人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第3课时教案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第3课时教案，共9页。教案主要包含了教学重难点，教学过程，课外作业等内容，欢迎下载使用。

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第三课时）
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)
一、 教学目标
1..能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
2. 能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理.
3. 能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.
二、教学重难点
1.用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系
2.用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系
三、教学过程
1.创设情境，从图形中探究新知

问题1：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？观察下图回答。

【预设的答案】
位置关系
向量表示
线线垂直
设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0
线面垂直
设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n⇔ ∃λ∈R,使得u=λn
面面垂直
设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0

【设计意图】类比直线、平面平行的向量表示，提出运用向量解空间中的垂直问题，引导学生回顾空间中线线、线面、面面的平行问题的解法方法，类比学习用空间向量解决空间中的垂直问题，进一步体会空间几何问题代数化的基本思想.
热身活动1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交. (　　)
(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0. (　　)
(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直. (　　)
(4)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直. (　　)
【预设的答案】 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√
【设计意图】进一步将空间中线线、线面、面面的位置关系，转化为向量语言。
2.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,则k=(　　)　
A.2 B.-5 C.4 D.-2
【预设的答案】B　 因为α⊥β,所以两平面的法向量垂直，所以-2-8-2k=0,解得k=-5.
【设计意图】由基本问题出发，使学生进一步体会面面垂直则法向量互相垂直，从而法向量数量积为0.培养学生将空间中的垂直问题转化为空间向量的代数运算的思维意识。
2.线线垂直，线面垂直，面面垂直的空间向量法初步应用

【活动预设】
【预设的答案】






【设计意图】
使学生体会“基底法”比“坐标法”更具有一般性。即不易建立空间直角坐标系的时候，也能用基底法证明线面垂直。



【预设的答案】

【设计意图】
使学生体会利用法向量证明平面与平面垂直的一般思路。教学时要突出直线的方向向量和平面的法向量的作用，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系，通过向量的运算，得到空间图形的位置关系。

例3.如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.

【活动预设】
学生可能倾向于建立空间直角坐标系，用坐标法直接计算与两个不共线向量，的数量积为0，从而得到线面垂直。
【预设的答案】
（方法一）　
..以它们为空间的一个基底。







（方法二）　











（方法三）：



【设计意图】
通过多种证明方法让学生体会利用空间向量证明线面垂直的方法
(1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.在旧版教材中，“基底法”涉及的很少。事实上，基底法更具一般性，也就是在不易建立空间直角坐标系的时候，采用基底法证明垂直问题是非常有效的方法。借此发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。
(2)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论.
(3)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.
(4)通过典例解析，进一步让学生体会空间向量坐标运算在解决立体几何中的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养。
3.归纳小结，方法总结
问题2.本节课我们主要学习了哪些知识？
【预设的答案】

线面的位置关系
向量的位置关系
向量的运算
向量的坐标运算












2.利用空间向量法证明线面垂直的方法有两种：
①利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直；
②求出平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行
3.利用空间向量法证明面面垂直有两种方法：
①证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；
②证明两平面的法向量垂直
【设计意图】
使学生对空间向量法解决立体几何中的垂直问题的方法系统化，提高学生的概括能力。从而解决问题的思路更加清晰。体会立体几何问题代数化的优点，进一步培养学生问题转化的能力。也为后面空间向量法求距离，角度做铺垫。
四、课外作业
1.若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是(　　)
A.n1＝(1，2，1)，n2＝(－3，1，1)
B.n1＝(1，1，2)，n2＝(－2，1，1)
C.n1＝(1，1，1)，n2＝(－1，2，1)
D.n1＝(1，2，1)，n2＝(0，－2，－2)
答案　A 解析　∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0，
∴n1·n2＝0，故选A.
2.已知直线l1的方向向量a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是(　　)
A.－3或1 B.3或－1 C.－3 D.1
答案　A 解析　∵|a|＝＝6，∴x＝±4，
又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，
∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3，
当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.
3．已知平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，＝(－1,1，－2)，则直线AB与平面α的位置关系为(　 　)
A．AB⊥α B．AB⊂α C．AB与α相交但不垂直 D．AB∥α
答案　A 解析 平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，＝(－1,1，－2)，∴n＝－2，∴n∥，∴⊥α，即直线AB与平面α垂直．故选A．

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则( 　　)
A.平面AED∥平面A1FD1 B.平面AED⊥平面A1FD1
C.平面AED与平面A1FD1相交但不垂直 D.以上都不对
答案: B　 解析:以D为原点, DA,DC,DD1分别为x,y,z建立空间直角坐标系,求出平面AED的法向量n1与平面A1FD1的法向量n2.因为n1·n2=0,所以n1⊥n2,故平面AED⊥平面A1FD1.


5.若直线l的方向向量是a=(1,0,-2),平面β的法向量是b=(-1,0,2),则直线l与β的位置关系是　　　　　. 
答案: l⊥β　 解析:因为a∥b,所以l⊥β.
6.已知A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为__(－1,0,2)__．
[解析]　由题意得＝(－x,1，－z)，＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，由⊥，得·＝x－1＋z＝0，由⊥，得·＝－2x－z＝0，
解得故点P的坐标为(－1,0,2)．
7.如图,在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC.

证明: 建立空间直角坐标系,如图,取A(0,0,a),则易得B(0,0,0),
C32a,32a,0,D(0,3a,0),E34a,34a,a2,F0,32a,a2.
∵∠BCD=90°,∴CD⊥BC.∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.
又∵AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.
∴CD=-32a,32a,0为平面ABC的一个法向量.
设平面BEF的法向量n=(x,y,z),∴n·EF=0,
即(x,y,z)·-34a,34a,0=0.∴x=y.
由n·BF=0,即(x,y,z)·0,32a,a2=0,
有32ay+a2z=0,∴z=-3y.
取y=1,得n=(1,1,-3).
∵n·CD=(1,1,-3)·-32a,32a,0=0,
∴n⊥CD.∴平面BEF⊥平面ABC.
8．如图所示，在长方体中，，，、分别是、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．

证明：（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
在长方体中，，，、分别是、的中点，
，1，，，1，，，0，，
平面的法向量，1，，，
平面，平面．
（2），0，，，2，，，2，，，1，，
，，，，
，平面．