高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第二册 第5章 5.2.3　简单复合函数的导数(含解析)

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5.2.3　简单复合函数的导数
学习目标　1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．

知识点　复合函数的导数
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
思考　函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
答案　函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．
2．复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．

1．y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．(　√　)
2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.(　×　)
3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.(　√　)

一、求复合函数的导数
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝cos(x2)；
(3)y＝log2(2x＋1)；
(4)y＝e3x＋2.
解　(1)令u＝1－3x，则y＝＝u－4，
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝.
(2)令u＝x2，则y＝cos u，
所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin(x2).
(3)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则yx′＝yu′ux′＝＝.
(4)设y＝eu，u＝3x＋2，
则yx′＝(eu)′·(3x＋2)′
＝3eu＝3e3x＋2.
反思感悟　(1)求复合函数的导数的步骤

(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．
跟踪训练1　求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝5log2(1－x)；
(3)y＝sin.
解　(1)
设y＝u＝1－2x，
则y′x＝


(2)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′
＝＝.
(3) 设y＝sin u，u＝2x＋，
则yx′＝(sin u)′′＝cos u·2＝2cos.
二、复合函数与导数的运算法则的综合应用
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝x；
(3)y＝xcossin.
解　(1)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝，
∴y′＝
＝＝.
(2)y′＝(x)′＝x′＋x()′
＝＋
＝.
(3)∵y＝xcossin
＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x，
∴y′＝′＝－sin 4x－cos 4x·4
＝－sin 4x－2xcos 4x.
反思感悟　(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．
(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．
跟踪训练2　求下列函数的导数：
(1)y＝sin2；
(2)y＝sin3x＋sin x3；
(3)y＝xln(1＋x)．
解　(1)方法一　∵y＝，
∴y′＝′＝sin x.
方法二　y′＝2sin cos ·
＝sin cos 
＝sin x.
(2)y′＝(sin3x＋sin x3)′
＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
(3)y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′
＝ln(1＋x)＋.
三、与切线有关的综合问题
例3　(1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)
A. B．2 C．3 D．0
答案　A
解析　设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，
∴＝＝2，
解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
(2)设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．求a，b的值．
解　由曲线y＝f(x)过(0,0)点，
可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，
得f′(x)＝＋＋a，
则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，
即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．
由题意，得＋a＝，故a＝0.
反思感悟　(1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件．
(2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内．
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，则k的值为        ．
答案　1
解析　由f(x)＝，
得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)．
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
所以f′(1)＝0，因此k＝1.
(2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝        .该切线与坐标轴围成的面积为        ．
答案　2　
解析　令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，
又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.
因为f(x)＝eax，
所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，
所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
由题意可知，切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.
令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝－.
∴S＝××1＝.

1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　)
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D. t＝x2－1, y＝tn
答案　AD
2．函数y＝(2 020－8x)3的导数y′等于(　　)
A．3(2 020－8x)2 B．－24x
C．－24(2 020－8x)2 D．24(2 020－8x)2
答案　C
解析　y′＝3(2 020－8x)2×(2 020－8x)′
＝3(2 020－8x)2×(－8)＝－24(2 020－8x)2.
3．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　)
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
答案　B
解析　y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′
＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′
＝2xcos 2x－2x2sin 2x.
4．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝        .
答案　
解析　∵f′(x)＝，∴f′(1)＝＝.
5．曲线 y＝ln(2－x)在点(1,0)处的切线方程为        ．
答案　x＋y－1＝0
解析　∵y′＝＝，
∴y′| x＝1＝＝－1，即切线的斜率是k＝－1，
又切点坐标为(1,0)．
∴y＝ln(2－x)在点(1,0)处的切线方程为y＝－(x－1)，
即x＋y－1＝0.

1．知识清单：
(1)复合函数的概念．
(2)复合函数的求导法则．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．


1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　)
A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos
C．y＝ D．y＝(2x＋3)4
答案　BCD
解析　A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，
其中B由y＝cos u，u＝x＋复合而成；
C由y＝，u＝ln x复合而成；
D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．
2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　)
A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5) D.
答案　B
解析　∵y＝xln(2x＋5)，
∴y′＝ln(2x＋5)＋.
3．函数y＝x3ecos x的导数为(　　)
A．y′＝3x2ecos x＋x3ecos x
B．y′＝3x2ecos x－x3ecos xsin x
C．y′＝3x2ecos x－x3esin x
D．y′＝3x2ecos x＋x3ecos xsin x
答案　B
解析　y′＝(x3)′ecos x＋x3(ecos x)′＝3x2ecos x＋x3ecos x·(cos x)′＝3x2ecos x－x3ecos xsin x.
4．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　)
A．2e B．e C．2 D．1
答案　C
解析　∵y＝xex－1，∴y′＝ex－1＋xex－1，
∴k＝y′|x＝1＝e0＋e0＝2，故选C.
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．－2
答案　B
解析　设切点坐标是(x0，x0＋1)，
依题意有
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.
6．函数y＝sin 2xcos 3x的导数是                  ．
答案　y′＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x
解析　∵y＝sin 2xcos 3x，
∴y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x.
7．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝f′sin 3x＋cos 3x，则f′＝        .
答案　3
解析　∵f(x)＝f′sin 3x＋cos 3x，
∴f′(x)＝f′·3cos 3x－3sin 3x，
令x＝可得f′＝f′×3cos －3sin
＝ f′－3×，
解得f′＝3.
8．点P是f(x)＝(x＋1)2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是        ，此时点P的坐标为        ．
答案　　
解析　与直线y＝x－1平行的f(x)＝(x＋1)2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最短．
设切点为(x0，y0)，
则f′(x0)＝2(x0＋1)＝1，∴x0＝－，y0＝.
即P到直线y＝x－1的距离最短．
∴d＝＝.
9．求下列函数的导数：
(1)y＝ln(ex＋x2)；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝sin4x＋cos 4x.
解　(1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.
(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，
∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10.
(3)∵y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2 x·cos2 x＝1－sin2 2x＝1－(1－cos 4x)
＝＋cos 4x.
∴y′＝－sin 4x.
10．曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
解　∵y＝esin x，
∴y′＝esin xcos x，
∴y′|x＝0＝1.
∴曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线方程为
y－1＝x，即x－y＋1＝0.
又直线l与x－y＋1＝0平行，
故直线l可设为x－y＋m＝0.
由＝得m＝－1或3.
∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0.

11．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)
A. B. C. D．1
答案　A
解析　依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，
y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.
所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，
即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示．

因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，
直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，
所以结合图象可得，
这三条直线所围成的三角形的面积为×1×＝.
12．(多选)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是(　　)
A. B. C. D.
答案　CD
解析　因为y＝，
所以y′＝＝＝.
因为ex>0，
所以ex＋≥2(当且仅当x＝0时取等号)，
所以y′∈[－1,0)，
所以tan α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，
所以α∈.
13．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝        .
答案　
解析　∵f′(x)＝－sin(x＋φ)，
∴f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)，
令g(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)，
∵其为奇函数，
∴g(0)＝0，即cos φ－sin φ＝0，
∴tan φ＝，
又0<φ<π，
∴φ＝.
14．已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是        ．
答案　y＝－2x－1
解析　设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，
又f(x)为偶函数，所以f(x)＝ln x－3x，
f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，
所以切线方程为y＝－2x－1.

15．已知f ＝，则f′(x)等于(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　D
解析　由f ＝＝，
得f(x)＝，
从而f′(x)＝－，故选D.
16．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′；
(2)在曲线y＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．
解　(1)∵f(x)＝eπxsin πx，
∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx
＝πeπx(sin πx＋cos πx)．
∴f′＝

(2)设切点坐标为P(x0，y0)，
由题意可知
又y′＝，
∴＝＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即该点的坐标为P(0,1)，切线方程为y－1＝0.