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【暑假培优训练】2023年人教版数学八年级（八升九）暑假第01天 《三角形》提升训练
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第01天：三角形
1．如图，在中，边上的高是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】B
【解析】根据三角形的高的定义解答即可．
【详解】解：因为点B到AC边的垂线段是BE，所以AC边上的高是BE，
故选：B．
【点评】此题考查三角形的高，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．
2．如图，顺次连接三边的中点D，E，F得到的三角形面积为，顺次连接三边的中点M，G，H得到的三角形面积为，顺次连接三边的中点得到的三角形面积为，设的面积为64，则（ ）
A．21 B．24 C．27 D．32
【答案】A
【解析】根据三角形中位线性质证△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC，求出S1＝S△FEC＝S＝16，S2＝S1＝4，S3＝S2＝1．
【详解】解：∵点D，E，F分别是△ABC三边的中点，
∴AD＝DB，DF＝BC＝BE，DE＝AC＝AF，
在△ADF和△DBE中，
，
∴△ADF≌△DBE（SSS），
同理可证，△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC，
∴S1＝S△FEC＝S＝16，
同理可得，S2＝S1＝4，S3＝S2＝1，
∴S1+S2+S3＝16+4+1＝21，
故答案为：A．
【点评】本题考查了三角形中位线．理解三角形中位线性质，证三角形全等是解决问题的关键．
3．如图，D、E、F分别为BC、AD、BE的中点，若△BFD的面积为6，则△ABC的面积等于（ ）
A．36 B．18 C．48 D．24
【答案】C
【解析】根据三角形的中线平分面积，得到．
【详解】解：∵D、E、F分别为BC、AD、BE的中点，
∴，，，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查三角形中线平分面积，根据中点依次找到面积关系是解题的关键．
4．下列每组数分别表示三根木棒的长，将木棒首尾连接后，能摆成三角形的是（ ）
A．2，2，5 B．1，3，2 C．3，4，5 D．1，2，1
【答案】C
【解析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
【详解】解：A.2＋2＜5，不能摆成三角形；
B.1＋2＝3，不能摆成三角形；
C.3＋4＞5，能摆成三角形；
D.1＋1＝2，不能摆成三角形．
故选：C．
【点评】考查了三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
5．如图，是△ABC的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据三角形的外角性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，整理得到∠A1=∠A，同理可得∠A2=∠A1，从而判断出后一个角是前一个角的，然后表示出∠An即可得答案．
【详解】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠A1CD是△A1BC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
∴∠A1=∠A，
∵∠A=，
∴∠A1=∠A，
同理可得∠A2=∠A1=∠A，
∠A3=∠A2，
∠A4=∠A3，
……
∴∠An．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；熟记性质并准确识图，求出后一个角是前一个角的是解题的关键．
6．如图，中，，E、D分别在和上，点F在的延长线上，平分，，，，则的度数为（ ）
A．105° B．95° C．90° D．85°
【答案】D
【解析】先利用平行线的性质求出∠AEF与∠ABC的度数，再利用角平分线求出∠ABD的度数，最后利用三角形外角的性质求出∠BDC的度数．
【详解】∵，，
∴∠AEF=∠F=50°，
∵，
∴∠ABC=∠AEF=50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC=，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=60°+25°=85°，
故选：D．
【点评】本题考查角平分线的定义、平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
7．中，中线AD，BE相交于点F，若的面积为2，则的面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】A
【解析】连接CF，过点F作，交AE于点H，得出，同理,，可得，所以可求结果．
【详解】解：如图，连接CF，过点F作，交AE于点H，
∵点E是AC中点，
∴AE=CE，
则，，
∴，
∴，
同理，，
由，
∴，
则，
同理，
∴S△ABC＝2S△ABE＝2×6＝12．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形中线的定义及性质，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积．
8．将一副三角板如图所示的位置摆放，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用三角形外角的性质求出，再利用邻补角即可求出．
【详解】解：如下图：
由图可知，，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查三角板中的角度计算，三角形外角性质和邻补角定义，能够数形结合思考是解题的关键．
9．如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据三角形的内角和定理求出∠ACD的度数，根据角平分线的定义求出∠ECD的度数，根据三角形外角的性质计算得到答案．
【详解】解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠B+∠BAC=35°+115°=150°，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ECD=∠ACD=×150°=75°，
∵∠ECD是△EBC的外角，
∴∠ECD=∠B+∠E，
∴∠E=∠ECD-∠B=75°-35°=40°．
故选 D．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形的内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
10．将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOB
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°；根据角平分线的定义可判定OC平分∠AOB．
【详解】解：∵∠DOC=∠AOB=90°，
∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，
即∠BOD=∠AOC，故②正确；
如图，AB与OC交于点P，
∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，
∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；
如果OB平分∠DOC，则∠DOB=∠BOC=45°，
则∠AOC=∠BOC=45°，
故OC平分∠AOB，故④正确；
由②知：∠AOC＝∠BOD，故当∠AOC=∠BOD=45°时，∠AOC＋∠BOD＝90°成立，否则不成立，
故①不正确；
综上，②③④正确，共3个，
故选：D．
【点评】本题考查了余角以及三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知余角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键．
11．已知，在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（ ）
A．76° B．65° C．56° D．54°
【答案】D
【解析】根据三角形的内角和是，即可求解．
【详解】，
，
在中，，
，
在中，，
，
故选：D．
【点评】本题考查了垂直的性质和三角形的内角和，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
12．已知a、b、c分别为△ABC的三边长，并满足|a﹣4|+（c﹣3）2＝0．若b为奇数，则△ABC的周长为（ ）
A．10 B．8或10 C．10 或12 D．8或10或12
【答案】C
【解析】根据非负性的性质求出，再由三角形三边的关系求出，再由b为奇数，得到b的值可以为3或5，由此即可得到答案．
【详解】解：∵a、b、c分别为△ABC的三边长，并满足|a﹣4|+（c﹣3）2＝0，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵b为奇数，
∴b的值可以为3或5，
∴△ABC的周长=a+b+c=10或12，
故选C．
【点评】本题主要考查了非负性的性质，三角形三边的关系，正确求出a、c的值是解题的关键．
13．如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角形的内角和，得，由邻补角的性质得，根据折叠的性质得，即，所以，．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：
，
∴，
∵，
∴，
即．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质，熟悉掌握三角形的内角和为，互为邻补角的两个角之和为以及折叠的性质是本题的解题关键．
14．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的定义可判断②，如图，延长交于 先求解 从而可判断③④，于是可得答案.
【详解】解：由题意得：
故①符合题意；
故②符合题意；
如图，延长交于
故③④符合题意；
综上：符合题意的有①②③④
故选D
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的两个锐角都为，掌握以上基础知识是解本题的关键.
15．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，在轴上，点，，…，在直线上，若点的坐标为，且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为，，．．，，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】直线与轴的成角，可得，…，，，…，；根据等腰三角形的性质可知，，，…，；根据勾股定理可得，，…，，再由面积公式即可求解；
【详解】解：∵，，…，都是等边三角形，
∴，，
∵直线与轴的成角，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，…，，
∴，，…，，
易得，…，，
∴，，…，，
∴，，…，；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长是解题的关键．
16．已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若，，则DE的长为______．
【答案】0.5或1.5
【解析】根据题意作出草图，分类讨论即可求解．
【详解】解： AD、AE分别是△ABC的高和中线，，，
如图，当是钝角三角形时，
当是锐角三角形时，
当是直角三角形时，，不合题意，
故答案为：或
【点评】本题考查了三角形的高线，中线的定义，线段的和差关系，分类讨论是解题的关键．
17．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为_______．
【答案】或
【解析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC=90°或∠ACD=90°，根据三角形的内角和定理或直角三角形的两锐角的关系可得结论．
【详解】解：分两种情况： ①如图1，当∠ADC=90°时，
∵∠B=20°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠BCD=90°－∠B=90°－20°=70°；
②如图2，当∠ACD=90°时，
∵∠A=60°，∠B=20°，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°－∠B－∠A=180°－20°－60°=100°，
∴∠BCD=∠ACB－∠ACD=100°－90°=10°，
综上，∠BCD的度数为70°或10°，
故答案为：70°或10°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理的应用，能够分情况画出图形进行讨论是解决本题的关键．
18．一副三角板如图放置，将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的任意一边所在的直线与的一边垂直，则的度数为______．
【答案】15°，45°或60°
【解析】分三种情况讨论：①当AD⊥BC时；②当DE⊥BC时；③当AC⊥DE时．根据平行线的性质及三角形内角和定理分别求解即可．
【详解】①当AD⊥BC时，=90°-∠C=90°-30°=60°；
②当DE⊥BC时，∠BAD=180°-60°-45°=75°，
∴=90°-∠BAD=15°；
③当AC⊥DE时，DE//AB，
∴∠DAB=∠D=45°，
∴=90°-∠DAB=90°-45°=45°；
故答案为15°，45°或60°．
【点评】本题考查了角度计算，注意分类讨论，保证分类的完整是成功解决本题的关键．
19．如图，在△ABC中，D为BC上的一点，E为AD上的一点，BE的延长线交AC于点F．已知，（a，b为不小于2的整数），则的值是____________．
【答案】
【解析】利用同高的三角形面积之比等于底边之比进行三角形的面积转化即可完成求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了同高的三角形面积的转化，解题关键是理解同高的三角形面积之比等于对应的底边之比即可．
20．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．
【答案】52°
【解析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出∠E，利用三角形内角和求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠A．
【详解】解：、分别平分、，
，，
，，
即，，
，
、分别平分、，
，，
，
，
∴，
∴，
、分别平分、，
，，
∴，
，
故答案为：52°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
21．如图，是上一点，是上一点，，相交于点，，，，求和的度数．
【答案】，
【解析】在△ACD中，利用三角形的外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可；在△BFD中，利用三角形的内角和定理计算即可．
【详解】解：在中，
，，
；
在中，
．
【点评】本题主要考查了三角形的外角性质与三角形的内角和定理，熟记性质与定理是解题的关键．
22．数学中，常常利用图形的面积（相等）来解决问题：
(1)如图，在中，，．若，，，求的长；
(2)如图，在中，已知点，点，点，且经过坐标原点．若，则边上的高的长度为_______；
(3)在中，，是的高．是直线上一点，，分别与直线，垂直，垂足分别为点，．试补充图形后探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)6
(3)或或
【解析】（1）由等面积法可得：再代入数据进行计算即可；
（2）由 结合 再建立方程即可；
（3）分三种情况讨论，当P在线段BC上，当P在线段CB的延长线上，当P在线段BC的延长线上，再分别画出图形，利用等面积法可得结论．
(1)
解： ，，
，，，
(2)
解： 点，点，且经过坐标原点，
解得：
∴边上的高的长度为6．
故答案为：6
(3)
如图，当P在线段BC上时，
，分别与直线，垂直，
当P在CB的延长线上时，连接AP，如图，
同理可得：
当P在BC的延长线上时，连接AP，如图，
同理可得：
【点评】本题考查的是等面积法的应用，坐标与图形的面积，掌握“利用等面积法求解线段的长度或证明线段与线段之间的关系”是解本题的关键．
23．如图，CE平分，F为CA延长线上一点，交AB于点G，，，求的度数．
【答案】25°
【解析】根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AFG=∠ACE，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠GAF，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵CE平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故的度数是25°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
24．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．
【答案】a+3b
【解析】根据三角形三边关系得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【详解】解：∵a，b，c 是三角形的三边，
∴由a+b﹣c＞0得2a+b﹣c＞0，
由b﹣（a+c）＜0得b﹣2a﹣c＜0，
由﹣a﹣b﹣c＜0得﹣a﹣b﹣2c＜0，
∴原式＝（2a+b﹣c）+（b﹣2a﹣c）+（a+b+2c）
＝a+3b．
【点评】本题考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0．
25．如图，在中，，，于点D，平分，求的度数．
【答案】
【解析】利用三角形内角和定理求出，再利用AE平分求出，进一步求出，利用，即可求出．
【详解】解：∵在中，，，
∴ ，
∵ AE平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，垂直．解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，找出角度之间的关系进行计算．
26．探究：如图①，，OF平分，OH平分，且点O、E、G均在直线EG上，直线EG分别与AB、CD交于点E、G．
(1)若，，则______．
(2)若，求的度数．
(3)如图②，和的平分线FO、HO交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)120°
(2)125°
(3)
【解析】（1）先根据角平分线的定义求出∠OFH，∠FHO 的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠FOH的度数；
（2）先根据角平分线的定义求出∠OFH+∠FHO 的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠FOH的度数；
（3）先根据角平分线的定义求出∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI＝（180°-∠CHF），再根据两直线平行内错角相等得∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH即可．
(1)
∵OF平分，，
∴．
∵，
∴．
∵OH平分，，
∴，
∵，
∴．
∴．
故答案为：120°．
(2)
∵FO平分，HO平分，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
(3)
∵FO平分，HO平分，
∴，，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点评】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、平行线的性质，解题的关键是熟练应用．
27．（1）探究一：如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，请确定∠A与∠D的数量关系，并说明理由；
（2）探究二：如图（b），BD平分∠ABC，CD平分∠ACM，请确定∠A与∠D的数量关______；
（3）探究三：如图（c），BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，请确定∠A与∠F的数量关系______；
（4）解决问题：如图，在△ABC中，∠A=56°，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ，则∠F=______．
【答案】（1）∠D=90°+∠A理由见解析；
（2）∠E=∠A；
（3）∠F=90°-∠A；
（4）15.5°
【解析】（1）（2）（3）三问均可将根据角平分线得出的两对相等的角设为α、β，进而通过内角和以及外角定理找要求的两个角与α\β之间的关系，通过消元即可得到最终答案．
（4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可．
【详解】解：（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴设∠DBC=∠DBA=α，∠DCB=∠DCA=β，
则∠D=180°-（α+β），∠A=180°-2（α+β），
即：α+β=180°-∠D，2（α+β）=180°-∠A，
联立可得：∠D=90°+∠A．
（2）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，
∴设∠ABE=∠CBE=α，∠ACE=∠MCE=β，
则由外角定理可得：2β=∠A+2α，β=∠E+α，
即：∠A=2β-2α，∠E=β-α，
联立可得：∠E=∠A．
故答案为：∠E=∠A．
（3）∵BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，
∴设∠PBF=∠CBF=α，∠QCF=∠BCF=β，
则由外角定理可得：2α+2β=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
α+β=180°-∠F，
联立可得：∠F=90°-∠A．
故答案为：∠F=90°-∠A．
（4）解决问题：由（1）（2）（3）的结论可得：
∠D＝90°+∠A=118°，
∴∠E＝90°−∠D=31°，
∴∠F＝∠E=15.5°．
故答案为：15.5°．
【点评】本题考查角平分线以及三角形内角和定理和外角定理，熟练使用这些定理去推导角的关系是解题关键．
28．平面内有直线AB和直线CD，点E是平面内任意一点，连接AE、CE，∠AEC＝60°．
(1)若直线AB∥CD；
如图1，当点E在两条平行线之间时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系 ；
如图2，当点E在两条平行线外部时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系 ；
(2)若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图3，当点E在∠AOC内部，且∠AEC＝45°，猜想∠BAE与∠DCE的数量关系，并证明；
(3)我们小学学习过三角形的内角和等于180°，若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图4，当点E在∠AOC外部，且∠AEC＝45°，分别作射线AM平分∠BAE、作射线CN平分∠DCE，反向延长AM与CN交于点P，求∠APN的度数？
【答案】(1)①∠BAE+∠DCE＝60°；②∠DCE﹣∠BAE＝60°
(2)∠BAE+∠DCE＝105°，见解析
(3)52.5°
【解析】（1）①过点E作EF∥AB，所以∠BAE＝∠AEF，因为AB//CD，所以EF//CD，所以∠DCE＝∠CEF，则∠BAE+∠DCE＝∠AEF+∠CEF＝∠AEC＝60°；
②过点E作EF//AB，所以∠BAE＝∠AEF，因为AB//CD，所以EF//CD，所以∠DCE＝∠CEF，则∠DCE﹣∠BAE＝∠CEF﹣∠AEF＝∠AEC＝60°．
（2）连接OE，因为∠BAE是△AOE的外角，∠DCE是△COE的外角，所以∠BAE＝∠AOE+∠AEO，∠DCE＝∠COE+∠CEO，所以∠BAE+∠DCE＝∠AOE+∠AEO+∠COE+∠CEO＝∠AOC+∠AEC＝60°+45°＝105°；
（3）设AO与CE相交于点G，设∠AGE＝∠CGO＝x°，则∠AGC＝180°﹣x°，因为∠BAE是△AEG的外角，∠AEC＝45°，所以∠BAE＝∠AEC+∠AGE＝45°+x°，因为AM平分∠BAE，所以∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝22.5°+x°，∠PAG＝∠BAM＝22.5°+x°，因为∠DCE是△COG的外角，∠AOC＝60°，所以∠DCE＝∠CGO+∠AOC＝x°+60°，因为CN平分∠DCE，所以∠DCN＝∠ECN＝∠DCE＝x°+30°，所以∠APC＝360°﹣∠PAG﹣∠AGC﹣∠ECN＝360°﹣（22.5°+
x°）﹣（180°﹣x°）﹣（x°+30°）＝127.5°，所以∠APN＝180°﹣∠APC＝52.5°．
(1)
解：①∠BAE+∠DCE＝60°，理由如下：
如图1，过点E作EF∥AB，
∴∠BAE＝∠AEF，
∵AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠DCE＝∠CEF，
∵∠AEC＝60°，
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEF+∠CEF＝∠AEC＝60°；
故答案为：∠BAE+∠DCE＝60°．
②∠DCE﹣∠BAE＝60°，理由如下：
如图2，过点E作EF//AB，
∴∠BAE＝∠AEF，
∵AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠DCE＝∠CEF，
∵∠AEC＝60°，
∴∠DCE﹣∠BAE＝∠CEF﹣∠AEF＝∠AEC＝60°．
故答案为：∠DCE﹣∠BAE＝60°．
(2)
猜想：∠BAE+∠DCE＝105°，理由如下：
如图3，连接OE，
∵∠BAE是△AOE的外角，∠DCE是△COE的外角，
∴∠BAE＝∠AOE+∠AEO，∠DCE＝∠COE+∠CEO，
∵∠AOC＝60°，∠AEC＝45°，
∴∠BAE+∠DCE
＝∠AOE+∠AEO+∠COE+∠CEO
＝∠AOC+∠AEC
＝60°+45°
＝105°；
(3)
如图4，设AO与CE相交于点G，
设∠AGE＝∠CGO＝x°，则∠AGC＝180°﹣x°，
∵∠BAE是△AEG的外角，∠AEC＝45°，
∴∠BAE＝∠AEC+∠AGE＝45°+x°，
∵AM平分∠BAE，
∴∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝22.5°+x°，
∴∠PAG＝∠BAM＝22.5°+x°，
∵∠DCE是△COG的外角，∠AOC＝60°，
∴∠DCE＝∠CGO+∠AOC＝x°+60°，
∵CN平分∠DCE，
∴∠DCN＝∠ECN＝∠DCE＝x°+30°，
∵∠PAG+∠AGC+∠ECN+∠APC＝360°，
∴∠APC＝360°﹣∠PAG﹣∠AGC﹣∠ECN
＝360°﹣（22.5°+x°）﹣（180°﹣x°）﹣（x°+30°）
＝127.5°，
∴∠APN＝180°﹣∠APC
＝52.5°．
【点评】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用几何模型解决问题，属于中考常考题型．
第01天：三角形
1．如图，在中，边上的高是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】B
【解析】根据三角形的高的定义解答即可．
【详解】解：因为点B到AC边的垂线段是BE，所以AC边上的高是BE，
故选：B．
【点评】此题考查三角形的高，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．
2．如图，顺次连接三边的中点D，E，F得到的三角形面积为，顺次连接三边的中点M，G，H得到的三角形面积为，顺次连接三边的中点得到的三角形面积为，设的面积为64，则（ ）
A．21 B．24 C．27 D．32
【答案】A
【解析】根据三角形中位线性质证△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC，求出S1＝S△FEC＝S＝16，S2＝S1＝4，S3＝S2＝1．
【详解】解：∵点D，E，F分别是△ABC三边的中点，
∴AD＝DB，DF＝BC＝BE，DE＝AC＝AF，
在△ADF和△DBE中，
，
∴△ADF≌△DBE（SSS），
同理可证，△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC，
∴S1＝S△FEC＝S＝16，
同理可得，S2＝S1＝4，S3＝S2＝1，
∴S1+S2+S3＝16+4+1＝21，
故答案为：A．
【点评】本题考查了三角形中位线．理解三角形中位线性质，证三角形全等是解决问题的关键．
3．如图，D、E、F分别为BC、AD、BE的中点，若△BFD的面积为6，则△ABC的面积等于（ ）
A．36 B．18 C．48 D．24
【答案】C
【解析】根据三角形的中线平分面积，得到．
【详解】解：∵D、E、F分别为BC、AD、BE的中点，
∴，，，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查三角形中线平分面积，根据中点依次找到面积关系是解题的关键．
4．下列每组数分别表示三根木棒的长，将木棒首尾连接后，能摆成三角形的是（ ）
A．2，2，5 B．1，3，2 C．3，4，5 D．1，2，1
【答案】C
【解析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
【详解】解：A.2＋2＜5，不能摆成三角形；
B.1＋2＝3，不能摆成三角形；
C.3＋4＞5，能摆成三角形；
D.1＋1＝2，不能摆成三角形．
故选：C．
【点评】考查了三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
5．如图，是△ABC的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据三角形的外角性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，整理得到∠A1=∠A，同理可得∠A2=∠A1，从而判断出后一个角是前一个角的，然后表示出∠An即可得答案．
【详解】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠A1CD是△A1BC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
∴∠A1=∠A，
∵∠A=，
∴∠A1=∠A，
同理可得∠A2=∠A1=∠A，
∠A3=∠A2，
∠A4=∠A3，
……
∴∠An．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；熟记性质并准确识图，求出后一个角是前一个角的是解题的关键．
6．如图，中，，E、D分别在和上，点F在的延长线上，平分，，，，则的度数为（ ）
A．105° B．95° C．90° D．85°
【答案】D
【解析】先利用平行线的性质求出∠AEF与∠ABC的度数，再利用角平分线求出∠ABD的度数，最后利用三角形外角的性质求出∠BDC的度数．
【详解】∵，，
∴∠AEF=∠F=50°，
∵，
∴∠ABC=∠AEF=50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC=，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=60°+25°=85°，
故选：D．
【点评】本题考查角平分线的定义、平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
7．中，中线AD，BE相交于点F，若的面积为2，则的面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】A
【解析】连接CF，过点F作，交AE于点H，得出，同理,，可得，所以可求结果．
【详解】解：如图，连接CF，过点F作，交AE于点H，
∵点E是AC中点，
∴AE=CE，
则，，
∴，
∴，
同理，，
由，
∴，
则，
同理，
∴S△ABC＝2S△ABE＝2×6＝12．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形中线的定义及性质，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积．
8．将一副三角板如图所示的位置摆放，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用三角形外角的性质求出，再利用邻补角即可求出．
【详解】解：如下图：
由图可知，，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查三角板中的角度计算，三角形外角性质和邻补角定义，能够数形结合思考是解题的关键．
9．如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据三角形的内角和定理求出∠ACD的度数，根据角平分线的定义求出∠ECD的度数，根据三角形外角的性质计算得到答案．
【详解】解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠B+∠BAC=35°+115°=150°，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ECD=∠ACD=×150°=75°，
∵∠ECD是△EBC的外角，
∴∠ECD=∠B+∠E，
∴∠E=∠ECD-∠B=75°-35°=40°．
故选 D．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形的内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
10．将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOB
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°；根据角平分线的定义可判定OC平分∠AOB．
【详解】解：∵∠DOC=∠AOB=90°，
∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，
即∠BOD=∠AOC，故②正确；
如图，AB与OC交于点P，
∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，
∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；
如果OB平分∠DOC，则∠DOB=∠BOC=45°，
则∠AOC=∠BOC=45°，
故OC平分∠AOB，故④正确；
由②知：∠AOC＝∠BOD，故当∠AOC=∠BOD=45°时，∠AOC＋∠BOD＝90°成立，否则不成立，
故①不正确；
综上，②③④正确，共3个，
故选：D．
【点评】本题考查了余角以及三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知余角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键．
11．已知，在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（ ）
A．76° B．65° C．56° D．54°
【答案】D
【解析】根据三角形的内角和是，即可求解．
【详解】，
，
在中，，
，
在中，，
，
故选：D．
【点评】本题考查了垂直的性质和三角形的内角和，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
12．已知a、b、c分别为△ABC的三边长，并满足|a﹣4|+（c﹣3）2＝0．若b为奇数，则△ABC的周长为（ ）
A．10 B．8或10 C．10 或12 D．8或10或12
【答案】C
【解析】根据非负性的性质求出，再由三角形三边的关系求出，再由b为奇数，得到b的值可以为3或5，由此即可得到答案．
【详解】解：∵a、b、c分别为△ABC的三边长，并满足|a﹣4|+（c﹣3）2＝0，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵b为奇数，
∴b的值可以为3或5，
∴△ABC的周长=a+b+c=10或12，
故选C．
【点评】本题主要考查了非负性的性质，三角形三边的关系，正确求出a、c的值是解题的关键．
13．如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角形的内角和，得，由邻补角的性质得，根据折叠的性质得，即，所以，．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：
，
∴，
∵，
∴，
即．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质，熟悉掌握三角形的内角和为，互为邻补角的两个角之和为以及折叠的性质是本题的解题关键．
14．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的定义可判断②，如图，延长交于 先求解 从而可判断③④，于是可得答案.
【详解】解：由题意得：
故①符合题意；
故②符合题意；
如图，延长交于
故③④符合题意；
综上：符合题意的有①②③④
故选D
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的两个锐角都为，掌握以上基础知识是解本题的关键.
15．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，在轴上，点，，…，在直线上，若点的坐标为，且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为，，．．，，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】直线与轴的成角，可得，…，，，…，；根据等腰三角形的性质可知，，，…，；根据勾股定理可得，，…，，再由面积公式即可求解；
【详解】解：∵，，…，都是等边三角形，
∴，，
∵直线与轴的成角，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，…，，
∴，，…，，
易得，…，，
∴，，…，，
∴，，…，；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长是解题的关键．
16．已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若，，则DE的长为______．
【答案】0.5或1.5
【解析】根据题意作出草图，分类讨论即可求解．
【详解】解： AD、AE分别是△ABC的高和中线，，，
如图，当是钝角三角形时，
当是锐角三角形时，
当是直角三角形时，，不合题意，
故答案为：或
【点评】本题考查了三角形的高线，中线的定义，线段的和差关系，分类讨论是解题的关键．
17．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为_______．
【答案】或
【解析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC=90°或∠ACD=90°，根据三角形的内角和定理或直角三角形的两锐角的关系可得结论．
【详解】解：分两种情况： ①如图1，当∠ADC=90°时，
∵∠B=20°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠BCD=90°－∠B=90°－20°=70°；
②如图2，当∠ACD=90°时，
∵∠A=60°，∠B=20°，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°－∠B－∠A=180°－20°－60°=100°，
∴∠BCD=∠ACB－∠ACD=100°－90°=10°，
综上，∠BCD的度数为70°或10°，
故答案为：70°或10°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理的应用，能够分情况画出图形进行讨论是解决本题的关键．
18．一副三角板如图放置，将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的任意一边所在的直线与的一边垂直，则的度数为______．
【答案】15°，45°或60°
【解析】分三种情况讨论：①当AD⊥BC时；②当DE⊥BC时；③当AC⊥DE时．根据平行线的性质及三角形内角和定理分别求解即可．
【详解】①当AD⊥BC时，=90°-∠C=90°-30°=60°；
②当DE⊥BC时，∠BAD=180°-60°-45°=75°，
∴=90°-∠BAD=15°；
③当AC⊥DE时，DE//AB，
∴∠DAB=∠D=45°，
∴=90°-∠DAB=90°-45°=45°；
故答案为15°，45°或60°．
【点评】本题考查了角度计算，注意分类讨论，保证分类的完整是成功解决本题的关键．
19．如图，在△ABC中，D为BC上的一点，E为AD上的一点，BE的延长线交AC于点F．已知，（a，b为不小于2的整数），则的值是____________．
【答案】
【解析】利用同高的三角形面积之比等于底边之比进行三角形的面积转化即可完成求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了同高的三角形面积的转化，解题关键是理解同高的三角形面积之比等于对应的底边之比即可．
20．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．
【答案】52°
【解析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出∠E，利用三角形内角和求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠A．
【详解】解：、分别平分、，
，，
，，
即，，
，
、分别平分、，
，，
，
，
∴，
∴，
、分别平分、，
，，
∴，
，
故答案为：52°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
21．如图，是上一点，是上一点，，相交于点，，，，求和的度数．
【答案】，
【解析】在△ACD中，利用三角形的外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可；在△BFD中，利用三角形的内角和定理计算即可．
【详解】解：在中，
，，
；
在中，
．
【点评】本题主要考查了三角形的外角性质与三角形的内角和定理，熟记性质与定理是解题的关键．
22．数学中，常常利用图形的面积（相等）来解决问题：
(1)如图，在中，，．若，，，求的长；
(2)如图，在中，已知点，点，点，且经过坐标原点．若，则边上的高的长度为_______；
(3)在中，，是的高．是直线上一点，，分别与直线，垂直，垂足分别为点，．试补充图形后探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)6
(3)或或
【解析】（1）由等面积法可得：再代入数据进行计算即可；
（2）由 结合 再建立方程即可；
（3）分三种情况讨论，当P在线段BC上，当P在线段CB的延长线上，当P在线段BC的延长线上，再分别画出图形，利用等面积法可得结论．
(1)
解： ，，
，，，
(2)
解： 点，点，且经过坐标原点，
解得：
∴边上的高的长度为6．
故答案为：6
(3)
如图，当P在线段BC上时，
，分别与直线，垂直，
当P在CB的延长线上时，连接AP，如图，
同理可得：
当P在BC的延长线上时，连接AP，如图，
同理可得：
【点评】本题考查的是等面积法的应用，坐标与图形的面积，掌握“利用等面积法求解线段的长度或证明线段与线段之间的关系”是解本题的关键．
23．如图，CE平分，F为CA延长线上一点，交AB于点G，，，求的度数．
【答案】25°
【解析】根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AFG=∠ACE，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠GAF，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵CE平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故的度数是25°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
24．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．
【答案】a+3b
【解析】根据三角形三边关系得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【详解】解：∵a，b，c 是三角形的三边，
∴由a+b﹣c＞0得2a+b﹣c＞0，
由b﹣（a+c）＜0得b﹣2a﹣c＜0，
由﹣a﹣b﹣c＜0得﹣a﹣b﹣2c＜0，
∴原式＝（2a+b﹣c）+（b﹣2a﹣c）+（a+b+2c）
＝a+3b．
【点评】本题考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0．
25．如图，在中，，，于点D，平分，求的度数．
【答案】
【解析】利用三角形内角和定理求出，再利用AE平分求出，进一步求出，利用，即可求出．
【详解】解：∵在中，，，
∴ ，
∵ AE平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，垂直．解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，找出角度之间的关系进行计算．
26．探究：如图①，，OF平分，OH平分，且点O、E、G均在直线EG上，直线EG分别与AB、CD交于点E、G．
(1)若，，则______．
(2)若，求的度数．
(3)如图②，和的平分线FO、HO交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)120°
(2)125°
(3)
【解析】（1）先根据角平分线的定义求出∠OFH，∠FHO 的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠FOH的度数；
（2）先根据角平分线的定义求出∠OFH+∠FHO 的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠FOH的度数；
（3）先根据角平分线的定义求出∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI＝（180°-∠CHF），再根据两直线平行内错角相等得∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH即可．
(1)
∵OF平分，，
∴．
∵，
∴．
∵OH平分，，
∴，
∵，
∴．
∴．
故答案为：120°．
(2)
∵FO平分，HO平分，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
(3)
∵FO平分，HO平分，
∴，，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点评】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、平行线的性质，解题的关键是熟练应用．
27．（1）探究一：如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，请确定∠A与∠D的数量关系，并说明理由；
（2）探究二：如图（b），BD平分∠ABC，CD平分∠ACM，请确定∠A与∠D的数量关______；
（3）探究三：如图（c），BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，请确定∠A与∠F的数量关系______；
（4）解决问题：如图，在△ABC中，∠A=56°，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ，则∠F=______．
【答案】（1）∠D=90°+∠A理由见解析；
（2）∠E=∠A；
（3）∠F=90°-∠A；
（4）15.5°
【解析】（1）（2）（3）三问均可将根据角平分线得出的两对相等的角设为α、β，进而通过内角和以及外角定理找要求的两个角与α\β之间的关系，通过消元即可得到最终答案．
（4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可．
【详解】解：（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴设∠DBC=∠DBA=α，∠DCB=∠DCA=β，
则∠D=180°-（α+β），∠A=180°-2（α+β），
即：α+β=180°-∠D，2（α+β）=180°-∠A，
联立可得：∠D=90°+∠A．
（2）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，
∴设∠ABE=∠CBE=α，∠ACE=∠MCE=β，
则由外角定理可得：2β=∠A+2α，β=∠E+α，
即：∠A=2β-2α，∠E=β-α，
联立可得：∠E=∠A．
故答案为：∠E=∠A．
（3）∵BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，
∴设∠PBF=∠CBF=α，∠QCF=∠BCF=β，
则由外角定理可得：2α+2β=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
α+β=180°-∠F，
联立可得：∠F=90°-∠A．
故答案为：∠F=90°-∠A．
（4）解决问题：由（1）（2）（3）的结论可得：
∠D＝90°+∠A=118°，
∴∠E＝90°−∠D=31°，
∴∠F＝∠E=15.5°．
故答案为：15.5°．
【点评】本题考查角平分线以及三角形内角和定理和外角定理，熟练使用这些定理去推导角的关系是解题关键．
28．平面内有直线AB和直线CD，点E是平面内任意一点，连接AE、CE，∠AEC＝60°．
(1)若直线AB∥CD；
如图1，当点E在两条平行线之间时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系 ；
如图2，当点E在两条平行线外部时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系 ；
(2)若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图3，当点E在∠AOC内部，且∠AEC＝45°，猜想∠BAE与∠DCE的数量关系，并证明；
(3)我们小学学习过三角形的内角和等于180°，若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图4，当点E在∠AOC外部，且∠AEC＝45°，分别作射线AM平分∠BAE、作射线CN平分∠DCE，反向延长AM与CN交于点P，求∠APN的度数？
【答案】(1)①∠BAE+∠DCE＝60°；②∠DCE﹣∠BAE＝60°
(2)∠BAE+∠DCE＝105°，见解析
(3)52.5°
【解析】（1）①过点E作EF∥AB，所以∠BAE＝∠AEF，因为AB//CD，所以EF//CD，所以∠DCE＝∠CEF，则∠BAE+∠DCE＝∠AEF+∠CEF＝∠AEC＝60°；
②过点E作EF//AB，所以∠BAE＝∠AEF，因为AB//CD，所以EF//CD，所以∠DCE＝∠CEF，则∠DCE﹣∠BAE＝∠CEF﹣∠AEF＝∠AEC＝60°．
（2）连接OE，因为∠BAE是△AOE的外角，∠DCE是△COE的外角，所以∠BAE＝∠AOE+∠AEO，∠DCE＝∠COE+∠CEO，所以∠BAE+∠DCE＝∠AOE+∠AEO+∠COE+∠CEO＝∠AOC+∠AEC＝60°+45°＝105°；
（3）设AO与CE相交于点G，设∠AGE＝∠CGO＝x°，则∠AGC＝180°﹣x°，因为∠BAE是△AEG的外角，∠AEC＝45°，所以∠BAE＝∠AEC+∠AGE＝45°+x°，因为AM平分∠BAE，所以∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝22.5°+x°，∠PAG＝∠BAM＝22.5°+x°，因为∠DCE是△COG的外角，∠AOC＝60°，所以∠DCE＝∠CGO+∠AOC＝x°+60°，因为CN平分∠DCE，所以∠DCN＝∠ECN＝∠DCE＝x°+30°，所以∠APC＝360°﹣∠PAG﹣∠AGC﹣∠ECN＝360°﹣（22.5°+
x°）﹣（180°﹣x°）﹣（x°+30°）＝127.5°，所以∠APN＝180°﹣∠APC＝52.5°．
(1)
解：①∠BAE+∠DCE＝60°，理由如下：
如图1，过点E作EF∥AB，
∴∠BAE＝∠AEF，
∵AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠DCE＝∠CEF，
∵∠AEC＝60°，
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEF+∠CEF＝∠AEC＝60°；
故答案为：∠BAE+∠DCE＝60°．
②∠DCE﹣∠BAE＝60°，理由如下：
如图2，过点E作EF//AB，
∴∠BAE＝∠AEF，
∵AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠DCE＝∠CEF，
∵∠AEC＝60°，
∴∠DCE﹣∠BAE＝∠CEF﹣∠AEF＝∠AEC＝60°．
故答案为：∠DCE﹣∠BAE＝60°．
(2)
猜想：∠BAE+∠DCE＝105°，理由如下：
如图3，连接OE，
∵∠BAE是△AOE的外角，∠DCE是△COE的外角，
∴∠BAE＝∠AOE+∠AEO，∠DCE＝∠COE+∠CEO，
∵∠AOC＝60°，∠AEC＝45°，
∴∠BAE+∠DCE
＝∠AOE+∠AEO+∠COE+∠CEO
＝∠AOC+∠AEC
＝60°+45°
＝105°；
(3)
如图4，设AO与CE相交于点G，
设∠AGE＝∠CGO＝x°，则∠AGC＝180°﹣x°，
∵∠BAE是△AEG的外角，∠AEC＝45°，
∴∠BAE＝∠AEC+∠AGE＝45°+x°，
∵AM平分∠BAE，
∴∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝22.5°+x°，
∴∠PAG＝∠BAM＝22.5°+x°，
∵∠DCE是△COG的外角，∠AOC＝60°，
∴∠DCE＝∠CGO+∠AOC＝x°+60°，
∵CN平分∠DCE，
∴∠DCN＝∠ECN＝∠DCE＝x°+30°，
∵∠PAG+∠AGC+∠ECN+∠APC＝360°，
∴∠APC＝360°﹣∠PAG﹣∠AGC﹣∠ECN
＝360°﹣（22.5°+x°）﹣（180°﹣x°）﹣（x°+30°）
＝127.5°，
∴∠APN＝180°﹣∠APC
＝52.5°．
【点评】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用几何模型解决问题，属于中考常考题型．
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