【暑假培优训练】2023年人教版数学八年级（八升九）暑假第05天 《分式》提升训练

第05天：分式

一、单选题

1．我们知道：，，……，，那么接近于(   )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由负整数指数幂的含义结合整数指数幂的运算可得：再分别把各选项变形，再比较即可得到答案.

【详解】解：

而

即

是一个10位整数，最高位的数字为1，

是一个10位整数，最高位的数字为1，是一个11位整数，最高位的数字为1，

所以更接近

所以最接近

故选B

【点评】本题考查的是负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，掌握“整数指数幂的运算法则与负整数指数幂的含义”是解本题的关键.

2．已知，，，，则、、的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由A，C都为正数，结合分子相同，分母越大分数值越小，可得 再利用作差法比较C，B的大小即可．

【详解】解：

则

则

故选A

【点评】本题考查的是分式的值的大小比较，掌握“作差法比较代数式的大小”是解本题的关键．

3．关于的分式方程，下列说法正确的是（       ）

A．方程的解是 B．当时，方程的解是正数

C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程无解

【答案】B

【解析】先解分式方程，再检验，再逐一分析各选项即可．

【详解】解：，

去分母得：

解得：

当时，是方程的解，故A不符合题意；

当时， 方程的解是正数，故B符合题意；

当且时，方程的解是负数，故C不符合题意；

当时，方程无解，故D不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，掌握“解分式方程的方法与步骤，理解分式方程的解的含义”是解本题的关键．

4．下列说法正确的是（     ）

A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变

C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式

【答案】D

【解析】根据分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，分式的性质，分式的值为0的条件，最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式，逐项分析判断即可

【详解】A. 代数式不是分式，故该选项不正确，不符合题意；       

B. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值扩大3倍，故该选项不正确，不符合题意；

C. 分式的值为0，则x的值为，故该选项不正确，不符合题意；       

D. 分式是最简分式，故该选项正确，符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了分式的定义，分式的性质，分式的值为0的条件，最简分式的定义，掌握以上知识是解题的关键．

5．下列计算正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据分式的运算法则计算出各选项的结果，再进行判断即可得到答案．

【详解】解：A.，故选项A计算错误，不符合题意；

B. ，故选项B计算错误，不符合题意；

C. ，故选项C计算错误，不符合题意；

D. ，故选项D计算正确，符合题意，

故选：D

【点评】分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒．

6．暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升，某书店分别用700元和900元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多30套，且两次购书时，每套书的进价相同，若设书店第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据“第一次进书的总钱数÷第一次购进套数=第二次进书的总钱数÷第二次购进套数”列方程可得．

【详解】解：若设书店第一次购进该科幻小说x套，

由题意列方程正确的是，

故选：C．

【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．

7．下列各式中，无论x为何实数，分式都有意义的是：（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据分母为零,求x的值，求得解的，都是无意义的，继而判断即可．

【详解】∵2x+1=0，

∴x=，

故x=时，分式无意义，A不符合题意；

∵恒大于0，

故分式恒意义，B符合题意；

∵x=0时，分式无意义，

故C不符合题意；

∵x=1时，分式无意义，

故D不符合题意；

故选B．

【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．

8．若关于x的分式方程无解，则k的值为（       ）

A． B． C．或2 D．

【答案】C

【解析】分两种情况，整式方程无解，分式方程产生增根．

【详解】解：，

去分母得：kx+2k-1=2（x-1），

整理得：（2-k）x=2k+1，

∵关于x的分式方程无解，

∴分两种情况：

当2-k=0时，k=2；

当x-1=0时，x=1，

把x=1代入kx+2k-1=2（x-1）中可得：

k+2k-1=0，

∴k=，

综上所述：k的值为：2或，

故选：C．

【点评】此题考查了分式方程无解问题，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．

9．2021年5月7日公司宣布推出全球首个芯片，其中，将用科学记数法可表示为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】解：，

，

故选：B．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

10．已知m2+3m-4=0，则代数式值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．

【详解】解：

∵

∴

∴原式

故选：D

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

11．绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨．现在改用喷灌方式，可使同样m吨的水量多用5天．漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】首先求得漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可．

【详解】解：漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨，

根据题意，得．

故选：C．

【点评】此题考查列代数式（分式），掌握基本的数量关系：水的总量÷天数＝每一天的用水量是解决问题的关键．

12．根据，，，，…所蕴含的规律可得等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据分式的运算，求得，，的值，找到规律，利用规律求解即可．

【详解】解：，，

，

∴

可知此组数三个一循环，

∴

故选：C

【点评】此题考查了数字的变化规律，涉及了分式的有关计算，解题的关键是根据已知计算公式找到这组数据的规律．

13．关于x的分式方程解为非负数，关于x的不等式组至少有四个整数解，则满足条件的所有整数a的积为（       ）

A．3 B．2 C．6 D．0

【答案】B

【解析】由分式方程的解可得且，，再由不等式组的解集可得，则可求满足条件的的整数有1，2，即可求解．

【详解】解：解分式方程得，

，且，

且，，

解不等式组得，

不等式至少有四个整数解，

，

解得，

满足条件的的整数有1，2，

满足条件的所有整数的积为2，

故选：B．

【点评】本题考查含参分式方程的解、含参一元一次不等式组的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意增根的情况是解题的关键．

14．若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的不等式组至少有4个整数解，那么符合条件的所有整数a的和为（       ）．

A．13 B．9 C．3 D．10

【答案】B

【解析】解不等式组和分式方程得出关于y的范围及x的值，根据不等式组有解和分式方程的解为正整数解得出a的范围，继而可得整数a的个数．

【详解】解：解不等式组

由①得：y<11，

由②得：y≥2a-5，

∵不等式组至少有4个整数解，即y=10，9，8，7；

∴2a-5≤7，

解得：a≤6．

解关于x的分式方程，

得：x=，

∵分式方程有正整数解，

∴a-2是8的约数，且 ≠4，≠0，a≠2，

解得：a=3或6或10，

所以所有满足条件的整数a的值为3，6．

那么符合条件的所有整数a的和为9．

故选：B．

【点评】本题主要考查了分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于a的范围是解题的关键．

15．已知关于的分式方程无解，则的值为（       ）

A． B．或 C． D．或或

【答案】D

【解析】先求出分式方程的解，无解时，解中的分母为0或解等于±2即可.

【详解】解：由得x=

∵分式方程无解

∴=±2或m+4=0

∴m=0或m=-8或

∴或或

故答案为D.

【点评】本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让分式的解有意义是本题的易错点.

二、填空题

16．若设A＝，当＝4时，记此时A的值为；当＝3时，记此时A的值为；……则关于的不等式的解集为______.

【答案】.

【解析】先对A化简，然后根据题意求出f（3）+f（4）+...+f（119）的值，然后求不等式的解集即可解答本题.

【详解】解：A===

 f（3）=，…，f（119）=

所以：f（3）+…+f（119）=+…+==

解得：，故答案为.

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于中等题型.

17．实数，满足，则分式的值是 __．

【答案】

【解析】先把已知等式的两边去括号，移项变形，化成 ，利用非负性得到，代入分式即可求值．

【详解】解：，

．

．

，．

，．

原式

．

故答案为：

【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是把已知的等式变性后利用非负性质求得，．

18．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为______．

【答案】且

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据解为正数，求出m的范围即可．

【详解】解：去分母得：，

解得：，

∵该方程的解是正数

∴，

解得，

又∵当时，该分式方程的左边两项分母为0，∴，

故答案为：且

【点评】本题考查根据分式方程根的情况求参数，注意分式方程的分母不能为0０

19．已知，则的值为________．

【答案】

【解析】由化为再把看作是整体，从而可得答案．

【详解】解： ，

故答案为：

【点评】本题考查的是逆用分式的加减运算法则，掌握“”是解本题的关键．

20．若y=1是方程+=的增根，则m=____．

【答案】-1

【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．先去分母，然后把y=1代入代入整式方程，即可算出m的值．

【详解】解：+=

去分母，可得

m（y-2）+3（y-1）=1，

把y=1代入，可得

m（1-2）+3（1-1）=1，

解得m=-1，

故答案为-1．

【点评】本题考查了分式方程的增根，在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．

三、解答题

21．疫情期间，口罩成为人们生活的必备品，某药店经销的一款口罩，十一月份的销售额为2000元，该药店积极支持抗击疫情，十二月份对该款口罩进行惠民活动，按原价打八折销售，结果销售额增加了1200元，销售量增加40盒．

(1)求这款口罩十一月份的销售价是多少元每盒．

(2)已知这款口罩的批发价为每盒30元，问十二月份所获利润与十一月份相比情况如何？

【答案】(1)50元

(2)没有变化

【解析】（1）设这款口罩十一月份的销售价是x元每盒，根据销售量增加40盒列出方程求解即可；

（2）分别求出十一月份和十二月份的利润，再比较即可得出答案．

(1)

解：设这款口罩十一月份的销售价是x元每盒，

根据题意，得．

解方程得．

经检验，是原方程的解．

答：这款口罩十一月份的销售价是50元每盒．

(2)

解：十一月份的销售量为（盒），

十一月份的利润为（元），

十二月份的利润为（元）．

答：十二月份所获利润与十一月份相比没有变化．

【点评】本题考查分式方程的应用，找出等量关系，列出方程是解题的关键．

22．先化简，再求值：，其中．

【答案】；1

【解析】先把括号内通分、除法转化为乘法以及分子与分母因式分解，约分后即可得出化简后的式子，然后代入值，即可求解．

【详解】解：原式.

当时，原式.

【点评】此题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，然后进行约分，得到最简分式或整式，接着把字母的值代入计算得到对应的分式的值；有括号的先算括号，掌握分式的化简求值的步骤是解题的关键．

23．先化简，再求值：·（m＋2－），其中m＝－．

【答案】2m＋6，5

【解析】根据分式的运算法则，结合因式分解通分、约分，再求值即可．

【详解】解：原式＝

=

=2m＋6，

当m＝－时，

原式＝2×（－）＋6

＝5．

【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式及分式的化简是解题关键．

24．若关于x的分式方程的解为正数，求正整数m的值．

【答案】1或3

【解析】先去分母将分式方程化为整式方程，用含m的表达式写出解，根据解为正数，求出m范围，根据m为正整数，写出m的值，去掉解分式方程分母为0时，对应的m值，即可．

【详解】

∴

∴

∵解为正数

∴

∴

又∵m为正整数

∴或或

∵当时

∴不符合题意

∴正整数m的值为1或3．

【点评】本题考查解分式方程，注意算出的答案要去除分母为0的情况．

25．小明去图书馆借书，到达后发现借书卡没带，于是他跑步回家，拿到借书卡后骑车返回图书馆．已知图书馆离小明家1650m，小明骑车时间比跑步时间少5.5 min，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍，求小明跑步的平均速度．

【答案】100m/min

【解析】设小明跑步的平均速度为xm/min，根据题意列出分式方程并求解即可．

【详解】解：设小明跑步的平均速度为xm/min．

由题意得，

解得：

答：小明跑步的平均速度为100m/min．

【点评】本题主要考查分式方程的应用，根据题意正确列出分式方程是解题的关键．

26．在福州地铁6号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的．

(1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？

(2)为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，若两队合作40天完成剩余的工程，求乙队提高后的工作效率是提高前工作效率的几倍（用含的式子表示）．

【答案】(1)乙队单独完成这项工程需要450天；

(2)乙队提高后的工作效率是提高前工作效率的倍

【解析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据合做的工作量之和等于总工作量的得方程即可得到结论；

（2）设乙队提高工作效率后为 则甲队提高后的工作效率为 可得 再求解a，从而可得答案.

(1)

解：设乙队单独完成这项工程需要x天，

根据题意得

解得：x=450， 经检验x=450是方程的根，

答：乙队单独完成这项工程需要450天；

(2)

设乙队提高工作效率后为 则甲队提高后的工作效率为

则

解得： 经检验符合题意，

所以乙队提高后的效率为： 提高前的效率为：

乙队提高后的工作效率是提高前工作效率的倍.

【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，注意数形结合与方程思想的应用．

27．某学校2021年在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费4000元，购买乙种足球共花费2800元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元；

(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；

(2)2022年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？

【答案】(1)一个甲种足球需50元，一个乙种足球需70元；

(2)这所学校最多可购买20个乙种足球

【解析】（1）设甲种足球每个x元，则乙种足球每个（x+20）元，由题意列出分式方程，解分式方程并检验，求出乙种足球的单价，回答问题．

（2）设购买乙种足球m个，由题意列出不等式，解不等式，根据解集，回答学校最多可购买20个乙种足球．

(1)

（1）设甲种足球每个x元，则乙种足球每个元，由题意得：

，

解得：x=50，

经检验，x=50是原方程的解，

∴50+20=70（元）．

答：一个甲种足球需50元，一个乙种足球需70元．

(2)

（2）设购买乙种足球m个，

，，

由题意得：

，

．

答：这所学校最多可购买20个乙种足球．

【点评】本题考查了列分式方程解应用题，列不等式解应用题，解决问题的关键是理解题意，熟练运用单价、数量、总价之间的关系列方程或不等式，并解答．（1）设甲种足球每个x元，则乙种足球每个（x+20）元，用“”列出分式方程，解方程，检验．（2）设购买乙种足球m个，由“”列出不等式，解不等式．

28．阅读下列材料：

在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．

(1)请回答：       的说法是正确的，正确的理由是                       ．

完成下列问题：

(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；

(3)若关于的方程无解，求的值．

【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0；

(2)且；

(3)或．

【解析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；

（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围；

（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围．

(1)

解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0

∴小聪说得对，分式的分母不能为0．

(2)

解：原方程可化为

去分母得：

解得：

∵解为非负数

∴，即

又∵

∴，即

∴且

(3)

解：去分母得：

解得：

∵原方程无解

∴或者

①当时，得：

②当时，，得：

综上：当或时原方程无解．

【点评】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．