2023年浙江省嘉兴市、舟山市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年浙江省嘉兴市、舟山市中考数学试卷（含答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年浙江省嘉兴市、舟山市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．﹣8的立方根是（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在
2．如图的几何体由3个同样大小的正方体搭成，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．在下面的调查中，最适合用全面调查的是（　　）
A．了解一批节能灯管的使用寿命 B．了解某校803班学生的视力情况
C．了解某省初中生每周上网时长情况 D．了解京杭大运河中鱼的种类
4．美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）

第5题 第9题 第10题 第14题
6．下面四个数中，比1小的正无理数是（　　）
A． B．﹣ C． D．
7．如图，已知矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④．则DH的长为（　　）

A． B． C． D．
8．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
9．如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F．若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（　　）
A．12 B．14 C．18 D．24
10．如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　）
A．B． C．D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．计算：|﹣2023|＝　 　．
12．一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式：　 　．
13．现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 　 　．

14．如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 　 　．
15．我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为 　 　．
16．一副三角板ABC和DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，BC＝EF＝12．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G（如图1），此时线段CG的长是 　 　．现将△DEF绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2），边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是 　 　．

三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）（1）解不等式：2x﹣3＞x+1．（2）已知a2+3ab＝5，求(a+b)(a+2b)﹣2b2的值．
18．（6分）小丁和小迪分别解方程﹣＝1过程如下：

你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
19．（6分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数．

20．（8分）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
21．（8分）小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内，小明收集了A，B，C三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：

（1）数据分析：
①求B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数；
②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按2：3：3：2的比例统计，求A款新能源汽车四项评分数据的平均数．
（2）合理建议：
请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由．
22．（10分）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．

（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
23．（10分）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
24．（12分）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．

（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；
（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PD＝AD，求证：MH⊥CP．

2023年浙江省嘉兴市、舟山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．﹣8的立方根是（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在
【分析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案．
【解答】解：﹣8的立方根是＝＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了对立方根的定义的理解和运用，明确a的立方根是是解题的关键．
2．如图的几何体由3个同样大小的正方体搭成，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的俯视图即可．
【解答】解：这个组合体的俯视图为：

故选：C．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确判断的前提．
3．在下面的调查中，最适合用全面调查的是（　　）
A．了解一批节能灯管的使用寿命
B．了解某校803班学生的视力情况
C．了解某省初中生每周上网时长情况
D．了解京杭大运河中鱼的种类
【分析】根据全面调查的适用范围作出判断即可．
【解答】解：A．了解一批节能灯管的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故A选项不符合题意；
B．了解某校803班学生的视力情况，应采用全面调查的方式，故B选项符合题意；
C．了解某省初中生每周上网时长情况，应采用抽样调查的方式，故C选项不符合题意；
D．了解京杭大运河中鱼的种类，应采用抽样调查的方式，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查全面调查与抽样调查的知识，熟练掌握全面调查和抽样调查的适用范围是解题的关键．
4．美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（　　）

A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，
∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2，
∵点C的坐标为（3，2），
∴点F的坐标为（3×2，2×2），即（6，4），
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
6．下面四个数中，比1小的正无理数是（　　）
A． B．﹣ C． D．
【分析】无理数即无限不循环的小数，结合实数比较大小的方法进行判断即可．
【解答】解：A．∵1＞，
∴＞，
即1＞，且是正无理数，
则A符合题意；
B．﹣是负数，
则B不符合题意；
C．是分数，不是无理数，
则C不符合题意；
D．∵π＞3，
∴＞1，
则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查无理数的定义及实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．如图，已知矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④．则DH的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点M作MG⊥BD于点G，根据勾股定理求得BD＝5，由折叠可知BE＝CE＝EH＝BC＝2，∠C＝∠EHM＝90°，CM＝HM，进而得出BE＝EH，∠EBH＝∠EHB，利用等角的余角相等可得∠HDM＝∠DHM，则DM＝HM，于是可得DM＝HM＝CM＝CD＝，由等腰三角形的性质可得DH＝2DG，易证明△MGD∽△BCD，利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图，过点M作MG⊥BD于点G，

∵四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，
∴AB＝CD＝3，∠C＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝5，
根据折叠的性质可得，BE＝CE＝BC＝2，∠C＝∠EHM＝90°，CE＝EH＝2，CM＝HM，
∴BE＝EH＝2，
∴△BEH为等腰三角形，∠EBH＝∠EHB，
∵∠EBH+∠HDM＝90°，
∠EHB+∠DHM＝90°，
∴∠HDM＝∠DHM，
∴△DHM为等腰三角形，DM＝HM，
∴DM＝HM＝CM＝CD＝，
∵MG⊥BD，
∴DH＝2DG，∠MGD＝∠BCD＝90°，
∵∠MDG＝∠BDC，
∴△MGD∽△BCD，
∴，即，
∴DG＝，
∴DH＝2DG＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，根据矩形和折叠的性质推理论证出DM＝HM，以此得出点M为CD的中点是解题关键．
8．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：∵反比例函数y＝，
∴该函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y＝的图象上，
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
9．如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F．若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（　　）

A．12 B．14 C．18 D．24
【分析】连接BD，根据三角形重心的性质可知：P在BD上，由三角形中线平分三角形的面积可知：S△ABC＝2S△BDC，证明△DFP∽△BEP和△BEP∽△BCD，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．
【解答】解：如图，连接BD．
∵点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，
∴P在BD上，S△ABC＝2S△BDC，
∴BP：PD＝2：1，
∵DF∥BC，
∴△DFP∽△BEP，
∴＝，
∵EF∥AC，
∴△BEP∽△BCD，
∴＝（）2＝（）2＝，
设△DFP的面积为m，则△BEP的面积为4m，△BCD的面积为9m，
∵四边形CDFE的面积为6，
∴m+9m﹣4m＝6，
∴m＝1，
∴△BCD的面积为9，
∴△ABC的面积是18．
故选：C．

【点评】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
10．如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题意可分三段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案．
【解答】解：当水的深度未超过球顶时，
水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽，
所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢；
当水的深度超过球顶时，
水槽中能装水的部分宽度不再变化，
所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化．
综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算：|﹣2023|＝　2023　．
【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此可解．
【解答】解：﹣2023的相反数是2023，
故|﹣2023|＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查求一个数的绝对值，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．
12．（4分）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式：　x2﹣1（答案不唯一）．　．
【分析】根据题意，可以写出分解因式中含有（x+1）的一个多项式，本题答案不唯一，符合题意即可．
【解答】解：∵x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），
∴符合条件的一个多项式是x2﹣1，
故答案为：x2﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，写出符合题意的一个多项式．
13．（4分）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 　　．

【分析】直接根据概率公式求解即可．
【解答】解：从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
14．（4分）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 　65°　．

【分析】连接OC，OD，根据切线的性质得到∠ACO＝∠ABO＝90°，求得∠COD＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接OC，OD，
∵AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠COD＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，
∴∠D＝，
故答案为：65°．

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
15．（4分）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为 　　．
【分析】设母鸡有x只，小鸡有y只，根据“一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡”，列出方程组，即可求解．
【解答】解：根据题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，是正确列出二元一次方程组的关键．
16．（4分）一副三角板ABC和DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，BC＝EF＝12．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G（如图1），此时线段CG的长是 　6﹣6　．现将△DEF绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2），边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是 　18+12π﹣18　．

【分析】如图1，过点G作GK⊥BC于K，则∠CKG＝∠BKG＝90°，由等腰直角三角形性质可得CK＝GK＝CG，进而得出BK＝BC﹣CK＝12﹣CG，利用解直角三角形可得BK＝GK，建立方程求解即可得出答案；如图2，以C为圆心，CD为半径作圆，当△CDE绕点C旋转60°时，CE′交AB于H′，连接DD′，过点D作DM⊥AB于M，过点C作CN⊥DD′于N，则∠BCE′＝∠DCD′＝60°，点D的运动轨迹为，点H的运动轨迹为线段BH′，因此在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积为S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′，再利用等腰直角三角形性质、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式即可求得答案．
【解答】解：如图1，过点G作GK⊥BC于K，则∠CKG＝∠BKG＝90°，

∵∠BCD＝45°，
∴△CGK是等腰直角三角形，
∴CK＝GK＝CG，
∵BC＝12，
∴BK＝BC﹣CK＝12﹣CG，
在Rt△BGK中，∠GBK＝30°，
∴＝tan∠GBK＝tan30°＝，
∴BK＝GK，
即12﹣CG＝×CG，
∴CG＝6﹣6；
如图2，以C为圆心，CD为半径作圆，当△CDE绕点C旋转60°时，CE′交AB于H′，连接DD′，过点D作DM⊥AB于M，过点C作CN⊥DD′于N，
则∠BCE′＝∠DCD′＝60°，点D的运动轨迹为，点H的运动轨迹为线段BH′，

∴在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积为S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′，
∵CD＝BC•cosCBD＝12cos45°＝6，
∴DG＝CD﹣CG＝6﹣（6﹣6）＝12﹣6，
∵∠BCD+∠ABC＝60°+30°＝90°，
∴∠BH′C＝90°，
在Rt△BCH′中，CH′＝BC•sin30°＝12×＝6，BH′＝BC•cos30°＝12×＝6，
∵△CD′E′是等腰直角三角形，∠CD′E′＝90°，D′H′⊥CE′，
∴D′H′＝CE′＝6，
∴BD′＝6+6，
∵DM⊥AB，
∴∠DMG＝90°，
∴∠DMG＝∠CH′G，
∵∠DGM＝∠CGH′，
∴△DGM∽△CGH′，
∴＝，即＝，
∴DM＝3﹣3，
∵CD′＝CD＝6，∠DCD′＝60°，
∴△CDD′是等边三角形，
∴∠CDD′＝60°，
∵CN⊥DD′，
∴CN＝CD•sin∠CDD′＝6sin60°＝3，
∴S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′＝×（6+6）×（3﹣3）+﹣×6×3＝18+12π﹣18；
故答案为：6﹣6；18+12π﹣18．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形性质，等腰直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，得出DH扫过的面积为S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′是解题关键．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）（1）解不等式：2x﹣3＞x+1．
（2）已知a2+3ab＝5，求（a+b）（a+2b）﹣2b2的值．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤进行计算即可；
（2）将原代数式化简整理后结合已知条件即可求得答案．
【解答】解：（1）2x﹣3＞x+1，
移项，合并同类项得：x＞4；

（2）∵a2+3ab＝5，
∴（a+b）（a+2b）﹣2b2
＝a2+2ab+ab+2b2﹣2b2
＝a2+3ab
＝5．
【点评】本题考查解一元一次不等式和整式的化简求值，解不等式的步骤及整式的运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
18．（6分）小丁和小迪分别解方程﹣＝1过程如下：

你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【分析】根据解分式方程的步骤进行计算并判断即可．
【解答】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下：
﹣＝1，
两边同乘（x﹣2），去分母得：x+x﹣3＝x﹣2，
移项，合并同类项得：x＝1，
检验：将x＝1代入（x﹣2）中可得：1﹣2＝﹣1≠0，
则x＝1是分式方程的解，
故原分式方程的解是x＝1．
【点评】本题考查解分式方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
19．（6分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数．

【分析】（1）欲证明AE＝AF，只需要证得△ABE≌△ADF即可；
（2）根据菱形的邻角互补和全等三角形的性质进行推理解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D．
又∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE与△ADF中，
∵．
∴△ABE≌△ADF（AAS）．
∴AE＝AF；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BAD＝180°．
而∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°．
又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°．
由（1）知△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°．
∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°．
∴△AEF是等边三角形．
∴∠AEF＝60°．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
20．（8分）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出192﹣172的结果；
（2）根据题目中给出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）∵17＝2×9﹣1，
∴192﹣172＝8×9＝72；
（2）由题意可得，
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．
【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点．
21．（8分）小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内，小明收集了A，B，C三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：

（1）数据分析：
①求B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数；
②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按2：3：3：2的比例统计，求A款新能源汽车四项评分数据的平均数．
（2）合理建议：
请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由．
【分析】（1）①根据中位数的定义解答即可；②根据加权平均数的计算公式计算即可；
（2）根据加权平均数的意义解答即可．
【解答】解：（1）①B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为4467辆；
②A款新能源汽车四项评分数据的平均数为＝68.3（分）；
（2）比如给出1：2：1：2的权重时，A、B、C三款汽车评分的加权平均数分别为67.8分，69.7分，65.7分，结合2023年3月的销售量，可选B款．
【点评】本题考查了中位数，扇形统计图以及加权平均数，掌握中位数，加权平均数等概念是关键．
22．（10分）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．

（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【分析】（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，在Rt△AEF中，根据三角函数的定义得到EF＝AF•tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），根据全等三角形的性质得到结论；
（2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P，根据三角函数的定义得到MP＝AP•tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），根据全等三角形的性质得到PN＝MP＝54.0cm，于是得到结论．
【解答】解：（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，
在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，

∴EF＝AF•tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），
∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，
∴△ADF≌△AEF（SAS），
∴EF＝DE＝35.1cm，
∴CE＝160+35.1＝195.1（cm），
∴小杜最少需要下蹲208﹣195.1＝12.9厘米才能被识别；
（2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，

∴MP＝AP•tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），
∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，
∴△AMP≌△ANP（ASA），
∴PN＝MP＝54.0cm，
∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm），
∴小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3＝123（cm），
∴小若头顶超出点N的高度为：123﹣106.0＝17.0（cm）＞15cm，
∴踮起脚尖小若能被识别．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题关键．
23．（10分）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
【分析】（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3即可得t＝；
（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．若0＜t≤3，有t2﹣2t2+3＝﹣2，若t＞3，有9﹣6t+3＝﹣2，解方程并检验可得t的值为；
（3）根据A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，可得二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，由t＞0，得m＞1，因m﹣2＜m，知A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），其关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），由b＜3，知4＜2m﹣2，m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有4＜m﹣2，可得m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，故4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），得：m＜4，m满足的条件是3＜m＜4．
【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：
1＝4﹣4t+3，
解得：t＝；
（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．
若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值，
∴t2﹣2t2+3＝﹣2，
解得t＝；
若t＞3，当x＝3时函数取最小值，
∴9﹣6t+3＝﹣2，
解得 （不符合题意，舍去）；
综上所述，t的值为；
（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，
∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，
∴t＝m﹣1，
∵t＞0，
∴m﹣1＞0，
解得m＞1，
∵m﹣2＜m，
∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，
∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），
∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），
∵b＜3，
∴4＜2m﹣2，
解得m＞3；
①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，
∵y随x的增大而减小，且a＜b，
∴4＜m﹣2，
解得m＞6，
此时m满足的条件为m＞6；
②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，
∵a＜b，
∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，
∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），
解得：m＜4，
此时m满足的条件是3＜m＜4，
综上所述，3＜m＜4或m＞6．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用．
24．（12分）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．

（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；
（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PD＝AD，求证：MH⊥CP．
【分析】（1）以A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，交点为G，连接OG，与⊙O交点为E，F，与AB交点为M，则OG⊥AB，分别以E，F为圆心，大于EF长为半径画弧，交点为N，连接ON，则ON∥AB，以O为圆心，OM长为半径画弧与ON交点为P，则OP＝OM，以P为圆心，OP长为半径，交直线ON于Q，以O，Q为圆心，大于OQ长为半径画弧，交点为R，连接PR，则PR⊥AB，PR与⊙O交点为C，D，与AB交点为H，即CD、点H即为所求；
（2）如图2，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，证明四边形OFHN是正方形，则可证△ACH是等腰直角三角形，则∠C＝45°，由，可知∠E＝∠C＝45°，由DE是⊙O的直径，可得∠EAD＝90°，则△ADE是等腰直角三角形，AD＝DE•sin∠E＝；
（3）如图3，延长CD、FP，交点为G，由题意知MH是△APF的中位线，则MH∥PF，MH＝PF，由PD＝AD，可得MD＝PD，证明△MDH∽△PDG，则＝，即GP＝2MH＝PF，如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，由CP是∠HCF的平分线，可得∠GCP＝∠FCP，则GN＝NF，证明△GPN≌△FPN（SSS），则∠GPN＝∠FPN＝90°，即PF⊥CP，由MH∥PF，可得MH⊥CP，进而结论得证．
【解答】（1）解：如图1，CD、点H即为所求；

（2）：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度不变；
如图，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，则四边形OFHN是矩形，

∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴OF＝ON，
∴四边形OFHN是正方形，
∴FH＝NH，
∴AF+FH＝CN+NH，即AH＝CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴∠C＝45°，
∵，
∴∠E＝∠C＝45°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EAD＝90°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝AD，
∴AD＝DE•sin∠E＝，
∴线段AD是定长，长度不发生变化，值为；
（3）证明：如图3，延长CD、FP，交点为G，
∵HF＝AH，
∴点H为AF的中点，
又∵点M为AP的中点，
∴MH是△APF的中位线，
∴MH∥PF，MH＝PF，
又∵PD＝AD，PM＝AM，
∴MD＝PD，
∵MH∥GP，
∴∠MHD＝∠PGD，
又∵∠MDH＝∠PDG，
∴△MDH∽△PDG，
∴，
即GP＝2MH＝PF，
如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，

∵CP是∠HCF的平分线，
∴∠GCP＝∠FCP，
∴GN＝NF，
∵GP＝PF，GN＝NF，PN＝PN，
∴△GPN≌△FPN（SSS），
∴∠GPN＝∠FPN＝90°，
∴PF⊥CP，
∵MH∥PF，
∴'MH⊥CP．
【点评】本题考查了作垂线，同弧或等弧所对的圆周角相等，正弦，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
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