初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试精品同步测试题

第12课  待定系数法求二次函数的解析式

知识点  用待定系数法求二次函数解析式

1．二次函数解析式常见有以下几种形式 ：

(1)一般式：                              (a，b，c为常数，a≠0)；

(2)顶点式：                              (a，h，k为常数，a≠0)；

(3)交点式：                              (，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．

2．确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下

第一步，设：                                    ，或                                    ；

第二步，代：                              ；

第三步，解：                              ；

第四步，还原                              ：．

【注意】

在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：

①当已知                              ，可设函数的解析式为；

②当已知                              ，可设函数的解析式为；

③当已知                              ，可设函数的解析式为．

考法01   用待定系数法求二次函数解析式

【典例1】已知函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝2，则a，b的值分别是（       ）

A．，﹣ B．， C．1，2 D．﹣1，2

【即学即练】已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，则a、b的值分别为（       ）

A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2

【典例2】已知点在函数的图象上，则a等于______．

【即学即练】若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是 __．

考法02  用待定系数法解题

【典例3】二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（       ）

A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小

C．当时， D．的最大值为

【即学即练】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x、y的部分对应值如下表所示，则下列判断不正确的是（       ）

A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，

C．顶点坐标为(1，2) D．是方程的一个根

【典例4】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．

(1)求此二次函数的解析式；

(2)当时，求二次函数的最大值和最小值；

(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．求m的取值范围；

【即学即练】如图，已知抛物线经过A(-1,0)，B(3,0)两点，C是抛物线与y轴的交点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P(m，n)在平面直角坐标系的第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S求S关于m的函数解析式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值．

题组A  基础过关练

1．若二次函数的图象经过原点，则的值为（     ）

A． B． C． D．或

2．若抛物线的顶点是，且经过点，则抛物线的函数关系式为（       ）

A． B．

C． D．

3．已知二次函数的图象经过点，且当时，随的增大而减小，则点的坐标可以是（   ）

A． B． C． D．

4．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　）

A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4

C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4

5．过原点的抛物线的解析式是（ 　 ）

A．y=3x2-1 B．y=3x2+1 C．y=3（x+1）2 D．y=3x2+x

6．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是

A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2

7．如果抛物线的对称轴是x＝－3，且开口方向与形状与抛物线y= -2 x2相同，又过原点，那么a＝_______，b＝ ______，c＝_________．

8．写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）与y轴交于点（0，3），这个二次函数的解析式可以是________．

9．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求二次函数图象的对称轴．

10．如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点，

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点在抛物线上，求的值．

题组B  能力提升练

1．抛物线y=ax2+bx+c经过点(3，0)和(2，﹣3)，且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（       ）

A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3

2．某二次函数的图象与函数y＝x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，且顶点坐标为（﹣2，1），则该二次函数表达式为（       ）

A．y＝（x﹣2）2＋1 B．y＝（x﹣2）2﹣1

C．y＝（x＋2）2＋1 D．y＝﹣（x＋2）2＋1

3．如图所示是二次函数y＝ax2﹣x+a2﹣4的图象，图象过坐标原点，则a的值是（　　）

A．a＝2 B．a＝﹣2 C．a＝﹣4 D．a＝2或a＝﹣2

4．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6，（　　）

A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝3，则a＞0

C．若h＝4，则a>0 D．若h＝5，则a＞0

5．抛物线的图象如下，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（       ）

A． B．        C．        D．

6．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）

A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟

7．平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”．现将二次函数（c为常数）的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为，则新抛物线的函数表达式为_______．

8．定义：对于一个函数，当自变量x取a时，函数y的值也等于a，则称a是这个函数的不动值．已知二次函数．

（1）若﹣2是此函数的不动值，则m的值为______；

（2）若此函数有两个不动值a、b，且，则m的取值范围是______．

9．如图，已知抛物线经过点和点．解答下列问题．

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的顶点为，对称抽与轴的交点为，求线段的长；

(3)点在抛物线上运动，是否存在点使的面积等于6？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

10．下表给出了代数式与x的一些对应值：

(1)利用表中所给数值求出a，b，c的值；

(2)直接写出：m＝___，n＝___；

(3)设，则当x取何值时，．

题组C  培优拔尖练

1．如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（     ）

A． B． C． D．

2．如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，下列结论不正确的是（       ）

A．抛物线的对称轴为直线 B．若，则

C．y的最大值为1 D．若轴交抛物线于点D，则

3．如图，若抛物线y＝ax2与四条直线x＝1、x＝2、y＝1、y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围（     ）

A．≤a≤2 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤1

4．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法：①abc>0；②　2a+b=0；③　a(x+1)(x-3)=0；④　2c-3b=0．其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，若抛物线的顶点在直线上移动，且与线段、都有公共点，则h的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

6．抛物线经过点，且与轴交于点．若，则该抛物线解析式为（       ）

A． B．或

C． D．或

7．若二次函数的图象经过点A（3，0），与y轴交于点B，则a的值是______，若点P是该抛物线对称轴上的一动点，且△APB是以AB为直角边的直角三角形，则点P的坐标为_______．

8．已知抛物线经过点．若点在该抛物线上，且，则n的取值范围为______．

9．如图，抛物线（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，作直线BC．

(1)若OB＝OC，求抛物线的表达式；

(2)P是线段BC下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交线段BC于点E．若EB＝EC＝EP，求a的值．

10．如图,在坐标系中△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°,A(1, 0),B(0, 2),抛物线的图象过点（2，-1）及点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求点C的坐标

(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.