【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-专题强化1《直线和圆的对称问题》讲学案（必修1）

微专题1　对称问题

在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称．在本章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型．

对称问题的解决方法

(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．

点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)．

(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求．

设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)，

则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.

(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”．

设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得．

(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题．

题型一、求点关于直线的对称点

1．点关于直线对称的点的坐标是______．

2．点关于直线的对称点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

3．圆：关于直线对称的圆的方程为（       ）．

A． B．

C． D．

题型二、求直线关于点的对称直线

1．直线关于点对称的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

2．直线关于点对称的直线方程是______．

3．已知直线l: .

(1)求点P（3， 4)关于直线l对称的点Q；

(2)求直线l关于点（2， 3)对称的直线方程．

题型三、求直线关于直线对称问题

1．与直线关于轴对称的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

2．已知直线，，则关于对称的直线方程为_____.

3．分别求直线关于轴、轴对称的直线的方程．

4．已知直线，关于轴对称，的方程为：，则点到直线的距离为___________.

5．已知直线l ：， P（3，-1），当k为1时，求直线l关于点P的对称直线l′，

并求直线l与l′间的距离．

6．已知点，直线，直线.

(1)求点A关于直线的对称点B的坐标；

(2)求直线关于直线的对称直线方程.

题型四、对称问题的应用

1．已知两点，点在直线上，则的最小值为（       ）

A． B．9 C． D．10

2．已知点､，点P在x轴上，则的最小值为___________.

3．已知点，试在y轴和直线上各取一点B、C，使的周长最小．

（提示：尝试使用对称方法，用几何性质简化运算）

4．已知光线从点射出，经直线反射，反射光线过点．求：

（1）反射光线所在直线的方程；

（2）光线从点A到点B经过的路程．

1．已知点关于直线的对称点为点，则点的坐标为（       ）

A．       B．        C．     D．

2．圆关于直线对称的圆的方程是______．

3．直线关于点对称的直线方程（       ）

A． B．

C． D．

4．直线关于定点对称的直线方程是_________．

5．直线关于对称直线，直线的方程是（       ）

A． B．

C． D．

6．两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ）

A． B．

C． D．

7．已知直线，求：

(1)直线l关于点对称的直线的方程；

(2)直线关于直线l对称的直线的方程．

8．已知直线，点．求：

(1)点关于直线的对称点的坐标；

(2)直线关于直线对称的直线的方程；

(3)直线关于点对称的直线的方程．

9．1.已知，直线：

(1)直线关于点A的对称直线的方程；

(2)若光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线所在的直线的方程.

10．已知直线

(1)求直线关于轴对称的直线的方程，并求与的交点P；

(2)若直线过点P且与直线垂直，求直线的方程.

11．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x﹣2y﹣5＝0．

（1）求直线BC的方程；

（2）求直线BC关于CM的对称直线方程．

12．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（       ）．

A．5 B． C．45 D．

13．在平面直角坐标系中，从点发出的光线射向x轴，经x轴反射到直线上，再反射经过点，

则光线由P到Q经过的路程长为______．

14．已知为直线：上一点，点到和的距离之和最小时点的坐标为____________.

15．已知直线l ：， P（3，-1），Q（-3，3），当时，求直线l上的动点M到P，Q两点的距离之和的最小值.

16．已知点与点关于直线对称.

（Ⅰ）求点的坐标；

（Ⅱ）一条光线沿直线入射到直线后反射，求反射光线所在的直线方程.

17．已知点，在直线:上找一点P，在y轴上找一点Q，使的周长最小，试求出周长的最小值，并求出当周长最小时点P和点Q的坐标.