【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-1.3.2《空间向量运算的坐标表示》讲学案（必修1）

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1.3　空间向量及其运算的坐标表示
1．3.1　空间直角坐标系

知识点一　空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3

知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
⑴ 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
⑵ a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
⑶ |a|＝＝；
⑷ cos〈a，b〉＝＝ .

知识点三　空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
则P1P2＝||＝.


题型一、空间向量的坐标运算
1．已知，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】,,，故选：D

2．空间中，与向量同向共线的单位向量为（       ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以与向量同向共线的单位向量，
故选：C.

3．若向量，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知可得，故．故选：C.

4．已知空间向量，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，空间向量，，，
可得，
则.
故选：A.
5．已知点A的坐标为，向量，则点B的坐标为______．
【答案】
【详解】设，则，
因为，所以，所以，得，
所以点B的坐标为，
故答案为：

6．已知向量，，计算：
(1)，，；
(2)．
【详解】(1)由已知，，
，
则
(2)

题型二、向量的坐标表示的应用
命题点1 空间平行垂直问题
1．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．

求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
【详解】(1)如图，建立空间直角坐标系，

设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为，(0,0,1)．
∴＝.
又点A，M的坐标分别是，，
∴＝.
∴＝.
又NE与AM不共线，∴NE∥AM.
又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝.
∵D(，0,0)，F(，，1)，
∴＝(0，，1)，∴·＝0，
∴⊥.
同理，⊥.
又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.

2．如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
【详解】证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.

又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.
（2）因为平面ABD⊥平面BCD，
平面平面BCD=BD，
平面BCD，，
所以平面.
因为平面，所以 .
又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，
所以AD⊥平面ABC，
又因为AC平面ABC，
所以AD⊥AC.

命题角度2　夹角、距离问题
1．如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：

(1)求的模；
(2)求的值；
(3)求证：平面.
【详解】(1)因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则，，所以，，则.
(2)依题意得、、、，
所以，，，，
又，，
所以，.
(3)证明：依题意得、、、、，
则，，，
所以，，，
则，，即，，
又因为，所以，平面.


2．如图，长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，
H为C1G的中点．

(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求FH的长．
(3)求EF与C1G所成角的余弦值；
【详解】(1)证明　如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G，H.

＝－＝，
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．
∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，
∴⊥，即EF⊥B1C.
(2)∵F，H，
∴＝，
∴||＝＝.
∴FH的长为.
(3)∵＝－(0,1,1)＝.
∴||＝.
又·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，
∴cos 〈，〉＝＝.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.



1．已知，，则_______.
【答案】6
【详解】由，，得，，
.
.
故答案为：.

2．向量，，则_______．
【答案】
【详解】由，，得，
，
故答案为：.
3．已知向量，，．若，则______．
【答案】
【详解】因为，，，所以，
又因为，所以，解得，
故答案为：.

4．如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求：

(1)向量，，的坐标；
(2)，的坐标．
【详解】(1)由已知，
则，，
(2),
.

5．设向量，，计算以及与所成角的余弦值．
【答案】，，，
【详解】
．
.
∵，，
∴

6．已知点，若，求．
【答案】
【详解】设故
由，可得，解得：，故


7．如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.

求证:(1)BC1⊥AB1.
(2)BC1∥平面CA1D．
【详解】如图,以C1点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

设AC=BC=BB1=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).
(1)由于=(0,-2,-2), =(-2,2,-2), 所以·=0-4+4=0, 因此⊥, 故BC1⊥AB1.
(2)取A1C的中点E,连接DE,由于E(1,0,1),所以=(0,1,1).
又=(0,-2,-2), 所以=-.
又ED和BC1不共线,所以ED∥BC1.
又DE⊂平面CA1D,BC1⊄平面CA1D,
故BC1∥平面CA1D.

8．如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA

(1)求证：PB⊥平面APD；
(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD．
【详解】(1)由AD⊥平面PAB，面，则，
又PB⊥PA，，则PB⊥平面APD；
(2)由（1）及面，则面面APD，
又面面APD，AG⊥PD，面APD，
所以面，而面，
所以AG⊥BD．

9．如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F、G分别DD1、BD、BB1是中点.

(1)证明：EFCF；
(2)求EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长.
【详解】(1)建立如图所示空间直角坐标系：

则，
所以，,
因为,
所以，即EFCF.
(2)由（1）知，
所以，
所以与所成角的余弦值是；
(3)由（1）知，
所以，
即CE的长为.

10．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧棱底面ABCD，E､F､G分别为AB､SC､SD的中点.若，.

(1)求；
(2)求；
(3)判断四边形AEFG的形状.
【详解】(1)以D为原点，分别以射线DA､DC､DS为x轴､y轴､z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
则､､､､､，
所以，则.

(2)由（1）知：，，
所以；
(3)由，故四边形AEFG是平行四边形，
又，则，即，而，
所以四边形AEFG是矩形.




1．若，则=（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】.
故选：D
2．已知向量，，则（       ）
A． B．40 C．6 D．36
【答案】C
【详解】由题设，则.
故选：C
3．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，
所以，，
因为与垂直，
所以，解得；
故选：C
4．已知向量，，则下列结论不正确的是（       ）
A． B． C． D．，不平行
【答案】C
【详解】，A正确；，B正确；
，C错误；
，，不平行，D正确.
故选：C.

5．一束光线自点P(1,1,1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经过的距离是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】P关于xOy平面对称的点为P′(1,1，－1)，则光线所经过的距离为
|P′Q|＝＝.

6．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】设＝λ，
则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2.
所以当λ＝时，·取得最小值，此时＝＝，即点Q的坐标为.

7．已知，，，则的坐标为______．
【答案】
【详解】由题设，，所以. 故答案为：

8．已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，则=___________．
【答案】2
【详解】因为


故答案为：2

9．向量，，，且，，则______.
【答案】
【详解】因，，而，则有，解得，即
又，且，则有，解得，即，
于是得，，
所以.
故答案为：

10．若a＝(x，2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
【答案】(－∞，－2)
【详解】由题意，得a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，
因为θ为钝角，所以cos θ＝<0.
又|a|>0，|b|>0，
所以a·b<0，即2x＋4<0，
所以x<－2.
又a，b不会反向，
所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．

11．三棱锥P－ABC各顶点的坐标分别为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，则三棱锥P－ABC的体积为________．
【答案】1
【详解】由A，B，C，P四点的坐标，知△ABC为直角三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC.由空间两点间的距离公式，得AB＝1，AC＝2，PA＝3，
所以三棱锥P－ABC的体积V＝××1×2×3＝1.

12．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则＝________.
【答案】
【详解】因为⊥，所以·＝0，
即1×3＋5×1＋(－2)×z＝0，所以z＝4.
因为BP⊥平面ABC，所以⊥，⊥，即

解得x＝，y＝－，
于是＝.

13．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．

(1)证明：B1D⊥平面ABD；
(2)证明：平面EGF∥平面ABD.
【详解】(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，
所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，
·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.
(2)由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)，
·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.
又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.     结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.


14．在正棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，是的重心，，分别是，上的点，且.

求证：（1）平面平面；
（2），.
【详解】证明：（1）以三棱锥的顶点为原点，以､､所在的直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系.

令，则，，，
，，，.
∴，.
故，∴.
又平面，∴平面.
又平面，
∴平面平面.
（2）∵，，.
∴，.
∴，.

15．如图，在直三棱柱中，，，，点E在棱上，，D，F，G分别为，，的中点，EF与相交于点H．

(1)求证：平面ABD．
(2)求证：平面平面ABD．
【详解】(1)证明：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，

设，则，，，
，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，
所以，．
又，所以平面ABD．
(2)由（1）可得，，
，，
所以，，所以，．
所以，．
因为平面，平面
所以平面
同理可证：平面
又，
所以平面平面ABD．

16．如图，已知直三棱柱的所有棱长相等，D、E分别是棱、AC的中点.

（1）证明：平面；
（2）证明：平面ABD⊥平面.
【详解】（1）连接交于,连接,
直三棱柱中四边形为平行四边形，所以为中点；
因为为中点,所以
因为平面平面，所以平面；
（2）因为D、E分别是棱、AC的中点，直三棱柱的所有棱长相等，所以直三棱柱中四边形为正方形，所以， ,即
为中点，
由直三棱柱得平面平面
平面, 平面平面,,平面,
平面平面ABD,所以平面ABD⊥平面.


17．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．

(1)证明：.
(2)求.
(3)求FH的长．
【详解】(1)在正方体，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示：

依题意，，，
，则，
所以.
(2)由知，，，而，
所以.
(3)因H为的中点，则，而，则，
所以FH的长为．

18．如图，在直棱柱中，，，，分别是，的中点.

(1)求的长；
(2)求证：；
(3)求二面角的余弦值.
【详解】(1)依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），

则,，，，,,,，
所以向量
则；
(2)向量，向量，
因为 ，所以
所以；
(3)向量，向量，
设为平面的一个法向量，
则，即,
不妨令，可得，
又为平面的一个法向量，
则.