高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念精品课后练习题

§5.2　三角函数的概念

5．2.1　三角函数的概念

学习目标　1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值.2.掌握任意角三角函数在各象限的符号.3.掌握三角函数诱导公式一并会应用．

知识点一　任意角的三角函数的定义

思考　三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？

答案　三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．

知识点二　正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号

1．图示：

2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．

知识点三　公式一

终边相同的角的同一三角函数的值相等．

即

1．sin α表示sin 与α的乘积．(　×　)

2．设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大．(　×　)

3．终边相同的角的同一三角函数值相等．(　√　)

4．终边落在y轴上的角的正切函数值为0.(　×　)

一、三角函数的定义及应用

例1　(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P

(y<0)，则tan α＝        .

答案　－

解析　因为点P(y<0)在单位圆上，

则＋y2＝1，

所以y＝－，所以tan α＝－.

(2)(多选)若角α的终边经过点P(x，－3)且sin α＝－，则x的值为(　　)

A．－  B．－1  C．1  D.

答案　BC

解析　|OP|＝，

∵sin α＝＝＝－，

解得x2＝1，∴x＝±1.

延伸探究

在本例(2)中，将“sin α＝－”改为“cos α＝－”求x的值．

解　|OP|＝，

∴cos α＝＝＝－，

解得x2＝1，又x<0，∴x＝－1.

(学生)

反思感悟　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况

(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．

(2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.

(3)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，

cos α＝.

(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．

跟踪训练1　角θ的终边落在直线y＝2x上，求sin θ，

cos θ的值．

解　方法一　设角θ的终边与单位圆交于点P(x，y)，

联立解得或

即点P坐标为或，

当点P坐标为时，sin θ＝，cos θ＝，

当点P坐标为时，sin θ＝－，

cos θ＝－.

方法二　①若θ的终边在第一象限内，

设点P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点，

因为r＝|OP|＝＝a，

所以sin θ＝＝＝，cos θ＝＝＝.

②若θ的终边在第三象限内，

设点P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点，

因为r＝|OP|＝＝－a(a<0)，

所以sin θ＝＝＝－，

cos θ＝＝＝－.

二、三角函数值符号的应用

例2　(1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

答案　C

解析　由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角．

由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角．

综上可知，α是第三象限角．

(2)(多选)下列选项中，符号为负的是(　　)

A．sin(－100°)   B．cos(－220°)

C．tan 10   D．cos π

答案　ABD

解析　－100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；10∈在第三象限，故tan 10>0，cos π＝－1<0.

反思感悟　判断三角函数值符号的两个步骤

(1)定象限：确定角α所在的象限．

(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．

跟踪训练2　已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　C

解析　∵点P(sin α，cos α)在第三象限，

∴∴α为第三象限角．

三、公式一的简单应用

例3　计算下列各式的值：

(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；

(2)sin＋cos tan 4π.

解　(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)

＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°

＝×＋×＝＋＝.

(2)原式＝sin＋costan(4π＋0)＝sin ＋cos ×0＝.

反思感悟　利用诱导公式一进行化简求值的步骤

(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z.

(2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值．

(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．

跟踪训练3　计算下列各式的值：

(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；

(2)sin ＋tan.

解　(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)

＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°

＝1－1＋＝.

(2)sin ＋tan

＝sin＋tan

＝sin ＋tan ＝＋1.

1．已知sin α＝，cos α＝－，则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　设交点坐标为P(x，y)，

则y＝sin α＝，x＝cos α＝－，

∴点P.

2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　D

解析　设点P(－4,3)，则|OP|＝＝5，

∴cos α＝＝－.

3．(多选)若sin θ·cos θ>0，则θ在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　AC

解析　因为sin θ·cos θ>0，

所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0，

所以θ在第一象限或第三象限．

4．计算：sin ＋cos＋tan ＝        .

答案　2

解析　原式＝sin＋cos＋

tan

＝sin ＋cos ＋tan 

＝＋＋1

＝2.

5．已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝        .

答案　1或－1

解析　因为r＝＝5|a|，

①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．

sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，

所以2sin α＋cos α＝－＝1.

②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，

sin α＝＝－，cos α＝＝.

所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.

1．知识清单：

(1)三角函数的定义及求法．

(2)三角函数在各象限内的符号．

(3)公式一．

2．方法归纳：转化与化归、分类讨论．

3．常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为.

1．点A(x，y)是60°角的终边与单位圆的交点，则的值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　A

解析　由三角函数定义知＝tan 60°＝.

2．代数式sin(－330°)cos 390°的值为(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　B

解析　由诱导公式－可得，

sin(－330°)cos 390°＝sin 30°×cos 30°

＝×＝.

3．若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是(　　)

A．2  B．±2  C．－2  D．－2

答案　D

解析　因为cos α＝－<0，所以x<0，

又r＝，由题意得＝－，

所以x＝－2.

4．(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是(　　)

A．cos(－280°)<0   B．sin 500°>0

C．tan>0   D．tan >0

答案　BCD

解析　cos(－280°)＝cos(－360°＋80°)＝cos 80°>0；

sin 500°＝sin(360°＋140°)＝sin 140°，90°<140°<180°，

∴sin 140°>0；

tan＝tan＝tan ，∈，

∴tan π>0；

tan π＝tan＝tan ，∈，

∴tan >0.

5．已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

答案　D

解析　∵sin θcos θ<0，∴sin θ，cos θ是一正一负，

又|cos θ|＝cos θ，∴cos θ≥0，

综上有sin θ<0，cos θ>0，

即θ为第四象限角．

6．已知角α终边与单位圆交于点P，则cos α＝        ，sin α＝        .

答案　－　±

解析　点P满足单位圆x2＋y2＝1，

则＋y2＝1，∴y＝±，

∴cos α＝－，sin α＝±.

7．点P(tan 2 020°，cos 2 020°)位于第        象限．

答案　四

解析　因为2 020°＝5×360°＋220°，

所以2 020°的终边与220°的终边相同，

又220°是第三象限角，

所以tan 2 020°>0，cos 2 020°<0，

即点P位于第四象限．

8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是        ．

答案　(－2,3]

解析　由cos α≤0，sin α>0可知，

解得－2<a≤3.

9．化简下列各式：

(1)sin ＋cos ＋cos(－5π)＋tan ；

(2)a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°.

解　(1)原式＝sin ＋cos ＋cos π＋1

＝－1＋0－1＋1＝－1.

(2)原式＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2abtan 45°

＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.

10．已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.

解　由题意知r＝|OP|＝，

由三角函数定义得cos θ＝＝，

又因为cos θ＝x，

所以＝x.

因为x≠0，所以x＝±1.

当x＝1时，P(1,3)，

此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3.

当x＝－1时，P(－1,3)，

此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.

11．函数y＝＋的定义域是(　　)

A．{x|2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z}

B.

C.

D．{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}

答案　B

解析　由sin x≥0，－cos x≥0，

得x为第二象限角或y轴正半轴上的角或x轴负半轴上的角，

所以2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.

12．在△ABC中，若sin Acos Btan C<0，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．锐角三角形或钝角三角形

答案　C

解析　在△ABC中，A，B，C∈(0，π)，

∵sin A>0，∴cos B·tan C<0，

∴B，C一个为锐角，另一个为钝角，

∴△ABC为钝角三角形．

13．函数y＝＋＋的值域是(　　)

A．{－1,0,1,3}   B．{－1,0,3}

C．{－1,3}   D．{－1,1}

答案　C

解析　依题意，角x的终边不在坐标轴上，

当x为第一象限角时，y＝1＋1＋1＝3，

当x为第二象限角时，y＝1－1－1＝－1，

当x为第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1，

当x为第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1，

综上有值域为{－1,3}．

14．若－300°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为        ．

答案　－4

解析　由三角函数定义知，tan(－300°)＝－，

又tan(－300°)＝tan(－360°＋60°)＝tan 60°＝，

∴－＝，∴a＝－4.

15．(多选)已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是(　　)

A．sin 2α>0   B．cos 2α>0

C．cos >0   D．tan >0

答案　AD

解析　由α是第一象限角，2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，得4kπ<2α<π＋4kπ，k∈Z,2α的终边在x轴上方，则sin 2α>0.cos 2α的正负不确定；又因为kπ<<＋kπ，k∈Z，所以是第一或第三象限角，则tan >0，cos 的正负不确定．

16．已知＝－，且lg(cos α)有意义．

(1)试判断角α所在的象限；

(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．

解　(1)由＝－，可知sin α<0，

由lg(cos α)有意义可知cos α>0，

∴角α是第四象限角．

(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，

解得m＝±.

又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.

由正弦函数的定义可知sin α＝＝

＝＝－.