【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-1.4.2《第1课时 距离问题》讲学案（必修1）

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题

第1课时　距离问题

知识点一　点P到直线 l 的距离

已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量=a，则向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为 (如图)．

知识点二　点P到平面α的距离

设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)．

题型一、点到直线的距离

1．点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______．

2．如图，在长方体中，，，，点M是AD的中点，求点M到直线的距离．

3．如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，，点E，F分别是棱和的中点．求证：，并求它们的距离．

题型二、点/直线到平面的距离

1．如图，在棱长为1的正方体中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面的距离为______．

2．如图，是正四棱锥，是正方体，其中，．

(1)求该几何体的表面积；

(2)求点到平面PAD的距离．

3．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，为的中点，点为的中点.

(1)求证：直线平面；

(2)求直线到平面的距离.

题型三、平面到平面的距离

1．如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点．

(1)求证：平面平面EFG；

(2)求平面与平面EFG间的距离．

2．空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（       ）

A． B． C． D．

题型四、异面直线的距离

1．如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为______.

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.

（1）求异面直线与间的距离；

（2）在侧面PAB内找一点N，使平面，并求出N到AB和AP的距离.

1．如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（       ）

A． B． C． D．

2．已知在正方体中，棱长为2，E为的中点.则点到直线的距离为____.

3．长方体中，，，则点B到平面的距离为________．

4．在正方体棱长为2的中，如图所示，E是的中点，则直线与平面BDE的距离是（       ）

A． B． C． D．

5．如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求：

(1)顶点B到平面的距离；

(2)直线到平面的距离．

6．如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点，

求直线MN与平面OCD的距离及平面MNR与平面OCD的距离.

7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，

（1）证明：平面AMN∥平面EFBD；

（2）求平面AMN与平面EFBD间的距离．

8．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离

A． B． C． D．

9．（多选）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（       ）

A．异面直线AC与所成的角为

B．是平面的一个法向量

C．直线到平面的距离为

D．平面与平面间的距离为

10．在四棱锥中，面，底面为矩形，，，为中点，则异面直线与之间的距离为_______.

1．两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 （       ）

A． B． C． D．

2．长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（       ）

A． B． C． D．

3．如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（       ）

A．异面直线与直线所成的角的大小       B．平面与平面所成的角的大小

C．直线到平面距离的大小       D．异面直线，之间的距离的大小

4．（多选）在空间直角坐标系中，，则（       ）

A．

B．点B到平面的距离是2

C．异面直线与所成角的余弦值

D．点O到直线的距离是

5．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点F为的中点，如图建系，则下列说法正确的有（       ）

A． B．向量与所成角的余弦值为

C．平面的一个法向量是 D．点D到直线的距离为

6．已知正方体的棱长为2，E为线段中点，F为线段BC上动点，则（1）的最小值为______；（2）点F到直线DE距离的最小值为______.

7．在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为__________．

8．已知点，直线过点，且一个方向向量为，则点到直线的距离为___________.

9．正方体的棱长为1，E､F分别为､CD的中点，求点F到平面的距离.

10．如图，在棱长为1的正方体中，已知E为上一点，且，在平面内作交于点F，求直线EF与之间的距离．

11．在空间直角坐标系O-xyz中，点P（2a+1，a，-1），A（2，0，0），B（1，0，2），C（2，1，1）．

(1)若点P在平面ABC内，求实数a的值；

(2)若a=0，求

①点P到直线AB的距离；

②点P到平面ABC的距离．

12．在平行四边形中，，，，，且平面ABCD，求点P到直线BC的距离．

13．如图，已知四边形是正方形，平面，且，.

(1)求点到正方形各顶点的距离；

(2)求点到正方形各边的距离；

(3)求点到正方形两条对角线的距离．

14．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，分别是棱的中点.

(1)求证：平面；

(2)求点到直线的距离.

15．如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．

(1)求圆锥的表面积；

(2)求点B到直线CD的距离．

16．已知四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，点M在PD上，且.

(1)求的值；

(2)求点B到直线CM的距离.

17．如图，正方体的棱长为1．

(1)证明：平面；

(2)求到平面的距离．

18．如图，已知三棱锥，平面，，，，.、分别为、的中点.

(1)证明：平面；

(2)求点到平面的距离.

19．如图所示的多面体是底面为ABCD的长方体被平面所截而得的，其中，，，.

（1）求点C到平面的距离；

（2）设过点平行于平面的平面为，求平面与平面之间的距离.

20．底面为菱形的直棱柱中，分别为棱的中点.

（1）在图中作一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面）.

（2）若，求平面与平面的距离.

21．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，E是AB上一点，.已知，，.

（1）求直线AD与平面PBC间的距离；

（2）求异面直线EC与PB间的距离；

（3）求点B到平面PEC的距离.