高中数学3.3 幂函数优秀同步练习题

这是一份高中数学3.3 幂函数优秀同步练习题，共12页。试卷主要包含了了解幂函数的概念，同理可求得g＝x－2等内容，欢迎下载使用。

§3.3　幂函数
学习目标　1.了解幂函数的概念.2.掌握y＝xα的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．

知识点一　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
思考　如何判断一个函数是幂函数？
答案　(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数．
知识点二　五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．

思考　通过对5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？
答案　第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．
2．五个幂函数的性质

y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减
增
增
在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减


知识点三　一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
3．当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．

1．已知f(x)＝(m＋1) 是幂函数，则m等于________．
答案　0
解析　由题意可知m＋1＝1，即m＝0.
2．下列函数中的幂函数有________．
①y＝x0；②y＝(x＋1)3；③y＝2x；
④y＝x－1；⑤y＝x4＋1.
答案　①④
解析　由幂函数的定义可知，①④是幂函数；②③⑤不是幂函数．
3．当x∈(0,1)时，x2________x3.(填“>”“＝”或“<”)
答案　>
解析　特殊值法，令x＝，则x2＝>x3＝.
4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2,8)，则f(3)＝________.
答案　27
解析　由f(2)＝8可知2α＝8，即α＝3，即f(x)＝x3，
∴f(3)＝27.

一、幂函数的概念
例1　(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　∵y＝＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
(2)已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
解　由题意得
解得或
所以m＝－3或1，n＝.
(学生)
反思感悟　幂函数的判断及应用
(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．
(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．
跟踪训练1　若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________．
答案　16
解析　设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.
二、幂函数的图象及应用
例2　若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x) 解　设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得，

(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1 (学生)
反思感悟　(1)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练2　如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)

A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
答案　B
解析　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2.
三、比较幂值的大小
例3　比较下列各组数中两个数的大小：
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1；
(3)与 .
解　(1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，∴0.5>0.5.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，∴－1>－1.
(3)∵函数y1＝ 在(0，＋∞)上单调递增，
又>1，∴> ＝1.
又∵函数y2＝ 在(0，＋∞)上单调递增，且<1，
∴< ＝1，∴>.
(学生)
反思感悟　比较幂值大小的方法
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．
(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．
跟踪训练3　比较下列各组数的大小：
(1)0.3与0.3；(2)－3.143与－π3.
解　(1)∵y＝x0.3在[0，＋∞)上单调递增且>，
∴0.3>0.3.
(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，
∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.

幂函数性质的综合应用
典例　已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足 < 的a的取值范围．
解　因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为<.
因为y＝ 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a 解得 故a的取值范围是.
[素养提升]　通过幂函数的图象特征抽象出幂函数的奇偶性，根据幂函数的单调性确定参数的值，得到幂函数的解析式，然后利用其单调性解不等式，在此过程中体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养．

1．下列函数中不是幂函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x－1
答案　C
解析　只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式．
2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)等于(　　)
A. B．2 C. D.
答案　A
解析　设幂函数为y＝xα，
∵幂函数的图象经过点，
∴＝4α，∴α＝－1，∴y＝x－1，
∴f(2)＝2－1＝.
3．设a∈，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是(　　)
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
答案　A
解析　当a＝－1时，函数y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当a＝时，函数y＝的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当a＝3时，函数y＝x3的定义域是R，且为奇函数．
4．函数y＝的图象是(　　)

答案　C
解析　∵函数y＝是非奇非偶函数，故排除A，B选项．又>1，故排除D选项．
5．0.23－2.3与0.24－2.3的大小关系是________________________________________________．
答案　0.23－2.3>0.24－2.3
解析　因为函数y＝x－2.3在(0，＋∞)上单调递减，
且0.23<0.24，
所以0.23－2.3>0.24－2.3.

1．知识清单：
(1)幂函数的定义．
(2)几个常见幂函数的图象．
(3)幂函数的性质．
2．方法归纳：待定系数法、数形结合法．
3．常见误区：
易忽略幂函数的图象和性质．


1．幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式是(　　)
A．y＝x－1 B．y＝
C．y＝x2 D．y＝x3
答案　B
解析　设f(x)＝xα，则2α＝，
∴α＝，∴f(x)＝.
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)
A．y＝ B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
答案　C
解析　由于y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B，D不合题意．y＝在(0，＋∞)上单调递增，但不是偶函数，故A不满足题意．y＝x2为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增．
3．函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)

答案　B
解析　y＝的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝－1的图象可看作是由y＝的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，则y＝－1的图象关于x轴对称的图象即为选项B.
4．已知函数f(x)＝，若0 A．f(a) B．f  C．f(a) D．f  答案　C
解析　因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，
又0 故f(a) 5．(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点，则幂函数f(x)具有的性质是(　　)
A．在其定义域上为增函数
B．在(0，＋∞)上单调递减
C．奇函数
D．定义域为R
答案　BC
解析　设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，因为幂函数图象过点，所以f(x)＝，所以由f(x)的性质知，定义域为{x∈R|x≠0}，f(x)是奇函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减．
6．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝4f(2)，则f 的值等于________．
答案　
解析　设f(x)＝xα，∵f(4)＝4f(2)，
∴4α＝4×2α，解得α＝2，∴f(x)＝x2，
∴f ＝.
7．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
答案　α<0
解析　因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．故α<0.
8．若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值是________．
答案　3
解析　因为函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2既是幂函数又在(0，＋∞)上单调递减，
所以⇒
解得m＝3.
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)· ，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
解　(1)若函数f(x)为正比例函数，
则∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，
则∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
10．比较下列各组数的大小：
(1) 和；
(2)和.
解　(1)函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，
又3<3.2，所以>.
(2)函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，而>，
所以>.

11．函数f(x)＝(a－b) ＋b－3是幂函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(a)>f(b) B．f(a) C．f(a)＝f(b) D．以上都不对
答案　A
解析　∵f(x)为幂函数，∴∴
∴f(x)＝，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且a>b>0，
∴f(a)>f(b)．
12．给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝.其中满足条件f >(x1>x2>0)的函数的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　①函数f(x)＝x的图象是一条直线，
故当x1>x2>0时，f ＝；
②函数f(x)＝x2的图象是下凸形曲线，
故当x1>x2>0时，f <；
③在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是下凸形曲线，
故当x1>x2>0时，f <；
④函数f(x)＝的图象是上凸形曲线，
故当x1>x2>0时，f >；
⑤在第一象限，函数f(x)＝的图象是一条下凸形曲线，
故当x1>x2>0时，f <.
故仅有函数f(x)＝满足当x1>x2>0时，
f >.
13．若 >，则实数m的取值范围为________．
答案　
解析　因为y＝在定义域[0，＋∞)上是增函数，
所以
解得－1≤m<.故m的取值范围为.
14．给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n)．如果m，n是幂函数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为________．
答案　③
解析　设f(x)＝xα，则f(m＋n)＝(m＋n)α，f(m)＋f(n)＝mα＋nα，f(m)·f(n)＝mα·nα＝(mn)α，f(mn)＝(mn)α，所以f(mn)＝f(m)·f(n)一定成立，其他三个不一定成立．

15．已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于(　　)
A．1 B．0,2
C．－1,1,3 D．0,1,2
答案　C
解析　∵幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，
∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，
由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3.
当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；
当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；
当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．
综上所述，m＝－1,1,3.
16．已知幂函数f(x)＝(m－1)2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．
解　(1)依题意，得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.
(2)由(1)可知f(x)＝x2.
当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)单调递增，
∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]．
∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴⇒0≤k≤1.
∴实数k的取值范围是[0,1]．