高中数学新教材选择性必修第二册讲义 第5章 5.3.1 函数的单调性

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高考政策|高中“新”课程，新在哪里? 1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。 第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。 第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。 第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。 2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。 3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。 4、授课方式变化，选课制度将全面推开。 5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。 §5.3　导数在研究函数中的应用 5．3.1　函数的单调性 学习目标　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 导语 同学们，对于函数的单调性，大家并不陌生，早在学习必修第一册的时候，我们就利用定义法和图象法求了函数的单调区间，比如大家所熟悉的一次函数、二次函数等．当然，求单调区间的前提是要先确定函数的定义域，但是对于更复杂一些的函数，比如三次函数、与指数或对数有关的函数等，虽然定义法是解决问题的根本方法，但定义法比较烦琐，又不能画出函数图象，为了解决这个问题，就需要用到我们今天的知识：函数的单调性与导数的关系． 一、函数的单调性与导数的关系 问题1　观察下面高台跳水的运动轨迹以及其导数的图象，试说明运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 问题2　观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系． 知识梳理 函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： 注意点：(1)当f′(x)＝0时，f(x)是常函数；(2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)变化． 例1　利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋2x－5；(2)f(x)＝x－eq \f(1,x)－ln x；(3)f(x)＝x－ex(x>0)． 跟踪训练1　利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝x2－2x＋aln xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>\f(1,2)))； (2)f(x)＝eq \f(ln x,x)(x>e)． 二、利用导数求函数的单调区间 例2　求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3x2－2ln x； (2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1. 跟踪训练2　求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x2·e－x； (2)f(x)＝x＋eq \f(1,x). 三、由导数的信息画函数的大致图象 例3　已知导函数f′(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f′(x)>0；当00的解集为(　　) A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－2，－1)∪(1,2) 2．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A．在区间(－2,1)上，f(x)单调递增 B．在(1,2)上，f(x)单调递增 C．在(4,5)上，f(x)单调递增 D．在(－3，－2)上，f(x)单调递增 3．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(－∞，0) D．(0,2) 4．函数f(x)＝ln x－4x＋1的单调递增区间为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B．(0,4) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) 5．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是(　　) 6．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是(　　) A.(x1－x2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))))<0 B.(x1－x2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))))>0 C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2)),2) D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2)),2) 7．函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的单调递减区间为________________． 8．函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式eq \f(f′x,x)<0的解集为______________． 9．判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性． 10．已知函数f(x)＝eq \f(ax－6,x2＋b)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0. (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间． 11．函数f(x)＝xcos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是(　　) 12．已知定义域为R的函数f(x)的导函数的图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是(　　) A．f(a)＞f(b)＞f(0) B．f(0)＜f(c)＜f(d) C．f(b)＜f(0)＜f(c) D．f(c)＜f(d)＜f(e) 13．若定义在R上的函数y＝f(x)满足f′(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)与eaf(0)的大小关系为(　　) A．f(a)eaf(0) C．f(a)＝eaf(0) D．不能确定 14．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________________． 15．(多选)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是(　　) A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2＋2 C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos x 16．已知函数f(x)＝eq \f(ln x＋k,ex)(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． (1)求实数k的值； (2)求函数f(x)的单调区间． f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减