2023年浙江省金华市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年浙江省金华市中考数学试卷（含答案解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年浙江省金华市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是﹣20℃，﹣10℃，0℃，2℃，其中最低气温是（　　）
A．﹣20℃ B．﹣10℃ C．0℃ D．2℃
2．（3分）某物体如图所示，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）在2023年金华市政府工作报告中提到，2022年全市共引进大学生约123000人，其中数123000用科学记数法表示为（　　）
A．1.23×103 B．123×103 C．12.3×104 D．1.23×105
4．（3分）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（　　）
A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm
5．（3分）要使有意义，则x的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2
6．（3分）上周双休日，某班8名同学课外阅读的时间如下（单位：时）：1，4，2，4，3，3，4，5，这组数据的众数是（　　）
A．1时 B．2时 C．3时 D．4时
7．（3分）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（　　）

A．120° B．125° C．130° D．135°
8．（3分）如图，两盏灯笼的位置A，B的坐标分别是（﹣3，3），（1，2），将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B′，则关于点A，B′的位置描述正确的是（　　）

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点O对称 D．关于直线y＝x对称
9．（3分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解是（　　）

A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH上，CG与EF交于点P，CM与BE交于点Q，若HF＝FG，则的值是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2+x＝　 　．
12．（4分）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为 　 　cm．

13．（4分）如表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是 　 　．
“偏瘦”
“标准”
“超重”
“肥胖”
80
350
46
24
14．（4分）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标 　 　．
15．（4分）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 　 　cm．

16．（4分）如图是一块矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面积为s（m2），现将边AB增加1m．

（1）如图1，若a＝5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是　 　．
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s（m2），则s的值是　 　．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|．
18．（6分）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值．
19．（6分）为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图，请根据图表信息回答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙“课程的教室至少需要几间．

20．（8分）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形ABOH为矩形．
（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．

21．（8分）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格，在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数，阅读以下作图过程，并回答下列问题：

作法（如图）
结论
①在CB上取点P1，使CP1＝4．
∠P1OA＝45°，点P1表示45°．
②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2．
∠P2OA＝30°，点P2表示30°．
③分别以O，P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连接EF与BC相交于点P3．
…
④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD交AB于点P4．
…
（1）分别求点P3，P4表示的度数．
（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．

22．（10分）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．

23．（10分）问题：如何设计“倍力桥”的结构？
图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁b，使得横梁不能移动，结构稳固．
图2是长为l（cm），宽为3cm的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为1cm的半圆，圆心分别为O1，O2，O3，O1M＝O1N，O2Q＝O3P＝2cm，纵梁是底面半径为1cm的圆柱体，用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．
探究1：图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，D，H1，H2是横梁侧面两边的交点，测得AB＝32cm，点C到AB的距离为12cm，试判断四边形CDEH1的形状，并求l的值．
探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．
①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形H1H2H3…H12，求l的值；
②若有n根横梁绕成的环（n为偶数，且n≥6），试用关于n的代数式表示内部形成的多边形H1H2H3…Hn的周长．

24．（12分）如图，直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点P在直线AB上，与x轴的交点为C，D，其中点C的坐标为（2，0），直线BC与直线PD相交于点E．
（1）如图2，若抛物线经过原点O．
①求该抛物线的函数表达式；
②求的值．
（2）连结PC，∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明理由．


2023年浙江省金华市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是﹣20℃，﹣10℃，0℃，2℃，其中最低气温是（　　）
A．﹣20℃ B．﹣10℃ C．0℃ D．2℃
【分析】明确在实数中负数小于0小于正数，且负数之间比较大小绝对值越大负数越小．
【解答】解：由题可知：﹣20＜﹣10＜0＜2，
所以最低气温是﹣20℃．
故选：A．
【点评】本题考查了实数的比较大小，题目难度较小，一般出现在期末第一题．
2．（3分）某物体如图所示，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据俯视图的定义和画法进行判断即可．
【解答】解：该物体的俯视图是：B．
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的主视图，俯视图就是从上面看物体所得到的图形．
3．（3分）在2023年金华市政府工作报告中提到，2022年全市共引进大学生约123000人，其中数123000用科学记数法表示为（　　）
A．1.23×103 B．123×103 C．12.3×104 D．1.23×105
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：123000＝1.23×105．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（3分）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（　　）
A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm
【分析】首先设第三条线段长为xcm，再利用三角形的三边关系可得x的范围，然后可得答案．
【解答】解：设第三条线段长为xcm，由题意得：
8﹣6＜x＜8+6，
解得：2＜x＜14，
只有13cm适合，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
5．（3分）要使有意义，则x的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
则x的值可以是2，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
6．（3分）上周双休日，某班8名同学课外阅读的时间如下（单位：时）：1，4，2，4，3，3，4，5，这组数据的众数是（　　）
A．1时 B．2时 C．3时 D．4时
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据4出现的次数最多，故众数为4，
故选：D．
【点评】本题考查了众数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握众数的定义．
7．（3分）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（　　）

A．120° B．125° C．130° D．135°
【分析】由同位角相等两直线平行得到a与b平行，再由两直线平行同旁内角互补，求出∠5的度数，根据对顶角相等即可求出∠4的度数．
【解答】解：∵∠1＝∠3＝50°，
∴a∥b，
∴∠5+∠2＝180°，
∵∠2＝50°，
∴∠5＝130°，
∴∠4＝∠5＝130°．
故选：C．

【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
8．（3分）如图，两盏灯笼的位置A，B的坐标分别是（﹣3，3），（1，2），将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B′，则关于点A，B′的位置描述正确的是（　　）

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点O对称 D．关于直线y＝x对称
【分析】根据平移规律确定B′的坐标即可得出结论．
【解答】解：∵点B′由点B（1，2）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到
∴此时B′坐标为（3，3）．
∴A与B′关于y轴对称．
故选：B．
【点评】本题考查了点的平移规律以及点的对称性，掌握规律轻松解答，属于基础题型．
9．（3分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解是（　　）

A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3
【分析】依据题意，首先求出B点的横坐标，再直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集．
【解答】解：∵A（2，3）在反比例函数上，
∴k＝6．
又B（m，﹣2）在反比例函数上，
∴m＝﹣3．
∴B（﹣3，﹣2）．
结合图象，
∴当ax+b＞时，﹣3＜x＜0或x＞2．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数、一次函数的图象和性质，通过图象直接得出一次函数的值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH上，CG与EF交于点P，CM与BE交于点Q，若HF＝FG，则的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由正方形的性质得AB＝AF，AC＝AH，∠BAF＝∠CAH＝90°，则∠BAC＝∠FAH＝90°﹣∠CAF，可证明△ABC≌△AFH，得BC＝HF，而HF＝FG，所以BC＝FG，再证明△BCQ≌△FGP，得CQ＝GP，设AC＝AH＝GH＝2m，则HF＝FG＝BC＝m，可求得BE＝AF＝m，由＝＝tan∠GFP＝tan∠HAF＝＝，得CQ＝BC＝m，由＝＝＝tan∠PBE，得PE＝BE＝m，即可求得S四边形PCQE＝m2，S正方形ABEF＝5m2，则＝＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABEF、四边形ADGH、四边形BDMN都是正方形，
∴AB＝AF，AC＝AH，∠BAF＝∠CAH＝90°，
∴∠BAC＝∠FAH＝90°﹣∠CAF，
∴△ABC≌△AFH（SAS），
∴BC＝HF，
∵HF＝FG，
∴BC＝FG，
∵∠ACG＝∠ACB＝∠BCM＝90°，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，∠ACB+∠BCM＝180°，
∴B、C、G三点在同一条直线上，A、C、M三点在同一条直线上，
∵∠BCQ＝∠G＝∠E＝90°，∠BPE＝∠FPG，
∴∠CBQ＝90°﹣∠BPE＝90°﹣∠FPG＝∠GFP，
∴△BCQ≌△FGP（ASA），
∴CQ＝GP，
设AC＝AH＝GH＝2m，则HF＝FG＝BC＝m，
∴BE＝AF＝＝m，
∵∠G＝∠H＝∠AFE＝90°，
∴∠GFP＝∠HAF＝90°﹣∠AFH，
∴＝＝tan∠GFP＝tan∠HAF＝＝，
∴CQ＝BC＝m，
∵∠E＝∠BCQ＝90°，
∴＝＝＝tan∠PBE，
∴PE＝BE＝×m＝m，
∴S四边形PCQE＝m×m﹣m×m＝m2，
∵S正方形ABEF＝（m）2＝5m2，
∴＝＝，
故选：B．
【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明△ABC≌△AFH及△BCQ≌△FGP是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2+x＝　x（x+1）　．
【分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．
【解答】解：x2+x＝x（x+1）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，通过观察可直接得出公因式，直接观察法是解此类题目的常用的方法．
12．（4分）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为 　8　cm．

【分析】根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴CD是△AOB的中位线，
∴AB＝2CD，
∵CD＝4cm，
∴AB＝2CD＝8（cm），
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
13．（4分）如表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是 　　．
“偏瘦”
“标准”
“超重”
“肥胖”
80
350
46
24
【分析】根据概率公式计算即可．
【解答】解：七年级共有500名学生，体重“标准”的学生有350名，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了概率的计算．某事件的概率＝这个事件发生的结果数除以总的结果数．
14．（4分）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标 　（﹣5，4）　．
【分析】利用旋转变换的性质作出图形可得结论．
【解答】解：如图，点A（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点B的坐标（﹣5，4）．

故答案为：（﹣5，4）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是正确作出图形，利用图象法解决问题．
15．（4分）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 　π　cm．

【分析】连接OE，OD，由等腰三角形的性质推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧长公式即可求出的长．
【解答】解：连接OE，OD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵OD＝AB＝×6＝3（cm），
∴的长＝＝π（cm）．
故答案为：π．

【点评】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出OD∥AC，从而求出∠EOD的度数．
16．（4分）如图是一块矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面积为s（m2），现将边AB增加1m．

（1）如图1，若a＝5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是　6　．
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s（m2），则s的值是　6+4　．
【分析】（1）根据边AD减少1m，得到的矩形面积不变，得5b＝（5+1）×（b﹣1），可解得答案；
（2）由边AB增加1m，边AD增加2m，得到的矩形面积为2s（m2），知（a+1）（b+2）＝2s，故（a+1）（+2）＝2s，2a2+（2﹣s）a+s＝0，又有且只有一个a的值使得到的矩形面积为2s，可得（2﹣s）2﹣8s＝0，可解得答案．
【解答】解：（1）∵边AD减少1m，得到的矩形面积不变，
∴5b＝（5+1）×（b﹣1），
解得：b＝6，
故答案为：6；
（2）根据题意知b＝，
∵边AB增加1m，边AD增加2m，得到的矩形面积为2s（m2），
∴（a+1）（b+2）＝2s，
∴（a+1）（+2）＝2s，
整理得：2a++2﹣s＝0，
∴2a2+（2﹣s）a+s＝0，
∵有且只有一个a的值使得到的矩形面积为2s，
∴Δ＝0，即（2﹣s）2﹣8s＝0，
解得s＝6﹣4（不符合题意舍去）或s＝6+4，
故答案为：6+4．
【点评】本题考查整式的混合运算，涉及矩形面积，一元二次方程的判别式等，解题的关键是由有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s列出关于s的方程．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|．
【分析】先计算零次幂、化简二次根式，再代入特殊值的函数值算乘法并化简绝对值，最后算加减得结论．
【解答】解：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|
＝1+2﹣2×+5
＝1+2﹣1+5
＝7．
【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、绝对值的意义，二次根式的性质及特殊角的函数值等知识点是解决本题的关键．
18．（6分）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值．
【分析】先根据单项式乘以多项式的法则和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可
【解答】解：原式＝4x2﹣1+3x﹣4x2
＝3x﹣1
当时，原式＝3×﹣1＝0．
【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
19．（6分）为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图，请根据图表信息回答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙“课程的教室至少需要几间．

【分析】（1）从两个统计图可知，样本中选择“包粽子”的学生有18人，占被调查人数的36%，根据频率＝进行计算即可，求出选择“采艾叶”的学生人数即可补全条形统计图；
（2）求出样本中，选择“折纸龙”的学生所占的百分比，进而估计总体中选择“折纸龙”所占的百分比，再根据频率＝即可求出总体中选择“折纸龙”的学生人数，进而求出所需要的教室的数量．
【解答】解：（1）18÷36%＝50（人），
选择“采艾叶”的学生人数为：50﹣8﹣18﹣10＝14（人），
补全条形统计图如图所示：

（2）1000×＝160（人），160÷30≈6（间），
答：开设“折纸龙“课程的教室至少需要6间．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率＝是正确解答的前提．
20．（8分）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形ABOH为矩形．
（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．

【分析】（1）根据切线的性质得到AB⊥x轴根据垂直的定义得到∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，根据矩形的判定定理得到四边形AHOB是矩形；
（2）连接AD，根据矩形的性质得到AH＝OB＝，根据勾股定理得到DH＝＝＝3，根据垂径定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵⊙A与x轴相切于点B，
∴AB⊥x轴
又∵AH⊥CD，HO⊥OB，
∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，
∴四边形AHOB是矩形；
（2）解：连接AD，
∵四边形AHOB是矩形，
∴AH＝OB＝，
∵AD＝AB＝4，
∴DH＝＝＝3，
∵AH⊥CD，
∴CD＝2DH＝6．

【点评】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正确都作出辅助线是解题的关键．
21．（8分）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格，在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数，阅读以下作图过程，并回答下列问题：

作法（如图）
结论
①在CB上取点P1，使CP1＝4．
∠P1OA＝45°，点P1表示45°．
②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2．
∠P2OA＝30°，点P2表示30°．
③分别以O，P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连接EF与BC相交于点P3．
…
④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD交AB于点P4．
…
（1）分别求点P3，P4表示的度数．
（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．

【分析】（1）根据矩形的性质可求出∠OP2C 度数，根据线段垂直平分线的性质∠P2OP3度数，即可求出∠P3OA的度数，从而知道P3点表示度数；利用半径相等即可求出∠P2OD＝∠P2DO，再根据平行线的性质即可求出∠P2OD＝∠DOA，从而得P3表示度数；
（2）利用角平分线的性质作图即可求出答案．
【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠OP2C＝∠P2OA＝30°，
由作图可知，EF是 OP2 的中垂线，
∴OP3＝P3P2；
∴∠P3OP2＝∠P3P2O＝30°，
∴∠P3OA＝∠P3OP2+∠P2OA＝60°，
∴点 P3 表示 60°；
②作图可知，P2D＝P2O，
∴∠P2OD＝∠P2DO，
∵CB∥OA，
∴∠P2DO＝∠DOA；
∴，
∴点P4表示 15°；
答：点P3表示60°，点P4表示15°；
（2）作∠P3OP4 的角平分线交BC于P5，点P5即为所求作的点，如图：

∵点P3表示 60°，点P4表示 15°，
∴∠P3OP4＝60°﹣15°＝45°，
∴∠P3OP4+∠P4OA＝22.5°+15°＝37.5°，
∴P5 表示 37.5°．
【点评】本题考查的是尺规作图的应用，涉及到的知识点有线段垂直平分线、角平分线性质、圆的相关性质，解题的关键需要正确理解题意，掌握用到的相关知识点．
22．（10分）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．

【分析】（1）由A（8，800）可知哥哥的速度．
（2）①根据时间＝路程÷速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可．
②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论．
【解答】解：（1）由A（8，800）可知哥哥的速度为：800÷8＝100（m/min）．
（2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
∴妹妹所用时间t为：800÷200＝4（min）．
∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，
∴a＝8+2﹣4＝6．
②由（1）可知：哥哥的速度为100m/min，
∴设BC所在直线为s1＝100t+b，
将B（17，800）代入得：800＝100×17+b，
解得b＝﹣900．
∴BC所在直线为：s1＝100t﹣900．
当s1＝1900时，t哥哥＝28．
∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，
∴妹妹的速度是160米/分．
∴设妹妹返回时得解析式为s2＝160t+b，
将F（20，800）代入得800＝160×20+b，
解得b＝﹣2400，
∴s2＝160t﹣2400．
令s1＝s2，则有100t﹣900＝160t﹣2400，
解得t＝25＜28，
∴妹妹能追上哥哥，
此时哥哥所走得路程为：800+（25﹣17）×100＝1600（米）．
兄妹俩离家还有1900﹣1600＝300（米），
即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家300米远．
【点评】本题考查了一次函数的应用，观察图象以及利用待定系数法求解析式是解决该类问题的关键．
23．（10分）问题：如何设计“倍力桥”的结构？
图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁b，使得横梁不能移动，结构稳固．
图2是长为l（cm），宽为3cm的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为1cm的半圆，圆心分别为O1，O2，O3，O1M＝O1N，O2Q＝O3P＝2cm，纵梁是底面半径为1cm的圆柱体，用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．
探究1：图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，D，H1，H2是横梁侧面两边的交点，测得AB＝32cm，点C到AB的距离为12cm，试判断四边形CDEH1的形状，并求l的值．
探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．
①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形H1H2H3…H12，求l的值；
②若有n根横梁绕成的环（n为偶数，且n≥6），试用关于n的代数式表示内部形成的多边形H1H2H3…Hn的周长．

【分析】探究1：根据图形即可判断出CDEH1形状；根据等腰三角形性质可求出AM长度，利用勾股定理即可求出CA长度，从而求出l值．
探究2：①根据十二边形的特性可知∠CH1N＝30°，利用特殊角正切值求出CH1长度，最后利用菱形的性质求出EH1的长度，从而求得l值．
②根据正多边形的特性可知∠CH1N的度数，利用特殊角正切值求出CH1和H1N长度，最后利用菱形的性质求出EH1的长度，从而求得l值．
【解答】解：探究1：①四边形CDEH1是菱形，理由如下：
由图1可知，CD∥EH1，ED∥CH1，
∴CDEH1为平行四边形，
∵桥梁的规格是相同的，
∴桥梁的宽度相同，即四边形CDEH1每条边上的高相等，
∵平行四边形CDEH1的面积等于边长乘这条边上的高，
∴CDEH1每条边相等，
∴CDEH1为菱形．
②如图1，过点C作CM⊥AB于点M．

由题意，得CA＝CB，CM＝12cm，AB＝32cm，
∴AM＝AB＝16cm，
在Rt△CAM中，CA2＝AM2+CM2，
∴CA＝20（cm），
∴l＝CA+2＝22（cm），
故答案为：l＝22cm．
探究2：①如图2，过点C作CN⊥H1H2于点N，

由题意，得∠H1CH2＝120°，CH1＝CH2，CN＝3cm，
∴∠CH1N＝30°，
∴CH1＝2CN＝6cm，H1N＝cm，
又∵四边形CDEH1是菱形，
∴EH1＝CH1＝6cm，
∴l＝2（2+6+3）＝（16+6）cm，
故答案为：l＝（16+6）cm．
②如图3，过点C作CN⊥H1H2于点N．

由题意，形成的多边形为正n边形，
∴外角∠CH1H2＝，
在Rt△CNH1中，H1N＝（cm），
又∵CH1＝CH2，CN⊥H1H2，
∴H1H2＝2H1N＝cm，
∴形成的多边形的周长为（）cm．
故答案为：（）cm．
【点评】实际应用题，考查的是菱形的性质和判定、锐角三角函数、勾股定理，解题的关键在于将生活实际和有关数学知识有效结合以及熟练掌握相关性质．
24．（12分）如图，直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点P在直线AB上，与x轴的交点为C，D，其中点C的坐标为（2，0），直线BC与直线PD相交于点E．
（1）如图2，若抛物线经过原点O．
①求该抛物线的函数表达式；
②求的值．
（2）连结PC，∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明理由．

【分析】（1）①由抛物线经过原点O（0，0）、C（2，0），可得抛物线的顶点P（1，），利用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+3x；
②先求出A（﹣2，0），B（0，），运用待定系数法可得直线OP的解析式为y＝x，过点B作BF∥x轴交OP于点F，F（，），可得BF＝，再由BF∥OC，得出△BEF∽△CEO，进而可得＝＝＝；
（2）过点P作PF⊥x轴于点F，设P（m，m+），则F（m，0），利用勾股定理可得AP2＝AF2+PF2＝（m+2）2+（m+）2＝m2+9m+9，若∠CPE＝∠BAO，可得△CPD∽△CAP，得出∠CDP＝∠CPA，再结合∠CDP＝∠ACP，可得∠PCD＝∠CPA，进而可得AP＝AC，建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵抛物线经过原点O（0，0）、C（2，0），
∴对称轴为直线x＝1，
当x＝1时，y＝×1+＝，
∴抛物线的顶点P（1，），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+，把C（2，0）代入，得a+＝0，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣1）2+＝﹣x2+3x，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+3x；
②∵直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（﹣2，0），B（0，），
设直线OP的解析式为y＝kx，把P（1，）代入，得：k＝，
∴直线OP的解析式为y＝x，
如图，过点B作BF∥x轴交OP于点F，则点F的纵坐标与点B的纵坐标相同，

∴＝x，
解得：x＝，
∴F（，），
∴BF＝，
∵BF∥OC，
∴△BEF∽△CEO，
∴＝＝＝，
∴的值为．
（2）如图，过点P作PF⊥x轴于点F，
设P（m，m+），则F（m，0），
∴PF＝m+，AF＝m﹣（﹣2）＝m+2，AC＝2﹣（﹣2）＝4，

在Rt△APF中，AP2＝AF2+PF2＝（m+2）2+（m+）2＝m2+9m+9，
若∠CPE＝∠BAO，
∵∠PCD＝∠ACP，
∴△CPD∽△CAP，
∴∠CDP＝∠CPA，
∵PC＝PD，
∴∠CDP＝∠ACP，
∴∠PCD＝∠CPA，
∴AP＝AC，
∴m2+9m+9＝16，
解得：m1＝﹣（舍去），m2＝，
∴∠CPE与∠BAO能相等，点P的横坐标为．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数综合运用，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
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