高中数学新教材选择性必修第二册讲义 第4章 4.1 第2课时 数列的递推公式

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高考政策|高中“新”课程，新在哪里? 1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。 第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。 第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。 第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。 2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。 3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。 4、授课方式变化，选课制度将全面推开。 5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。 第2课时　数列的递推公式 学习目标　1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法求通项公式.3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式． 导语 同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时上的例1. 一、数列通项公式的简单应用 例1　(教材P5例3改编)已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*. (1)写出数列的前3项； (2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项． 跟踪训练1　已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72. (1)求实数q的值； (2)判断－81是否为此数列中的项． 二、数列的递推公式 问题1　如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． (1)每次只能移动一个金属片； (2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面． 将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为an，你能发现an与an＋1之间的关系吗？ 知识梳理 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 注意点：(1)通项公式反映的是an与n之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项． 例2　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，n∈N*，求a2 021. 跟踪训练2　已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝eq \f(1,2)an＋eq \f(1,2n)，则此数列的第3项是(　　) A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D.eq \f(5,8) 三、由递推公式求通项公式 例3　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，则an等于(　　) A.eq \f(1,n) B.eq \f(2n－1,n) C.eq \f(n－1,n) D.eq \f(1,2n) (2)已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))满足a1＝1，an＋1＝eq \f(n,n＋1)aneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*))，则an等于(　　) A．n＋1 B．n C.eq \f(1,n＋1) D.eq \f(1,n) 跟踪训练3　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋eq \r(n＋1)－eq \r(n)(n≥2)，求an. (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an. 四、an与Sn的关系 问题2　如果已知某数列的前n项和Sn＝n2＋n，如何求a4? 知识梳理　 1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.)) 注意点：(1)注意等式成立的条件；(2)一定要检验n＝1时，S1是否满足首项． 例4　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an. 延伸探究　将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an. 跟踪训练4　已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an. (1)Sn＝2n2＋3n＋2； (2)Sn＝3n－1. 1．知识清单： (1)数列的递推公式． (2)数列的前n项和Sn与an的关系． 2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法． 3．常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况． 1．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于(　　) A．36 B．35 C．34 D．33 3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 021的值为(　　) A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4) 4．323是数列{n(n＋2)}的第________项． 课时对点练 1．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，则此数列的第5项是(　　) A．15 B．255 C．16 D．63 2．数列eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，－eq \f(1,16)，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是(　　) A．an＋1＝2an B．an＋1＝－2an C．an＋1＝eq \f(1,2)an D．an＋1＝－eq \f(1,2)an 3．在数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a1＝eq \f(1,2)，an＋1＝1－eq \f(1,an)，则a2 021等于(　　) A.eq \f(1,2) B．－1 C．2 D．3 4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于(　　) A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n 5．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是(　　) A．an＋1＝an＋n，n∈N* B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2 D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 6．(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是(　　) A．a1＝3 B．an＝2n(n≥2) C．an＝2n D．an＝2n(n≥2) 7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4＝________. 8．已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝______. 9．在数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a1＝1，an＋1＝eq \f(2an,2＋an)(n∈N*)． (1)求a2，a3，a4； (2)猜想an(不用证明)． 10．已知各项均不为0的数列{an}满足a1＝eq \f(1,2)，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，求数列{an}的通项公式． 11．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝eq \f(n,n＋1)an，则数列{an}的最大项是(　　) A．a1 B．a9 C．a10 D．不存在 12．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 020等于(　　) A．a2 021 B．a2 022 C．a2 023 D．a2 024 13．已知an＝eq \f(n2－21n,2)，则数列{an}中相等的连续两项是(　　) A．第9项，第10项 B．第10项，第11项 C．第11项，第12项 D．第12项，第13项 14．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)aeq \o\al(2,n＋1)－naeq \o\al(2,n)＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________. 15．在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________. 16．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(an,2)，an为偶数，,3an＋1，an为奇数.))若a4＝4，求m所有可能的取值．