【暑假提升】(人教A版2019)数学高一(升高二)暑假-第一章《空间向量与立体几何》检测卷(培优版)
展开第一章《空间向量与立体几何》检测卷(培优版)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题满分5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,选对得5分,选错得0分.
1.如图,设,,,若,,则( )
A. B.
C. D.
2.设是正三棱锥,是的重心,是上的一点,且,若,则( ).
A. B. C. D.
3.已知,则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.有以下命题:
①一个平面的单位法向量是唯一的
②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行,则这条直线和这个平面平行
③若两个平面的法向量不平行,则这两个平面相交
④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量,则直线和平面垂直
其中真命题的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图,在直二面角中,是直线上两点,点,点,且,,,那么直线与直线所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2,P是上底面的边界上一点.若的最小值为,则该正四棱台的体积为( )
A. B.3 C. D.1
7.在平行六面体中,,,,,则与所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.如图,已知正方体中,为线段的中点,为线段上的动点,则下列四个结论正确的是( )
A.存在点,使
B.三棱锥的体积随动点变化而变化
C.直线与所成的角不可能等于
D.存在点,使平面
二、多项选择题:本题共4小题,每小题满分5分,共20分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.
9.有下列四个命题,其中正确的命题有( )
A.已知A,B,C,D是空间任意四点,则
B.若两个非零向量与满足+=,则.
C.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量可以是共面向量.
D.对于空间的任意一点O和不共线的三点A,B,C,若 (x,y,z),则P,A,B,C四点共面.
10.从点P(1,2,3)出发,沿着向量=(-4,-1,8)方向取点Q,使|PQ|=18,则Q点的坐标为( )
A.(-1,-2,3) B.(9,4,-13)
C.(-7,0,19) D.(1,-2,-3)
11.中国古代数学著作《九章算术》中,记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体的上下底面平行,且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分),现有一个如图所示的曲池,它的高为2,,,,均与曲池的底面垂直,底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为90°,则以下命题正确的是( )
A.与成角的余弦值为
B.,,,四点不共面
C.弧上存在一点,使得
D.以点为球心,为半径的球面与曲池上底面的交线长为
12.如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点为端点的三条棱长都等于,且它们彼此的夹角都是,下列说法中正确的是( )
A.
B.在底面上的射影是线段的中点
C.与平面所成角大于
D.与所成角的余弦值为,所以,
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且,若P,A,B,C四点共面,则实数t=______.
14.如图,在直三棱柱中,是边长为2的正三角形,,M为的中点,P为线段上的动点,则下列说法正确的是_______(填写序号)
①平面
②三棱锥的体积的最大值为
③存在点P,使得与平面所成的角为
④存在点P,使得与垂直
15.已知空间四边形中,,则______.
16.如图,在正方体中,点E在BD上,点F在上,且.则下列四个命题中所有真命题的序号是___________.①当点E是BD中点时,直线平面;②当时,;③直线EF分别与直线BD,所成的角相等;④直线EF与平面ABCD所成的角最大为.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量,,,.
(1)求证:四点共面;
(2)平面平面.
18.如图所示,已知是平行六面体.
(1)化简;
(2)设是底面的中心,是侧面对角线上的分点,设,试求,,的值.
19.已知向量,,点,.
(1)求;
(2)若直线AB上存在一点E,使得,其中O为原点,求E点的坐标.
20.如图,三棱柱中,,,点,分别在和上,且满足,.
(1)证明:平面;
(2)若为中点,求的长.
21.如图,在四棱锥中,平面,,.
(1)证明;
(2)求二面角的余弦值;
(3)设E为棱上的点,满足异面直线与所成的角为,求的长.
22.如图,在四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,M为CD中点,连接BM,CE交于点F,G为△ABE的重心.
(1)证明:平面ABC
(2)已知平面ABC⊥BCDE,平面ACD⊥平面BCDE,BC=3,CD=6,当平面GCE与平面ADE所成锐二面角为60°时,求G到平面ADE的距离.
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