【暑假提升】(人教A版2019)数学高一（升高二）暑假-1.2《第2课时 空间向量基本定理的初步应用》讲学案（必修1）

第2课时　空间向量基本定理的初步应用

知识点一　证明平行、共线、共面问题

(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.

(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，

使p＝xa＋yb.

知识点二　求夹角、证明垂直问题

(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.

(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.

知识点三　求距离(长度)问题

＝( ＝ )．

题型一、证明平行、共面问题

1．如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．求证：．

【详解】证明：设，，，

则｛，，｝构成空间的一个单位正交基底．

所以，．

所以．

所以．

2．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：

（1）、、、四点共面，、、、四点共面；

（2）．

【详解】（1）因为，所以，、、为共面向量，

因为、、有公共点，故、、、四点共面，

因为，则、、为共面向量，

因为、、有公共点，故、、、四点共面；

（2），，，

，，

因为、无公共点，故.

3．已知向量，，不共线，点在平面内，若存在实数，，，使得，那么的值为________.

【详解】因为点在平面内，则由平面向量基本定理得：存在，使得：

即，整理得：，

又，所以，，，从而.

故答案为：1

题型二、求夹角、证明垂直问题

1．在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求证:

（1）AB1⊥BC；

（2）A1C⊥平面AB1C1.

【详解】证明：（1）易知<>=120°，=+，

则·=(+)·=·+·=2×2×+2×2×=0.

所以AB1⊥BC.

（2）易知四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1.

因为·=(-)·(-)

=(-)·(--)

=·-·-·-·+·+·

=·-·-·+·

=2×2×-4-2×2×+4

=0，

所以AB1⊥A1C，又AC1∩AB1=A，所以A1C⊥平面AB1C1.

2．如图所示，在三棱锥中，两两垂直，且，E为的中点．

（1）证明：；

（2）求直线与所成角的余弦值．

【详解】（1）证明：，

所以

，

所以．

（2）

，

，

所以，

即直线与所成角的余弦值为．

3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点．求异面直线MN与BC1所成角的余弦值．

【详解】＝－＝(－)，

＝＋＝－＋ ，

所以·＝·＝2＝，

又＝＝， ＝，

所以 cos〈，〉＝＝＝，

故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为.

4．如图，在空间四边形ABCD 中，∠ABD＝∠CBD＝，∠ABC＝，BC＝BD＝1，AB＝，则异面直线AB与CD所成角的大小是________．

【答案】

【详解】依题意可知CD＝＝，.

设直线AB与CD所成角为α，则cos α＝＝，

因为，故α＝.

故答案为：

题型三、求距离（长度）问题

1．如图，平面，为垂足，，，与平面所成的角为，，则的长等于_____．

【答案】

【详解】平面，为垂足，，，

与平面所成的角为，，

，

．

故答案为：．

2．如图，在三棱锥中，底面边长与侧棱长均为，点，分别是棱，上的点，且，，则的长为______．

【答案】

【详解】三棱锥底面边长与侧棱长均为，三棱锥各个面均为等边三角形，

，

，

，即．

故答案为：.

3．如图，在平行六面体中，，，

则___．

【答案】

【详解】，

，

所以

故答案为：

4．如图所示，在平行四边形中，，，沿它的对角线将折起，使与成角，求此时两点间的距离．

【答案】或

【详解】四边形为平行四边形，，又， ，

，，

在空间四边形中，与成角，或，

又，，

当时，，，即此时两点间的距离为；

当时，，，即此时两点间的距离为；

综上所述：两点间的距离为或.

1．如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点.求证：BF∥ED′.

【详解】证明：,

,

所以

所以

∵直线BF与ED′没有公共点，

∴BF∥ED′.

2．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1．

（1）证明：A，E，C1，F四点共面；

（2）试用表示．

【详解】（1）因为（）+（）＝（）+（），

所以共面，又过同一点A，所以A，E，C1，F四点共面．

（2）（）．

3．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点，求证：E，F，B，D四点共面．

【详解】设，

则，，

所以，

而E，F，B，D四点不共线，

因此，故E，F，B，D四点共面．

4．已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数______．

【答案】

【详解】因为，且，，，四点共面，

则，解得，

故答案为：.

5．如图，在三棱柱中，，D，E分别是的中点.求证：

（1）平面；

（2）平面.(用向量方法证明)

【详解】设.

（1），

∵，

∴，

∴，又平面平面，

∴平面.

（2）易知，

∵，

∴

即

两式相加，整理得，

∵，

∴，

∴.

∵，

∴.

又，

∴.

又，

∴平面.

6．如图，在三棱柱中，点是的中点，，，，，设，，.

（1）用，，表示，；

（2）求异面直线与所成角的余弦值.

【详解】（1）三棱柱中，点是的中点，

，

，

（2），，，，，

，

，

，

．

所以异面直线与所成角的余弦值是．

7．已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.

（1）证明：；

（2）求异面直线与夹角的余弦值.

【详解】设，，

由题可知：两两之间的夹角均为，且，

（1）由

所以即证.

（2）由，又

所以，

又

则

又异面直线夹角范围为

所以异面直线夹角的余弦值为.

8．如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为________

【答案】

【详解】根据题意，

根据题中的数据可知，

故答案为：.

9．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：

(1)的值.

(2)线段AC1 的长

【详解】(1)==.

(2)选取作为一组基底，

则，

则

=

=

=

=

=

=.

0．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，是的中点，在线段上且．

（1）用向量，，表示向量；

（2）求向量的模长．

【详解】（1）

（2）

，

．

1．二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为_________.

【答案】

【详解】设平面与平面的夹角为，因为，，

所以，由题意得，所以

所以，所以，所以，即平面与平面的夹角为.

故答案为：或.

2．如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为___________.

【答案】

【详解】由题意三棱柱中，､分别是B､上的点，

且，，

则

，

，

.

故答案为：.

3．已知是空间两个向量，若，则________．

【答案】

【详解】将化为，

得，即，解得，

所以.

故答案为：

4．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任一点O，有，且A，B，C，M四点共面，则________．

【答案】.

【详解】因为A，B，C，M四点共面，所以存在实数，使得,

因为，所以,

又因为，所以，解得，

故答案为：.

5．如图，点为所在平面外一点，点为的中点，若与同时成立，则实数的值为______．

【答案】

【详解】，所以．

故答案为：．

6．如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 ，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________．(填序号)

① (＋＋)2＝2()2 ；

②·(－)＝0 ；

③向量与的夹角是60°；

④BD1与AC所成角的余弦值为.

【答案】①②

【详解】因为以为端点的三条棱长都相等，且彼此的夹角为，不妨设棱长为，

对于①，，

因为，则，所以，故①正确；

对于②，因为，故②正确；

对于③，因为，显然为等边三角形，则，

所以向量与的夹角为，向量与的夹角为，故③不正确；

对于④，因为，，

则，，

所以，

所以，故④不正确．

故答案为：①②．

7．如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若，求x，y的值．

【答案】

【详解】因为

，

又，

所以.

8．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.

【详解】证明:因为

＝

＝＋

＝，

所以，，共面，

所以A，E，C1，F四点共面.

9．已知点G是△ABC的重心，O是空间任意一点，若＋＋＝λ，求λ的值．

【详解】连结并延长，交于，则为中点，且，

是的中线，可得

．

结合，可得．

10．底面为正三角形的斜棱柱中，为的中点，求证：平面

【详解】证明：记､､，

则，，，

∴，∴､､共面，

∵平面，∴平面.

11．如图所示，已知斜三棱柱，点，分别在和上，且满足，，判断向量是否与向量，共面．

【详解】．

，

，

由共面向量定理知向量与向量，共面．

12．如图，已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x，y，z的值.

（1）；

（2）

【详解】(1)因为

又

所以x＝1，y＝－1，z＝1.

(2)因为

又

所以x＝，y＝，z＝1.

13．如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.

（1）求证：E，F，G，H四点共面；

（2）求证：平面EFGH；

（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有.

【详解】（1）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，

，，，

又E，F，G，H四点不共线，故E，F，G，H四点共面；

（2）E，H分别是AB，AD的中点，

，，，

平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH；

（3）由（1）知四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，

E，G分别是AB，CD的中点，

.

14．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若E、F分别为、的中点.求证：

（1）平面；

（2）平面.（用向量方法证明）

【详解】

（1）依题意E、F分别为、的中点，所以

，

所以向量共面，

又平面平面，

所以平面.

（2）因为侧面底面，侧面底面，底面是正方形，所以平面.

设，则，即，

所以，

所以，

所以，由平面，可得平面.

15．如图，在三棱锥中，G是的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点.

（1）用向量表示向量，并证明你的结论；

（2）设，请写出点P在的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.

【详解】（1）.

证明如下：

.

（2）若，点P在的内部（不包括边界），

的充分必要条件是：，且.

16．如图，在正方体中，，分别是，的中点，求证：平面.

【详解】设，，，则.

则，

.

∴.

∴，即.

同理.∵，

∴平面.

17．如图，在直三棱柱'中，，，，分别为，的中点.

（1）求证：；

（2）求异面直线与所成角的余弦值.

【详解】设，，，

根据题意得，且

∴，.

∴，

∴，即.

（2）∵，∴，，

∵，

∴.

∴异面直线与所成角的余弦值为.

18．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，M为与的交点，设，，．

(1)用，，表示并求BM的长；

(2)求点A到直线BM的距离．

【详解】(1)

又，，，

故BM的长为．

(2)由（1）知，，

∴，

所以，则为点A到直线BM的距离，

又，故点A到直线BM的距离为2．

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.

(1)试用表示向量；

(2)求BM的长.

【详解】(1)

(2)

，所以，则BM的长为.

20．在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，.

（1）求侧棱的长；

（2）分别为，的中点，求

【详解】(1)设，则作为一组基底.

，

，

得，所以；

(2)

21．正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD中，E，F分别是棱AD、BC中点．求：

（1）AF与CE所成角的余弦值；

（2）CE与底面BCD所成角的正弦值．

【详解】（1）不妨设正四面体的边长为，

设，两两成角，

则，

，

设所成角为，

所以，

（2）

连接，由为中点，则，

所以平面，所以平面平面，

作于，则平面，

由对称性为的中心，

由棱长为，所以，，

，

作于，由为中点，，

连接，，

CE与底面BCD所成角的正弦值为.

22．如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.

（1）用表示；

（2）求向量与向量所成角的余弦值.

【详解】（1）因为E是的中点，F在上，且，

所以，

于是.

（2）由（1）得，

因此，

，

又因为，

所以向量与向量所成角的余弦值为.

23．如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记.

（1）试用表示；

（2）求模.

【详解】（1），

.

（2）因为AB，AD，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1.

所以，

.

.