2)证明见详解
【分析】（1）连接CF，交AB于点H，由题意可知点A（0，m）、点B（m，0），故在中，，；由点C为线段OB的中点，C、F关于直线AB对称，可证明， ，进而证明轴，再得出F点坐标即可；
（2）首先证明，推导，再根据可知，进而得出，即可证明．
(1)解：如下图，连接CF，交AB于点H，
由题意可知，直线AB解析式为，
令，则，即点A（0，m），
令，则，即点B（m，0），
∴，
∴在中，，
∵点C为线段OB的中点，
∴点C（，0），，
∵C、F关于直线AB对称，
∴，且，，
∴，
∴，即轴，
∴点F坐标为（m，）；
(2)证明：由（1）可知，，，，
∴（SAS），
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了一次函数的应用、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是熟练运用数形结合的数学思想分析问题．
9．(1)B （3，1）、C （2，4）(2)D （3，5）、P（，3）
【分析】（1）分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H，证明△AGO≌△OHB，根据三角形全等 的性质可得出结论；
（2）根据对称性和全等的性质可得D （3，5），再求出BC的解析式y=-3x+10，从而可求出点P坐标．
解：（1）分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H；
∵四边形 AOBC 是正方形
∴AO= BO ，∠AOB =90°
∴△AGO≌△OHB
∴ AG= OH ，OG= BH
∵A 点坐标为（-1，3）
∴ AG =3，OG=1
∴ OH =3， BH=]
∴ B （3，1）
同理可得C （2，4）
（2）∵点O与点 E 关于 AP 成轴对称
∴AO=AE， AP⊥OE 且平分 OE
∴E （0，6）
根据上面全等可以得到 D （3，5）
∴点 P 的纵坐标是3
∵点 P 在直线 BC 上
∴设直线 BC 为 y = kx + b ，
由条件可得，
解之得
∴y=-3x+10
当y=3时，
∴P（，3）
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，一次函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
10．(1)（8，0）(2)9
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，再利用勾股定理可求得AB，根据折叠的性质可得AC＝AB，即可得OC的长度，进而可得C点的坐标．
（2）根据翻折的性质，可得∠ABD＝∠ACD，∠BDA＝∠ADC，进而可得∠AOD＝∠AED，可证得△AOD≌△AED，故所求△ADE的面积即为求△AOD的面积，即可得解．
(1)解：由题意，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，
令x＝0，得y＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
令y＝0，0＝﹣x+4，
解得x＝3，
∴点A的坐标为（3，0），
∴OB＝4，OA＝3，
∴AB＝＝5，
∵将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，
∴AC＝AB＝5，
∴OC＝5+3＝8，
∴点C的坐标为（8，0）．
(2)解：由翻折的性质可得，∠ABD＝∠ACD，∠BDA＝∠ADC，
∵∠BAO＝∠CAE，
∴∠CAE＋∠ACD＝∠BAO＋∠ABD＝180°－∠AOB＝90°，
∴∠AEC＝180°－（∠CAE＋∠ACD）＝90°，
∴∠AED＝180°－∠AEC＝90°，
∴∠AOD＝∠AED，
∵AD＝AD，
∴△AOD≌△AED（AAS），
∵点D（0，﹣6），
∴OD＝6，
∴S△ADE＝S△AOD＝×OA×OD＝×3×6＝9．
【点拨】本题主要考查了一次函数的图象与性质、翻折的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数的性质和翻折的性质是解题的关键．
11．(1)A（−4，0）；B（0，3）(2)
【分析】（1）利用坐标轴上点的特点建立方程即可得出结论；
（2）先求出C（4，0），D（4，6），进而求出AC＝8，CD＝6，AD＝10，由折叠知，，，再用勾股定理即可得出结论．
（1）解：令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，则x＋3＝0，
∴x＝−4，
∴A（−4，0）．
（2）解：过点D作轴于点E，
∵CD⊥x轴于点C，
∴，
∴四边形OCDE为矩形，
∴，
∵在△DEB和△AOB中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵A（−4，0），
∴C（4，0），
∴D（4，6），
∴AC＝8，
∴，
由折叠知，，
∴，
设PC＝a，
∴，，
在中，，
∴，
∴．
【点拨】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
12．(1)（8，6）(2)CF＝3(3)存在，y＝-3x+26
【分析】（1）根据矩形性质和坐标与图形性质可求解；
（2）由折叠性质得，，，利用勾股定理求解、即可；
（3）分两种情况：点P在BC上方和点P在BC下方两种情况，利用全等三角形的判定与性质求得PF=BE，EP=DF即可求解．
（1）解：∵四边形OACB是矩形，OA＝8，OB＝6，
∴AC=OB=6，BC=OA=8，∠OAC=90°，
∴点C坐标为（8，6）；
（2）解：由折叠性质得：，，，
∵OA＝8，OB＝6，∠AOB=90°，
∴AB==10，则=10-6=4，
在Rt△中，BF=8-CF，由勾股定理得，
解得：CF=3；
（3）解：存在，设P（a，2a－4），
当点P在BC上方时，如图，过点P作EFBC交y轴于E，交DC延长线于F，
则∠BEP=∠PFD=90°，EF=BC=8，
∵∠BPE+∠EBP=90°，∠BPE+∠DPF=90°，
∴∠EBP=∠DPF，又BP=PD，
∴△BEP≌△PFD（AAS），
∴BE=PF=2a-4-6=2a-10，DF=PE=a，
∴EF=PE+PF=3a-10=8，解得：a=6，
∴P（6，8），D（8，2），
设直线PD的解析式为y=kx+b，
则，解得：，
∴直线PD的解析式为y=－3x+26；
当点P在BC下方时，如图，过点P作EFBC交y轴于E，交AC于F，
则∠BEP=∠PFD=90°，EF=BC=8，
同理可得△BEP≌△PFD（AAS），
∴BE=6-(2a-4)=10-2a，DF=PE=a，
∴EF=PE+PF=10-a=8，解得：a=2，
∴P（2，0），这与点P在第一象限不符，故舍去，
综上，直线PD的解析式为y=-3x+26．
【点拨】本题考查求一次函数的解析式、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键．
13．(1)5(2)，(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）先求得点和点的坐标，则可得到，的长，然后依据勾股定理可求得的长；
（2）依据翻折的性质可得到的长，于是可求得的长，从而可得到点的坐标；设，则，在中，依据勾股定理可求得的值，从而可得到点的坐标；
（3）先求得的值，然后依据三角形的面积公式可求得的长，从而可得到点的坐标．
解：（1）∵直线与轴、轴分别交于点A、点，
令，则，
，
，
令，则，
解得，
，
，
在中，；
（2），
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
；
（3），
，
点在轴上，，
，
即，
解得，
点点上方或点下方，
点的坐标为或．
【点拨】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质，勾股定理，三角形面积公式等知识，依据勾股定理列出方程是解题的关键．
14．（1）A（-4，0），B（0,3）；（2）C（，0）．
【分析】（1）分别令y=0，x=0，求得对应的横坐标和纵坐标即可解答；
（2）由折叠可得，BD=BO，CO=CD，∠BDC=∠BOC=90°，设CO=CD=x，AC=4-x，再根据勾股定理列方程求解即可．
解：（1）∵一次函数的图像与坐标轴交于点A、B
∴令y=0，可得，解得x=-3
令x=0，可得=3
∴A（-4，0），B（0,3）；
（2）∵A（-4，0），B（0,3）
∴OA=4，OB=3
∴在Rt△A0B中，AB=，
由折叠可得，BD=B0=3，CO=CD，∠BDC=∠BOC=90°，
∴AD=5-3=2，∠ADC=90°，
设CO=CD=x，则AC=4-x，
∴在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，即：22+x2=（4-x）2，解得x=，
∴OC=
∴C（，0）．
【点拨】本题主要考查了一次函数、翻折变换、勾股定理等知识点，灵活应用折叠的性质成为解答本题的关键．
15．（1）C（0，）；（2）（﹣2，0）或（2，3）或（﹣）
【分析】（1）首先求出A（3，0），B（0，4），得出AB＝5，设OC＝x，则BC＝4﹣x，在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2，解方程即可；
（2）首先可证∠BEC＝∠COD＝90°，分当点D与P重合，当CQ＝BC＝时，当PC＝BE＝2，，时，再分别根据图形性质求出点P的坐标即可．
解：（1） ，
令 则 令 则
A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
由勾股定理得，AB＝，
∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，
∴AD＝AB＝5，
∴OD＝2，
设OC＝x，则，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴C（0，）；
（2）设为
解得：
所以直线CD的解析式为，
∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠BCE＝∠DCO，
∴∠BEC＝∠COD＝90°，
①当点D与P重合时，OP＝2，OC＝，
CP＝ 而
则△CPQ△CBE，此时重合，
∴P（﹣2，0）；
②当CQ＝BC＝时，则点Q的纵坐标为﹣1时，如图，
当△CPQ△CEB时，
解得：
∴；
③当PQ＝BE＝2，，时，如图，
点P（2，3），
综上，点P的坐标为（﹣2，0）或（2，3）或．
【点拨】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解（2）的关键.
16．(1)E（，）
(2)△AOB≌△FOD，理由见详解；
(3)P（0，-3）或（4，1）或（，）.
【分析】（1）连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，首先求出点A，点B，点C，点D的坐标，然后根据点E到两坐标轴的距离相等，得到OE平分∠BOC，进而求出点E的坐标即可；
(2)首先求出直线DE的解析式，得到点F的坐标，即可证明△AOB≌△FOD；
(3)首先求出直线GC的解析式，求出AB的长，设P（m，m-3），分类讨论①当AB=AP时，②当AB=BP时，③当AP=BP时，分别求出m的值即可解答.
(1)解: 连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，
当y=0时，-3x+3=0，
解得x=1，
∴A（1，0），
当x=0时，y=3，
∴OB=3，B（0，3），
∵点D与点C关于y轴对称，C（3，0），OC=3，
∴D（-3，0），
∵点E到两坐标轴的距离相等，
∴EG=EH，
∵EH⊥OC，EG⊥OC，
∴OE平分∠BOC，
∵OB=OC=3，
∴CE=BE，
∴E为BC的中点，
∴E（，）；
(2)解: △AOB≌△FOD，
设直线DE表达式为y=kx+b，
则，
解得：，
∴y=x+1，
∵F是直线DE与y轴的交点，
∴F（0，1），
∴OF=OA=1，
∵OB=OD=3，∠AOB=∠FOD=90°，
∴△AOB≌△FOD；
(3)
解:∵点G与点B关于x轴对称，B（0，3），
∴点G（0，-3），
∵C（3，0），
设直线GC的解析式为：y=ax+c，
，
解得：，
∴y=x-3，
AB== ，
设P（m，m-3），
①当AB=AP时，
=
整理得：m2-4m=0，
解得：m1=0，m2=4，
∴P（0，-3）或（4，1），
②当AB=BP时，=
m2-6m+13=0,
△＜0
故不存在，
③当AP=BP时，
=，
解得：m=，
∴P（， ），
综上所述P（0，-3）或（4，1）或（，），
【点拨】此题主要考查待定系数法求一次函数，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定，勾股定理.
17．(1)点A的坐标为(3，0) ，点B的坐标为(0，4) ，点的坐标为(2)
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，再利用勾股定理可求得AB，根据折叠的性质可得AC=AB，即可得OC的长度，进而可得C点的坐标．
（2）根据翻折的性质，可得∠B=∠C，∠BDA=∠ADC，进而可得∠AOD=∠AED，可证得△AOD≌△AED，故所求△ADE的面积即为求△AOD的面积，即可得解．
（1）解：由题意，直线与轴、轴分别交于点，，
令，得，
点的坐标为，
令，得，
点的坐标为，
，，
，
将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，
即，
，
点的坐标为．
（2）解：由翻折的性质可得，，，
，
，
，
，
≌，
点，
，
．
【点拨】本题考查一次函数的图象与性质、勾股定理，翻折的性质以及全等三角形的判定与性质．
18．(1)，（-4，-6）(2)①点坐标为或；②存在，点坐标为或
【分析】（1）由求出与的交点坐标，进而得到E，C两点坐标，然后代入，求解的值，进而可得直线CD的函数表达式；D点为直线AB与直线CD的交点，联立方程组求解即可．
（2）①分情况求解：情况一，如图1，当P在CD上，设，过B作轴交CD于点M，将代入求解得到点M的坐标，根据，求解的值，进而得到点坐标；情况二，如图2，当P在CE上，设PB与x轴交于G ，根据，解得的值，得到点坐标，设直线的解析式为，将B，G点坐标代入求解的值，得直线的解析式，P为直线与直线CD的交点，联立方程组求解即可．
②分情况求解：情况一，如图3，当D落在x轴上（记为）时，作DH⊥y轴于点H，BH＝OB＝3，由翻折可知，，证明 ，，可得，PB∥x轴，可得P点纵坐标，代入解析式求解即可得点的坐标；情况二，如图4，当D落在y轴上（记为）时，作PM⊥BD，PN⊥OB，由翻折可知：，证明，有PM＝PN，由，，，解得的值，将代入中得的值，即可得到点坐标．
（1）解：将代入得
∴点B的坐标为
将代入得，解得
∴点A的坐标为
∴由题意知点E，C坐标分别为，
将E，C两点坐标代入得
解得：
∴直线CD的函数表达式为；
联立方程组
解得
∴D点坐标为；
故答案为：；．
（2）①解：分情况求解，情况一，如图1，当P在CD上，设，过B作轴交CD于点M
∴将代入中得
解得
∴点M的坐标为
由题意得
∴
解得
∴点坐标为；
情况二，如图2，当P在CE上，设PB与x轴交于G
由题意知：
解得
∴点坐标为
设直线的解析式为
将B，G点坐标代入得
解得
∴直线的解析式为
联立方程组
解得
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．
②解：分情况求解：情况一，如图3，当D落在x轴上（记为）时，作DH⊥y轴于点H
∴BH＝OB＝3
由翻折可得：，
∵°
在和中
∴
∴
∵
∴
∴°
∴PB∥x轴
∴P点纵坐标为
将代入中得
解得
∴点的坐标为；
情况二，如图4，当D落在y轴上（记为）时，作PM⊥BD于M，PN⊥OB于N
由翻折可得：
在和中
∴
∴PM＝PN
∵，，
∴解得
将代入中得
解得
∴点坐标为；
综上所述，存在点，且点坐标为或．
【点拨】本题考查了一次函数的解析式，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，解二元一次方程组．解题的关键在于对知识的灵活运用．
19．(1)84(2)(3)
【分析】（1）先求出点B坐标，继而可得OB，由翻折性质可得：，根据勾股定理可得OC的长，根据三角形面积公式即可求解；
（2）设，，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA的长，从而得到点A坐标，将点A（，0）代入可得k的值；
（3）连接CE交AB于点P，由轴对称的性质可得当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，将直线AB和直线CE的解析式联立可得点P，继而即可求得反比例函数解析式．
解：（1）∵将代入，得：，
∴点B（0，-7），
∴，
又∵点D（0，18），即，
∴，
由翻折的性质可得：，
在Rt△BOC中，由勾股定理可得：，
∴直线BC的坐标三角形的面积；
（2）设，，
∵在Rt△AOB中，由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴点A（，0），
∵将点A（，0）代入，得：，
∴，
（3）如图，连接CE交AB于点P，
∵点C与点D关于直线AB对称，
∴，
∴，
∴当点P、C、E在一条直线上时，有最小值，
又∵DE的长度不变，
∴当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，
设直线CE的解析式，
将点C（-24，0）、E（0，8）代入上式，得：，
解得：，
∴直线CE的解析式，
联立，
解得：，
∴点P（-9，5），
设反比例函数解析式为，
∴，
∴反比例函数解析式为．
【点拨】本题考查一次函数的综合运用，涉及到翻折的性质、勾股定理、待定系数法求解析式、方程组与交点坐标、轴对称路径最短等知识点，解题的关键是求得各直线解析式，明确当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小．
20．(1)84；(2)；(3)112．
【分析】（1）先求出点B坐标，继而可得OB，由翻折性质可得：BC=BD=25，根据勾股定理可得OC的长，根据三角形面积公式即可求解；
（2）设OA=x，AB=14−x，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA的长，从而得到点A坐标，将点A（，0）代入y=kx−7可得k的值；
（3）连接CE交AB于点P，由轴对称的性质可得当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，将直线AB和直线CE的解析式联立可得点P，继而利用分割法求出的面积．
解：（1）∵将代入，得：，
∴点B（0，-7），
∴，
又∵点D（0，18），即，
∴，
由翻折的性质可得：，
在Rt△BOC中，由勾股定理可得：，
∴直线BC的坐标三角形的面积为：；
（2）设，，
∵在中，由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴点A（，0），
∵将点A（，0）代入，得：，
∴；
（3）如图，连接CE交AB于点P，
∵点C与点D关于直线AB对称，
∴，
∴，
∴当点P、C、E在一条直线上时，有最小值，
又∵DE的长度不变，
∴当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小，
设直线CE的解析式，
将点C（-24，0）、E（0，8）代入上式，得：，
解得：，
∴直线CE的解析式，
联立，解得：，
∴点P（-9，5），
∴．
【点拨】本题考查一次函数的综合运用，涉及到翻折的性质、勾股定理、待定系数法求解析式、方程组与交点坐标、轴对称路径最短等知识点，解题的关键是求得各直线解析式，明确当点P、C、E在一条直线上时，△DPE的周长最小．
21．（1）；；（2）①；4；②存在；或或或
【分析】（1）先利用一次函数求出A、C的坐标即可求出OA、OC的长，再证四边形OABC为矩形，即可到AB、BC的长；
（2）①利用折叠的性质和角平分线，即可得到∠DAC=∠DCA=∠BCD，从而求出∠DAC的度数，再利用∠DAC的锐角三角函数即可求出的值和的长度；
②先根据点在直线上设出P点坐标，然后利用平面直角坐标中任意两点之间的距离公式分别表示出AP、PD和AD的长，然后再分类讨论即可.
解：（1）∵一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点
当y=0时，代入解得：，当x=0时，代入解得y=6
∴点A的坐标为：，点C的坐标为：
∴，
∵，，CO⊥OA
∴四边形OABC为矩形
∴，
（2）①∵平分
∴∠DCA=∠BCD
由折叠可知：∠DAC=∠DCA
在Rt△ABC中
∠BAC＋∠BCA=90°
可得∠BAC=30°
∵，
∴，
解得：，
由折叠可知：
在Rt△ADE中
∴
解得：AD=4；
②存在，
∵点在直线上，
设P的坐标为
∵点A的坐标为，点D的坐标为：
∴，
当PA=PD时，即
解得：
∴此时P点坐标为：；
当PA=AD时，即
解得：
此时P点坐标为：或；
当PD=AD时，
解得：（此时与A重合，故舍去）
此时P点坐标为：
故P点的坐标为：或或或.
【点拨】此题为一次函数综合题：主要考查的是矩形的性质，锐角三角函数，折叠的性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离，解题的关键是掌握坐标与线段长度的关系及分类讨论的数学思想.
22．（1）2，2，4，30；（2）；（3）存在，(﹣2，4)或()或(﹣)
【分析】（1）先确定出OA=2，OC=2，进而得出AC=4，可得出答案；
（2）利用折叠的性质得出BD=2-AD，最后用勾股定理即可得出结论；
（3）分不同的情况画出图形，根据全等三角形的性质可求出点M的坐标．
解：（1）∵一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，
∴A（2，0），C（0，2），
∴OA＝2，OC＝2，
∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC＝90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝8，BC＝OA＝4，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC＝＝＝4，
∴∠ACO＝30°．
故答案为：2；2；4；30．
（2）由（1）知，BC＝2，AB＝2，
由折叠知，CD＝AD，
在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝2﹣AD，
根据勾股定理得，CD2＝BC2+BD2，
即：AD2＝4+（2﹣AD）2，
∴AD＝；
（3）①如图1，MN⊥y轴，若△AOC≌△MNC，则CN＝CO，
∴M点的纵坐标为4，代入y＝﹣x+2得，x＝﹣2，
∴．
②如图2，MN⊥AC，MP⊥y轴，
∵S△MCN＝S△AOC＝，
∴CN＝AC＝4，
∴PM＝，
∴M点的横坐标为或﹣，代入y＝﹣x+2得，y＝﹣3+2或y＝3+2．
∴M点的坐标为（）或（﹣）．
综合以上可得M点的坐标为（﹣2，4）或（）或（﹣）．
【点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
23．(1)①F的坐标为②(2)存在，点P坐标为(2，1)或
【分析】（1）①由矩形的性质可得BC=OA=4，AC=OB=3，AC//OB，BC//OA，即可求解；②过点作于E，⊥y轴于点G，x轴于M，因为在Rt中，由等积法可得CE= 根据勾股定理可得，，求出，F坐标，代入y=kx+b中即可得；
(2)分两种情况讨论，利用全等三角形的性质，可以求出PF=BE，EP=DF，即可求解；
解：（1）①∵一次函数分别与x轴和y轴交于点A、点B，
可得A(4，0)B(0，3)
∴OA=4，OB=3
∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=4，OB=AC=3
由折叠可知：
设CF=x，则
在Rt∆中，
解得：
∴
∴F的坐标为
②过点作于E，⊥y轴于点G，x轴于M
由(1)可知
∴在Rt中，由等积法可得：
得CE=
∴
∴又F
设为y=kx+b
解得：
所以的解析式为：；
（2）设点P(a，2a-3)，
当点P在BC下方时，如图③，过点P作EF//BC，交y轴于E，交AC于F，
，
∵△BPD是等腰直角三角形，
∴BP=PD，∠BPD=90°
∴EF//BC，
∴∠BEP=∠BOA=90°
∴∠PFD=∠CAO=90°
∴∠BPE+∠DPF=∠DPF+∠PDF，
∴∠BPE=∠PDF，
∴△BPE≌△PDF(AAS)，
PF=BE=3-(2a-3)=6-2a，EP=DF，
∴EF=EP+PF=a+6-2a=4，
a=2，
∴点P (2，1)；
当点P在BC的上方时，如图④，过点P作EF//BC，交y轴于E，交AC的延长线于F，
同理可证△BPE≌△PDF，
BE=PF=2a-3-3=2a-6，
∵EF=EP+PF=a+2a-6=4，
解得：
∴点P，
综上所述：点P坐标为(2，1)或．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
24．（1）8，16；（2）( 6，0)；（3）80
【分析】（1）在直线y=-x+8中令x=0可求得C点坐标，则可求得OC长度；
（2）由折叠的性质可求得B′E，在Rt△AB′E中，可求得AB′，再由点E在直线CF上，可求得E点坐标，则可求得OA长，利用线段和差可求得OB′，则可求得点B′的坐标；
（3）由（1）、（2）可求得OC和OA，可求得矩形ABCO的面积．
解：（1）∵直线y=-x+8与y轴交于点为C，
∴令x=0，则y=8，令y=0，则x=16，
∴点C坐标为（0，8），点F的坐标为（16，0）
∴OC=8；OF=16
故答案为：8；16
（2）在矩形OABC中，AB=OC=8，∠A=90°，
∵AE=3，
∴BE=AB﹣BE=8﹣3=5，
∵是△CBE沿CE翻折得到的，
∴EB′=BE=5，
在Rt△AB′E中， ，
由点E在直线，
设E（a，3），
则有，
解得，a=10，
∴OA=10，
∴OB′=OA﹣AB′=10﹣4=6，
∴点B′的坐标为（6，0）；
（3）由（1），（2）知OC=8，OA=10，
∴矩形ABCO的面积为OC×OA=8×10=80
【点拨】本题为一次函数的综合应用，涉及直线与坐标轴的交点、轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质及方程思想等知识点．在（1）中注意求与坐标轴交点的方法，在（2）中求得E点坐标是解题的关键．
25．（1）6﹣6；（2）（4，5）；（3）3．
【分析】（1）DO平分∠ADC，则△AOD为等腰直角三角形，故OD＝OA＝6，在等腰直角三角形ADO中，AD＝AO＝6＝AB，即可求解；
（2）由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝x+3，故设点C的坐标为（m，m+3），而BC∥y轴，则∠ACB＝∠DEC＝∠DCE，故DE＝CD＝BC＝m+3，则OD＝OE+DE＝m+6，即可求解；
（3）由中点公式得，点M、N的坐标分别为（，0）、（，），则直线MN的表达式为y＝（x﹣），当x＝0时，y＝（0﹣）＝yE＝，即可求解．
解：（1）∵DO平分∠ADC，
∴∠ADO＝∠COD＝45°，
∴△AOD为等腰直角三角形，故OD＝OA＝6，
由图形的翻折知，AD＝AB＝m+6，
在等腰直角三角形ADO中，AD＝AO＝6＝AB，
故OB＝6﹣6＝m；
（2）由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝x+3，故设点C的坐标为（m，m+3）
∵BC∥y轴，则∠ACB＝∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝CD＝BC＝m+3，
故OD＝OE+DE＝m+6，
∵AD＝AB＝m﹣（﹣6）＝m+6，AO＝6，
在Rt△AOD中，AD2＝AO2+OD2，即（m+6）2＝62+（m+6）2，
解得m＝﹣12（舍去）或4，
故点C的坐标为（4，5）；
（3）设a＝OE，过点E作EH⊥AD于点H，
则HE＝OE＝a，
由题意得：AD＝AB＝m+6，
S△ADE＝×AD•HE＝×DE×AO，即×（m+6）•a＝×6•ED，
解得DE＝a（m+6），
则OD＝OE+DE＝a+a（a+6）＝a（12+m），
在Rt△AOD中，AD2＝AO2+OD2，
即（m+6）2＝36+（）2，解得a＝，
则点E、D的坐标分别为（0，）、（0，6m），
而点C（m，），
由中点公式得，点M、N的坐标分别为（，0）、（，），
由点M、N的坐标得，直线MN的表达式为y＝（x﹣），
当x＝0时，y＝（0﹣）＝yE＝，
解得m＝0（舍去）或﹣6（舍去）或3，
故m＝3．
【点拨】本题为三角形综合题，涉及到三角形的面积计算、等腰直角三角形的性质、一次函数的综合运用．
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